培优专题 一次函数的应用(知识盘点+6题型+2易错+好题必刷)-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂(沪教版)

培优专题 一次函数的应用 利用一次函数解决简单问题 在实际问题中,首先分析题意并探究实际问题中的有关信息,然后在此基础上建立一次函数模型,从而解决问题 根据实际问题列一次函数解析式的步骤 (1)找等量关系; (2)把已知的条件代入,变化的两个量用变量x,y来表示 (3)求定义域:既要根据解析式又要根据实际意义求定义域 【结构特征】(1)等量关系有且只有两个变化的量;(2)定义域既要满足函数解析式,又要使实际问题有意义 （23-24八年级上·上海金山·期末）小明外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间. 从山脚出发后小明所走路程s（米）和所用时间t（分钟）之间的函数关系如图所示，请根据图中信息填空.    (1)小明中途休息用了 分钟； (2)小明休息后爬山的平均速度是 米/分钟； (3)小明休息前所走的路程s与时间t之间的函数关系式是 （无需写出定义域）． 某中学的小聪同学帮妈妈开的了圣书店采购文具，计划从批发店购进甲、乙两种圆珠笔，已知甲种圆珠笔每盆进价比乙种圆珠笔多5元，若购进甲种圆珠笔20盒，乙种圆珠笔30盒，则费用为600元． (1)求甲、乙两种圆珠笔的每盒进价分别是多少元？ (2)甲、乙两种圆珠笔每盆售价分别为25元和18元．妈妈计划购进这两种圆珠笔总费用不超过2200元且甲种圆珠笔不低于20盒，若购进的甲、乙两种圆珠笔共200盒，且全部售出，则甲种圆珠笔为多少盒时，所获得总利润最大？最大利润为多少元？ 利用一次函数的性质解决决策问题 利用一次函数解决决策问题的方法: (1)根据题意建立函数解析式; (2)根据解析式画出函数图像;(3)根据图像作出决策 一次函数的应用 例1为了预防“流感”，某学校对教室采取“药熏”消毒内每立方米的含药量（毫克）与时间（分）成正比例；药物燃烧结束后，与成反比例．这两个变量之间的关系如图所示．说法错误的是（   ） A．第8分钟后，教室内的含药量逐渐减小 B．第12分钟时，教室内的含药量为4毫克/立方米 C．第50分钟时，教室内含药量为0毫克 D．教室内含药量不低于3毫克/立方米的持续时间为12分钟 【变式1-1】如图，已知直线交轴负半轴于点A，交轴于点，点是轴上的一点，且，则的度数为 ． 【变式1-2】如果购买某一种水果所付金额y（元）与购买数量x（千克）之间的函数图象由线段与射线组成（如图所示），那么购买3千克这种水果需要付 元． 【变式1-3】甲乙两车分别从地将一批货物运送到地，乙车再返回地．如图表示两车离地的路程（千米）随时间（时）变化的图像．已知甲车出发1.5小时后，乙车出发，且乙车到达地，停留半小时卸货后，马上按原路原速返回，请根据图像所提供的信息回答： (1)写出甲车离开地将一批货物送到地对应图像的函数解析式：__________； (2)甲车出发________小时后被乙车追上； (3)甲车与乙车迎面相遇时，离地距离为__________千米． 分配方案问题（一次函数的实际应用） 例2某学生用品商店，计划购进A、B两种背包共80件进行销售，购货资金不少于2090元，但不超过2096元，两种背包的成本和售价如下表： 种 类 成本（元/件） 售价（元/件） A 25 30 B 28 35 假设所购两种背包可全部售出，请回答下列问题： (1)该商店对这两种背包有哪几种进货方案？ (2)该商店如何进货获得利润最大？ (3)根据市场调查，每件B种背包的市价不会改变，每件A种背包的售价将会提高a 元（a>0），该商店又将如何进货获得的利润最大？ 【变式2-1】为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备，现有A，B两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量及年消耗费如下表： A型 B型 价    格（万元／台） 12 10 处理污水量（吨／月） 240 200 年消耗费（万元／台） 1 1 经预算，该企业购买设备的资金不高于105万元． (1)求购买设备的资金y万元与购买A型x台的函数关系，并设计该企业有几种购买方案； (2)若企业每月产生的污水量为2040吨，利用函数的知识说明，应选择哪种购买方案； (3)在第（2）问的条件下，若每台设备的使用年限为10年，污水厂处理污水费为每吨10元，请你计算，该企业自己处理污水与将污水排到污水厂处理相比较，10年节约资金多少万元？（注：企业处理污水的费用包括购买设备的资金和消耗费）． 【变式2-2】“生活即教育，行为即课程”，某校将劳动教育融入立德树人全过程，学校入冬劳动教育实践活动包括花园除草、翻土、修剪树木，以及清理校园周边环境卫生等，学校现要购买劳动工具，学校与农资店店主商量后，店主给出了两种购买方案（如表），且都送货上门． 方案 运费 劳动工具价格 方案一 50元 元/件 方案二 0元 15元/件 若学校购买x件劳动工具，按方案一购买的付款总金额为元，按方案二购买的付款总金额为元． (1)请分别写出，与之间的函数关系式； (2)若学校计划用900元钱购买劳动工具，请你通过计算说明学校选择哪种方案购买的劳动工具较多？ 【变式2-3】“绿水青山就是金山银山”，为了保护环境和提高果树产量，某果农计划从甲、乙两个仓库用汽车向A，B两个果园运送有机化肥，甲，乙两个仓库分别可运出和有机化肥，A，B两个果园分别需要和有机化肥．已知从甲仓库到A果园15千米，到B果园20千米；从乙仓库到A果园25千米，到B果园20千米． 设甲仓库运往A果园有机化肥，若汽车每吨每千米的运费为2元． (1)根据题意，填写下表． 运量 运费/元 甲仓库 乙仓库 甲仓库 乙仓库 A果园 x B果园 (2)设总运费为y元，求y关于x的函数解析式，写出x的取值范围． (3)怎样调运总运费最省，最省的总运费是多少元？ 最大利润问题（一次函数的实际应用） 例3某商场同时购进甲、乙两种商品共100件，其进价和售价如表：设其中甲种商品购进件，商场售完这批商品的总利润为元． 商品名称 甲 乙 进价（元/件） 40 90 售价（无/件） 60 120 (1)写出关于的函数关系式； (2)该商品计划最多投入8000元用于购买这两种商品，则至少要购进多少件甲商品？若销售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多少元？ 【变式3-1】近几年，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也在逐年增加．某商场从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，两种净化器的销售相关信息如表： A型销售数量（台） B型销售数量（台） 总利润（元） 5 10 2500 10 5 2750 (1)每台A型空气净化器的销售利润是 　　元；每台B型空气净化器的销售利润是 　　元； (2)该商场计划一次购进两种型号的空气净化器共80台，其中B型空气净化器的进货量不少于A型空气净化器的2倍，为使该商场销售完这80台空气净化器后的总利润最大，那么应该购进A型空气净化器 　　台；B型空气净化器 　　台． (3)已知A型空气净化器的净化能力为300m3/小时，B型空气净化器的净化能力为200m3/小时．某长方体室内活动场地的总面积为300m2，室内墙高3m．该场地负责人计划购买7台空气净化器，每天花费30分钟将室内空气净化一新，如不考虑空气对流等因素，他至少要购买A型空气净化器多少台？ 【变式3-2】某体育用品专卖店批发A、B两款跳绳，进货价和销售价如下表：（注：利润＝销售价－进货价） 类别价格 A款跳绳 B款跳绳 进货价（元/根） 15 20 销售价（元/根） 25 32 (1)该商店第一次用625元购进A、B两种跳绳共35根，求A、B两种跳绳分别购进的根数； (2)第一次购进的A、B两款跳绳售完后，该体育用品专卖店计划再次批发这两款跳绳共100根（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于1865元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ 【变式3-3】校园文化艺术节来临之际，我校八年级某班学生热情高涨，积极准备．在班会时间讨论后，决定购进、两种含有铁一元素的纪念品．若购进种纪念品8件，种纪念品7件，需要115元；若购进种纪念品4件，种纪念品11件，需要95元． (1)求购进、两种纪念品每件各需多少元？ (2)若该班级决定购进这两种纪念品共100件，用于购买这100件纪念品的资金不少于750元，但不超过765元，且销售每件种纪念品可获利润4元，每件种纪念品可获利润3元，该如何进货，获利最大？最大利润是多少元？ 行程问题（一次函数的实际应用） 例4如图，与分别是根据步行与骑自行车在同一路上行驶的路程与时间的关系式所作出的图象，根据图象填空． (1)出发骑了一段路后，自行车发生故障进行修理，所用的时间是 ___________小时；从起点出发后 ___________小时与相遇； (2)如果的自行车没有发生故障，保持出发时的速度前进，___________小时与相遇，相遇点离的出发点___________千米． 【变式4-1】小明和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以米/分的速度到达图书馆，小明始终以同一速度骑行，两人行驶的路程（米）与时间（分）的关系如图所示，请结合图象，解答下列问题： (1)___________分，___________分，___________米/分： (2)若小明的速度是120米/分，小明在途中与爸爸第二次相遇的时间是___________分，此时距图书馆的距离是___________米： (3)在（2）的条件下，爸爸自第二次出发至到达图书馆前，与小明相距100米的时间是___________分． 【变式4-2】、两城间的公路长为千米，甲、乙两车同时从城出发沿这一公路驶向城，甲车到达城1小时后沿原路用每小时千米的速度返回．如图是它们离城的路程（千米）与行驶时间（小时）之间的函数图像． (1)由题设可以得出的值为_______； (2)甲车从城出发时的速度为_______千米/小时； (3)甲车返回过程中与之间的函数解析式是_______； (4)如果乙车的行驶速度为千米/小时，那么甲从城开始返回，经过几个小时与途中的乙车相遇． 【变式4-3】龟兔赛跑是同学们熟悉的寓言故事，乌龟和兔子在比赛过程中的路程与时间（min）的函数关系如图所示．请根据图像完成下列问题： (1)兔子在比赛中睡觉的时间为______分钟； (2)已知兔子在段和段的速度保持一致，则兔子完成比赛共用时______分钟； (3)在（2）的条件下，已知乌龟比兔子提前1分钟到达终点，求乌龟在比赛过程中路程与时间的函数关系式． 一次函数与几何综合 例5八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，设直线l和八个正方形的最上面交点为A，则直线l的解析式是 ． 【变式5-1】如果一个函数图像上存在横、纵坐标相等的点，那么称这个点为这个函数图像的“等值点”，比如：点是函数图像上的“等值点”．已知点，点B是函数图像上的“等值点”，点C是函数图像上的“等值点”，如果四边形是等腰梯形，那么点D的坐标是 ． 【变式5-2】在平面直角坐标系中，给出以下定义：对于x轴正半轴上的点与y轴正半轴上的点，如果坐标平面内存在一点N，使得，且，那么称点N为M关于P的“垂转点”．例如图1，已知点和点，以为腰作等腰直角三角形，可以得到M关于P的其中一个垂转点．如图2，如果关于y轴上一点P的垂转点N在一次函数的图象上，那么垂转点N的坐标为 ． 其他问题（一次函数的实际应用） 例6某企业在2024年1至3月的利润情况见表． 月份数（x） 1 2 3 利润数（y）（万元） 96 ？ 100 (1)如果这个企业在2024年1至3月的利润数y是月份数x的一次函数，求这个一次函数的解析式，并求出2月份的利润； (2)这个企业采取技术改革后，实现了利润大幅增长，4、5月份的利润增长率相同，5月份获得利润为121万元，求这个企业4、5月份的利润增长率． 【变式6-1】如图1，“漏刻”是我国古代一种利用水流计时的工具．某校八年级综合实践小组用甲、乙两个透明的圆柱容器和一根装有节流阀（控制水的流速）的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置（如图2）．在甲容器里加满水，此时水面高度为．若由于装置的原因，甲容器内的水无法全部流出，当水面高度刚好是时，停止流水，此时停止计时．上午8:00开始放水后，甲容器的水面高度和流水时间的部分数据如表： 记录时间 8:00 8:10 8:25 8:30 8:40 流水时间 0 10 25 30 40 水面高度 30 28 25 24 22 (1)综合实践小组在平面直角坐标系中描出了以表中各组对应值为坐标的点，并用光滑的曲线（包括直线）把描出的点连接起来（如图3），发现可以用一次函数近似地刻画甲容器的水面高度与流水时间的关系，根据以上信息，求y关于x的函数解析式（不用写定义域）． (2)当时间正好是9:10时，甲容器的水面高度是多少厘米? (3)刚好停止流水时是几时几分? 【变式6-2】某汽车销售店根据过去几个月的销售记录，得到了每月的销售成本y（万元）与销售车辆x（辆）之间的关系如图所示． (1)求y关于x的函数解析式；（不写定义域） (2)如果该店每月的销售收入w（万元）与销售车辆x（辆）之间恰好成正比例关系，且当月销售10辆汽车时，销售收入与销售成本相等． ①求w关于x的函数解析式；（不写定义域） ②如果汽车销售店想要每月的净利润不少于13万元，那么该店每月应至少销售多少辆车？（净利润=销售收入-销售成本） 【变式6-3】某物流公司送货员每月的工资由底薪和送货工资两部分组成，送货工资与送货件数成正比例．现有甲、乙两名送货员，当送货件数量为时，甲的工资是（元），乙的工资是（元）．如下图所示，已知甲的每月底薪是1000元，乙每送一件货物22元．    (1)根据图中信息，分别求出和关于的函数解析式：（不必写定义域） (2)如果甲、乙两人平均每天送货量分别是10件和12件，求两人的月工资分别是多少元？（一个月按30天算） 1．（24-25八年级下·上海·阶段练习）某皮革厂承接A、B两种型号800双皮鞋的加工任务，其中A型皮鞋不得少于．经测算，加工A型皮鞋，每双可获利250元；加工B型皮鞋，每双可获利300元． (1)设生产A型皮鞋的双数为x双，生产两种皮鞋所获得的总利润为y元，求y（元）与x（双）之间的函数解析式． (2)安排生产A型、B型皮鞋各多少双时，才能使该皮革厂获得最大的利润？最大利润是多少元？ 2．（22-23八年级下·上海·期末）甲乙两车分别从地将一批货物运送到地，乙车再返回地．如图表示两车离地的路程（千米）随时间（时）变化的图像．已知甲车出发1.5小时后，乙车出发，且乙车到达地，停留半小时卸货后，马上按原路原速返回，请根据图像所提供的信息回答： (1)写出甲车离开地将一批货物送到地对应图像的函数解析式：__________； (2)甲车出发________小时后被乙车追上； (3)甲车与乙车迎面相遇时，离地距离为__________千米． 1.小杰、小明两人在一段笔直的滨江步道上同起点、同终点、同方向匀速步行 米，先到终点的人原地休息．已知小杰先出发分钟，在整个步行过程中，小杰、小明两人间的距离（米）与小杰出发的时间（分）之间的关系如图中折线 所示． (1)求线段的表达式，并写出自变量的取值范围； (2)求小明的步行速度； (3)求小明比小杰早几分钟到达终点? 2.某校校长暑假带领该校的“星级学生”去研学旅行，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且全票票价都是元，经过协商，甲旅行社说：“若校长买一张全票，则学生可享受六五折优惠．”乙旅行社说：“包括校长在内都享受七折优惠．”若设星级学生人数为人，甲旅行社收费为元，乙旅行社收费为元． (1)分别写出两家旅行社的收费与学生人数的关系式； (2)若参加研学旅行的学生至人，请就学生人数讨论哪家旅行社更优惠． 3.根据以下素材，探索完成任务． 为落实《健康中国行动（2019—2030）》等文件精神，某学校准备购进一批排球和足球促进校园体育活动，请你根据以下素材，探索完成任务： 素材1 某体育器材店每个排球的价格比足球的价格少20元，用400元购买的排球数量与500元购买的足球数量相等． 素材2 该学校决定购买排球和足球共50个，排球数量不少于22个，且购买足球的数量不少干排球的数量，同时该体育器材店为支持该学校体育活动，对排球提供7.5折优惠，足球提供8折优惠． 问题解决 任务1 探求商品单价 请运用适当的方法求出每个排球和足球的价格． 任务2 确定购买方案 运用数学知识，确定该学校本次购买排球和足球所需费用最少的方案，最少费用是多少？ 4.某市半程马拉松比赛，甲乙两位选手的行程（千米）随时间（小时）变化的图象如图所示． (1)哪位选手先到终点？__________（填“甲”或“乙”）； (2)甲选手跑到8千米时，用了__________小时．起跑__________小时后，甲乙两人相遇； (3)乙选手在的时段内，与之间的函数关系式是__________； (4)甲选手经过1.5小时后，距离起点有__________千米． 5.在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B， (1)求点A和点B的坐标； (2)点P是直线上的一个动点，且点P在第一象限，当的面积是10时，求点P的坐标； (3)交y轴于点C，D是平面内一点，使得四边形是直角梯形，且，求点D的坐标． (3)在（2）的条件下，设点E是y轴上的一点，当四边形是梯形时，求点E的坐标． 6.暑期将至，某健身俱乐部为了促销，面向学生推出三种优惠活动． 活动一：购买一张学生暑期VIP卡（800元/张），每次凭卡不需要再付费； 活动二：购买一张学生暑期乐享卡（200元/张），每次费用按平常价格的六折优惠； 活动三：不购买上述暑期卡，凭学生证每次费用按平常价格的九折优惠． 三种活动仅限暑期（7月1日至8月31日期间）使用，次数不限． 又知学生甲计划暑期前往该健身俱乐部15次，如果选择活动二，共需支付费用650元．请根据上述信息，解答下列问题： (1)每次健身的平常价格是______元； (2)设健身x次时，所需总费用为y元．当选择活动三时，y与x的函数关系式是______． (3)学生乙计划暑期前往健身俱乐部25次，选择哪种活动所需费用最少？说明理由． 1 / 44 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优专题 一次函数的应用 利用一次函数解决简单问题 在实际问题中,首先分析题意并探究实际问题中的有关信息,然后在此基础上建立一次函数模型,从而解决问题 根据实际问题列一次函数解析式的步骤 (1)找等量关系; (2)把已知的条件代入,变化的两个量用变量x,y来表示 (3)求定义域:既要根据解析式又要根据实际意义求定义域 【结构特征】(1)等量关系有且只有两个变化的量;(2)定义域既要满足函数解析式,又要使实际问题有意义 （23-24八年级上·上海金山·期末）小明外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间. 从山脚出发后小明所走路程s（米）和所用时间t（分钟）之间的函数关系如图所示，请根据图中信息填空.    (1)小明中途休息用了 分钟； (2)小明休息后爬山的平均速度是 米/分钟； (3)小明休息前所走的路程s与时间t之间的函数关系式是 （无需写出定义域）． 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的实际应用、平均速度的计算方法： （1）根据图像可得小明休息的时间； （2）根据图像得到小明休息后所用的时间以及路程，即可得到平均速度； （3）根据图像得到小明休息前所用的时间以及路程，然后求得平均速度，即可得到关系式； 数形结合，熟练掌握是解题的关键． 【详解】（1）解：由图可得在段为小明休息的时间， 此时时间为分钟， 故答案为：5； （2）解：由图可得小明休息后爬上的阶段为段， 这段所走的路程为：米， 这段所用的时间为：分钟， ∴平均速度为：米/分钟， 故答案为：； （3）解：由图可得小明休息前所走的路程为：米， 小明休息前所走路程所用的时间为：分钟， ∴小明休息前的平均速度为：米/分钟， ∴根据路程=速度时间可得：小明休息前所走的路程s与时间t之间的函数关系式是， 故答案为：． 某中学的小聪同学帮妈妈开的了圣书店采购文具，计划从批发店购进甲、乙两种圆珠笔，已知甲种圆珠笔每盆进价比乙种圆珠笔多5元，若购进甲种圆珠笔20盒，乙种圆珠笔30盒，则费用为600元． (1)求甲、乙两种圆珠笔的每盒进价分别是多少元？ (2)甲、乙两种圆珠笔每盆售价分别为25元和18元．妈妈计划购进这两种圆珠笔总费用不超过2200元且甲种圆珠笔不低于20盒，若购进的甲、乙两种圆珠笔共200盒，且全部售出，则甲种圆珠笔为多少盒时，所获得总利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1)甲类圆珠笔每盒进价是15元，乙类圆珠笔每盒进价是10元 (2)当甲类圆珠笔为40盒时，所获得总利润最大，最大利润为1680元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，一次函数的性质， （1）根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）首先根据题意列出一元一次不等式方程组，结合利润公式列出一元一次函数，根据函数的性质求得最大值． 【详解】（1）解：设甲类圆珠笔每盒进价是元，乙类圆珠笔每盒进价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：甲类圆珠笔每盒进价是15元，乙类圆珠笔每盒进价是10元； （2）解：设购进甲类圆珠笔盒，则购进乙类圆珠笔盒， 根据题意得：， 解得：． 设购进的甲、乙两类圆珠笔全部售出后获得的总利润为元，则 即， ， 随的增大而增大， 当时，取得最大值，最大值． 答：当甲类圆珠笔为40盒时，所获得总利润最大，最大利润为1680元． 利用一次函数的性质解决决策问题 利用一次函数解决决策问题的方法: (1)根据题意建立函数解析式; (2)根据解析式画出函数图像;(3)根据图像作出决策 一次函数的应用 例1为了预防“流感”，某学校对教室采取“药熏”消毒内每立方米的含药量（毫克）与时间（分）成正比例；药物燃烧结束后，与成反比例．这两个变量之间的关系如图所示．说法错误的是（   ） A．第8分钟后，教室内的含药量逐渐减小 B．第12分钟时，教室内的含药量为4毫克/立方米 C．第50分钟时，教室内含药量为0毫克 D．教室内含药量不低于3毫克/立方米的持续时间为12分钟 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的应用，理解题意，结合函数图像获得所需信息是解题关键．根据图像可知，第8分钟后，教室内的含药量逐渐减小，即可判断选项A；利用待定系数法解得当时和时，关于的函数解析式，再将代入并求值，即可确定第12分钟时，教室内的含药量，即可判断选项B；将代入并求值，可知第50分钟时，教室内含药量为毫克/立方米，即可判断选项C；若，分别求得和阶段的值，可求得教室内含药量不低于3毫克/立方米的持续时间，即可判断选项D． 【详解】解：根据图像可知，第8分钟后，教室内的含药量逐渐减小， 故选项A正确，不符合题意； 当时，设直线解析式为， 将点代入，可得，解得， 所以此阶段关于的函数解析式为， 当时，设此阶段关于的函数解析式为， 将点代入，可得，解得， 所以此阶段关于的函数解析式为， 故当时，可有（毫克/立方米）， 即第12分钟时，教室内的含药量为4毫克/立方米，故选项B正确，不符合题意； 当时，可有（毫克/立方米）， 即第50分钟时，教室内含药量为毫克/立方米，故选项C错误，符合题意； 当时，若，可得，解得（分钟）， 当时，若，可得，解得（分钟）， 则教室内含药量不低于3毫克/立方米的持续时间为分钟，故选项D正确，不符合题意． 故选：C． 【变式1-1】如图，已知直线交轴负半轴于点A，交轴于点，点是轴上的一点，且，则的度数为 ． 【答案】或/或 【分析】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征、含30度角的直角三角形、等腰直角三角形的判定与性质以及坐标与图形性质．分类讨论思想的运用是解题的关键． 令，可得，令，可得，利用勾股定理求出，可得，分两种情况考虑：①C点在x轴正半轴；②C点在x轴负半轴．分别计算出、度数，两个角的和差即为所求度数． 【详解】解：直线交轴负半轴于点A，交轴于点， 令，则，解得， ， 令，则， ， ， ， ， 取斜边的中点D，连接， ， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ， ∴． ，， ， ， 如图，分两种情况考虑： ①当点C在x轴正半轴上时，， ； ②当点C在x轴负半轴上时，， ． , 故答案为：或. 【变式1-2】如果购买某一种水果所付金额y（元）与购买数量x（千克）之间的函数图象由线段与射线组成（如图所示），那么购买3千克这种水果需要付 元． 【答案】56 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求函数解析式的方法和步骤，先求出的函数解析式为，再求出时的函数值，即可解答． 【详解】解：设的函数解析式为， 将代入得：， 解得：， ∴的函数解析式为， 当时，， ∴购买3千克这种水果需要付56元， 故答案为：56． 【变式1-3】甲乙两车分别从地将一批货物运送到地，乙车再返回地．如图表示两车离地的路程（千米）随时间（时）变化的图像．已知甲车出发1.5小时后，乙车出发，且乙车到达地，停留半小时卸货后，马上按原路原速返回，请根据图像所提供的信息回答： (1)写出甲车离开地将一批货物送到地对应图像的函数解析式：__________； (2)甲车出发________小时后被乙车追上； (3)甲车与乙车迎面相遇时，离地距离为__________千米． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求解析式，两直线交点问题，数形结合是解题的关键． （1）根据函数图像可得，甲车出发后，到达离A地的B地，可以求出甲车的速度，然后表示函数关系式即可； （2）根据点M的意义即可求得答案； （3）先求得停留半小时后的坐标，根据返回时的速度相等，列方程即可求得答案． 【详解】（1）解：甲车离开地将一批货物送到地对应图像的函数解析式为：， 故答案为：； （2）解：令，则， 解得：， 故答案为：； （3）解：乙车的速度为千米/时， 则， 解得：， ∴距离地距离为千米， 故答案为：． 分配方案问题（一次函数的实际应用） 例2某学生用品商店，计划购进A、B两种背包共80件进行销售，购货资金不少于2090元，但不超过2096元，两种背包的成本和售价如下表： 种 类 成本（元/件） 售价（元/件） A 25 30 B 28 35 假设所购两种背包可全部售出，请回答下列问题： (1)该商店对这两种背包有哪几种进货方案？ (2)该商店如何进货获得利润最大？ (3)根据市场调查，每件B种背包的市价不会改变，每件A种背包的售价将会提高a 元（a>0），该商店又将如何进货获得的利润最大？ 【答案】(1)有3种方案：A：48、B：32；A：49、B：31；A：50、B：30 (2)464元 (3)购A种背包48件， 购B种背包32件 【分析】（1）设购A种背包件，则B种背包件，根据题意即可得到答案； （2）根据题意，可得到，利润与购A种背包的一次函数，即可解答哪种利润最大； （3）根据题意，可得到，利润与购A种背包的一次函数，根据a的取值，分类讨论解答． 【详解】（1）解：设购A种背包件，则B种背包件， 则， 解得， ∴当购A种背包48件, 则B种背包32件， 当购A种背包49件, 则B种背包31件， 当购A种背包50件, 则B种背包30件， ∴有3种方案：A．48、B．32；A．49、B．31；A．50、B．30． （2）解：利润， ∵，则y随x增大而减小， ∴当购A种背包48件，B种背包32件时，（元）； （3）解：， 当时，则y随x增大而增大， ∴当购A种背包50件，B种背包30件时，利润最大； 当时，均可采用； 当时，则y随x增大而减小， 当购A种背包48件，B种背包32件时，利润最大． 【点睛】本题主要考查了一次函数在实际问题中的应用，弄清题意，先建立函数关系式，然后根据实际情况，分类讨论解答． 【变式2-1】为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备，现有A，B两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量及年消耗费如下表： A型 B型 价    格（万元／台） 12 10 处理污水量（吨／月） 240 200 年消耗费（万元／台） 1 1 经预算，该企业购买设备的资金不高于105万元． (1)求购买设备的资金y万元与购买A型x台的函数关系，并设计该企业有几种购买方案； (2)若企业每月产生的污水量为2040吨，利用函数的知识说明，应选择哪种购买方案； (3)在第（2）问的条件下，若每台设备的使用年限为10年，污水厂处理污水费为每吨10元，请你计算，该企业自己处理污水与将污水排到污水厂处理相比较，10年节约资金多少万元？（注：企业处理污水的费用包括购买设备的资金和消耗费）． 【答案】(1)，有3种购买方案：0台A型，10台B型、1台A型，9台B型、2台A型，8台B型 (2)选择1台A型9台B型 (3)42.8万元 【分析】（1）设购买污水处理设备A型x台，则B型（10﹣x）台，列出不等式方程求解即可，x的值取整数； （2）先列出不等式求解，再根据函数关系选出最佳方案； （3）首先计算出企业自己处理污水的总资金，再计算出污水排到污水厂处理的费用，相比较即可得解． 【详解】（1）解：设购买污水处理设备A型x台，则B型（10﹣x）台， 由题意可得， ， ， ∵x取非负整数， ∴x可取0，1，2． 有三种购买方案： 方案一：购A型0台、B型10台； 方案二：购A型1台，B型9台； 方案三：购A型2台，B型8台． （2）解：设购买污水处理设备A型x台，则B型（10﹣x）台． 240x+200（10﹣x）≥2040， 解得x≥1， ∴x为1或2． 由可知，， 即y随x的增大而增大， ∴为了节约资金，应选购A型1台，B型9台． （3）10年企业自己处理污水的总资金为： 12×1+10×9+1×10+9×10＝202（万元）， 若将污水排到污水厂处理： 2040×12×10×10＝2448000（元）＝244.8（万元）． 10年节约资金：244.8﹣202＝42.8（万元）． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用与一次函数选择最佳方案问题等，找出题目中的不等关系是解题的关键． 【变式2-2】“生活即教育，行为即课程”，某校将劳动教育融入立德树人全过程，学校入冬劳动教育实践活动包括花园除草、翻土、修剪树木，以及清理校园周边环境卫生等，学校现要购买劳动工具，学校与农资店店主商量后，店主给出了两种购买方案（如表），且都送货上门． 方案 运费 劳动工具价格 方案一 50元 元/件 方案二 0元 15元/件 若学校购买x件劳动工具，按方案一购买的付款总金额为元，按方案二购买的付款总金额为元． (1)请分别写出，与之间的函数关系式； (2)若学校计划用900元钱购买劳动工具，请你通过计算说明学校选择哪种方案购买的劳动工具较多？ 【答案】(1)， (2)学校选择方案一购买的劳动工具较多 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的应用，正确建立函数关系式是解题关键． （1）按方案一购买：根据付款总金额劳动工具单价件数运费即可得；按方案二购买：根据付款总金额劳动工具单价件数即可得； （2）分别求出和时，的值，由此即可得． 【详解】（1）解：由题意得：，． （2）解：当时，，解得：， 当时，，解得， 因为， 所以学校选择方案一购买的劳动工具较多． 【变式2-3】“绿水青山就是金山银山”，为了保护环境和提高果树产量，某果农计划从甲、乙两个仓库用汽车向A，B两个果园运送有机化肥，甲，乙两个仓库分别可运出和有机化肥，A，B两个果园分别需要和有机化肥．已知从甲仓库到A果园15千米，到B果园20千米；从乙仓库到A果园25千米，到B果园20千米． 设甲仓库运往A果园有机化肥，若汽车每吨每千米的运费为2元． (1)根据题意，填写下表． 运量 运费/元 甲仓库 乙仓库 甲仓库 乙仓库 A果园 x B果园 (2)设总运费为y元，求y关于x的函数解析式，写出x的取值范围． (3)怎样调运总运费最省，最省的总运费是多少元？ 【答案】(1)；；； (2) (3)从甲仓库运往A果园有机化肥，从乙仓库运往A果园有机化肥，运往B果园有机化肥时，总运费最省，最省的总运费是6700元 【分析】本题考查了一次函数的应用； （1）根据已知量列出整式，即可求解； （2）总运费运往甲仓库的运费运往乙仓库的运费，据此列出一次函数，即可求解； （3）由，且，根据一次函数的增减性，求出运费最省时的方案，即可求解； 理解实际意义，能根据一次函数的性质进行求解是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得： 甲仓库运往果园：（）， 乙仓库运往果园： （）， 甲仓库运往果园所需运费：（元）， 乙仓库运往果园所需运费：（元）； 故答案：；；；； （2）解：， 即（）； （3）解：在一次函数中， ，且， ∴当时， y最小， （）， （）， 答：从甲仓库运往A果园有机化肥，从乙仓库运往A果园有机化肥，运往B果园有机化肥时，总运费最省，最省的总运费是6700元． 最大利润问题（一次函数的实际应用） 例3某商场同时购进甲、乙两种商品共100件，其进价和售价如表：设其中甲种商品购进件，商场售完这批商品的总利润为元． 商品名称 甲 乙 进价（元/件） 40 90 售价（无/件） 60 120 (1)写出关于的函数关系式； (2)该商品计划最多投入8000元用于购买这两种商品，则至少要购进多少件甲商品？若销售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)售完这些商品，则至少购进20件甲商品商场可获得最大利润，获得的最大利润是2800元． 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式，一次函数的性质等知识．解题的关键在于根据题意列正确的解析式或不等式． （1）由题意得，整理即可得到函数关系式； （2）由题意得，解得；由可知y随x的增大而减小，进而可求得购进的甲商品数，最大利润值． 【详解】（1）解：由题意得 ∴y与x的函数关系式为． （2）由题意得 解得 ∵ ∴y随x的增大而减小 ∴当时，利润最大且 ∴若售完这些商品，则至少购进20件甲商品商场可获得最大利润，获得的最大利润是2800元． 【变式3-1】近几年，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也在逐年增加．某商场从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，两种净化器的销售相关信息如表： A型销售数量（台） B型销售数量（台） 总利润（元） 5 10 2500 10 5 2750 (1)每台A型空气净化器的销售利润是 　　元；每台B型空气净化器的销售利润是 　　元； (2)该商场计划一次购进两种型号的空气净化器共80台，其中B型空气净化器的进货量不少于A型空气净化器的2倍，为使该商场销售完这80台空气净化器后的总利润最大，那么应该购进A型空气净化器 　　台；B型空气净化器 　　台． (3)已知A型空气净化器的净化能力为300m3/小时，B型空气净化器的净化能力为200m3/小时．某长方体室内活动场地的总面积为300m2，室内墙高3m．该场地负责人计划购买7台空气净化器，每天花费30分钟将室内空气净化一新，如不考虑空气对流等因素，他至少要购买A型空气净化器多少台？ 【答案】(1)200，150 (2)26，54 (3)4台 【分析】（1）设每台A型空气净化器的销售利润是x元，每台B型空气净化器的销售利润是 y元，根据“A型销售5台的利润+B型销售10台的利润=2500元”和“A型销售10台的利润+B型销售5台的利润=2500元”列出二元一次方程组求解； （2）根据题意列函数关系式，再利用函数的性质求最值； （3）设要购买A型空气净化器b台，根据“30分钟A型空气净化器的净化体积+B型空气净化器的净化体积小于等于长方体室内活动场地的总体积”列不等式求解． 【详解】（1）设每台A型空气净化器的销售利润是x元，每台B型空气净化器的销售利润是 y元， 根据题意得：，解得： 故答案为：200，150； （2）设购进a台A型空气净化器，总利润为w元， 则：， ∵， ∴， ∴a的最大值为：26， ∵w随a的增大而增大， ∴当时，w有最大值， 此时．， 故答案为：26，54； （3）设要购买A型空气净化器b台， 由题意得：， 解得：， 所以b的最小值为：4， 答：至少要购买A型空气净化器4台． 【点睛】本题考查了方程组的应用，一次函数的应用及不等式的应用，理解题意是解题的关键． 【变式3-2】某体育用品专卖店批发A、B两款跳绳，进货价和销售价如下表：（注：利润＝销售价－进货价） 类别价格 A款跳绳 B款跳绳 进货价（元/根） 15 20 销售价（元/根） 25 32 (1)该商店第一次用625元购进A、B两种跳绳共35根，求A、B两种跳绳分别购进的根数； (2)第一次购进的A、B两款跳绳售完后，该体育用品专卖店计划再次批发这两款跳绳共100根（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于1865元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ 【答案】(1)购进A款跳绳15根，B款跳绳20根 (2)再次购进A款跳绳27根，购进B款跳绳73根，能获得最大销售利润，最大销售利润为1146元 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用． （1）设购进A款跳绳x根，B款跳绳y根，根据题意找出等量关系，列出方程组求解即可； （2）设再次购进A款跳绳m根，则购进B款跳绳根，销售利润为w元，先根据题意，列出不等式，求出m的取值范围，再根据总利润=A的利润+B的利润，得出w关于m的表达式，结合一次函数的增减性，即可解答． 【详解】（1）解：设购进A款跳绳x根，B款跳绳y根． 根据题意，得， 解得． 答：购进A款跳绳15根，B款跳绳20根． （2）解：设再次购进A款跳绳m根，则购进B款跳绳根，销售利润为w元． 根据题意，得， 解得． 根据题意，得． ∵， ∴w随m的增大而减小． ∴当时，w取最大值，且． 此时． ∴再次购进A款跳绳27根，购进B款跳绳73根，能获得最大销售利润，最大销售利润为1146元． 【变式3-3】校园文化艺术节来临之际，我校八年级某班学生热情高涨，积极准备．在班会时间讨论后，决定购进、两种含有铁一元素的纪念品．若购进种纪念品8件，种纪念品7件，需要115元；若购进种纪念品4件，种纪念品11件，需要95元． (1)求购进、两种纪念品每件各需多少元？ (2)若该班级决定购进这两种纪念品共100件，用于购买这100件纪念品的资金不少于750元，但不超过765元，且销售每件种纪念品可获利润4元，每件种纪念品可获利润3元，该如何进货，获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)购进种纪念品每件需要10元，购进种纪念品每件需要5元商家购进 (2)纪念品53件，则购进纪念品47件，获利最大，最大利润是353元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组、一元一次不等式组及一次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键． (1)依据题意，设购进种纪念品每件价格为元，种纪念品每件价格为元，进而列方程组计算可以得解； (2)依据题意，设购进种纪念品件，总利润为元，根据题意列出关于的一元一次不等式，解不等式得出的取值范围，列出总利润关于购买种纪念品件的函数关系式，根据一次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：由题意，设购进种纪念品每件价格为元，种纪念品每件价格为元， ，解得， 答：购进种纪念品每件需要10元，购进种纪念品每件需要5元； （2）解：设商家购进纪念品件，则购进纪念品件，所获利润为元， 由题意得：， ， ， ， 随的增大而增大， 当时，有最大值，最大值为353，此时，， 商家购进纪念品53件，则购进纪念品47件，获利最大，最大利润是353元． 行程问题（一次函数的实际应用） 例4如图，与分别是根据步行与骑自行车在同一路上行驶的路程与时间的关系式所作出的图象，根据图象填空． (1)出发骑了一段路后，自行车发生故障进行修理，所用的时间是 ___________小时；从起点出发后 ___________小时与相遇； (2)如果的自行车没有发生故障，保持出发时的速度前进，___________小时与相遇，相遇点离的出发点___________千米． 【答案】(1)1，3 (2)， 【分析】本题考查一次函数的应用： （1）修理的时间就是路程不变的时间是小时，从图象看出3小时时，两个图象相交，所以3小时时相遇； （2）求出不发生故障时的解析式和的解析式，再求出两直线的交点坐标，即可得出答案． 【详解】（1）解：在图中发现0.5至1.5小时，自行车没有行走， 修理所用的时间为1小时， 图中两直线的交点是与相遇的时刻， 出发3小时后与相遇． 故答案为：1，3； （2）解：设的自行车不发生故障时，函数解析式为， 根据题意得：， 解得：， 的自行车不发生故障，函数解析式为， 设的解析式为：， 由题意得：， 解得：， 的解析式为：， 由解得：． 的自行车没有发生故障，保持出发时的速度前进，小时与相遇，相遇点离的出发点千米． 故答案为：，． 【变式4-1】小明和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以米/分的速度到达图书馆，小明始终以同一速度骑行，两人行驶的路程（米）与时间（分）的关系如图所示，请结合图象，解答下列问题： (1)___________分，___________分，___________米/分： (2)若小明的速度是120米/分，小明在途中与爸爸第二次相遇的时间是___________分，此时距图书馆的距离是___________米： (3)在（2）的条件下，爸爸自第二次出发至到达图书馆前，与小明相距100米的时间是___________分． 【答案】(1)，，； (2)，； (3)或 【分析】本题考查了一次函数的应用，函数图象获取信息，一元一次方程的应用，利用分类讨论和数形结合的思想解决问题是关键． （1）根据速度路程时间，求出的值，进而求出的值，再根据速度路程时间，求出的值即可； （2）由图象可知，小明在途中与爸爸第二次相遇在段，分别求出段和段的关系时，求出路程相等时的值，进而求出行驶的路程，即可求解； （3）分两种情况讨论：①当爸爸和小明第二次相遇前相距米；②当爸爸和小明第二次相遇后相距米，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，折线为爸爸行驶的路程与时间的关系图，线段为小明行驶的路程与时间的关系图， 分钟， 分钟， 米/分， 故答案为：，，； （2）解：由图象可知，小明在途中与爸爸第二次相遇在段， 设段的关系式为， 将点和代入，得： ，解得：， 段的解析式为， 小明的速度是120米/分， 段的关系式为， ，即， 解得：，即小明在途中与爸爸第二次相遇的时间是分， 此时行驶的路程， 距图书馆的距离是米， 故答案为：，； （3）解：①当爸爸和小明第二次相遇前相距米， 则， 解得：； ②当爸爸和小明第二次相遇后相距米， 则， 解得：， 即爸爸自第二次出发至到达图书馆前，与小明相距100米的时间是或分， 故答案为：或 【变式4-2】、两城间的公路长为千米，甲、乙两车同时从城出发沿这一公路驶向城，甲车到达城1小时后沿原路用每小时千米的速度返回．如图是它们离城的路程（千米）与行驶时间（小时）之间的函数图像． (1)由题设可以得出的值为_______； (2)甲车从城出发时的速度为_______千米/小时； (3)甲车返回过程中与之间的函数解析式是_______； (4)如果乙车的行驶速度为千米/小时，那么甲从城开始返回，经过几个小时与途中的乙车相遇． 【答案】(1) (2) (3) (4)甲从城开始返回，经过个小时与途中的乙车相遇 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，数形结合是解题的关键． （1）根据“路程速度时间”，即可求解； （2）根据“速度路程时间”，即可求解； （3）利用待定系数法即可求解； （4）设甲车经过小时与途中的乙车相遇，列出等量关系即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：（千米）， 故答案为：； （2）甲车从城出发时的速度为：， 故答案为：； （3）设直线的解析式为：， 当时，；当时，； ， 解得：， 甲车返回过程中与之间的函数解析式是， 故答案为：； （4）设经过小时与途中的乙车相遇， ， 解得：， （小时）， 甲从城开始返回，经过个小时与途中的乙车相遇． 【变式4-3】龟兔赛跑是同学们熟悉的寓言故事，乌龟和兔子在比赛过程中的路程与时间（min）的函数关系如图所示．请根据图像完成下列问题： (1)兔子在比赛中睡觉的时间为______分钟； (2)已知兔子在段和段的速度保持一致，则兔子完成比赛共用时______分钟； (3)在（2）的条件下，已知乌龟比兔子提前1分钟到达终点，求乌龟在比赛过程中路程与时间的函数关系式． 【答案】(1)6 (2)11 (3) 【分析】本题考查一次函数的应用，利用待定系数法求函数的表达式是本题的关键． （1）计算点C和B的横坐标之差即可； （2）利用速度，求出段的速度，再利用时间，求出段所用的时间，进而求出完成比赛一共用的时间； （3）根据题意，求出点A的坐标，再利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：兔子在比赛中睡觉的时间为， 故答案为：6． （2）兔子的速度为， 段用时为， ∴兔子完成比赛共用时， 故答案为：11； （3）解：由题意可知，乌龟完成比赛用时， ∴点A的坐标为． 当时，设乌龟在比赛过程中路程与时间的函数关系式为， 将坐标代入， 得， 解得， ∴乌龟在比赛过程中路程与时间的函数关系式． 一次函数与几何综合 例5八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，设直线l和八个正方形的最上面交点为A，则直线l的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形性质和待定系数法求函数解析式．由割补法得求分割点A的位置是解题关键． 如图，利用正方形的性质得到，由于直线将这八个正方形分成面积相等的两部分，则，然后根据三角形面积公式计算出的长，从而可得点坐标．再由待定系数法求出直线l的解析式. 【详解】解：如图， 经过原点的一条直线将这八个正方形分成面积相等的两部分， ， 而， ， ， 点坐标为，． 设直线l的解析式为， ∴，解得， ∴直线l的解析式为 故答案为． 【变式5-1】如果一个函数图像上存在横、纵坐标相等的点，那么称这个点为这个函数图像的“等值点”，比如：点是函数图像上的“等值点”．已知点，点B是函数图像上的“等值点”，点C是函数图像上的“等值点”，如果四边形是等腰梯形，那么点D的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题在新定义下考查了两个函数图象交点，根据等值点定义得等值点在直线图象上，联立方程组，，求解方程组可求出点B，C的坐标，再根据等腰梯形的定义可得点D的坐标． 【详解】解：根据等值点定义得等值点在直线图象上， ∴联立方程组， 解得，， ∴， 联立， 解得，， ∴； 如图， ∴ ∵四边形是等腰梯形， ∴， ∴点的坐标为，或 故答案为：或． 【变式5-2】在平面直角坐标系中，给出以下定义：对于x轴正半轴上的点与y轴正半轴上的点，如果坐标平面内存在一点N，使得，且，那么称点N为M关于P的“垂转点”．例如图1，已知点和点，以为腰作等腰直角三角形，可以得到M关于P的其中一个垂转点．如图2，如果关于y轴上一点P的垂转点N在一次函数的图象上，那么垂转点N的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，坐标与图形，一次函数的性质；分两种情况讨论，将，分别绕点顺时针和逆时针旋转，点在上，进而根据全等三角形的性质求得点的坐标，即可求解． 【详解】解：如图所示，将绕点逆时针旋转，点在上时， 过点作轴于点， 依题意， 又 ∴ ∴ ∴ ∵，则 设，则， ∴ 又∵在上， ∴ 解得： ∴； 如图所示，将绕点顺时针旋转，点在上时， 同理可得， ∴ 又∵在上， ∴ 解得： ∴ 综上所述，或 故答案为：或． 其他问题（一次函数的实际应用） 例6某企业在2024年1至3月的利润情况见表． 月份数（x） 1 2 3 利润数（y）（万元） 96 ？ 100 (1)如果这个企业在2024年1至3月的利润数y是月份数x的一次函数，求这个一次函数的解析式，并求出2月份的利润； (2)这个企业采取技术改革后，实现了利润大幅增长，4、5月份的利润增长率相同，5月份获得利润为121万元，求这个企业4、5月份的利润增长率． 【答案】(1)这个一次函数的解析式为，2月份的利润为98万元 (2)这个企业4、5月份的利润增长率为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）由待定系数法求出关于的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）设这个企业在2022年1至3月的利润数与月份数之间的函数关系式是，由待定系数法求出关于的函数关系式，再代入，即可求出2月份的利润； （2）设这个企业月份的利润增长率为，利用这个企业5月份的利润这个企业3月份的利润这个企业月份的利润增长率，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设这个企业在2022年1至3月的利润数关于月份数的函数关系式是， 将代入得：， 解得：， ∴这个企业在2022年1至3月的利润数与月份数的函数关系式为， 当时，， 答：这个一次函数的解析式为月份的利润为98万元； （2）设这个企业月的利润增长率为， 根据题意得：， 解得：(不符合题意，舍去)． 答：这个企业月份的利润增长率为． 【变式6-1】如图1，“漏刻”是我国古代一种利用水流计时的工具．某校八年级综合实践小组用甲、乙两个透明的圆柱容器和一根装有节流阀（控制水的流速）的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置（如图2）．在甲容器里加满水，此时水面高度为．若由于装置的原因，甲容器内的水无法全部流出，当水面高度刚好是时，停止流水，此时停止计时．上午8:00开始放水后，甲容器的水面高度和流水时间的部分数据如表： 记录时间 8:00 8:10 8:25 8:30 8:40 流水时间 0 10 25 30 40 水面高度 30 28 25 24 22 (1)综合实践小组在平面直角坐标系中描出了以表中各组对应值为坐标的点，并用光滑的曲线（包括直线）把描出的点连接起来（如图3），发现可以用一次函数近似地刻画甲容器的水面高度与流水时间的关系，根据以上信息，求y关于x的函数解析式（不用写定义域）． (2)当时间正好是9:10时，甲容器的水面高度是多少厘米? (3)刚好停止流水时是几时几分? 【答案】(1) (2)甲容器中水面的高度是16厘米 (3)刚好停止流水时是10:25 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法； （1）设函数解析式是，把、代入解析式，即可求解； （2）从8:00到9:10共70分钟，，代入解析式，即可求解； （3）当时，求出时间，即可求解； 掌握待定系数法，理解、表示的实际意义是解题的关键. 【详解】（1）解：设函数解析式是， 把、代入， 得， ， ； （2）解：从8:00到9:10共70分钟， ， ， 答：甲容器中水面的高度是16厘米． （3）解：当时， ， 解得：， 答：刚好停止流水时是10:25． 【变式6-2】某汽车销售店根据过去几个月的销售记录，得到了每月的销售成本y（万元）与销售车辆x（辆）之间的关系如图所示． (1)求y关于x的函数解析式；（不写定义域） (2)如果该店每月的销售收入w（万元）与销售车辆x（辆）之间恰好成正比例关系，且当月销售10辆汽车时，销售收入与销售成本相等． ①求w关于x的函数解析式；（不写定义域） ②如果汽车销售店想要每月的净利润不少于13万元，那么该店每月应至少销售多少辆车？（净利润=销售收入-销售成本） 【答案】(1) (2)①；②每月应至少销售15辆车． 【分析】本题考查了一次函数解析式和正比例函数的应用．首先要学会根据用代入系数法求出解析式；再结合正比例函数解决问题． （1）用待定系数法求y关于x的函数解析式； （2）①用待定系数法求w关于x的函数解析式；②由每月的净利润不少于13万元，可得出，再转化为关于x的不等式求解即可． 【详解】（1）由图可知：与成一次函数关系， 设， 时，，时，， ， 解得：， ； （2）①设每月的销售收入w（万元）与销售车辆x（辆）之间函数关系式为， 当月销售10辆汽车时，销售收入与销售成本相等，此时销售成本为（万元）． ，解得：， w关于x的函数解析式为：； ②由题意得：， 解得：， x为整数， x的最小值为15， 每月应至少销售15辆车． 【变式6-3】某物流公司送货员每月的工资由底薪和送货工资两部分组成，送货工资与送货件数成正比例．现有甲、乙两名送货员，当送货件数量为时，甲的工资是（元），乙的工资是（元）．如下图所示，已知甲的每月底薪是1000元，乙每送一件货物22元．    (1)根据图中信息，分别求出和关于的函数解析式：（不必写定义域） (2)如果甲、乙两人平均每天送货量分别是10件和12件，求两人的月工资分别是多少元？（一个月按30天算） 【答案】(1)， (2)甲、乙两人的月工资分别是8200元和9220元 【分析】本题考查了一次函数的应用，一次函数的图象，利用待定系数法求直线的解析式，以及求函数值，读懂题目信息，理解函数图象是解题的关键． （1）设关于的函数解析式为，将代入，利用待定系数法即可求出；根据乙每送一件货物22元，可设关于的函数解析式为，将代入，利用待定系数法即可求出； （2）根据甲、乙两人平均每天送货量分别是10件和12件，得出甲、乙两人一个月送货量分别是件和件．再把代入，代入，计算即可求解． 【详解】（1）解：设关于的函数解析式为， 将代入，得 ， 解得：； ∴关于的函数解析式为； ∵乙每送一件货物22元， ∴设关于的函数解析式为， 将代入，得 ， 解得：， ∴关于的函数解析式为． （2）解：甲、乙两人一个月送货量分别是件和件． 把代入，得； 把代入，得； 答：甲、乙两人的月工资分别是8200元和9220元． 1．（24-25八年级下·上海·阶段练习）某皮革厂承接A、B两种型号800双皮鞋的加工任务，其中A型皮鞋不得少于．经测算，加工A型皮鞋，每双可获利250元；加工B型皮鞋，每双可获利300元． (1)设生产A型皮鞋的双数为x双，生产两种皮鞋所获得的总利润为y元，求y（元）与x（双）之间的函数解析式． (2)安排生产A型、B型皮鞋各多少双时，才能使该皮革厂获得最大的利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)生产A型皮鞋320双，B型皮鞋480双时，才能使该皮革厂获得最大的利润，且最大利润是元 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题时首先正确理解题意，然后利用题目的数量关系列出函数解析式． （1）设生产A型皮鞋的双数为x双，则生产B型皮鞋双，根据加工A型皮鞋，每双可获利250元；加工B型皮鞋，每双可获利300元列出关系式即可； （2）首先利用不等式组得出x的取值范围，再根据一次函数的性质可得最大利润． 【详解】（1）解：设生产A型皮鞋的双数为x双，则生产B型皮鞋双，根据题意得： ， ∵A型皮鞋不得少于， ∴， 即， ∴y（元）与x（双）之间的函数解析式为， （2）解：∵中，， ∴随x的增大而减小， ∴当时，获得利润最大，且最大值为： （元）， （双）， 答：生产A型皮鞋320双，B型皮鞋480双时，才能使该皮革厂获得最大的利润，且最大利润是元． 2．（22-23八年级下·上海·期末）甲乙两车分别从地将一批货物运送到地，乙车再返回地．如图表示两车离地的路程（千米）随时间（时）变化的图像．已知甲车出发1.5小时后，乙车出发，且乙车到达地，停留半小时卸货后，马上按原路原速返回，请根据图像所提供的信息回答： (1)写出甲车离开地将一批货物送到地对应图像的函数解析式：__________； (2)甲车出发________小时后被乙车追上； (3)甲车与乙车迎面相遇时，离地距离为__________千米． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求解析式，两直线交点问题，数形结合是解题的关键． （1）根据函数图像可得，甲车出发后，到达离A地的B地，可以求出甲车的速度，然后表示函数关系式即可； （2）根据点M的意义即可求得答案； （3）先求得停留半小时后的坐标，根据返回时的速度相等，列方程即可求得答案． 【详解】（1）解：甲车离开地将一批货物送到地对应图像的函数解析式为：， 故答案为：； （2）解：令，则， 解得：， 故答案为：； （3）解：乙车的速度为千米/时， 则， 解得：， ∴距离地距离为千米， 故答案为：． 1.小杰、小明两人在一段笔直的滨江步道上同起点、同终点、同方向匀速步行 米，先到终点的人原地休息．已知小杰先出发分钟，在整个步行过程中，小杰、小明两人间的距离（米）与小杰出发的时间（分）之间的关系如图中折线 所示． (1)求线段的表达式，并写出自变量的取值范围； (2)求小明的步行速度； (3)求小明比小杰早几分钟到达终点? 【答案】(1) (2)小明的步行速度为米/分 (3)小明比小杰早分钟到达终点 【分析】本题考查了一次函数的应用； （1）根据图示，设线段的表达式为：，把，代入得到关于，的二元一次方程组，解之，即可得到答案， （2）根据线段，求出甲的速度，根据图示可知：乙在点处追上甲，根据速度路程时间，计算求值即可， （3）根据图示，求出二者相遇时与出发点的距离，进而求出与终点的距离，结合（2）的结果，分别计算出相遇后，到达终点二者所用的时间，二者的时间差即可所求答案． 【详解】（1）设线段的表达式为： ， 把，代入得： ，解得：， 即线段的表达式为： ， （2）由线段可知：小杰的速度为：(米/分)， 小明的步行速度为：(米/分)， 答：小明的步行速度为米/分， （3）在处小杰、小明相遇时，与出发点的距离为：米)， 与终点的距离为：(米)， 相遇后，到达终点小杰所用的时间为：(分)， 相遇后，到达终点小明所用的时间为：(分)， (分)， 答：小明比小杰早分钟到达终点． 2.某校校长暑假带领该校的“星级学生”去研学旅行，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且全票票价都是元，经过协商，甲旅行社说：“若校长买一张全票，则学生可享受六五折优惠．”乙旅行社说：“包括校长在内都享受七折优惠．”若设星级学生人数为人，甲旅行社收费为元，乙旅行社收费为元． (1)分别写出两家旅行社的收费与学生人数的关系式； (2)若参加研学旅行的学生至人，请就学生人数讨论哪家旅行社更优惠． 【答案】(1)， (2)当学生人数是人时，两家旅行社的收费是一样的；当（为整数）时，乙旅行社更优惠；当（为整数）时，甲旅行社更优惠． 【分析】本题考查一次函数应用题的择优方案选取问题，解题的关键是求出两种方案的解析式分类讨论． （1）根据两家旅行社的活动列式即可得到答案； （2）令，，求解即可得到答案； 【详解】（1）解：根据题意得：， ， ，； （2）解：①当时，， 解得：， 当学生人数是人时，两家旅行社的收费是一样的； ②当时，， 解得：； 当（为整数）时，乙旅行社更优惠； ③当时，， 解得：， 当（为整数）时，甲旅行社更优惠． 3.根据以下素材，探索完成任务． 为落实《健康中国行动（2019—2030）》等文件精神，某学校准备购进一批排球和足球促进校园体育活动，请你根据以下素材，探索完成任务： 素材1 某体育器材店每个排球的价格比足球的价格少20元，用400元购买的排球数量与500元购买的足球数量相等． 素材2 该学校决定购买排球和足球共50个，排球数量不少于22个，且购买足球的数量不少干排球的数量，同时该体育器材店为支持该学校体育活动，对排球提供7.5折优惠，足球提供8折优惠． 问题解决 任务1 探求商品单价 请运用适当的方法求出每个排球和足球的价格． 任务2 确定购买方案 运用数学知识，确定该学校本次购买排球和足球所需费用最少的方案，最少费用是多少？ 【答案】任务2，每个排球80元，每个足球100元；任务2，购买25个排球，25个足球，费用最小，最小为3500元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，熟练掌握解分式方程，不等式是解题的关键． 任务1，设排球的单价为x元，则足球的单价是元，根据用400 元购买的排球数量与500 元购买的足球数量相等，列方程解答即可． 任务2，设排球购买m个，则足球购买了个，根据，设总费用为w元，根据题意，根据一次函数的性质，解答即可． 【详解】任务1：设排球的单价为x元，则足球的单价是元， 根据题意，得 ， 解得， 经检验，是原方程的根， 故， 答：每个排球80元，每个足球100元． 任务2：设排球购买m个，则足球购买了个，根据题意，得 ， 解得， 设总费用为w元，根据题意， 故w随m的增大而减小， ∴时，w最小元， 故方案为购买25个排球，25个足球，费用最小，最小为3500元． 4.某市半程马拉松比赛，甲乙两位选手的行程（千米）随时间（小时）变化的图象如图所示． (1)哪位选手先到终点？__________（填“甲”或“乙”）； (2)甲选手跑到8千米时，用了__________小时．起跑__________小时后，甲乙两人相遇； (3)乙选手在的时段内，与之间的函数关系式是__________； (4)甲选手经过1.5小时后，距离起点有__________千米． 【答案】(1)乙 (2)， (3) (4) 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从图象中获取有用的信息． （1）观察图象直接得出答案； （2）观察图象直接得出答案； （3）求出乙的速度，即可得出与之间的函数关系式； （4）由图象可得在时，甲用小时跑了千米，由此即可得出答案． 【详解】（1）解：由图象可得：乙选手先到达终点， 故答案为：乙； （2）解：由图象可得：甲选手跑到8千米时，用了小时，起跑小时后，甲乙两人相遇， 故答案为：，； （3）解：（千米/小时）， 乙选手在的时段内，与之间的函数关系式是， 故答案为：； （4）解：由图象可得，甲小时距离起点千米，小时距离起点千米， （小时）， 在时，甲用小时跑了千米， ， 甲选手经过1.5小时后，距离起点有（千米）， 故答案为：． 5.在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B， (1)求点A和点B的坐标； (2)点P是直线上的一个动点，且点P在第一象限，当的面积是10时，求点P的坐标； (3)交y轴于点C，D是平面内一点，使得四边形是直角梯形，且，求点D的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】题目主要考查一次函数的图象及面积问题，分类讨论及勾股定理解三角形，理解题意，根据题意分情况分析是解题关键． （1）直接根据一次函数的性质求解即可； (3)在（2）的条件下，设点E是y轴上的一点，当四边形是梯形时，求点E的坐标． 【答案】(1)，6 (2) (3)或 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，掌握一次函数的性质、梯形的性质、三角形全等等，注意分类求解是解题的关键． （1）把点代入一次函数求出，把点代入求出得点，把代入，求出的值即可； （2）证明，得到点G的坐标为，再用待定系数法即可求解； （3）结合梯形的定义分和两种情况，运用待定系数法分别求出的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像与x轴交于点， ∴把点代入一次函数，得： ∴ ∴一次函数的解析式为：， 把点代入，得：， 解得， ∴， 把代入，得， （2）解：过点作交于点G，过点A作y轴的平行线交过点B与x轴的平行线于点F，交过点G与x轴的平行线于点E，如图， ∵，故为等腰直角三角形， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故点G的坐标为， 设直线的表达式为， 把代入得，， 解得， 故直线的表达式为； （3）解：∵是梯形， ∴当时，如图， ∵，点在轴上， ∴； 当时，如图， 对于，当时，， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得，， ∴， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， 综上，点的坐标为或 6.暑期将至，某健身俱乐部为了促销，面向学生推出三种优惠活动． 活动一：购买一张学生暑期VIP卡（800元/张），每次凭卡不需要再付费； 活动二：购买一张学生暑期乐享卡（200元/张），每次费用按平常价格的六折优惠； 活动三：不购买上述暑期卡，凭学生证每次费用按平常价格的九折优惠． 三种活动仅限暑期（7月1日至8月31日期间）使用，次数不限． 又知学生甲计划暑期前往该健身俱乐部15次，如果选择活动二，共需支付费用650元．请根据上述信息，解答下列问题： (1)每次健身的平常价格是______元； (2)设健身x次时，所需总费用为y元．当选择活动三时，y与x的函数关系式是______． (3)学生乙计划暑期前往健身俱乐部25次，选择哪种活动所需费用最少？说明理由． 【答案】(1)50 (2) (3)活动一，理由见解析 【分析】本题主要考查一次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键． （1）设平常价格为m元，根据题意列出方程求解即可； （2）根据题意求解即可； （3）分别计算出三种活动所需费用，再进行比较即可． 【详解】（1）解：设平常价格为m元， 根据题意得 解得 故答案为：50． （2）根据题意得， 故答案为：． （3）活动一：800元 活动二：（元） 活动三：（元） ∵ ∴活动一所需费用最少． 1 / 44 学科网（北京）股份有限公司 $$