第二十章 一次函数 知识归纳与题型突破（22类题型清单）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（沪教版）

第二十章 一次函数知识归纳与题型突破（22类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点1：函数 一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量 与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量，是的函数. 是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值. 函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图象法. 1. 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量称之为常量。 2. 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。如果当x=a时，y=b，那么b�叫做当自变量的值为a时的函数值。 3. 一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。 画函数图像的步骤： 第一步：列表。在自变量取值范围内选定一些值，通过函数关系式求出对应函数值列成表格。 第二步：描点。在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数值为纵坐标，描出表中对应各点。 第三步：连线。按照坐标由小到大的顺序把所有点用平滑曲线连结起来。 知识点2：一次函数的概念 一般地，形如（，是常数，≠0）的函数，叫做一次函数. 要点诠释：当＝0时，即，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数，的要求，一次函数也被称为线性函数. 一次函数有三种表示方法，如下： 1、解析式法 用含自变量x的式子表示函数的方法叫做解析式法。 2、列表法 把一系列x的值对应的函数值y列成一个表来表示的函数关系的方法叫做列表法。 3、图像法 用图象来表示函数关系的方法叫做图象法。 知识点3：一次函数的图像与性质 1.函数（、为常数，且≠0）的图象是一条直线 ； 当＞0时，直线是由直线向上平移个单位长度得到的； 当＜0时，直线是由直线向下平移||个单位长度得到的. 2.一次函数（、为常数，且≠0）的图象与性质： 3. 、对一次函数的图象和性质的影响： 决定直线从左向右的趋势，决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限． 4. 两条直线：和：的位置关系可由其系数确定： （1）与相交； （2），且与平行； 直线y=kx+b的图象和性质与k、b的关系如下表所示： k>0，b>0：经过第一、二、三象限 k>0，b<0：经过第一、三、四象限 k>0，b=0：经过第一、三象限（经过原点） 结论：k>0时，图象从左到右上升，y随x的增大而增大。 k<0，b>0：经过第一、二、四象限 k<0，b<0：经过第二、三、四象限 k<0，b=0：经过第二、四象限（经过原点） 结论：k<0时，图象从左到右下降，y随x的增大而减小。 总结： 1、y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k。 即：y=kx+b（k≠0）（k不等于0，且k，b为常数）。 2、当x=0时，b为函数在y轴上的交点，坐标为（0，b）。 当y=0时，该函数图象在x轴上的交点坐标为（-b/k，0）。 3、当b=0时（即y=kx），一次函数图象变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。 4、函数图象性质：当k相同，且b不相等，图像平行； 当k不同，且b相等，图象相交于Y轴； 当k互为负倒数时，两直线垂直。 5、平移时：上加下减在末尾，左加右减在中间。 知识点4：待定系数法求一次函数解析式 一次函数（，是常数，≠0）中有两个待定系数，，需要两个独立条件确定两个关于，的方程，这两个条件通常为两个点或两对，的值. 要点诠释：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数中有和两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以和为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式. 分段函数 对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的解析式表示，因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数.解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围，分段考虑问题. 要点诠释：对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围.在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围. 知识点5：一次函数与方程 用函数的观点看方程、方程组、不等式　 方程（组）、不等式问题 函 数 问 题 从“数”的角度看 从“形”的角度看 求关于、的一元一次方程＝0（≠0）的解 为何值时，函数的值为0？ 确定直线与轴（即直线＝0）交点的横坐标 求关于、的二元一次方程组的解． 为何值时，函数与函数的值相等？ 确定直线与直线的交点的坐标 求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集 为何值时，函数的值大于0？ 确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围 一次函数与一元一次方程的关系 一次函数（≠0，为常数）.当函数＝0时，就得到了一元一次方程，此时自变量的值就是方程＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 　　从图象上看，这相当于已知直线（≠0，为常数），确定它与轴交点的横坐标的值. 一次函数与二元一次方程组 每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 要点诠释： 　　1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数与图象的交点为(3，－2)，则就是二元一次方程组的解. 　　2.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组无解，则一次函数与的图象就平行，反之也成立. 　　3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立. 方程组解的几何意义 1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标． 2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解情况： 根据交点的个数，看出方程组的解的个数； 根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解． 3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数． 知识点6：一次函数与一元一次不等式 由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. 要点诠释：求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，从“数”的角度看，就是为何值时，函数的值大于0？从“形”的角度看，确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围. （≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围． 知识点7：一次函数的平移 将函数向上平移n格，函数解析式为y=kx+b+n，将函数向下平移n格，函数解析式为y=kx+b-n，将函数向左平移n格，函数解析式为y=k（x+n）+b，将函数向右平移n格，函数解析式为y=k（x-n）+b。 平移时：上加下减在末尾，左加右减在中间 03 题型归纳 题型一　根据一次函数的定义求参数 例题：已知函数． (1)若该函数是一次函数，求k的取值范围． (2)若该函数是正比例函数，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一次函数的定义，即可进行解答； （2）根据正比例函数的定义，即可进行解答． 【详解】（1）解：∵函数是一次函数， ∴， 解得：； （2）解：∵函数是正比例函数， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查了一次函数和正比例函数的定义，解题的关键是掌握一般形如的是一次函数（k，b是常数，），其中x是自变量，y是因变量．形如的是正比例函数，其中x是自变量，y是因变量． 巩固训练 1．已知是一次函数，则m的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的定义进行求解即可． 【详解】解：∵是一次函数， ∴且， 解得， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，熟知形如 的函数叫做一次函数是解题的关键． 2．若是一次函数，则的值等于（） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】根据一次函数的定义可得，且，再求解即得答案. 【详解】解：∵是一次函数， ∴，且， 即，且， 解得； 故选：B. 【点睛】本题考查了一次函数的定义和一元二次方程的解法，熟练掌握相关知识是解题的关键. 3．已知是关于的一次函数，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数的定义．根据一次函数的定义得出，代入代数式求解即可．形如的函数为一次函数． 【详解】解：函数是关于x的一次函数 则， 解得 ∴， 故答案为：． 4．当 时，函数是正比例函数；当 时，函数是一次函数． 【答案】 【分析】本题考查正比例函数及一次函数的定义，根据正比例函数定义“形如的函数”及一次函数的定义“形如的函数”求解即可求得答案．熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：已知函数， 若该函数为正比例函数，则，且， 解得，且， 当，则符合题意； 若该函数为一次函数，则， 即； 故答案为：，． 5．已知一次函数． (1)为何值时，它的图象经过原点； (2)为何值时，它的图象经过点． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及性质． （1）把原点坐标代入解析式得到，而，所以； （2）把代入解析式得到关于k的方程，然后解方程即可． 【详解】（1）解：把代入解析式得：， 解得：， ， ； （2）解：把代入解析式得：， 解得：． 题型二　求一次函数自变量或函数值 例题：已知函数是关于的一次函数，则为何值时，的值为2？ 【答案】当时，的值为2 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，根据一次函数的定义条件是：k、b为常数，，自变量次数为1，可得一次函数解析式；根据自变量与函数值的对应关系，可得答案． 【详解】解：由题意，得，， 解得：， 把代入， 该一次函数是， 当时，， 解得：， 当时，的值为2． 巩固训练 1．下列各点中在函数的图象上的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象上的点，根据一次函数图象上的点的坐标满足函数解析式，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， 当时，， ∴点在函数图象上， 故选：D． 2．已知点是一次函数图象上不同的两点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一定经过某点的函数应适合这个点的横纵坐标．代入解析式后，根据式子特点，利用非负数的性质解答． 将代入一次函数的解析式，根据非负数的性质和k的值小于0解答． 【详解】解：∵点是一次函数的图象上不同的两点， ①，②， 由，可得， 由，得， 由为不同的两点， ， ， 故的范围为． 故选：A． 3．点在一次函数的图象上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数求值，由题意，将代入一次函数表达式，解关于的一元一次方程即可得到答案，熟记待定系数法的解法步骤是解决问题的关键． 【详解】解：点在一次函数的图象上， ，解得， 故答案为：． 4．若一次函数的图象上有两点，点，若，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了一次函数图象上点的特征，把A、B的坐标代入一次函数解析得出，，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵一次函数的图象上有两点，点， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：9． 5．已知y与成正比例，且时， (1)求y关于x的函数表达式； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查用待定系数法求正比例函数的解析式，求函数值等知识点的理解和掌握， （1）根据题意设出函数关系式，利用待定系数法即可求解； （2）把代入（1）中函数解析式即可求出y的值； 能求出正比例函数的解析式是解此题的关键． 【详解】（1）解：∵y与成正比例，， ∴设， 把代入，得， ， ∴关于的函数表达式为； （2）把代入，得. 题型三　判断一次函数的图象 例题：如图，两个不同的一次函数与的图象在同一平面直角坐标系内的位置可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键． 对于各选项，先确定一条直线的位置得到a和b的符号，然后根据此符号判断另一条直线的位置是否符合要求． 【详解】解：A、若经过第一、二、三象限的直线为，则，，所以直线经过第一、二、三象限，故A选项错误，不符合题意． B、若经过第一、二、四象限的直线为，则，，所以直线经过第一、二、四象限，故B选项错误，不符合题意． C、若经过第一、三、四象限的直线为，则，，所以直线经过第一、二、四象限，故C选项正确，符合题意． D、若经过第一、二、三象限的直线为，则，，所以直线经过第一、二、三象限，故D选项错误，不符合题意． 故选：C． 巩固训练 1．一次函数的图象可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，根据一次函数，得出图象和轴交于正半轴，且图象直线为上升趋势，选择符合的答案即可． 【详解】解：∵当时，， ∴一次函数的图象和轴交于正半轴的点， ∵一次项系数， ∴随的增大而增大，即图象直线为上升趋势， 选项中只有B是满足图象和轴交于正半轴，且图象直线为上升趋势的， 故选：B． 2．已知直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与性质，数形结合是本题的关键．根据两个一次函数的图象逐一分析系数符号即可解决． 【详解】解：A、直线中，，中，，b的取值相矛盾，故本选项不符合题意； B、直线中，，中，，k、b的取值一致，故本选项符合题意； C、直线中，，中，，k的取值相矛盾，故本选项不符合题意； D、直线中，，中，，b的取值相矛盾，故本选项不符合题意． 故选：B． 3．若关于的方程的解为，则的图象一定经过点 ． 【答案】 【分析】先将代入中可得，再代入中可得，此时可发现当时，k无论取什么值，y=5，由此可得函数一定经过． 【详解】解：∵关于的方程的解为， ∴，即， ∴，即， 当时，k无论取什么值，y=5， ∴函数的图象一定经过． 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数的性质．解决此类问题的关键是替换掉一个常量，然后将函数变形后，找出自变量x取某值时，另外一个常量无论怎么变化都不改变因变量y的值，此时（x，y）就是一定经过的点． 4．若式子＋（k﹣1）0有意义，则一次函数y＝（k﹣1）x＋1﹣k的图象可能是 ．（填字母代号）    A.B.C.D. 【答案】B 【分析】结合二次根式有意义的条件和0指数幂底数不为零，可找出k的取值范围，再结合一次函数系数与图像的关系，即可求解． 【详解】解：有意义 解得： 又在一次函数中，比例系数， 图像经过第一、三象限； 常数项， 图像与y轴交于y轴负半轴 故答案是：B． 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件、0指数幂底数不为零、一次函数系数与图像的关系，属于基础题型，难度不大．解题的关键是掌握一次函数系数与图像的关系和数形结合思想．一次函数中，当时，图像过第一、三象限；当时，图像过第二、四象限；当时，图像交y轴正半轴；当时，图像过原点；当时，图像交y轴负半轴． 5．下列图象中，表示一次函数的有哪些？ 【答案】（2） 【分析】根据一次函数的图象是直线即可求解． 【详解】解：表示y是x的一次函数的图象是一条直线，观察选项，只有（2）符合题意． 故表示一次函数的为（2）． 【点睛】本题考查了一次函数的图像，一次函数和正比例函数的图象都是直线． 题型四　求一次函数的解析式 例题：一次函数的图象经过点和点． (1)求出该一次函数的解析式； (2)并求该图象与x轴的交点A的坐标，与y轴的交点B的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，掌握待定系数法是解决本题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）令，得到，令得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点和点， 则有， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：对于直线，令，得到，令得到， ∴； 巩固训练 1．直线经过点，则该直线的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，把点代入即可得到答案． 【详解】解：∵直线经过点， ∴， 解得：， ∴直线为：； 故选：C 2．若点，点是一次函数图象上的两点，则k的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是运用代入法，建立二元一次方程来解答．分别将点A、点B的坐标代入函数解析式中，即可得到关于m、k的二元一次方程，求出解即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得， 故选：D． 3．已知，当时，，当时，，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，将当时，，当时，代入解析式，即可求解；掌握解法是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， 故答案：，． 4．写出同时具备下列两个条件的一次函数解析式： ． ①y随x的增大而减小；②函数图象经过点． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题关键．对于一次函数，当时，y的值随x的增大而增大．当时，y的值随x的增大而减小，再结合函数图象经过点解答即可． 【详解】解：设该一次函数解析式为． ∵①y随x的增大而减小；②函数图象经过点， ∴，且， ∴， ∴该一次函数解析式为． 令，则该一次函数解析式为． 故答案为：． 5．已知一次函数的图象过点和点，求这个一次函数的解析式． 【答案】 【分析】待定系数法求解析式即可求解． 【详解】解：设这个一次函数的解析式为 将点和点，代入得， ， 解得：， ∴这个一次函数的解析式为． 【点睛】本题考查了求一次函数解析式，掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 题型五　已知函数经过的象限求参数范围 例题：已知一次函数． (1)当m、n为何值时，其图象经过原点； (2)当m、n为何值时，其图象不经过第二象限． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据一次函数的图象和系数的关系列式求解即可； （2）根据一次函数的图象和系数的关系列式求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过原点， ∴，， ∴，； （2）解：∵一次函数的图象不经过第二象限， ∴，， ∴，． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和系数的关系，解题的关键是熟练掌握：直线所经过的象限与k、b的符号有直接的关系：时，直线必经过一、三象限；时，直线必经过二、四象限；时，直线与y轴正半轴相交；时，直线过原点；时，直线与y轴负半轴相交． 巩固训练 1．已知一次函数的图象如图所示，则k，b的取值范围是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，根据一次函数的图象经过的象限的求解即可． 【详解】解：根据题意，该一次函数的图象经过第一、二、三象限， ∴，， ∴，， 故选：B． 2．若直线经过第一、二、四象限，则，的取值范围是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数图象在坐标平面内的位置与，的关系，熟练掌握上述关系是解题的关键．注意，在一次函数的图象中，时，图象向右倾斜；时，图象向左倾斜；时，图象与轴正半轴相交；时，图象与轴负半轴相交． 根据一次函数图象在坐标平面内的位置与，的关系直接判断即可得解． 【详解】解：直线经过第一、二、四象限， 函数图象向右倾斜，图象与轴正半轴相交， ，， 故选：． 3．直线不经过第一象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，由一次函数的性质得，解此不等式组，即可求解；掌握“当时，图象经过第一、三象限；当时，图象经过第二、四象限．”是解题的关键． 【详解】解： ， 不经过第一象限， ， 解得：， 故答案：． 4．已知一次函数的图象不经过第三象限，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与系数的关系：对于一次函数，当时，函数图象经过一、二、三象限，当时，函数图象经过一、三、四象限，当时，函数图象经过一、二、四象限，当时，函数图象经过二、三、四象限． 依据一次函数的图象不经过第三象限，可得函数表达式当中一次项系数小于零，常数项不小于零，进而得到的m取值范围． 【详解】解：一次函数的图象不经过第三象限， 解得：． 故答案为：． 5．已知一次函数，若该函数图象经过第一、二、四象限，求k的取值范围． 【答案】 【分析】根据一次函数的图象和性质，列出关于的不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：函数图象经过第一、二、四象限， ， 解得：， ． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是根据一次函数的图象和性质列出关于的不等式组． 题型六　一次函数图象与坐标轴的交点问题 例题：如图，已知一次函数与正比例函数图像相交于点A，与x轴交于点B． (1)求点A的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，两条直线相交与坐标轴围成的三角形面积，正确求出点A的坐标是关键； （1）解两个函数表达式组成的方程组即可得点A的坐标； （2）求出一次函数与x轴的交点B的坐标，则可求得长度，从而求得结果． 【详解】（1）解：解方程组，得， ∴． （2）解：把代入得：， ∴， ∴且点A到的距离为4， ∴． 巩固训练 1．已知函数，若函数图象经过原点，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式． 由一次函数图象经过原点，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：若函数图象经过原点，则时，， 即， ． 故选：． 2．直线与y轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数以坐标轴的交点的计算，根据与轴相交，横坐标为零，即可求解，理解并掌握一次函数图象与坐标轴交点的计算方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，令，则， ∴直线与轴的交点坐标为， 故选：A ． 3．若一次函数的图像经过原点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上的点，将代入解析式结合即可求解． 【详解】解：将代入得：， 解得： ∵为一次函数 ∴ ∴ 故 故答案为： 4．直线与x轴的交点坐标为，则的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数与一元一次方程，解答本题的关键在于掌握一次函数与x轴的交点为即为方程的解．根据直线与x轴的交点坐标为，得出的解为． 【详解】解：∵直线与x轴的交点坐标为， ∴方程的解为：． 故答案为：． 5．在平面直角坐标系中，直线的图象如图所示，它与直线的图象都经过，且两直线与轴分别交于两点． (1)在如图的平面直角坐标系中，画出一次函数的图象； (2)直接写出两点的坐标． 【答案】(1)图象见详解； (2)． 【分析】本题主要考查一次函数的图像和性质，熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用两点法画出函数的图像即可； （2）根据图像即可求得． 【详解】（1）解：当时， 当时，，， 过点作直线， 画出函数图像如图； （2）解：对于，当时，； 对于，当时，； ∴． 题型七　一次函数图象平移问题 例题：已知正比例函数的图象向下平移3个单位长度后，经过点，求点P的坐标． 【答案】点P的坐标为． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象与几何变换，掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．由平移得得一次函数，把代入求解即可． 【详解】解：将正比例函数的图象向下平移3个单位长度， 得一次函数． 把点代入， 得，解得， ∴， ∴点P的坐标为． 巩固训练 1．把直线向右平移3个单位长度，则平移后直线为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查一次函数的平移，熟练掌握平移规律，直接根据“左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将直线向右平移3个单位，所得直线的表达式是． 故选：D． 2．如图，直线与y轴交于点A，点在直线上，将直线向上平移个单位长度得到直线，直线与y轴点，若的面积为，则的值为（     ） A．2 B．3 C．6 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的平移， 先求出点B坐标，再根据求出即可得出上平移了个单位长度． 【详解】解：∵点在直线上， ∴，解得：，故点， ∴， ∴，即． 故选B． 3．一次函数图像与直线平行，且经过，则函数表达式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了两直线平行的问题，根据互相平行的两直线解析式的k值相等设出一次函数的解析式，再把点的坐标代入解析式求解即可． 【详解】解：根据题意得：设函数表达式为，把代入得： ， 解得：， 故函数表达式为： 故答案为：． 4．一次函数的图象不经过第三象限，现将该函数图象向下平移个单位，使其不经过第一象限，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数系数与图象的关系是解题关键．根据图象在坐标平面内的位置关系确定m的取值范围，从而求解． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第三象限， ∴经过第一、二、四象限， ∴， 将该函数图象向下平移个单位，使其不经过第一象限， ， 解得： 故答案为：． 5．在直角坐标中，直线与平行，且经过点，将直线向上平移3个单位，得到直线 (1)求这两条直线的解析式； (2)如果直线与x轴、y轴分别交于点A，B，求的面积． 【答案】(1)， (2)16 【分析】（1）根据平移可知，利用待定系数法求出解析式即可； （2）根据解析式求出A，B两点坐标，然后求出面积即可． 【详解】（1）解：∵与平行， 设直线的解析式为：， 把点代入得：， ∴直线的解析式为：， ∴直线向上平移3个单位，得到直线的解析式为：， （2）解：令，则， 解得：， ∴， 当时，， ∴ ∴． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，求一次函数与坐标轴交点坐标，掌握一次函数图象平行时值不变是解题的关键． 题型八　一次函数与方程 例题：已知一次函数y＝﹣x+2． (1)求该直线与坐标轴的交点坐标； (2)画出一次函数的图象； (3)由图可知，若方程﹣x+2＝0，则方程的解为 ． 【答案】(1)与x轴的交点坐标为（4，0）， 与y轴的交点坐标为（0，2） (2)见解析 (3)x=4． 【分析】（1）分别令x=0和y=0即可求出与y轴和x轴的坐标； （2）根据（1）中结果即可画出图象； （3）直接根据图象解答即可． 【详解】（1）解：当x=0时，y＝0+2=2， ∴与y轴的交点坐标为（0，2）． 当y=0时，0＝﹣x+2，∴x=4， ∴与x轴的交点坐标为（4，0）． （2）解：如图， （3）解：图可知，若方程﹣x+2＝0，则方程的解为x=4． 故答案为：x=4． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，画一次函数图象，以及利用函数图象解方程等知识，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 巩固训练 1．一次函数中，与的部分对应值如下表： 那么一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次的关系．任何一元一次方程都可以转化为，为常数，的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线确定它与轴的交点的横坐标的值．此题实际上是求当时，所对应的的值．根据表格求解即可． 【详解】解：根据上表中的数据值，当时，， 即一元一次方程的解是． 故选：D 2．一次函数的图象与轴交于点，则关于的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数和一元一次方程的解的关键，解题的关键是掌握一次函数图象与x轴交点的横坐标等于对应方程的解，据此即可解答． 【详解】解：∵一次函数的图象与轴交于点， ∴当时， ∴关于的方程的解为， 故选：B． 3．如图，直线分别与x的负半轴和y的正半轴交于点A和点B，若，，则关于x的方程的解为 ．    【答案】 【分析】本题考查一次函数的图象，一次函数与一元一次方程的关系，勾股定理，先根据勾股定理求出，根据直线与x轴的交点的横坐标，即为关于x的方程的解，然后数形结合求解作答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴方程的解是一次函数与x轴的交点的横坐标， ∴关于x的方程的解为． 故答案为：． 4．已知一次函数（是常数），x与y的部分对应值如下表： x 0 1 2 y 0 2 4 6 则关于x的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，方程的解为时函数的x的值，根据图表即可得出此方程的解． 【详解】解：根据图表可得：当时，，即时，， 因而方程的解是． 故答案为：． 5．如图，一次函数的图象为直线，求关于的方程的解．    【答案】关于x的方程的解为． 【分析】根据一次函数图象可得一次函数的图象经过点，，利用待定系数法即可求得m、n的值，从而得到方程，解方程即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点，， ∴，解得， ∴关于x的方程为， ∴， 故关于x的方程的解为． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，待定系数法求一次函数的解析式，解一元一次方程，求得m、n的值是解题的关键． 题型九　一次函数与不等式 例题：如图，根据图中信息回答下列问题：    (1)关于的不等式的解集是______； (2)关于的不等式的解集是______； (3)当时，的取值范围是______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用直线与x轴的交点为，然后利用函数图象可得到不等式的解集． （2）利用直线与y轴的交点为，然后利用函数图象可得到不等式的解集． （3）结合两条直线的交点坐标为和图象来求得解集． 【详解】（1）∵直线与x轴的交点是，且随着x的增大而减小， ∴当时，，即不等式的解集是； 故答案是：； （2）∵直线与y轴的交点是，且随着x的增大而增大， ∴当时，，即不等式的解集是； 故答案是：； （3）由一次函数的图象知，两条直线的交点坐标是， 当函数的图象在的下面时，有；当时，， 所以当时，； 故答案为：； 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解答该类题目时，需要学生具备一定的读图能力，体现了数形结合的思想方法，准确的确定出x的值，是解答本题的关键． 巩固训练 1．如图，直线与坐标轴交于两点，则时，x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据图象得出一次函数交x轴于点，根据一次函数与一元一次不等式的关系即可求出答案． 【详解】解：根据图象可知：一次函数的图象交x轴于点， ∴函数值时，x的取值范围是：． 故选：C． 2．如图，已知正比例函数与一次函数的图象交于点P，下面结论正确的是（    ） A． B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象，一次函数与一元一次不等式的联系．解题的关键在于明确图象中与坐标轴交点坐标，直线交点坐标的含义，掌握一次函数图象的性质．根据图象进行分析判断即可． 【详解】解：由图象可知，，故A错误； 当时，，故B错误； 当时，，故C正确； 当时，，故D错误； 故选：C． 3．的图象如图所示，关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用，解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．从图象得到函数的增减性及与x轴的交点的横坐标，即能求得不等式的解集． 【详解】解：从图象知，函数的图象经过点，并且函数值y随x的增大而减小， ∴当时，， 即关于x的不等式的解集是， 故答案为：． 4．如图，直线与分别交x轴于点，，则不等式的解集为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查一次函数和一元一次不等式．本题是借助一次函数的图象解一元一次不等式，两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变． 【详解】解：直线与直线分别交x轴于点、， ∵， ∴一个正数和一个负数的积为负数， ∴不等式的解集为或， 故答案为：或． 5．画出函数的图象，利用图象： (1)求方程的解； (2)求不等式的解集； (3)若，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了函数图象的作图以及根据图形获取相关信息等知识点，解答关键是根据数形结合解答问题． （1）求出直线与坐标轴的交点坐标，经过两点画直线．观察图象求得方程的解； （2）观察图象求得不等式的解集； （3）观察图象，当时，可求x的取值范围； 【详解】（1）当时，；当时，， ∴，，作直线AB： 由图象，方程的解为： ； （2）由图象得：不等式的解集为：； （3）由图象得：，x的取值范围为： ． 题型十　求直线围成的图形面积 例题：如图，直线与轴交于点A，与轴于点．    (1)求A，两点的坐标； (2)过点作直线与轴交于点，且，求的面积． 【答案】(1)； (2)的面积为或 【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用，求一次函数与x轴，y轴的交点，直线围成是三角形面积，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． （1）分别令x，y为0即可得出点A，两点的坐标； （2）分点在轴的正半轴上时和点在轴的负半轴上时两种情况分别画图求解即可． 【详解】（1）解：对于，当时，， 解得， 则点A的坐标为， 当时，，则点的坐标为． （2）解：当点在轴的正半轴上时，如图①，    ∵， ∴， ∴的面积； 当点在轴的负半轴上时，如图②，    ∵， ∴， ∴的面积， 综上所述，的面积为或． 巩固训练 1．如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象交于点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 2．如图，将直线向下平移8个单位长度后，与直线及x轴围成的的面积是（    ） A．25 B．28 C．30 D．35 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，先求出直线向下平移8个单位长度后的解析式，故可得出C点坐标，再由直线得出B点坐标，联立两解析式得出A点坐标，利用三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：∵直线向下平移8个单位长度后的解析式为， 令，则， 解得：， ， ∵直线中，当时，， ， 联立方程， 解得， ， ． 故选：C． 3．直线，与轴所围成的图形的面积是 ． 【答案】18 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．先求出两直线的交点坐标，再分别求出两直线与轴的交点坐标，根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：，解得， 两直线的交点为， 直线与轴的交点为，直线与轴的交点为， 直线，与轴所围成的图形的面积． 故答案为：18． 4．在平面直角坐标系中，，，，则三角形的面积为 ，如果在y轴上存在一点P，使得的面积与的面积相等，则点P的坐标为 ． 【答案】 6 或/或 【分析】本题考查了三角形的面积，坐标与图形的性质，正确进行分类讨论是解题的关键．设点，根据的面积与的面积相等，先计算的面积，然后列出等式计算y即可解答． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴的面积为：； 设点， ∵的面积与的面积相等， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为：或． 故答案为：6；或． 5．如图，直线：与x轴、y轴交于点A、B，直线：分别与x轴y轴交于、，直线与相交于点P． (1)求点P的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题主要考查了求两直线的交点坐标，直线围成的图形面积： （1）将直线与直线的解析式组成方程组，求出，，即得点的坐标； （2）首先求出点B、A、D的坐标，可得的长，然后求出与的面积，即可得的面积． 【详解】（1）解：联立， 解得：， 点的坐标为； （2）解：把，代入得，， ∴点B的坐标为 在中，令， 解得：， 点坐标为； 把，代入得，， 点的坐标为； ， ，， 的面积为：． 题型十一　一次函数的增减性 例题：已知一次函数． (1)求为何值时，函数的图象过原点； (2)求为何值时，随的增大而增大； 【答案】(1)，； (2)，为任意数． 【分析】（1）根据一次函数的定义可得，根据函数图象过原点可得，从而可得答案； （2）根据一次函数，随的增大而增大，则，为任意数，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象过原点， ∴，， 解得：，； （2）一次函数，随的增大而增大； ∴，而为任意数； 解得：， ∴，为任意数． 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，熟记一次函数的定义与性质是解本题的关键． 巩固训练 1．若正比例函数（a为常数）的y值随x值的增大而增大，则a的值可以是（） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．由一次函数的图象中值随值的增大而增大，可得出，解之即可得出的取值范围，再对照四个选项即可得出结论． 【详解】解：一次函数的图象中值随值的增大而增大， ， ． 故选：D． 2．已知一次函数，若随的增大而减小，则的值可以是（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的增减性．对于一次函数，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．根据增减性可得，再确定答案即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴可以是， 故选：A 3．已知一次函数的图象上两点，，当时，有，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，解题的关键是掌握一次函数的图像与性质．根据当时，有，可得，即可求解． 【详解】解：当时，有， 随的增大而减小， ， 解得：， 故答案为：． 4．已知一次函数为常数，且．若当有最大值，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，掌握一次函数增减性求最值，分类讨论思想是解题的关键． 根据题意，当时，取得最大值；当时，取得最大值；由此即可求解． 【详解】解：当时，y随x的增大而增大， ∴取得最大值， ∴， 解得，； 当时，y随x的增大而减小， ∴取得最大值， ∴， 解得，； 综上所述，的值为或， 故答案为：或 ． 5．（1）已知关于的一次函数的图象与轴的交点在轴的上方，且随的增大而减小，求的取值范围． （2）已知函数是正比例函数，且随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系、一次函数的性质以及正比例函数的定义． （1）根据一次函数图象与轴的交点在轴的上方且随的增大而减小，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论； （2）根据正比例函数的定义结合一次函数的性质即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论． 【详解】解：（1）关于的一次函数的图象与轴的交点在轴的上方，且随的增大而减小， ， 解得：； （2）函数是正比例函数，且随的增大而增大， ， 解得：． 题型十二　比较一次函数值的大小 例题：已知一次函数的图象经过点． (1)求该一次函数的解析式； (2)已知点，在一次函数的图象上，且，直接写出，的大小关系_____________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数的性质： （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）根据一次函数的增减性，即可求解． 【详解】（1）解：把点代入，得： ， 解得， ∴该一次函数的解析式为； （2）解：∵， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴． 巩固训练 1．已知点，，都在一次函数的图象上，若，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，先根据点和一次函数，推出随的增大而减小，再根据，即可得出与的大小关系，选择答案即可． 【详解】解：∵当时，， 点，，都在一次函数的图象上， ，， ∴随的增大而减小， 又∵， ∴， 故选：A． 2．已知点，，都在直线上，则，，的值的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数增减性与自变量系数之间的关系是解题的关键．根据一次函数的性质，可知函数中随的增大而减小，即可解答． 【详解】解：，， 随的增大而减小， ，，都在直线上，且， ． 故选：D． 3．已知，是一次函数图象上的两个点，则 （填“>”“<”或“=”）． 【答案】< 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，结合一次函数，得出随增大而增大，因为，是一次函数图象上的两个点，则，即可作答． 【详解】解：∵一次函数，且， ∴则随增大而增大， ∵，是一次函数图象上的两个点，且， ∴， 故答案为：<． 4．若点和点是一次函数的图象上的两点，与的大小关系是 （填“>”“<”或“=”）． 【答案】> 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，根据，得出一次函数的随的增大而减小，再结合点，点，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴， 则， ∴随的增大而减小， ∵点和点是一次函数的图象上的两点，且， ∴， 故答案为：>． 5．已知y是x的一次函数，且当时，，当时，． (1)求这个一次函数的解析式； (2)若点，在该一次函数的图象上，比较m，n的大小． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式及一次函数图象上点的坐标特征； （1）设一次函数解析式为，再把两组对应值代入得到的方程组，然后解方程组即可； （2）根据一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设该一次函数的解析式为， 分别把，；，代入得： ， 解得：， 所以，该一次函数的解析式为； （2）解：∵， ∴随的增大而增大， ∵， ∴． 题型十三　一次函数与反比例函数 例题：如图，，反比例函数在第一象限内的图像与交于点与交于点． (1)求该反比例函数的解析式及直线的解析式； (2)连接，求的面积． 【答案】(1)反比例函数解析式为，直线解析式为 (2)6． 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合： （1）把点C坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，进而求出点D的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式即可； （2）先求出点B的坐标，进而求出的长，再利用三角形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：把代入中得：，解得， ∴反比例函数解析式为， 在中，当时，， ∴， 设直线解析式为， 把代入中得：，解得， ∴直线解析式为， （2）解：在中，当时，， ∴， ∴， ∴． 巩固训练 1．如图所示是一次函数和反比例函数的图像，观察图像，当时，x的取值范围为（    ） A． 或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】主要考查了反比例函数的图像性质和一次函数的图像性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．根据图像可得：要使，需图像在图像的上方，由此即可得解． 【详解】根据题图可得， 当或时，． 故选：C． 2．如图，直线与双曲线交于、两点，其横坐标分别为1和5，则不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的交点求不等式的解集， 先确定交点的横坐标，再根据双曲线在直线上方，即为反比例函数值大于一次函数值，进而得出自变量的取值范围，即为不等式的解集． 【详解】根据题意可知，当或时，． 故选：B． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，B两点，且与反比例函数的图象交于点C，D，则的面积为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题．根据题意求出，及的面积即可解决问题． 【详解】解：由方程得， ，， 将代入得，． 将代入得，， 所以点D的坐标为，点C的坐标为． 将代入得，， 所以点B的坐标为． 将代入得，， 所以点A的坐标为， 则， ， ， 所以． 故答案为：8． 4．如图，直线与x轴相交于点，与函数的图象交于点B、C，点B的横坐标是8，点C的横坐标是，则不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题．利用数形结合的思想，直接得出关于的不等式的解集． 【详解】解：观察图象可得， 当时，直线位于轴的上方、函数图象的下方， 不等式组的解是． 故答案为：． 5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的第一象限图象相交于点． (1)求m的值以及反比例函数的解析式； (2)点D是x轴正半轴上一点，若，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，正确理解交点坐标的意义，是解题的关键． （1）利用待定系数法计算解析式即可． （2）过点A作于点B，理由三角形合一求出，根据三角形的面积公式，以为底边计算即可． 【详解】（1）∵反比例函数图象与一次函数图象相交于点， 将点A带入一次函数得：， 将点带入反比例函数得：， 解得， ∴反比例函数解析式为：； （2）如图所示，过点A作于点B， ， ∴， ∴ 的面积为． 题型十四　一次函数与反比例函数的实际问题 例题：智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温（）与通电时间（）成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温（）与通电时间（）之间的关系如图所示． (1)当时，求与之间的函数关系式（写出的取值范围）； (2)加热一次，求水温不低于的时间． 【答案】(1) (2)加热一次，水温不低于的时间为 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用． （1）待定系数法求出反比例函数的解析式，再求出的值，即可； （2）先求出时，与之间的函数表达式，再求出时，的值，即可求解． 【详解】（1）解：当时，设与之间的函数关系式为， 将点代入，得， ∴与之间的函数关系式为， 当时，， ， ∴与之间的函数关系式为． （2）解：当时，设一次函数的表达式为， 将点代入一次函数的表达式，得， 解得：， ∴一次函数的表达式为， 令，则； 在降温过程中，当水温为时，有，则， ∵， ∴加热一次，水温不低于的时间为． 巩固训练 1．某药品研究所开发一种抗菌新药，临床实验中测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系图象由一条线段和一段曲线组成，如图（当时，y与x成反比例）．则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（    ）    A．4小时 B．6小时 C．8小时 D．10小时 【答案】B 【分析】分别求出线段与曲线的函数解析式，再求出函数值为4时对应的自变量x的值，即可求得此时持续时间． 【详解】解：时，设线段的解析式为， 由于线段过点，则有， 解得：， 即线段解析式为； 当时，设，把点代入中，得， 即， 当时，，得；当时，，得； ∴血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（小时）； 故选：B． 【点睛】本题是正比例函数与反比例函数的综合，考查了求函数解析式，已知函数值求自变量值，其中待定系数法求函数解析式是关键，注意数形结合． 2．为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，德州市某工厂自年月开始限产并进行治污改造，其月利润万元与月份之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图像的一部分，治污完成后是一次函数图像的部分，下列选项错误的是（    ） A．月份的利润为万元 B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加万元 C．月份该厂利润达到万元 D．治污改造完成前后共有个月的利润低于万元 【答案】D 【分析】利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式，然后逐项分析即可解答． 【详解】解：A、设反比例函数的解析式为，把代入得，， 反比例函数的解析式为：， ∵当时，， 月份的利润为万元，正确，不合题意； B、治污改造完成后，从月到月，利润从万到万，故每月利润比前一个月增加万元，正确，不合题意； C、设一次函数解析式为：， 则，解得：， 故一次函数解析式为：， 当时，，解得：， ∴治污改造完成后的第个月，即月份该厂利润达到万元，正确，不合题意． D、当时，，解得：， ∴只有月，月，月共个月的利润低于万元，不正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比函数的应用，正确求出函数解析是解题关键． 3．将的图象先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的新双曲线与直线相交于两点，其中一个交点的横坐标为，另一个交点的纵坐标为，则 ． 【答案】 【分析】根据“左加右减，上加下减”得平移后解析式，与一次函数联立方程，由根与系数关系得出与的关系式，套入所求代数式即可得出结果． 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，联立方程得交点坐标，本题的关键是利用了根与系数的关系得出、的关系． 【详解】解：根据题意，平移后反比例函数解析式为：， 和一次函数联立得：， 整理得：， 由根与系数的关系得：， 有一根是，则， ， 当时，， ， ． 故答案为：． 4．饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升，温度到停止加热．然后水温开始下降，此时水温与时间成反比例函数关系，水温降至时，饮水机重复上述程序开始加热，加热时水温与时间的关系如图所示．水温从开始加热至，然后下降至这一过程中，水温不低于的时间为 ．    【答案】12 【分析】本题考查了一次函数，反比例函数的应用．首先求得两个函数的解析式，然后将代入两个函数求得两个时间相减即可确定答案． 【详解】解：设一次函数关系式为：， 将，代入，得， 解得， ， 设反比例函数关系式为：， 将代入，得， ， 中， 令，解得； 反比例函数中，令，解得：， （min）， 水温不低于的时间为min． 故答案为：． 5．已知某消毒药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（微克）与时间x（小时）成正比例，药物熄灭后，y（微克）与x（小时）成反比例，如图所示，现测得药物4小时燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为6微克，请你根据题中提供的信息，解答下列问题： (1)分别求出药物燃烧时和药物熄灭后y关于x的函数关系式； (2)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3微克且持续时间不低于10小时时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？ 【答案】(1)药物燃烧时的函数解析式为；药物燃烧时的函数解析式为； (2)没有效，见解析 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）利用时分别代入求出答案． 【详解】（1）解：设药物燃烧时的函数解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴药物燃烧时的函数解析式为； 设药物熄灭后y关于x的函数关系式是， 将点代入，得， 解得， ∴药物燃烧时的函数解析式为； （2）当时，，解得； 当时，，解得， ∵， ∴这次消毒没有效． 【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数的实际应用，正确求出函数解析式是解题的关键． 题型十五　分配方案问题 例题：为支援灾区的灾后重建，甲、乙两县分别筹集了水泥200 吨和300吨支援灾区，现需要调往灾区A 镇100吨，调往灾区B镇400吨．已知从甲县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为40元和80元；从乙县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为30元和50元． (1)设从甲县调往A镇水泥x吨，求总运费y关于x的函数关系式； (2)求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？ 【答案】(1) (2)总运费最低的调运方案是从甲县调往A镇水泥吨，则从甲县调往B镇水泥吨，从乙县调往A镇水泥0吨，从乙县调往B镇水泥吨．，最低运费是元． 【分析】（1）设从甲县调往A镇水泥x吨，则从甲县调往B镇水泥吨，从乙县调往A镇水泥吨，从乙县调往B镇水泥吨，再根据每吨的运费列出总运费y关于x的函数关系式，并求出x的取值范围即可； （2）根据一次函数的性质和x的取值范围，求出最低的调运方案及最低运费即可； 本题主要考查了一次函数与一元一次不等式组的实际应用问题，用x表示运往各地的吨数是解决本题的关键． 【详解】（1）解：设从甲县调往A镇水泥x吨，则从甲县调往B镇水泥吨，从乙县调往A镇水泥吨，从乙县调往B镇水泥吨， 则总费用 整理得： ∵， 解得， 即总运费y关于x的函数关系式为； （2）∵ ， ∴ y随x的增大而减小 ∵， ∴当时，最低运费为：， 此时从甲县调往A镇水泥吨，则从甲县调往B镇水泥吨，从乙县调往A镇水泥0吨，从乙县调往B镇水泥吨． 答：总运费最低的调运方案是从甲县调往A镇水泥吨，则从甲县调往B镇水泥吨，从乙县调往A镇水泥0吨，从乙县调往B镇水泥吨．，最低运费是元． 巩固训练 1．国庆节期间，小明和家人乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用一辆新能源汽车自驾出游，两家公司的租赁信息如下： 甲公司：按日收取固定租金84元，另外再按每小时租费20元计费（不足一小时按一小时计费） 乙公司：无固定租金，三小时以内每小时的租费40元，超过三小时，超过部分以每小时的租费32元计费（不足一小时按一小时计费）． 根据以上信息，解决下列问题： (1)设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为元，租用乙公司的车所需费用为元，分别求出，关于x的函数关系式； (2)请你帮助小明通过计算说明选择哪家租车公司出游比较合算． 【答案】(1)， (2)当租车时间为5小时，选择甲乙公司一样合算；当租车时间小于5小时，选择乙公司合算；当租车时间大于5小时，选择甲公司合算 【分析】此题考查了一次函数的综合运用，解题关键是用待定系数法求出一次函数的解析式． （1）根据两家公司的费用计算方法求解即可； （2）结合两个一次函数解析式，分为三种情况：，，，分别求出对应x的值可判断哪个方案合算． 【详解】（1）解：根据题意，， 当时，， ∴，； （2）解：时，，选择乙公司比较合算， 时，，选择乙公司比较合算， 时，，选择乙公司比较合算； 当时， 当时，， 解得， 此时选择甲乙公司一样合算； 当时，且， 解得， 此时选择乙公司合算； 当时，， 解得， 此时选择甲公司合算； ∴当租车时间为5小时，选择甲乙公司一样合算；当租车时间小于5小时，选择乙公司合算；当租车时间大于5小时，选择甲公司合算． 2．某快递公司送货员每月的工资由底薪加计件工资两部分组成，计件工资与送货件数成正比例．有甲、乙两种薪资方案，如果送货量为x（件）时，方案甲的月工资是（元），方案乙的月工资是（元），其中计件工资部分，方案甲每送一件货物所得比方案乙高2元．如图所示，已知方案甲的每月底薪是1600元． (1)根据图中信息，分别求出和关于x的函数解析式；（不必写自变量的取值范围） (2)比较甲、乙两种薪资方案，如果你是应聘人员，你认为应该怎样选择方案？ 【答案】(1)； (2)当送货量小于200件时，，则选择乙方案； 当送货量为200件时，，则两种方案都可以； 当送货量大于200件时，，则选择甲方案 【分析】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求函数解析式： （1）由图可设关于x的函数解析式为，利用待定系数法求得，再根据每送一件货物，甲所得的工资比乙高2元，而每送一件货物，甲所得的工资是12元，则可得每送一件货物，乙所得的工资比乙高10元，则可设，利用待定系数法即可求解； （2）由图知，分三种情况：当送货量小于200件时，；当送货量为200件时，；当送货量大于200件时，，进而可求解； 熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：由图可设关于x的函数解析式为，将代入， 得：， 解得：， 关于x的函数解析式为； ∵每送一件货物，甲所得的工资比乙高2元，而每送一件货物，甲所得的工资是12元， ∴每送一件货物，乙所得的工资比乙高10元． 可设关于x的函数解析式为，将代入， 得：， 解得：， 关于x的函数解析式为． （2）由图知： 当送货量小于200件时，，则选择乙方案； 当送货量为200件时，，则两种方案都可以； 当送货量大于200件时，，则选择甲方案． 3．某种中性笔在甲、乙两家文具店的标价都是4元/支，在促销活动期间，两家文具店都进行了优惠活动． 甲文具店：购买不超过20支按原价销售，超过20支，则超出的部分按6折销售； 乙文具店：不论买多少，全部按八折销售． (1)分别写出在甲、乙两家文具店购买这种中性笔所付总费用、（元）与购买支数之间的函数表达式； (2)请你通过计算分析说明促销活动期间在哪家文具店购买划算？ 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】此题考查一次函数的应用，一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． （1）根据题意得出等量关系即可求解； （2）根据（1）中的函数表达式，分情况讨论，比较大小即可得到最省钱的购买方案． 【详解】（1）解：甲文具店： ； 乙文具店：． （2）当时，即 解得 ∴当时，在乙文具店购买划算； 当时，即 解得 ∴当时，在两个文具店花费一样多； 当时，即 解得 ∴当时，在甲文具店购买划算． 题型十六　最大利润问题 例题：新冠疫情期间，某工厂计划生产甲、乙两种防疫产品共2500吨，每生产1吨甲产品可获得利润0.3万元，每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元，设该工厂生产了甲产品x（吨），生产甲、乙两种产品获得的总利润为y（万元）． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)若每生产1吨甲产品需要A原料0.25吨，每生产1吨乙产品需要A原料0.5吨．受市场影响，该厂能获得的A原料至多为1000吨，其它原料充足．求出该工厂生产甲、乙两种防疫产品能获得的最大利润． 【答案】(1) (2)该工厂生产甲、乙两种防疫产品能获得的最大利润是900万元 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式和不等式，利用一次函数的性质求最值． （1）根据题意和题目中的数据，可以写出y与x之间的函数表达式； （2）根据该厂能获得的A原料至多为1000吨，可以列出相应的不等式，求出x的取值范围，再根据（1）中的函数解析式和一次函数的性质，可以求得该工厂生产甲、乙两种防疫产品能获得的最大利润． 【详解】（1）解：设该工厂生产了甲产品x吨，则生产了乙产品吨，则 ， 即y与x之间的函数表达式是； （2）解：∵该厂能获得的A原料至多为吨， ∴， 解得， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y取得最大值，此时， 答：该工厂生产甲、乙两种防疫产品能获得的最大利润是900万元． 巩固训练 1．某新能源汽车经销商购进紧凑和中级两种型号的新能源汽车，据了解3辆中级型汽车、2辆紧凑型汽车的进价共计104万元；2辆紧凑型汽车比3辆中级型汽车的进价少40万元． (1)求中级型和紧凑型汽车两种型号汽车的进货单价； (2)该店准备购进中级型和紧凑型汽车两种型号的新能源汽车100辆，已知中级型汽车的售价为27万元/辆，紧凑型汽车的售价为20万元/辆．根据销售经验，购中级型汽车的数量不低于25辆，设购进辆中级型汽车，100辆车全部售完获利万元，该经销商应购进中级型和紧凑型汽车各多少辆．才能使最大？最大为多少万元？ 【答案】(1)中级型汽车进货单价为元和紧凑型汽车进货单价为元 (2)该经销商应购进中级型汽车辆，紧凑型汽车辆时，最大为万元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，根据题意建立等量关系是解题的关键． （1）设中级型汽车进货单价为元和紧凑型汽车进货单价为元．根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）根据题意得出，，进而根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设中级型汽车进货单价为元和紧凑型汽车进货单价为元， 由题意得，， 解得， 答：中级型汽车进货单价为元和紧凑型汽车进货单价为元． （2）解：由题可得，， ， ， 随的增大而减小， 当时，有最大值为， 该经销商应购进中级型汽车辆，紧凑型汽车辆时，最大为万元． 2．某快递公司准备投入资金（万元）购买A、B两型自动分拣机器共10台，其中购进型机器台．下表是两种型号机器的相关信息： 型号 分拣速度 单价 A 1500件/小时 8万元/台 B 1200件/小时 6万元/台 (1)求关于的函数关系式； (2)若要使10台自动分拣机器每小时分拣快递件数达到13000件，该公司需要至少投入资金多少万元？ 【答案】(1) (2)68万元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式的应用： （1）根据投入资金等于购买A、B两型自动分拣机器的资金的总和，即可求解； （2）根据题意可得，从而得到x的最小值为4，再根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，y关于x的函数关系式为； （2）解：由题得：， 解得， ∵x为整数， ∴x的最小值为4， ∵在中，， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，y取得最小值，最小值为， ∴该公司至少需要投入资金68万元． 3．时代的到来，给人类生活带来很多的改变．某营业厅现有、两种型号的手机，进价和售价如表所示： 进价（元/部） 售价（元/部） A 3000 3400 B 3500 4000 (1)若该营业厅卖出70台A型号手机，30台B型号手机，可获利_______元； (2)若该营业厅购进A、B两种型号手机共30台，其中B型号手机的数量不多于A型号手机数量的2倍，请设计一个购买方案：营业厅购进两种型号的手机各多少台时获得最大利润，求最大利润是多少? 【答案】(1)43000 (2)营业厅购进A型手机10台，B型手机20台时，获得最大利润14000元 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意，根据题意列出关系式． （1）根据利润售价进价，求出结果即可； （2）设营业厅购进A型手机x台，B型手机台， 【详解】（1）解：（元）， 即卖出70台A型号手机，30台B型号手机，可获利43000元． （2）解：设营业厅购进A型手机x台，B型手机台，获得利润y元，根据题意得： ， ∵B型号手机的数量不多于A型号手机数量的2倍， ∴， 解得：， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值，且最大值为： （元）， ∴营业厅购进A型手机10台，B型手机20台时，获得最大利润14000元． 题型十七　行程问题 例题：一只小动物爬行到离家15米外的O地后立即折返回家，它离家的距离y（单位：米）和时间x（单位：分钟）之间的关系如图所示，根据函数图象解答下列问题： (1)这只动物折返回家时速度是______米/分钟； (2)分别求出折线OA，AB所对应的函数关系式； (3)当这只小动物离家10米远时，它离家的时间是多少分钟？ 【答案】(1) (2)OA的函数关系式为y1＝5x（0≤x≤3），AB的函数关系式为 (3)当这只小动物离家10米远时，它离家的时间是2分钟或6分钟 【分析】（1） 根据路程除以时间即可得到速度； （2）根据待定系数法求函数解析式； （3）将代入即可得到时间 【详解】（1）这只动物折返回家时速度是米/分钟； 故答案为； （2）解：设的函数关系式为， ∵经过点， ∴． 解得． ∴的函数关系式为． 设的函数关系式为， ∵经过点 ∴解得 ∴AB的函数关系式为； （3）当时，；当时，． ∴当这只小动物离家10米远时，它离家的时间是2分钟或6分钟． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，根据题意确定相关点的坐标、求出直线的解析式成为解答本题的关键． 巩固训练 1．某地出租车计费方法如图所示，表示行驶里程，y（元）表示车费，请根据图象回答下面的问题： (1)当时，求y关于x的函数关系式； (2)若某乘客一次乘出租车的车费为40元，求这位乘客乘车的里程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时理解函数图象是重点，求出函数的解析式是关键． （1）设当时，y与x的函数关系式为，运用待定系数法就可以求出结论； （2）将代入（1）的解析式就可以求出x的值． 【详解】（1）解：由图象知，y与x的图象为一次函数，并且经过点，， 所以设y与x的关系式为， 则有：， 解得，， ∴ （2）解：由题意，该乘客乘车里程超过了， 则， 解得． 答：这位乘客乘车的里程为． 2．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系如图所示． (1)求乙车离开A城的距离与时间的函数关系式；（不用写自变量取值范围） (2)求两车相遇时甲车行驶的时间． 【答案】(1) (2)甲出发2.5小时，两车相遇 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意求得解析式是解题的关键． （1）设直线乙的函数解析式为，待定系数法求解析式即可求解； （2）求出甲对应的函数解析式，联立两直线，求的交点坐标即可求解． 【详解】（1）设乙车离开A城的距离与时间之间的函数关系式为， 由题意得：， 解得：， ∴乙车离开A城的距离与时间之间的函数关系式为：； （2）设甲对应的函数解析式为：，则， 解得：， 即甲对应的函数解析式为：， 由题意可得，， 解得， ∴甲出发2.5小时，两车相遇． 3．蓄电池发展水平是制约新能源汽车发展的关键要素．小明爸爸根据自家电动汽车仪表显示，感觉蓄电池充满电后，用前半部分电量所行驶的路程，总要比用后半部分电量行驶的路程更远一些．于是小明细心观察了充满电后汽车的行驶情况，并将蓄电池剩余电量（千瓦时）和已行驶路程（千米）的相关数据，用函数图象表示如下． (1)电池充满电时的电量为______千瓦时； (2)求所对应的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)在电量允许的情况下，如果在某段连续行驶时间里，汽车消耗了10千瓦时的电量，直接写出这段时间连续行驶路程的取值范围． 【答案】(1)60 (2) (3) 【分析】本题考查一次函数的应用． （1）观察图象可直接得出答案； （2）设所对应的函数关系式为，将代入，用待定系数法求解即可； （3）分别求出在段消耗了10千瓦时的电量时和在段消耗了10千瓦时的电量时对应的路程即可． 【详解】（1）解：由图可知，电池充满电时的电量为60千瓦时， 故答案为：60； （2）设所对应的函数关系式为，将代入得 解得 ； （3）当在段消耗了10千瓦时的电量时， (千米) 当在段消耗了10千瓦时的电量时， （千米） ． 题型十八　一次函数与几何综合 例题：如图，直线交轴和轴于点和点，点在轴上，连接，点为直线上一动点． (1)求直线的解析式； (2)若，求点的坐标； (3)当时，求直线的解析式． 【答案】(1) (2)或； (3)或 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质等知识 （1）先求出点，点坐标，利用待定系数法可求解析式； （2）设点，分两种情况讨论，利用面积关系列出方程可求的值，即可求解； （3）分两种情况讨论，由可证，可得，可求点坐标，利用待定系数法可求解析式，联立方程组可求点坐标，由两点距离公式可求解． 【详解】（1）∵直线交x轴和y轴于点A和点C， 当时，，当时， ∴点，点， 设直线的解析式为，代入， 由题意可得：， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）∵，，， ∴， ∴， 设点， 当点P在线段上时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点； 当点P在的延长线上时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点， 综上所述： 或； （3）如图，当点在线段上时，设与交于点， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点坐标为， 设直线解析式， 由题意可得， 解得：， ∴直线解析式为， 当点在延长线上时，设 与x轴交于点， 同理可求直线解析式为， 综上所述：的解析式为：或． 巩固训练 1．已知一次函数，函数图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)根据表达式画出函数的图象； (2)求出图象与坐标轴所围成图形的面积； (3)在坐标轴上有一点C，使得，直接写出C的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)1 (3)或或 【分析】（1）求出函数的图象与x轴交点，与y轴交点，再过A，B画直线即可； （2）又三角形面积公式列式计算即可； （3）分当C在y轴上和当C在x轴上列方程可解得答案． 本题考查一次函数图象及性质，一次函数与几何应用，勾股定理，解题的关键是掌握一次函数图象上点坐标的特征． 【详解】（1）解：依题意，令， ∴ ∴； 令， ∴； 则函数的图象经过和；画出函数的图象如下： （2）解：由（1）知，函数的图象与坐标轴所围成图形是三角形， 函数的图象与x轴交点，与y轴交点 ∴ ∴函数图象与坐标轴所围成图形的面积为1； （3）依题意，∵， ∴ 当C在y轴上时， 设 则 解得或（与B重合，舍去）， 当C在x轴上时， ∴设 则 解得 ∴的坐标为 综上：的坐标或或 2．如图，在平面直角坐标系中，直线，点的坐标分别为，． (1)直线与线段有公共点，则的取值范围是_______； (2)若点的坐标为，直线与的边有公共点，则的取值范围是_______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）将点的坐标分别代入到，即可求得的取值范围； （2）将点的坐标分别代入到，即可求得的取值范围； 【详解】（1）解：点的坐标分别为，， 当直线经过点时，， 则； 当直线经过点时，， 则． 直线与线段有公共点时，的取值范围是， 故答案为：． （2）解：点的坐标分别为，， 当直线经过点时，， 则； 当直线经过点时，， 则； 当直线经过点时，， 则； 直线与有公共点时，的取值范围是， 故答案为：． 3．一次函数的图象经过，两点． (1)求此一次函数的解析式； (2)若一次函数与x轴交于C点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求直线的解析式； （2）先求出直线与轴的交点坐标，然后通过计算两个三角形的面积和得到的面积． 本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设；将自变量的值及与它对应的函数值的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 【详解】（1）解：依题意， 把，代入得到， 解得， 所以直线的解析式为； （2）解：把代入得， 解得， 直线与轴的交点为，， ∴的面积． 题型十九　一次函数与物理综合 例题：物理课上小明在探究弹簧测力计的“弹簧的长度与受到的拉力之间的关系”时，通过实验，发现在弹性限度内，弹簧的长度与它受到的拉力满足如图所示的一次函数关系． (1)求弹簧的长度y与它受到的拉力x的函数表达式； (2)当弹簧受到的拉力为时，求弹簧的长度． 【答案】(1) (2)当弹簧受到的拉力为时，弹簧的长度为 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是利用待定系数法求出一次函数表达式． （1）根据图中点的坐标，利用待定系数法，可求出弹簧的长度与它受到的拉力的函数表达式； （2）代入，求出值即可． 【详解】（1）解：设弹簧的长度与它受到的拉力的函数表达式为， 将点，代入得：， 解得：， ． 弹簧的长度与它受到的拉力的函数表达式为； （2）解：当时，， 当弹簧受到的拉力为时，弹簧的长度为． 巩固训练 1．小美在阅读物理课外书时，了解到在弹性限度内，弹簧的长度与所挂物体质量之间满足一次函数关系．她通过实验验证了这个事实，部分测量结果如表所示： 所挂物体质量 0 1 2 3 … 弹簧的长度 7 7.5 8 8.5 … (1)根据所测量的数据，求该弹簧的长度与所挂物体质量之间的函数关系式； (2)小美的妈妈在市场买了一些水果，小美将该水果放在袋中（袋子的质量忽略不计）挂到该弹簧下（在弹性限度内），并测得弹簧的长度为．请你计算出小美的妈妈购买水果的质量． 【答案】(1) (2)小美的妈妈购买水果的质量为 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的列出函数解析式，是解题的关键． （1）根据表格数据写出函数关系式即可； （2）将代入（1）中解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：由表格可知，所挂质量每增加，弹簧伸长， ∴； （2）当时，， 解得：； ∴小美的妈妈购买水果的质量为． 2．小菲在研究物理学科中的拉力和重力的关系时，利用滑轮组及相关器材进行实验，她把得到的拉力和所悬挂物体的重力的几组数据用电脑绘制成如图所示的图像（不计绳重和摩擦），请你根据图像求： (1)拉力和重力之间的函数解析式； (2)当拉力为时，所悬挂物体的重力为多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，利用待定系数法解得函数解析式是解题关键． （1）设拉力和重力之间的函数解析式为，利用待定系数法解得函数解析式即可； （2）将代入函数解析式，求解即可获得答案． 【详解】（1）解：设拉力和重力之间的函数解析式为， 将点代入， 可得，解得， ∴拉力和重力之间的函数解析式为； （2）当拉力为时， 可有，解得， ∴当拉力为时，所悬挂物体的重力为． 3．小南在阅读物理课外书时，了解到在弹性限度内，弹簧的长度与所挂物体质量之间满足一次函数关系．他通过实验验证了这个事实，他的测量结果如下表所示： 所挂物体质量 0 1 2 3 弹簧的长度 3 4 5 6 (1)根据所测量的数据，求该弹簧的长度y（）与所挂物体质量x（）之间的函数关系式 (2)小南妈妈在市场买了水果，小南将该水果放在袋中（袋子的质量忽略不计）挂到该弹簧下（在弹性限度内），并测得弹簧的长度为．请你通过计算帮助小南确定该市场老板的称是否足称． 【答案】(1)； (2)该市场老板的称足称． 【分析】（1）设与的函数关系式为，用待定系数法求解即可； （2）将代入（1）中的关系式，求出的值，即可得解． 【详解】（1）设弹簧的长度与所挂物体质量之间的函数关系式为，将，代入得， ， 解得， ∴； （2）将代入得， ， 解得， ∵， ∴该市场老板的称足称． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握待定系数法求函数解析式． 题型二十　一次函数中旋转问题 例题：已知直线与轴交于点，与轴交于点． (1)将直线绕原点旋转后，所得直线的函数解析式为_______； (2)若直线经过点，且，求直线的函数解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的性质、一次函数图象与几何变换，待定系数法求解析式，全等三角形的判定与性质等，求得交点坐标是本题的关键． （1）先求出点的坐标及点的坐标，将两点绕原点旋转后得到的点的坐标分别为，设直线绕原点旋转后，所得直线的函数解析式为，即可求得直线的解析式； （2）设直线交轴于点，交轴于点，于点，先证明，求得点的坐标为，再利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：令，则0，解得 ， 令，则 ， 将两点绕原点旋转后得到的点的坐标分别为， 设直线绕原点旋转后，所得直线的函数解析式为， 将代入得 解得 直线绕原点旋转后，所得直线的函数解析式为． 故答案为：； （2）解：如图，设直线交轴于点，交轴于点，于点， 则点的坐标为， ． ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， 点的坐标为， 设直线的函数解析式为， 将代入得 解得 直线的函数解析式为． 巩固训练 1．如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，将绕点O逆时针方向旋转后得到． (1)填空：点C的坐标是（ ___________，___________），点D的坐标是（ ___________，___________）； (2)设直线与交于点M，求点M坐标； (3)在y轴上是否存在点P，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)0，1；，0 (2) (3)、、、 【分析】根据已知求得点A和B，结合旋转得点C和D的坐标； 结合点C和点D的坐标利用待定系数法求得直线的解析式，联立即可求得点M； 分两种情况讨论：①以为腰时，②以为底时，分别对应求得点P即可． 【详解】（1）解：， 当时，， 当时， ∴，， ∵将绕点O逆时针方向旋转后得到， ∴，， ∴点C的坐标是，点D的坐标是； 故答案为：0，1；，0； （2）设直线的解析式为，把点C的坐标是，点D的坐标是代入解析式得： ，解得：， ∴直线的解析式为：， 联立方程得：，解得， ∴； （3）存在，分两种情况讨论： ①以为腰时， ∵，又点P在y轴上，且， 此时满足条件的点P有两个，如图， 它们是、， 过点M作轴于点E，如图， ∵，， ∴， ∴， 此时满足条件的点P有一个，它是； ②以为底时，作的垂直平分线，分别交y轴、于点P、F，如图， 设点， ∵， ∴，解得， 则． 此时满足条件的点P有一个，它是， 综上所述，符合条件的点P有四个， 它们是：、、、． 答：存在，所有满足条件的点P的坐标是、、、． 【点睛】本题主要考查一次函数的性质，涉及待定系数法求解析式、解二元一次方程组、旋转的性质、平行线所截线段成比例、解一元一次方程、勾股定理和等腰三角形的性质，解题的关键是分类讨论的应用． 2．规定：在平面直角坐标系内，某直线绕原点顺时针旋转，得到的直线称为的“旋转垂线”． (1)求出直线的“旋转垂线”的解析式； (2)若直线的“旋转垂线”为直线．求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）直线经过点和，这两点绕原点顺时针旋转，得到的对应点为和，这两点在的“旋转垂线”上，利用待定系数法求解析式即可； （2）直线经过点，和，这两点绕原点顺时针旋转，得到的对应点为和，这两点在 上，代入求解即可． 【详解】（1）直线经过点和， 则这两点绕原点顺时针旋转，得到的对应点为和， 设直线的“旋转垂线”的解析式为， 把和，代入，可得： ，解得， 直线的“旋转垂线”的解析式为； （2）证明：直线经过点，和， 则这两点绕原点顺时针旋转，得到的对应点为和， 把和，代入，可得 ， ， ． 【点睛】本题考查一次函数图象的旋转．理解题目中给出的定义，掌握直线上点的旋转点在旋转垂线上是解题的关键． 3．【模型建立】 如图1，等腰中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：． 【模型应用】 （1）如图2，在图1中建立平面直角坐标系，使点E与坐标原点O重合，和所在直线分别为x轴、y轴，若，，请解答下列问题： ①点C的坐标是________，点A的坐标是________； ②在x轴上存在点M，使得以O，A，B，M为顶点的四边形的面积为4，请直接写出点M的坐标：________； （2）如图3，已知直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线绕点B旋转至直线，求直线的函数表达式． 【答案】模型建立：见解析；模型应用：（1）①，；②或；（2） 【分析】（1）利用证明即可； （2）①根据即可得到点C的坐标，根据全等三角形的性质即可得到，，从而得到，即可得到点A的坐标； ②分M在原点右侧和在原点左侧两种情况讨论求解即可； （3）过点A作交于点C，过点C作轴，求出，，然后证明出，，，求出，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】模型建立：解：①∵，， ∴ ∵， ∴， 又∵， ∴； （1）解：①∵，，， ∴，， ∴点C的坐标为， ∴， ∴点A的坐标为； ②如图所示，当M在原点右边时，连接，，以O、A、B、M为顶点的四边形的面积为S， ∴ ∴， ∴点M的坐标为； 如图所示，当点M在原点左侧时，连接，， ∴ ， ∴， ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或； （2）如图所示，过点A作交于点C，过点C作轴 ∵直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴当时， ∴ ∴ 当时， 解得 ∴ ∴， ∵将直线绕点B旋转至直线， ∴ ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴设直线表达式为 ∴ 解得 ∴设直线表达式为． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质和判定，坐标与图形等等，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． 题型二十一　一次函数中最值问题 例题：如图，已知A，B两点的坐标分别为，，动点P从原点O出发在x轴上运动． (1)P点运动到什么位置时离A点最近？写出P点的坐标． (2)P点运动到什么位置时，的值最小，最小值是多少？ (3)P点运动到什么位置时，的值最大，最大值是多少？ 【答案】(1)P点运动到时距离A点最近 (2)见解析， (3)见解析， 【分析】本题考查了垂线段的性质、坐标与图形—轴对称变换、勾股定理、一次函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据垂线段的性质即可得出答案； （2）作B点关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，此时最小，则，过A作x轴的垂线，过作x轴的平行线，交点为点C，则，再由勾股定理计算即可得出答案； （3）连接并延长，交x轴于点，则当P在点位置时最大，待定系数法求出直线解析式，得出，最后再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】（1）解：由垂线段最短可得：P点运动到时距离A点最近； （2）解：作B点关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，此时最小， ， 过A作x轴的垂线，过作x轴的平行线，交点为点C ，， 最小值为， （3）解：连接并延长，交x轴于点， ， ∵三角形任意两之差小于第三边， ∴当P在点位置时最大， 设直线的函数关系式为：， ，， ， ， ， 当时，，解得， ， ， 最大值为． 巩固训练 1．如图，一次函数与函数的图像交于，两点，轴于，轴于． (1)求的值； (2)连接，，求的面积； (3)在轴上找一点，连接，，使周长最小，求点坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由一次函数解析式求得，的坐标，然后利用待定系数法即可求得的值； （2）如图所示（见详解），由一次函数解析式求得与x轴的交点M的坐标，然后根据即可求得； （3）作点关于轴的对称点，连接与轴的交点即为所求． 【详解】（1）解：∵一次函数与函数的图像交于，两点， ∴，，解得，， ∴点，，代入反比例函数得，， ∴． （2）解：如图所示， 设一次函数图像与轴的交点为， 在一次函数中，令，则， ∴，且，， ∴． （3）解：已知，，则点关于轴的对称点的坐标， 如图所示，，则的周长为， 设直线的解析式为， 将点、代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 当时，则，解方程得，， ∴点P的坐标为． 【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题、三角形面积，轴对称中最短路线问题，灵活运用待定系数法求出函数解析式、正确作出点关于轴的对称点是解题的关键． 2．如图，在直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，在y轴上取一点C，，连接． (1)求点C的坐标和直线的表达式； (2)在线段上取一点D，若点D的横坐标为2，请你在x轴上找一点P，使得的值最小，并求出此时点P的坐标． 【答案】(1)， (2)点P的坐标为 【分析】（1）先求出点A，B的坐标，可得，，然后设，则，在中，根据勾股定理，可求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线的表达式，即可求解； （2）作点C关于x轴的对称点，则，求出直线的表达式，即可求解． 【详解】（1）解：把代入得：， ∴ 把代入得：， ∴， ∴，， 设，则， 在中，， 即， 解得， ∴， 设直线的表达式为， 把代入得， ∴， ∴直线的表达式为； （2）解：作点C关于x轴的对称点，则； 把代入得：， ∴， 设直线的表达式为， 把代入得， ∴， ∴直线的表达式为， 将代入得， ∴点P的坐标为． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，勾股定理，熟练掌握一次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键． 3．如图，点C为x轴上一动点，点A的坐标，点E的坐标，作轴，连接、． (1)设，试用含x的代数式表示______；______ (2)试求当的长度最小时点的坐标； (3)根据前面的启发，请构图求出代数式的最小值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查一次函数与勾股定理的几何综合题，熟练掌握待定系数法求解析式和勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理即可求得答案； （2）连接，交轴于点，此时三点共线，的长度最小，求得直线的解析式，令即可得到点的坐标； （3）根据画出图形，利用勾股定理即可求得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴由勾股定理可得：，； （2）解：连接，交轴于点，如图所示： 当三点共线，的长度最小， 设直线的解析式为：， ∵，， ∴ 解得： ∴直线的解析式为：， 令，， ∴； （3）解：设，，，根据题意构图得： 由图可得：，， 当三点共线，有最小值，即的长， 延长作于点， ∴由勾股定理可得：， ∴代数式的最小值为． 题型二十二　一次函数综合 例题：如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点．与y轴交于点B且与正比例函数的图象的交点为． (1)一次函数的表达式； (2)求的面积 (3)在y轴上是否存在一点P．使为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)一次函数解析式为 (2)3 (3)点P的坐标为或或或 【分析】本题主要考查待定系数法求一次函数、等腰三角形的判定和性质，学会分类讨论的数学思想是正确解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）由的面积，即可求解； （3）分三种情形讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过，， ∴， ∴， ∴一次函数解析式为； （2）解：对于一次函数的表达式， 当时，， ∴， ∴， 则的面积； （3）解：存在，理由如下： 设点， 由点的坐标得：， 当时，则，则， ∴点的坐标为或； 当时，则， 解得，， ∴点的坐标为， 当时，则， 解得：（舍去）或8， ∴点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或或或． 巩固训练 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，与y轴交于点，与x轴交于点C． (1)求直线的函数表达式； (2)在y轴上存在一点P，使得，求出点P的坐标； (3)点E为线段上的动点，过点E作x轴的垂线，交于点F，点H为y轴上一动点，且为等腰直角三角形，直接写出满足条件的点E的坐标． 【答案】(1) (2)P点坐标 (3) 【分析】（1）先求点A坐标，再用待定系数法求函数解析式； （2）令，求出点的坐标，设，根据，即可求出答案； （3）由于直角不确定，需分类讨论，得到与的横坐标的关系．列得方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点在直线：上， ∴，即， ∵直线：过点，点， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为：； （2）解：∵直线的函数表达式为：； ∴当时，， 解得：， ∴， 设， ∵， ∴， ∴，解得， ∴点的坐标为或； （3）解：设，则， ∴， ①如图，若，，过点作于， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴或（不符合题意舍去）， ∴， ②如图，若或， ∵或， 则， ∴， ∴或（不符合题意舍去）， ∴， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次方程的解法，三角形面积，等腰直角三角形，利用数形结合，分类讨论思想是解题的关键． 2．如图，直线过点，且与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数表达式及点的坐标； (2)如图，作直线，点P在直线上，当的面积为面积的倍时，求点的坐标； (3)如图，点为第二象限内的一点，连接，以为边在的左侧作等边，当，时，求线段的长． 【答案】(1)，； (2)或； (3) 【分析】（）由待定系数法求出函数表达式，进而求解； （）取，过点作直线，则的面积为面积的倍，在的上方取，过点作，则此时的面积为 面积的倍，即可求解； （）证明，得到，则，则 ，即可求解． 【详解】（1）解：设的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：，则， 则直线的表达式为：， 令，则，即点； （2）解：由点的坐标得，直线的表达式为：， 取，过点作直线， 则的面积为面积的倍，则点， 则直线的表达式为：， 在的上方取，过点作， 则此时的面积为面积的倍，则点， 则直线的表达式为：， 分别将和的表达式和联立得：或， 解得：或， 则点或； （3）解：在上截取，连接，作轴于点，设交于点， ∵，则为等边三角形， ∵为等边三角形，则， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 则，，， 则， ∵，， ∴， 则，则， 则，则， 则． 【点睛】本题考查了一次函数性质，三角形全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行线的性质，面积的计算，掌握知识点的应用和分类求解是解题的关键． 3．如图，平面直角坐标系中，直线：交y轴于点，交x轴于点B． (1)求直线的表达式和点B的坐标； (2)直线l垂直平分交于点D，交x轴于点E，点P是直线l上一动点，且在点D的上方，设点P的纵坐标为n． ①用含n的代数式表示的面积； ②当时，求点P的坐标； ③在②的条件下，在坐标轴上，是否存在一点Q，使得与面积相等？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，点的坐标为 (2)①；②；③的坐标为或或． 【分析】本题考查了一次函数的图象及性质，垂直平分线的性质等，熟练掌握一次函数的图象及性质，垂直平分线的性质及其应用是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解解析式，再求解B的坐标即可； （）由的长度结合直线的垂直平分，可求出，的长度，利用一次函数解析式求出点坐标，进而用含的式子表示点坐标，再利用面积公式即可求解； ②由①的结论，再建立方程求解即可； ③分点在轴和轴两种情况考虑，利用三角形面积即可求出点坐标； 【详解】（1）解：∵直线：交轴于点， ∴， ∴直线的表达式为， 当时，， ∴点的坐标为， （2）解：∵直线垂直平分，， ∴， 当时，， ∴点的坐标为， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ②∵， ∴， 解得：， ∴点； ③当点在轴上时，设其坐标为， ∵， ∴或， ∴点的坐标为或； 当点在轴上时，设其坐标为， ∵， ∴或， ∴点的坐标为或， 综上所述：在坐标轴上，存在一点，使得与面积相等，且点的坐标为或或． 试卷第42页，共43页 7 / 108 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十章 一次函数知识归纳与题型突破（22类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点1：函数 一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量 与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量，是的函数. 是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值. 函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图象法. 1. 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量称之为常量。 2. 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。如果当x=a时，y=b，那么b�叫做当自变量的值为a时的函数值。 3. 一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。 画函数图像的步骤： 第一步：列表。在自变量取值范围内选定一些值，通过函数关系式求出对应函数值列成表格。 第二步：描点。在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数值为纵坐标，描出表中对应各点。 第三步：连线。按照坐标由小到大的顺序把所有点用平滑曲线连结起来。 知识点2：一次函数的概念 一般地，形如（，是常数，≠0）的函数，叫做一次函数. 要点诠释：当＝0时，即，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数，的要求，一次函数也被称为线性函数. 一次函数有三种表示方法，如下： 1、解析式法 用含自变量x的式子表示函数的方法叫做解析式法。 2、列表法 把一系列x的值对应的函数值y列成一个表来表示的函数关系的方法叫做列表法。 3、图像法 用图象来表示函数关系的方法叫做图象法。 知识点3：一次函数的图像与性质 1.函数（、为常数，且≠0）的图象是一条直线 ； 当＞0时，直线是由直线向上平移个单位长度得到的； 当＜0时，直线是由直线向下平移||个单位长度得到的. 2.一次函数（、为常数，且≠0）的图象与性质： 3. 、对一次函数的图象和性质的影响： 决定直线从左向右的趋势，决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限． 4. 两条直线：和：的位置关系可由其系数确定： （1）与相交； （2），且与平行； 直线y=kx+b的图象和性质与k、b的关系如下表所示： k>0，b>0：经过第一、二、三象限 k>0，b<0：经过第一、三、四象限 k>0，b=0：经过第一、三象限（经过原点） 结论：k>0时，图象从左到右上升，y随x的增大而增大。 k<0，b>0：经过第一、二、四象限 k<0，b<0：经过第二、三、四象限 k<0，b=0：经过第二、四象限（经过原点） 结论：k<0时，图象从左到右下降，y随x的增大而减小。 总结： 1、y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k。 即：y=kx+b（k≠0）（k不等于0，且k，b为常数）。 2、当x=0时，b为函数在y轴上的交点，坐标为（0，b）。 当y=0时，该函数图象在x轴上的交点坐标为（-b/k，0）。 3、当b=0时（即y=kx），一次函数图象变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。 4、函数图象性质：当k相同，且b不相等，图像平行； 当k不同，且b相等，图象相交于Y轴； 当k互为负倒数时，两直线垂直。 5、平移时：上加下减在末尾，左加右减在中间。 知识点4：待定系数法求一次函数解析式 一次函数（，是常数，≠0）中有两个待定系数，，需要两个独立条件确定两个关于，的方程，这两个条件通常为两个点或两对，的值. 要点诠释：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数中有和两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以和为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式. 分段函数 对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的解析式表示，因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数.解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围，分段考虑问题. 要点诠释：对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围.在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围. 知识点5：一次函数与方程 用函数的观点看方程、方程组、不等式　 方程（组）、不等式问题 函 数 问 题 从“数”的角度看 从“形”的角度看 求关于、的一元一次方程＝0（≠0）的解 为何值时，函数的值为0？ 确定直线与轴（即直线＝0）交点的横坐标 求关于、的二元一次方程组的解． 为何值时，函数与函数的值相等？ 确定直线与直线的交点的坐标 求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集 为何值时，函数的值大于0？ 确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围 一次函数与一元一次方程的关系 一次函数（≠0，为常数）.当函数＝0时，就得到了一元一次方程，此时自变量的值就是方程＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 　　从图象上看，这相当于已知直线（≠0，为常数），确定它与轴交点的横坐标的值. 一次函数与二元一次方程组 每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 要点诠释： 　　1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数与图象的交点为(3，－2)，则就是二元一次方程组的解. 　　2.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组无解，则一次函数与的图象就平行，反之也成立. 　　3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立. 方程组解的几何意义 1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标． 2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解情况： 根据交点的个数，看出方程组的解的个数； 根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解． 3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数． 知识点6：一次函数与一元一次不等式 由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. 要点诠释：求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，从“数”的角度看，就是为何值时，函数的值大于0？从“形”的角度看，确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围. （≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围． 知识点7：一次函数的平移 将函数向上平移n格，函数解析式为y=kx+b+n，将函数向下平移n格，函数解析式为y=kx+b-n，将函数向左平移n格，函数解析式为y=k（x+n）+b，将函数向右平移n格，函数解析式为y=k（x-n）+b。 平移时：上加下减在末尾，左加右减在中间 03 题型归纳 题型一　根据一次函数的定义求参数 例题：已知函数． (1)若该函数是一次函数，求k的取值范围． (2)若该函数是正比例函数，求k的值． 巩固训练 1．已知是一次函数，则m的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 2．若是一次函数，则的值等于（） A． B． C．或 D． 3．已知是关于的一次函数，则 ． 4．当 时，函数是正比例函数；当 时，函数是一次函数． 5．已知一次函数． (1)为何值时，它的图象经过原点； (2)为何值时，它的图象经过点． 题型二　求一次函数自变量或函数值 例题：已知函数是关于的一次函数，则为何值时，的值为2？ 巩固训练 1．下列各点中在函数的图象上的点是（   ） A． B． C． D． 2．已知点是一次函数图象上不同的两点，若，则（    ） A． B． C． D． 3．点在一次函数的图象上，则 ． 4．若一次函数的图象上有两点，点，若，则 ． 5．已知y与成正比例，且时， (1)求y关于x的函数表达式； (2)当时，求y的值． 题型三　判断一次函数的图象 例题：如图，两个不同的一次函数与的图象在同一平面直角坐标系内的位置可能是（　　） A． B． C． D． 巩固训练 1．一次函数的图象可能为（   ） A． B． C． D． 2．已知直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   3．若关于的方程的解为，则的图象一定经过点 ． 4．若式子＋（k﹣1）0有意义，则一次函数y＝（k﹣1）x＋1﹣k的图象可能是 ．（填字母代号）    A.B.C.D. 5．下列图象中，表示一次函数的有哪些？ 题型四　求一次函数的解析式 例题：一次函数的图象经过点和点． (1)求出该一次函数的解析式； (2)并求该图象与x轴的交点A的坐标，与y轴的交点B的坐标． 巩固训练 1．直线经过点，则该直线的解析式是（    ） A． B． C． D． 2．若点，点是一次函数图象上的两点，则k的值为（   ） A． B．2 C． D． 3．已知，当时，，当时，，则 ， ． 4．写出同时具备下列两个条件的一次函数解析式： ． ①y随x的增大而减小；②函数图象经过点． 5．已知一次函数的图象过点和点，求这个一次函数的解析式． 题型五　已知函数经过的象限求参数范围 例题：已知一次函数． (1)当m、n为何值时，其图象经过原点； (2)当m、n为何值时，其图象不经过第二象限． 巩固训练 1．已知一次函数的图象如图所示，则k，b的取值范围是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．若直线经过第一、二、四象限，则，的取值范围是（　　） A．， B．， C．， D．， 3．直线不经过第一象限，则的取值范围是 ． 4．已知一次函数的图象不经过第三象限，则m的取值范围是 ． 5．已知一次函数，若该函数图象经过第一、二、四象限，求k的取值范围． 题型六　一次函数图象与坐标轴的交点问题 例题：如图，已知一次函数与正比例函数图像相交于点A，与x轴交于点B． (1)求点A的坐标； (2)求的面积． 巩固训练 1．已知函数，若函数图象经过原点，则的值是（　　） A． B． C． D． 2．直线与y轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 3．若一次函数的图像经过原点，则 ． 4．直线与x轴的交点坐标为，则的解为 ． 5．在平面直角坐标系中，直线的图象如图所示，它与直线的图象都经过，且两直线与轴分别交于两点． (1)在如图的平面直角坐标系中，画出一次函数的图象； (2)直接写出两点的坐标． 题型七　一次函数图象平移问题 例题：已知正比例函数的图象向下平移3个单位长度后，经过点，求点P的坐标． 巩固训练 1．把直线向右平移3个单位长度，则平移后直线为（   ） A． B． C． D． 2．如图，直线与y轴交于点A，点在直线上，将直线向上平移个单位长度得到直线，直线与y轴点，若的面积为，则的值为（     ） A．2 B．3 C．6 D．4 3．一次函数图像与直线平行，且经过，则函数表达式是 ． 4．一次函数的图象不经过第三象限，现将该函数图象向下平移个单位，使其不经过第一象限，则m的取值范围为 ． 5．在直角坐标中，直线与平行，且经过点，将直线向上平移3个单位，得到直线 (1)求这两条直线的解析式； (2)如果直线与x轴、y轴分别交于点A，B，求的面积． 题型八　一次函数与方程 例题：已知一次函数y＝﹣x+2． (1)求该直线与坐标轴的交点坐标； (2)画出一次函数的图象； (3)由图可知，若方程﹣x+2＝0，则方程的解为 ． 巩固训练 1．一次函数中，与的部分对应值如下表： 那么一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 2．一次函数的图象与轴交于点，则关于的方程的解为（    ） A． B． C． D． 3．如图，直线分别与x的负半轴和y的正半轴交于点A和点B，若，，则关于x的方程的解为 ．    4．已知一次函数（是常数），x与y的部分对应值如下表： x 0 1 2 y 0 2 4 6 则关于x的方程的解为 ． 5．如图，一次函数的图象为直线，求关于的方程的解．    题型九　一次函数与不等式 例题：如图，根据图中信息回答下列问题：    (1)关于的不等式的解集是______； (2)关于的不等式的解集是______； (3)当时，的取值范围是______． 巩固训练 1．如图，直线与坐标轴交于两点，则时，x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知正比例函数与一次函数的图象交于点P，下面结论正确的是（    ） A． B．当时， C．当时， D．当时， 3．的图象如图所示，关于x的不等式的解集是 ． 4．如图，直线与分别交x轴于点，，则不等式的解集为 ． 5．画出函数的图象，利用图象： (1)求方程的解； (2)求不等式的解集； (3)若，求x的取值范围． 题型十　求直线围成的图形面积 例题：如图，直线与轴交于点A，与轴于点．    (1)求A，两点的坐标； (2)过点作直线与轴交于点，且，求的面积． 巩固训练 1．如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象交于点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 2．如图，将直线向下平移8个单位长度后，与直线及x轴围成的的面积是（    ） A．25 B．28 C．30 D．35 3．直线，与轴所围成的图形的面积是 ． 4．在平面直角坐标系中，，，，则三角形的面积为 ，如果在y轴上存在一点P，使得的面积与的面积相等，则点P的坐标为 ． 5．如图，直线：与x轴、y轴交于点A、B，直线：分别与x轴y轴交于、，直线与相交于点P． (1)求点P的坐标； (2)求的面积． 题型十一　一次函数的增减性 例题：已知一次函数． (1)求为何值时，函数的图象过原点； (2)求为何值时，随的增大而增大； 巩固训练 1．若正比例函数（a为常数）的y值随x值的增大而增大，则a的值可以是（） A． B． C．2 D．4 2．已知一次函数，若随的增大而减小，则的值可以是（   ） A． B． C．0 D．2 3．已知一次函数的图象上两点，，当时，有，那么的取值范围是 ． 4．已知一次函数为常数，且．若当有最大值，则的值为 ． 5．（1）已知关于的一次函数的图象与轴的交点在轴的上方，且随的增大而减小，求的取值范围． （2）已知函数是正比例函数，且随的增大而增大，求的取值范围． 题型十二　比较一次函数值的大小 例题：已知一次函数的图象经过点． (1)求该一次函数的解析式； (2)已知点，在一次函数的图象上，且，直接写出，的大小关系_____________． 巩固训练 1．已知点，，都在一次函数的图象上，若，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 2．已知点，，都在直线上，则，，的值的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．已知，是一次函数图象上的两个点，则 （填“>”“<”或“=”）． 4．若点和点是一次函数的图象上的两点，与的大小关系是 （填“>”“<”或“=”）． 5．已知y是x的一次函数，且当时，，当时，． (1)求这个一次函数的解析式； (2)若点，在该一次函数的图象上，比较m，n的大小． 题型十三　一次函数与反比例函数 例题：如图，，反比例函数在第一象限内的图像与交于点与交于点． (1)求该反比例函数的解析式及直线的解析式； (2)连接，求的面积． 巩固训练 1．如图所示是一次函数和反比例函数的图像，观察图像，当时，x的取值范围为（    ） A． 或 B．或 C．或 D．或 2．如图，直线与双曲线交于、两点，其横坐标分别为1和5，则不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，B两点，且与反比例函数的图象交于点C，D，则的面积为 ． 4．如图，直线与x轴相交于点，与函数的图象交于点B、C，点B的横坐标是8，点C的横坐标是，则不等式组的解集是 ． 5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的第一象限图象相交于点． (1)求m的值以及反比例函数的解析式； (2)点D是x轴正半轴上一点，若，求的面积． 题型十四　一次函数与反比例函数的实际问题 例题：智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温（）与通电时间（）成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温（）与通电时间（）之间的关系如图所示． (1)当时，求与之间的函数关系式（写出的取值范围）； (2)加热一次，求水温不低于的时间． 巩固训练 1．某药品研究所开发一种抗菌新药，临床实验中测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系图象由一条线段和一段曲线组成，如图（当时，y与x成反比例）．则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（    ）    A．4小时 B．6小时 C．8小时 D．10小时 2．为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，德州市某工厂自年月开始限产并进行治污改造，其月利润万元与月份之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图像的一部分，治污完成后是一次函数图像的部分，下列选项错误的是（    ） A．月份的利润为万元 B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加万元 C．月份该厂利润达到万元 D．治污改造完成前后共有个月的利润低于万元 3．将的图象先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的新双曲线与直线相交于两点，其中一个交点的横坐标为，另一个交点的纵坐标为，则 ． 4．饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升，温度到停止加热．然后水温开始下降，此时水温与时间成反比例函数关系，水温降至时，饮水机重复上述程序开始加热，加热时水温与时间的关系如图所示．水温从开始加热至，然后下降至这一过程中，水温不低于的时间为 ．    5．已知某消毒药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（微克）与时间x（小时）成正比例，药物熄灭后，y（微克）与x（小时）成反比例，如图所示，现测得药物4小时燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为6微克，请你根据题中提供的信息，解答下列问题： (1)分别求出药物燃烧时和药物熄灭后y关于x的函数关系式； (2)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3微克且持续时间不低于10小时时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？ 题型十五　分配方案问题 例题：为支援灾区的灾后重建，甲、乙两县分别筹集了水泥200 吨和300吨支援灾区，现需要调往灾区A 镇100吨，调往灾区B镇400吨．已知从甲县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为40元和80元；从乙县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为30元和50元． (1)设从甲县调往A镇水泥x吨，求总运费y关于x的函数关系式； (2)求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？ 巩固训练 1．国庆节期间，小明和家人乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用一辆新能源汽车自驾出游，两家公司的租赁信息如下： 甲公司：按日收取固定租金84元，另外再按每小时租费20元计费（不足一小时按一小时计费） 乙公司：无固定租金，三小时以内每小时的租费40元，超过三小时，超过部分以每小时的租费32元计费（不足一小时按一小时计费）． 根据以上信息，解决下列问题： (1)设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为元，租用乙公司的车所需费用为元，分别求出，关于x的函数关系式； (2)请你帮助小明通过计算说明选择哪家租车公司出游比较合算． 2．某快递公司送货员每月的工资由底薪加计件工资两部分组成，计件工资与送货件数成正比例．有甲、乙两种薪资方案，如果送货量为x（件）时，方案甲的月工资是（元），方案乙的月工资是（元），其中计件工资部分，方案甲每送一件货物所得比方案乙高2元．如图所示，已知方案甲的每月底薪是1600元． (1)根据图中信息，分别求出和关于x的函数解析式；（不必写自变量的取值范围） (2)比较甲、乙两种薪资方案，如果你是应聘人员，你认为应该怎样选择方案？ 3．某种中性笔在甲、乙两家文具店的标价都是4元/支，在促销活动期间，两家文具店都进行了优惠活动． 甲文具店：购买不超过20支按原价销售，超过20支，则超出的部分按6折销售； 乙文具店：不论买多少，全部按八折销售． (1)分别写出在甲、乙两家文具店购买这种中性笔所付总费用、（元）与购买支数之间的函数表达式； (2)请你通过计算分析说明促销活动期间在哪家文具店购买划算？ 题型十六　最大利润问题 例题：新冠疫情期间，某工厂计划生产甲、乙两种防疫产品共2500吨，每生产1吨甲产品可获得利润0.3万元，每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元，设该工厂生产了甲产品x（吨），生产甲、乙两种产品获得的总利润为y（万元）． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)若每生产1吨甲产品需要A原料0.25吨，每生产1吨乙产品需要A原料0.5吨．受市场影响，该厂能获得的A原料至多为1000吨，其它原料充足．求出该工厂生产甲、乙两种防疫产品能获得的最大利润． 巩固训练 1．某新能源汽车经销商购进紧凑和中级两种型号的新能源汽车，据了解3辆中级型汽车、2辆紧凑型汽车的进价共计104万元；2辆紧凑型汽车比3辆中级型汽车的进价少40万元． (1)求中级型和紧凑型汽车两种型号汽车的进货单价； (2)该店准备购进中级型和紧凑型汽车两种型号的新能源汽车100辆，已知中级型汽车的售价为27万元/辆，紧凑型汽车的售价为20万元/辆．根据销售经验，购中级型汽车的数量不低于25辆，设购进辆中级型汽车，100辆车全部售完获利万元，该经销商应购进中级型和紧凑型汽车各多少辆．才能使最大？最大为多少万元？ 2．某快递公司准备投入资金（万元）购买A、B两型自动分拣机器共10台，其中购进型机器台．下表是两种型号机器的相关信息： 型号 分拣速度 单价 A 1500件/小时 8万元/台 B 1200件/小时 6万元/台 (1)求关于的函数关系式； (2)若要使10台自动分拣机器每小时分拣快递件数达到13000件，该公司需要至少投入资金多少万元？ 3．时代的到来，给人类生活带来很多的改变．某营业厅现有、两种型号的手机，进价和售价如表所示： 进价（元/部） 售价（元/部） A 3000 3400 B 3500 4000 (1)若该营业厅卖出70台A型号手机，30台B型号手机，可获利_______元； (2)若该营业厅购进A、B两种型号手机共30台，其中B型号手机的数量不多于A型号手机数量的2倍，请设计一个购买方案：营业厅购进两种型号的手机各多少台时获得最大利润，求最大利润是多少? 题型十七　行程问题 例题：一只小动物爬行到离家15米外的O地后立即折返回家，它离家的距离y（单位：米）和时间x（单位：分钟）之间的关系如图所示，根据函数图象解答下列问题： (1)这只动物折返回家时速度是______米/分钟； (2)分别求出折线OA，AB所对应的函数关系式； (3)当这只小动物离家10米远时，它离家的时间是多少分钟？ 巩固训练 1．某地出租车计费方法如图所示，表示行驶里程，y（元）表示车费，请根据图象回答下面的问题： (1)当时，求y关于x的函数关系式； (2)若某乘客一次乘出租车的车费为40元，求这位乘客乘车的里程． 2．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系如图所示． (1)求乙车离开A城的距离与时间的函数关系式；（不用写自变量取值范围） (2)求两车相遇时甲车行驶的时间． 3．蓄电池发展水平是制约新能源汽车发展的关键要素．小明爸爸根据自家电动汽车仪表显示，感觉蓄电池充满电后，用前半部分电量所行驶的路程，总要比用后半部分电量行驶的路程更远一些．于是小明细心观察了充满电后汽车的行驶情况，并将蓄电池剩余电量（千瓦时）和已行驶路程（千米）的相关数据，用函数图象表示如下． (1)电池充满电时的电量为______千瓦时； (2)求所对应的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)在电量允许的情况下，如果在某段连续行驶时间里，汽车消耗了10千瓦时的电量，直接写出这段时间连续行驶路程的取值范围． 题型十八　一次函数与几何综合 例题：如图，直线交轴和轴于点和点，点在轴上，连接，点为直线上一动点． (1)求直线的解析式； (2)若，求点的坐标； (3)当时，求直线的解析式． 巩固训练 1．已知一次函数，函数图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)根据表达式画出函数的图象； (2)求出图象与坐标轴所围成图形的面积； (3)在坐标轴上有一点C，使得，直接写出C的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线，点的坐标分别为，． (1)直线与线段有公共点，则的取值范围是_______； (2)若点的坐标为，直线与的边有公共点，则的取值范围是_______． 3．一次函数的图象经过，两点． (1)求此一次函数的解析式； (2)若一次函数与x轴交于C点，求的面积． 题型十九　一次函数与物理综合 例题：物理课上小明在探究弹簧测力计的“弹簧的长度与受到的拉力之间的关系”时，通过实验，发现在弹性限度内，弹簧的长度与它受到的拉力满足如图所示的一次函数关系． (1)求弹簧的长度y与它受到的拉力x的函数表达式； (2)当弹簧受到的拉力为时，求弹簧的长度． 巩固训练 1．小美在阅读物理课外书时，了解到在弹性限度内，弹簧的长度与所挂物体质量之间满足一次函数关系．她通过实验验证了这个事实，部分测量结果如表所示： 所挂物体质量 0 1 2 3 … 弹簧的长度 7 7.5 8 8.5 … (1)根据所测量的数据，求该弹簧的长度与所挂物体质量之间的函数关系式； (2)小美的妈妈在市场买了一些水果，小美将该水果放在袋中（袋子的质量忽略不计）挂到该弹簧下（在弹性限度内），并测得弹簧的长度为．请你计算出小美的妈妈购买水果的质量． 2．小菲在研究物理学科中的拉力和重力的关系时，利用滑轮组及相关器材进行实验，她把得到的拉力和所悬挂物体的重力的几组数据用电脑绘制成如图所示的图像（不计绳重和摩擦），请你根据图像求： (1)拉力和重力之间的函数解析式； (2)当拉力为时，所悬挂物体的重力为多少？ 3．小南在阅读物理课外书时，了解到在弹性限度内，弹簧的长度与所挂物体质量之间满足一次函数关系．他通过实验验证了这个事实，他的测量结果如下表所示： 所挂物体质量 0 1 2 3 弹簧的长度 3 4 5 6 (1)根据所测量的数据，求该弹簧的长度y（）与所挂物体质量x（）之间的函数关系式 (2)小南妈妈在市场买了水果，小南将该水果放在袋中（袋子的质量忽略不计）挂到该弹簧下（在弹性限度内），并测得弹簧的长度为．请你通过计算帮助小南确定该市场老板的称是否足称． 题型二十　一次函数中旋转问题 例题：已知直线与轴交于点，与轴交于点． (1)将直线绕原点旋转后，所得直线的函数解析式为_______； (2)若直线经过点，且，求直线的函数解析式． 巩固训练 1．如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，将绕点O逆时针方向旋转后得到． (1)填空：点C的坐标是（ ___________，___________），点D的坐标是（ ___________，___________）； (2)设直线与交于点M，求点M坐标； (3)在y轴上是否存在点P，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．规定：在平面直角坐标系内，某直线绕原点顺时针旋转，得到的直线称为的“旋转垂线”． (1)求出直线的“旋转垂线”的解析式； (2)若直线的“旋转垂线”为直线．求证：． 3．【模型建立】 如图1，等腰中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：． 【模型应用】 （1）如图2，在图1中建立平面直角坐标系，使点E与坐标原点O重合，和所在直线分别为x轴、y轴，若，，请解答下列问题： ①点C的坐标是________，点A的坐标是________； ②在x轴上存在点M，使得以O，A，B，M为顶点的四边形的面积为4，请直接写出点M的坐标：________； （2）如图3，已知直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线绕点B旋转至直线，求直线的函数表达式． 题型二十一　一次函数中最值问题 例题：如图，已知A，B两点的坐标分别为，，动点P从原点O出发在x轴上运动． (1)P点运动到什么位置时离A点最近？写出P点的坐标． (2)P点运动到什么位置时，的值最小，最小值是多少？ (3)P点运动到什么位置时，的值最大，最大值是多少？ 巩固训练 1．如图，一次函数与函数的图像交于，两点，轴于，轴于． (1)求的值； (2)连接，，求的面积； (3)在轴上找一点，连接，，使周长最小，求点坐标． 2．如图，在直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，在y轴上取一点C，，连接． (1)求点C的坐标和直线的表达式； (2)在线段上取一点D，若点D的横坐标为2，请你在x轴上找一点P，使得的值最小，并求出此时点P的坐标． 3．如图，点C为x轴上一动点，点A的坐标，点E的坐标，作轴，连接、． (1)设，试用含x的代数式表示______；______ (2)试求当的长度最小时点的坐标； (3)根据前面的启发，请构图求出代数式的最小值． 题型二十二　一次函数综合 例题：如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点．与y轴交于点B且与正比例函数的图象的交点为． (1)一次函数的表达式； (2)求的面积 (3)在y轴上是否存在一点P．使为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 巩固训练 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，与y轴交于点，与x轴交于点C． (1)求直线的函数表达式； (2)在y轴上存在一点P，使得，求出点P的坐标； (3)点E为线段上的动点，过点E作x轴的垂线，交于点F，点H为y轴上一动点，且为等腰直角三角形，直接写出满足条件的点E的坐标． 2．如图，直线过点，且与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数表达式及点的坐标； (2)如图，作直线，点P在直线上，当的面积为面积的倍时，求点的坐标； (3)如图，点为第二象限内的一点，连接，以为边在的左侧作等边，当，时，求线段的长． 3．如图，平面直角坐标系中，直线：交y轴于点，交x轴于点B． (1)求直线的表达式和点B的坐标； (2)直线l垂直平分交于点D，交x轴于点E，点P是直线l上一动点，且在点D的上方，设点P的纵坐标为n． ①用含n的代数式表示的面积； ②当时，求点P的坐标； ③在②的条件下，在坐标轴上，是否存在一点Q，使得与面积相等？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第42页，共43页 3 / 35 学科网（北京）股份有限公司 $$