重难点02 指数、对数、幂值、三角函数值的比较大小（7题型+高分技法+限时提升练）-2025年高考数学【热点·重点·难点】专练（北京专用）

重难点02 指数、对数、幂值、三角函数值的比较大小 三年考情分析 2025年考向预测 2024年，第9题，考察基本不等式与指数、对数的结合 比较大小的问题，形式灵活、内涵丰富，学生可以综合运用等价转化、数形结合等数学思想方法解决实际问题，是考查学生的逻辑推理和数学运算等核心素养的有效题型载体。近几年，这类试题得到了各类大型考试命题老师的青睐和追捧，需综合复习 题型1 引入中间变量 先利用“0”“1”作为分界点，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小； 若不是“0”“1”为分界点，估算要比较大小的两个值所在的大致区间，寻找合适的中间值； 1．（2022-23高三上·北京朝阳·期中）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·北京·三模）已知，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（2022-23高三上·山东聊城·阶段练习）已知，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 4．（2022-23高三上·福建·期中）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·广东河源·模拟预测），则（   ） A． B． C． D． 题型2 利用奇偶性、单调性 若函数为偶函数,则,运用这一性质可将问题转化到同一单调区间上研究. 1．（2024·山东·一模）设是定义域为上的偶函数，且在单调递增，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024·吉林·三模）设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·上海崇明·一模）若函数为偶函数，对任意的，，且，都有，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·四川德阳·一模）已知函数为上的偶函数，，当时，都有，若，（e为自然对数的底数），则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 5．（2024·湖北·一模）已知定义在R上的函数的图象关于点（1，0）对称，且函数在上单调递增，，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型3 利用换底公式 涉及到对数比较大小，当底不同时，优先考虑换底公式：. 1．（2024·四川泸州·一模）已知函数是上的偶函数，对任意，且都有成立．若，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·上海徐汇·一模）已知 则的大小关系是 （   ） A． B． C． D． 3．（2024·北京朝阳·模拟预测）下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·北京·模拟预测）已知：，则，的大小关系不可能是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·北京海淀·二模）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型4 构造函数 通过对比结构的共同特征，构造相应的函数，再利用函数的单调性，奇偶性等比较大小 1．（2024·北京海淀·一模）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024·广西·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 3．（2024·福建宁德·二模）设，，，则的大小关系为：（     ）. A． B． C． D． 4．（2024·四川内江·一模）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 5．（2024·上海宝山·一模）已知，则的大小为（   ） A． B． C． D． 题型5 放缩法 ①对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数；②指数和幂函数结合来放缩； ③利用均值不等式等不等关系放缩 1．（2024·西藏拉萨·一模）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024·上海徐汇·一模）设，,，则下列大小关系正确的是 （    ） A． B． C． D． 3．（2024·北京顺义·二模）已知，，，试比较a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·北京昌平·二模）若，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2023·北京海淀·三模）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型6 同构法 涉及指数、对数等复杂函数的不等式问题，通过变形将不等式的两边化为相同的结构，从而构造一个函数来进行比较 1．（2024·福建宁德·二模）已知正实数a，b满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023·四川攀枝花·模拟预测）设a，b都为正数，为自然对数的底数，若，则（ ） A． B． C． D． 3．（2022-23高三上·河南许昌·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2024·上海静安·一模）若，满足，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 5．（2024·北京西城·二模）已知实数且则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 题型7 泰勒展开 常见函数的麦克劳林展开式： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 1．（2023·北京房山·二模），，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·上海长宁·一模）英国数学家泰勒发现了如下公式：，，其中.这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性. (1)用前三项计算； (2)已知，，，试比较，，的大小. 3．（2024·上海杨浦·一模）设，则的大小关系为 .（从小到大顺序排） 4．（2024·北京丰台·二模）英国数学家泰勒发现了如下公式：，，其中.已知，则下列说法不正确的是（ ） A． B． C． D．无法判断二者大小 5．（2024·西藏拉萨·一模）英国数学家泰勒给出如下公式：；；，其中．这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性，也可以借助计算工具进行近似计算．若，，，则有（    ） A． B． C． D． （建议用时：60分钟） 1．（2024·北京延庆·一模）若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·上海静安·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（2022·北京昌平·二模）已知，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·北京通州·二模）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 5．（2023·北京西城·一模）已知函数，记，则（    ） A． B． C． D． 6．（2022-23高三上·山西大同·期中）设，，.则（   ） A． B． C． D． 7．（2024·河南新乡·一模）设，则a、b、c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 8．（2024·广东·一模）若，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 9．（2024·四川成都·二模）设，，，则（    ） A． B． C． D． 10．（2024·上海虹口·一模）已知，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 11．（2024·上海静安·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 12．（2022-23高三上·山东聊城·阶段练习）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 13．（2024·江苏南通·一模）设，则（    ） A． B． C． D． 14．（2024·上海宝山·一模）已知，其中是自然对数的底数，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 15．（2024·上海静安·一模）设，则错误的是（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点02 指数、对数、幂值、三角函数值的比较大小 三年考情分析 2025年考向预测 2024年，第9题，考察基本不等式与指数、对数的结合 比较大小的问题，形式灵活、内涵丰富，学生可以综合运用等价转化、数形结合等数学思想方法解决实际问题，是考查学生的逻辑推理和数学运算等核心素养的有效题型载体。近几年，这类试题得到了各类大型考试命题老师的青睐和追捧，需综合复习 题型1 引入中间变量 先利用“0”“1”作为分界点，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小； 若不是“0”“1”为分界点，估算要比较大小的两个值所在的大致区间，寻找合适的中间值； 1．（2022-23高三上·北京朝阳·期中）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为在上单调递减， 所以， 因为在上单调递减，且恒成立， 所以， 因为在上单调递减，所以， 综上：. 故选：A. 2．（2024·北京·三模）已知，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为余弦函数在上为减函数，且， 则，即， 对数函数为增函数，则，即， 又因为，故. 故选：B. 3．（2022-23高三上·山东聊城·阶段练习）已知，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，因为，所以， 因为，所以， ， 所以. 故选：A 4．（2022-23高三上·福建·期中）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，即， ，即， ，所以. 故选：D 5．（2024·广东河源·模拟预测），则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，即， 且，即， ，即， 综上所述：. 故选：B. 题型2 利用奇偶性、单调性 若函数为偶函数,则,运用这一性质可将问题转化到同一单调区间上研究. 1．（2024·山东·一模）设是定义域为上的偶函数，且在单调递增，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由是定义域为上的偶函数，且，所以， 因为在上递增，且，所以， 而，则， 而在单调递增，所以， 故选：B. 2．（2024·吉林·三模）设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数是定义域为的偶函数，且在单调递减， 所以 ， ， ∴， ，即. 故选：C. 3．（2024·上海崇明·一模）若函数为偶函数，对任意的，，且，都有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，且，都有， 所以函数在上单调递减． 又函数为偶函数，所以函数的图象关于直线对称， 所以．又，， 因为， 所以； 因为， 所以． 所以，所以， 即． 故选：A 4．（2024·四川德阳·一模）已知函数为上的偶函数，，当时，都有，若，（e为自然对数的底数），则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵，当时，都有， ∴在上单调递减， ∵函数为上的偶函数， ∴在上单调递增． ， ∵，，∴， ， ∴， ∴，即． 故选：A． 5．（2024·湖北·一模）已知定义在R上的函数的图象关于点（1，0）对称，且函数在上单调递增，，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：因为函数的图象关于点(1，0)对称，所以的图象关于点(0，0)对称,即函数为奇函数， 所以，，， 故，又函数在上单调递增，所以， 故选：C. 题型3 利用换底公式 涉及到对数比较大小，当底不同时，优先考虑换底公式：. 1．（2024·四川泸州·一模）已知函数是上的偶函数，对任意，且都有成立．若，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意，函数是上的偶函数，则函数的图象关于直线对称， 又由对任意，且，都有成立，则函数在上为增函数， 又，，， 又，所以，由函数的图象关于直线对称，知， 又，所以，故， 故选：A． 2．（2024·上海徐汇·一模）已知 则的大小关系是 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】方法一：由 所以，所以， 又因为，而，所以， 而，而 所以，即， 故； 故选：A. 方法二：取近似值， 由， ， ， 所以， 故选：A. 3．（2024·北京朝阳·模拟预测）下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对A，根据指数函数以及，可得，故A错误； 对B，根据指数函数性质即可判断；底数大于1时是增函数，底数越大增的越快即越大，故B错误； 对C，因为，，故C错误； 对D， ，故D正确. 故选：D 4．（2024·北京·模拟预测）已知：，则，的大小关系不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，则且，且， 由换底公式可得，且，则， 当时，则，即； 当时，则，则； 当时，则，则； 故选：A 5．（2024·北京海淀·二模）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵，， ∴，，，， ∴, ∵， ∴，即，∵，，∴ 故选：D． 题型4 构造函数 通过对比结构的共同特征，构造相应的函数，再利用函数的单调性，奇偶性等比较大小 1．（2024·北京海淀·一模）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，求导得， 令，所以，所以在上单调递增， 所以，所以，所以单调递增， 所以，所以， 所以，所以，即， 令，求导得， 所以在上单调递减，所以， 所以，所以，所以， 所以，所以. 故选：B. 2．（2024·广西·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】记，则， 可知在上单调递增，则，即， 可得； 又因为，则，即； 所以. 故选：B. 3．（2024·福建宁德·二模）设，，，则的大小关系为：（     ）. A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，求导得，，， 当时，，函数在单调递减， 当时，，函数在单调递增， 所以，所以，当且仅当，时等号成立，所以， 所以，设，则， 记，则，记， 则，所以在上单调递增， 故时，，即， 所以在上单调递增，故时，， 即，所以在上单调递增， 故时，，即，所以， 又，所以，即，所以． 故选：A 4．（2024·四川内江·一模）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得， 令，求导得，令， 求导得，函数在上单调递减，， 即，函数在上单调递减，则， 即，，因此； 令，求导得，当时，， 即，函数在上单调递减，则， 即，，因此， 所以. 故选：C 【点睛】关键点点睛：对被比较大小的两个数取对数并作商，再构造函数是求解问题的关键. 5．（2024·上海宝山·一模）已知，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：因为，， 设， 则， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以，， 又因为， 所以. 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题关键在于观察式子的共同特征，构造函数，利用导数判断单调性，进而比较大小，然后结合对数运算，利用作差法比较可得. 题型5 放缩法 ①对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数；②指数和幂函数结合来放缩； ③利用均值不等式等不等关系放缩 1．（2024·西藏拉萨·一模）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】构造函数，其中， 当时，，，由不等式的性质可得， ， 所以，函数在上为减函数， 因为，， ， 所以，，即， 故选：A. 2．（2024·上海徐汇·一模）设，,，则下列大小关系正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则， 所以在上单调递增， 所以，即， 令，则， 所以在上单调递增， 从而，即，， 所以，， 从而当时，， ， 所以. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：在比较的大小关系时，可以通过先放缩再构造函数求导，由此即可顺利得解. 3．（2024·北京顺义·二模）已知，，，试比较a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】先证明两个不等式： （1），设，则 ，即在上单调递减，故 ，即成立 （2），设，则 ，即在上单调递增，故 ，即成立 再说明一个基本事实，显然，于是. 由（1）可得，取，可得； 由（2）可得，取，可得，再取，可得，即. ，显然，于是； ，显然，于是.故. 故选：B 4．（2024·北京昌平·二模）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】显然，， 因为，所以； 又因为，， 令，．则， 可知在上单调递增， 则，可得， 令，，则在内恒成立， 可知在内单调递增， 则，即，所以； 综上所述：． 故选：A． 5．（2023·北京海淀·三模）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则恒成立， 所以在单调递增， 所以当时，，即； 令，则恒成立， 所以在单调递增， 所以当时，，即； 由诱导公式得， 所以，因此； 因为，， 故只需比较与的大小， 由二项式定理得，， 所以． 综上，. 故选：C 【点睛】方法点睛：本题考查比较大小问题，此类问题常见的处理方法为： （1）中间值法：通过与特殊的中间值比较大小，进而判断两个数的大小关系； （2）构造函数法：通过观察两个数形式的相似之处，构造函数，利用导数研究函数单调性与极值等性质进而比较大小； （3）放缩法：利用常见的不等式进行数的放缩进而快速比较大小. 题型6 同构法 涉及指数、对数等复杂函数的不等式问题，通过变形将不等式的两边化为相同的结构，从而构造一个函数来进行比较 1．（2024·福建宁德·二模）已知正实数a，b满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知得， 即， 构造函数， 则，且， 所以， 又在单调递增，所以. 故选：B. 2．（2023·四川攀枝花·模拟预测）设a，b都为正数，为自然对数的底数，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知，即. 设，则，. ，，. 当时，， 在上单调递增，所以. 故选：B. 3．（2022-23高三上·河南许昌·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】令，则. 当时，；当时，； 可知在内单调递增，在内单调递减， 若，则，即，可得，即充分性成立； 若，例如，则， 但不满足，即必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4．（2024·上海静安·一模）若，满足，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，即， 构造函数，则， 由，当时，， 可知函数在上单调递增， A，B项，已知，，又， 则由可得，所以， 又，所以，即， 所以有，则，故A正确，B错误； C，D项，取，则. 则， 其中不满足，也不满足，故C，D错误. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键，是通过指对运算，将不等式两边变换为同构形式，从而构造函数利用函数单调性比较大小，进而证明不等式. 5．（2024·北京西城·二模）已知实数且则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】原等式， 令，则， 即在上单调递增，显然在上也单调递增， 又，可得，所以， 则有，即， 又，即， 显然D正确，C错误； 由上知，即A错误； 因为取，由D可知，推不出，故B错误. 故选：D. 【点睛】思路点睛：对于双变量等式可采用构造函数的方法，本题巧用常用的切线放缩，及指对构造，利用所构函数的单调性计算即可判定大小. 题型7 泰勒展开 常见函数的麦克劳林展开式： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 1．（2023·北京房山·二模），，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，， 因为，所以， 由泰勒展开得 ， ， 所以 ， 故，综上所述a，b，c的大小关系是. 故选：C 2．（2024·上海长宁·一模）英国数学家泰勒发现了如下公式：，，其中.这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性. (1)用前三项计算； (2)已知，，，试比较，，的大小. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）. （2）法1：， 下证：， 证明：如图，在单位圆中，，与单位圆的交点为，， 因大于扇形的面积，故， 故. 由上述不等式可得，故， 故    法2：， 而 ， 而， 且， 故， 故. 【点睛】关键点点睛：利用泰勒展开式估计时，注意根据相邻两项的大小进行合理的舍项，另外对于不同名的三角函数值的大小比较，注意利用单位圆来处理. 3．（2024·上海杨浦·一模）设，则的大小关系为 .（从小到大顺序排） 【答案】 【详解】[方法一]：【最优解】构造函数法 记，则，当时，，故在上单调递增，故，故， 记，则，当时，，故在单调递减，故，故，因此． 故答案为： [方法二]：泰勒公式放缩 ，由函数切线放缩得，因此. 故答案为： 【整体点评】方法一：根据式子特征，构造相关函数，利用其单调性比较出大小关系，是该题的通性通法，也是最优解； 方法二：利用泰勒公式以及切线不等式放缩，解法简洁，但是内容超出教材，不是每一个同学可以掌握． 4．（2024·北京丰台·二模）英国数学家泰勒发现了如下公式：，，其中.已知，则下列说法不正确的是（ ） A． B． C． D．无法判断二者大小 【答案】A 【详解】由题意可知，，所以. 故选：A. 5．（2024·西藏拉萨·一模）英国数学家泰勒给出如下公式：；；，其中．这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性，也可以借助计算工具进行近似计算．若，，，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， ， ，则， 因此. 故选：C. （建议用时：60分钟） 1．（2024·北京延庆·一模）若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为是上的增函数， 所以，即， 又因为是增函数，所以， 又是上的增函数， 所以，即， 综上所述，a，b，c的大小关系为. 故选：A. 2．（2024·上海静安·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，， 所以， 又， 所以，所以. 故选：B 3．（2022·北京昌平·二模）已知，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可构造函数， 则，令，解得， 因此可得当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 可知在处取得极小值，也是最小值，所以， 即，故，即 当时，有，所以，可得； 令， 则， 故在上单调递增， 可得，即， 取，则，所以，可得； 综上可得，. 故选：A 【点睛】方法点睛：比较指数以及对数大小问题时，经常通过观察式子的特征合理构造函数并利用导数求得单调性即比较得出结论. 4．（2024·北京通州·二模）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，， ，， ，， . 故选：D. 5．（2023·北京西城·一模）已知函数，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：因为， 所以； 又因为， 所以， 又因为在上单调递减， 所以， 故选：D． 6．（2022-23高三上·山西大同·期中）设，，.则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 又因为函数在上递增，所以，即， 因为函数在上递增， 所以， 则，即，即， 综上可得：. 故选：D. 7．（2024·河南新乡·一模）设，则a、b、c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，且， ， ， 所以 故选：C 8．（2024·广东·一模）若，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 而，且． 所以，故． 故选：D. 9．（2024·四川成都·二模）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，，， 设，，则， 故当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 因为，，，且， 可得，，所以. 故选：D. 10．（2024·上海虹口·一模）已知，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以在上均单调递增， 所以，即， 对于，构造函数， 易知时，，即此时函数单调递增，则， 所以， 因为在上单调递增，所以， 综上. 故选：A 11．（2024·上海静安·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A选项，当时，，因为，所以A错误； C选项，，由，得， 令，则， ，由，得，由，得， 则函数在上单调递减，在上单调递增，    且时，，当时，， 因为，由，得，即，所以，选项C正确； B选项，由C知，则，即，所以B错误； D选项，因为，所以，得，D错误. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：同构变形得到，令，则，结合，得，得到. 12．（2022-23高三上·山东聊城·阶段练习）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，. 令，则， 令，则， 令，则，当时，， ∴在上是减函数，且，， ∴，使得， ∴当时，，当时，， ∴在上为增函数，在为减函数. ∵，， ∴当时，， ∴在上为增函数. ∵， ∴， ∴. ②令， 则， ∴在上为增函数. ∵, ∴， ∴. 故选：B. 【点睛】方法点睛：构造函数比大小问题，比较两个数大小的方法如下： ①将两个数恒等变形，使两数有共同的数字， ②将看成变量，构造函数， ③分析包含的某个区域的函数单调性， ④根据函数单调性比较大小. 13．（2024·江苏南通·一模）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，， 令，，则， 所以函数在上单调递减， ，即，则， ，， 又，，即， . 故选：C. 14．（2024·上海宝山·一模）已知，其中是自然对数的底数，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】设函数，由，得求导得， 当时，，所以，即，故在上递增； 当时，，则，即，故在上递减. 对于A，由，当，即时，； 当，即时，因在上递增，由，可得，即， 综上，，故A错误； 对于B，若，则，又在上单调递增， 故成立，即存在，使得，故B错误； 对于C，由，当，即时，，即则显然成立； 当，即时，令， 因为，当且仅当，即时等号成立， 故当时，，即，由，得， 又，则，且， 又在上递增，所以，即，即则， 综上，，故C正确； 对于D，取，则，又在上单调递减，故， 所以存在满足题意，但此时，即，故D错误. 故选：C. 【点睛】思路点睛：本题主要考查由条件构造函数，利用函数单调性的综合题，属于难题. 解题思路在于将题设不等式同构后得到函数，利用求导推得其单调性，再利用函数单调性，分析判断各选项中参变量之间的大小关系，有时需要利用举反例排除选项. 15．（2024·上海静安·一模）设，则错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 设， 所以， 所以函数在上单调递减， 所以， 所以时，， 所以，即， 所以，所以,A正确； 令， 则， 当时，，函数在单调递增， 所以， 即，,B错误； 令， 则 , 单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以单调递减, , 即，,C正确； 令， 则， 所以在上单调递减， 所以， 即，,D正确. 故选：B 【点睛】方法点睛：比较大小问题，根据结构特征构造函数，利用导数分析单调性，进而判断大小. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！29 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$