第01讲 直线的相交（3个知识点+10类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（浙教版2024）

第01讲 直线的相交 （3个知识点+10类热点题型讲练+习题巩固） 课程标准 学习目标 ①对顶角的性质； ②利用有关对顶角的性质，并且包含较多的说理过程； 1. 了解相交线和对顶角的概念； 2. 理解对顶角相等； 3. 会利用余角、补角和对顶角的性质进行有关角的计算。 知识点01：对顶角 对顶角是两个角之间的一种位置关系。两条直线相交时会产生一个交点，并产生以这个交点为顶点的四个角。称其中不相邻的两个角互为对顶角。或者说，其中的一个角是另一个的对顶角。 对顶角满足下列定理：两直线相交，对顶角相等。 【即学即练1】 1．如图，和是对顶角的是（　　） A． B．   C．   D．   【即学即练2】 2．如图所示，如图所示，直线，相交，所形成的，，，中，的对顶角是（    ）    A． B． C． D．和 知识点02：垂直 1．垂直的定义：如图，直线a、b相交成的四个角中有一个角是直角（通常标上直角标记），则直线a与直线b互相垂直，记作a⊥b或者b⊥a，交点O就是垂足．其中a是b的垂线，b也是a的垂线．垂线是直线，且相对于另一条直线而言． a b Oa 图1 2．垂直定义的应用： 　 （1）判定：若直线AB和CD相交，交点为O，∠BOC＝90°，则 AB⊥CD．这个推理过程可表示为： ∵ ∠BOC＝90°， ∴ AB⊥CD．　（垂直的判定）． （2）性质：若两条直线AB⊥CD，垂足为点O，则 ∠AOC＝∠AOD＝∠BOC＝∠BOD＝90°， 这个推理过程可表示为： ∵ AB⊥CD ∴ ∠BOC＝90°（垂直的定义）． C B Oa 图2 A D 【即学即练3】 3．如图，在同一平面内，，，垂足为O，则与 重合的理由是（    ）    A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．垂直于同一直线的两条直线平行 【即学即练4】 4．如图，于点O，直线经过点O，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 知识点03 邻补角 ‌邻补角‌是指两个角有一条公共边，并且它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角。具体来说，邻补角具有以下特征： ‌公共边和公共顶点‌：邻补角有一个公共的顶点和一条公共边‌12。 ‌反向延长线‌：两个角的另一条边互为反向延长线‌12。 ‌角度和为180度‌：邻补角的度数之和为180度，即它们是互补的‌12。 ‌成对出现‌：邻补角是成对出现的，一个角是另一个角的邻补角‌2。 ‌平角‌：互为邻补角的两个角相拼成一个平角，即180度‌2。 定义和性质 邻补角的定义是：两个角有一条公共边和共同的顶点，且它们的另一条边互为反向延长线，这样的两个角互为邻补角。例如，在一条直线上，相邻的两个直角（90度）就是邻补角‌12。 实际应用 邻补角在几何学中有重要的应用。例如，在解决一些几何问题时，可以利用邻补角的性质来简化计算。此外，邻补角在平面几何中也有广泛的应用，特别是在直角三角形中，一个锐角的邻补角必然是钝角‌ 题型01 相交线 【典例1】下列图形满足“直线与直线相交，点M既在直线，又在直线上”的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】平面上的三条直线最多可将平面分成（    ）部分 A．4 B．6 C．7 D．8 【变式2】直线的位置关系如图所示，下列语句：①点在直线上；②直线经过点；③直线交于点；④点在直线外；⑤直线两两相交．以上表述正确的有 ．（只填写序号）    【变式3】一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有 个交点；8条直线两两相交，最多有 个交点． 【变式4】平面内n条直线最多将平面分成多少个部分？ 题型02 垂线的定义理解 【典例1】如图，直线相交于点O，射线，垂足为点O，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，已知，，所以与在同一条直线上的理由是（   ） A．两点确定一条直线 B．经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 C．过一点只能作一条垂线 D．垂线段最短 【变式2】如图，直线AB、CD相交于点O，于点O，， 度． 【变式3】如图，直线相交于点O，于点O， 度． 【变式4】如图，交直线于点O，射线在内，平分，其中． (1)求的度数； (2)求的度数． 题型03 画垂线 【典例1】在平面内，过一点画已知直线的垂线，可画垂线的条数是（   ） A．1 B．2 C．无数 D．不存在 【变式1】下列各图中，过直线l外的点P画l的垂线．三角尺操作正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，一束光线以入射角为50°的角度射向斜放在地面AB上的平面镜CD，经平面镜反射后与水平面成30°的角，则CD与地面AB所成的角∠CDA的度数是 ． 【变式3】如图，过直线l外一点A，作直线l的垂线，可以作 条. 【变式4】如图，平面上有四个点A、B、C、D，按照要求作图： (1)画出线段． (2)画出直线． (3)在直线上面出与点B距离最短的点E并说明这样画的理由． 题型04 垂线段最短 【典例1】如图，点P是直线a外的一点，点在直线a上，且，垂足为点，则下列正确的语句是（   ） A．线段的长是点P到直线a的距离 B．三条线段中，最短 C．线段的长是点A到直线的距离 D．线段的长是点C到直线的距离 【变式1】小峰同学家在点处，他在行走速度相同的情况下，想尽快到达公路边，他选择沿线段去公路边，这一选择用到的数学知识是（    ） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．两点之间，线段最短 D．过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 【变式2】如图，在中，过点C作于点D，M是边上的一个动点，连接．若，则线段的长的最小值是 ． 【变式3】如图，欲在河岸上某处P点修建一水泵站，将水引到村庄C处，可在图中画出垂直，垂足为P，然后沿铺设，则能使铺设的管道长最短，这种设计的依据是： ． 【变式4】如图所示的正方形网格，所有小正方形的边长都为，、、都在格点上． (1)利用网格作图：过点画直线的垂线，垂足为点； (2)线段的长度是点______到直线_______的距离； (3)比较大小：______（填＞、＜或＝），理由：______． 题型05 点到直线的距离 【典例1】若P为直线l外一定点，A为直线l上一点，且，d为点P到直线l的距离，则d的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，量得直线l外一点P到l的距离的长为，点A是直线l上的一点，那么线段的长不可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在三角形中，，，垂足为．若，，，则点A到直线的距离为 ，点到直线的距离为 ，点到直线的距离为 ． 【变式3】如图，P是直线l外一点，A，B，C三点在直线l上，且于点B，，若，，，，则点A到直线的距离是 ． 【变式4】如图，点是的边上的一点，请过点画出，的垂线，分别交于点，，哪条线段的长度表示点到直线的距离？ 题型06 对顶角的定义 【典例1】下面四个图形中，与是对顶角的为（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列说法正确的是（    ） A．如果，则和是对顶角 B．如果和有公共的顶点，则和是对顶角 C．对顶角都是锐角 D．锐角的对顶角也是锐角 【变式2】若一个角的对顶角是它的补角的，则这个角的度数为 ． 【变式3】若条直线两两相交于不同的点时，可形成 对对顶角． 【变式4】如图，直线和相交于点O，；垂足为O，平分，．解 (1)的邻补角是 ；的对顶角是 ； (2)求的度数． 题型07 对顶角相等 【典例1】如图，直线、相交于点O，平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，直线、相交于点，为直角，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，直线和直线相交于点，，则 ． 【变式3】如图，直线、相交于点O，平分，，， ， ． 【变式4】如图，已知直线、相交于点，． (1)若，求的度数． (2)若，平分，求的度数． 题型08 邻补角的定义理解 【典例1】下列四个图中，一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，直线相交于点O，于点O，平分若则下列结论中不正确的是（   ） A． B． C．与互为邻补角 D．与互为邻补角 【变式2】如图，直线、相交于点、平分、于点，则 ． 【变式3】两直线相交所成的四个角中，有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为 ． 【变式4】如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西，，射线是的反向延长线． (1)射线的方向是________； (2)求的度数； (3)若射线平分，求的度数． 题型09 找邻补角 【典例1】如图，直线AB、MN相交于一点O，，则∠COM的邻补角是（    ） A．∠AON B．∠AOC C．∠NOC D．∠MOB 【变式1】如图，两条直线与相交于点O，是射线，则图中共有邻补角和对顶角的数量分别为（    ） A．6对，2对 B．4对，2对 C．8对，4对 D．4对，4对 【变式2】如图，点O是直线 上一点，自点O引射线，图中共有 对邻补角． 【变式3】如图，直线相交于点，则的对顶角是 ，的邻补角是 ；若，则 ， ． 【变式4】如图，直线、交于点，已知，    (1)分别写出的邻补角、余角； (2)若，试说明． 题型10 利用邻补角互补求角度 【典例1】如图，已知是直线上一点，，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，直线相交于点O，于O，，的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，直线、相交于点，若，则直线与的夹角的度数为 ． 【变式3】如图，直线与直线相交于点，于点，且，则的度数为 ． 【变式4】如图，直线相交于点． (1)若，则的余角有__________． (2)若，求和的度数． 1．如图，直线、相交于点O，，垂足为O，．则的度数为（   ）    A． B． C． D． 2．如图，直线于点O，直线经过点O，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．a，b，c为同一平面内的任意三条直线，那么它们的交点可能有（    ）个 A．1，2或3 B．0，1，2或3 C．1或2 D．以上都不对 4．如图所示，直线相交于点，，射线平分，射线平分，则等于（    ） A． B． C． D． 5．如图，直线，相交于点，平分，于点．若，下列说法：①；②；③．其中正确的是（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 6．已知，等于，则的度数为 ． 7．已知直线和相交于点，射线于点，且，则的度数为 度． 8．如图，直线、相交于点．已知，把分成两个角，且，将射线绕点逆时针旋转角到，若时，的度数是 ． 9．如图，直线，相交于点，，平分，，则的度数为 ． 10．如图，点O在直线上，平分，，，设，利用方程的思想，求得 ． 11．如图，已知直线相交于点O，与互余，平分，，求的度数． 12．如图，直线相交于点O，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 13．如图，直线与相交于点，． (1)如果，那么根据________，可得________； (2)如果，求的度数． 14．已知，． (1)如图1，若，的度数是______； (2)如图2，若，的度数是______； (3)根据（1）（2）结果猜想与有怎样的关系？并根据图1说明理由； (4)如图2，若，则的度数是______，的度数是______． 15．如图1，为直线上一点，过点在直线的下方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的上方． (1)将图1中的三角板以每秒的速度绕点顺时针旋转（始终保持在直线的上方），在旋转的过程中，第秒时，恰好与在同一直线上，请直接写出的值． (2)将图1中的三角板绕点顺时针旋转到图2所示的位置，使一边在的内部，且恰好平分，求的度数． (3)将图1中的三角板绕点顺时针旋转到图3的位置，使在的内部，请探究与的数量关系，并说明理由． 2 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 直线的相交 （3个知识点+10类热点题型讲练+习题巩固） 课程标准 学习目标 ①对顶角的性质； ②利用有关对顶角的性质，并且包含较多的说理过程； 1. 了解相交线和对顶角的概念； 2. 理解对顶角相等； 3. 会利用余角、补角和对顶角的性质进行有关角的计算。 知识点01：对顶角 对顶角是两个角之间的一种位置关系。两条直线相交时会产生一个交点，并产生以这个交点为顶点的四个角。称其中不相邻的两个角互为对顶角。或者说，其中的一个角是另一个的对顶角。 对顶角满足下列定理：两直线相交，对顶角相等。 【即学即练1】 1．如图，和是对顶角的是（　　） A． B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查了对顶角的定义，如果两个角有公共顶点，其中一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，那么这两个角是对顶角．一般地，两条直线相交能形成两对对顶角． 【详解】解：A、和的两边不互为反向延长线，不是对顶角，不符合题意； B、和没有公共顶点，不是对顶角，不符合题意； C、和是对顶角，符合题意； D、和的两边不互为反向延长线，不是对顶角，不符合题意； 故选C． 【即学即练2】 2．如图所示，如图所示，直线，相交，所形成的，，，中，的对顶角是（    ）    A． B． C． D．和 【答案】C 【分析】根据对顶角的定义：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，解答即可． 【详解】解：的对顶角是． 故选：C． 【点睛】本题考查了对顶角的定义，是基础题，熟记概念并准确识图是解题的关键． 知识点02：垂直 1．垂直的定义：如图，直线a、b相交成的四个角中有一个角是直角（通常标上直角标记），则直线a与直线b互相垂直，记作a⊥b或者b⊥a，交点O就是垂足．其中a是b的垂线，b也是a的垂线．垂线是直线，且相对于另一条直线而言． a b Oa 图1 2．垂直定义的应用： 　 （1）判定：若直线AB和CD相交，交点为O，∠BOC＝90°，则 AB⊥CD．这个推理过程可表示为： ∵ ∠BOC＝90°， ∴ AB⊥CD．　（垂直的判定）． （2）性质：若两条直线AB⊥CD，垂足为点O，则 ∠AOC＝∠AOD＝∠BOC＝∠BOD＝90°， 这个推理过程可表示为： ∵ AB⊥CD ∴ ∠BOC＝90°（垂直的定义）． C B Oa 图2 A D 【即学即练3】 3．如图，在同一平面内，，，垂足为O，则与 重合的理由是（    ）    A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．垂直于同一直线的两条直线平行 【答案】C 【分析】根据同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直进而得出答案． 【详解】解：，，垂足为O， 与重合（同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直）， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了垂线的性质，正确把握定义是解题关键． 【即学即练4】 4．如图，于点O，直线经过点O，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，得出，再根据，由余角的定义可得出，再根据补角的定义可得出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了垂线的定义，平角的定义，关键是利用和的数据进行计算． 知识点03 邻补角 ‌邻补角‌是指两个角有一条公共边，并且它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角。具体来说，邻补角具有以下特征： ‌公共边和公共顶点‌：邻补角有一个公共的顶点和一条公共边‌12。 ‌反向延长线‌：两个角的另一条边互为反向延长线‌12。 ‌角度和为180度‌：邻补角的度数之和为180度，即它们是互补的‌12。 ‌成对出现‌：邻补角是成对出现的，一个角是另一个角的邻补角‌2。 ‌平角‌：互为邻补角的两个角相拼成一个平角，即180度‌2。 定义和性质 邻补角的定义是：两个角有一条公共边和共同的顶点，且它们的另一条边互为反向延长线，这样的两个角互为邻补角。例如，在一条直线上，相邻的两个直角（90度）就是邻补角‌12。 实际应用 邻补角在几何学中有重要的应用。例如，在解决一些几何问题时，可以利用邻补角的性质来简化计算。此外，邻补角在平面几何中也有广泛的应用，特别是在直角三角形中，一个锐角的邻补角必然是钝角‌ 题型01 相交线 【典例1】下列图形满足“直线与直线相交，点M既在直线，又在直线上”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相交线以及点与直线的位置关系，两条直线交于一点，我们称这两条直线为相交线．根据直线与直线相交，点M既在直线，又在直线上进行判断，即可得出结论． 【详解】解：A．直线与直线相交，点M在直线，不在直线上，故本选项不符合题意； B．直线与直线相交，点M不在直线，在直线上，故本选项不符合题意； C．直线与直线相交，点M既在直线，又在直线上，故本选项符合题意； D．直线与直线相交，点M既不在直线，也不在直线上，故本选不项符合题意； 故选：C． 【变式1】平面上的三条直线最多可将平面分成（    ）部分 A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】题目主要考查相交线，理解题意，掌握相交线的性质是解题关键． 【详解】解：如图，三条直线两两相交时将平面分为7部分， 故选C． 【变式2】直线的位置关系如图所示，下列语句：①点在直线上；②直线经过点；③直线交于点；④点在直线外；⑤直线两两相交．以上表述正确的有 ．（只填写序号）    【答案】②③④⑤ 【分析】本题考查了点和直线的位置关系，直线和直线的位置关系，根据图性逐项判断即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由图可知，点在直线外，故①错误； 由图可知，直线经过点，故②正确； 由图可知，直线交于点，故③正确； 由图可知，点在直线外，故④正确； 由图可知，直线两两相交，故⑤正确； ∴以上表述正确的有②③④⑤， 故答案为：②③④⑤． 【变式3】一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有 个交点；8条直线两两相交，最多有 个交点． 【答案】 【分析】由已知一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有10个交点总结出：在同一平面内，n条直线两两相交，则有  个交点，代入即可求解． 【详解】解：∵由已知总结出在同一平面内，n条直线两两相交，则最多有 个交点， ∴8条直线两两相交，交点的个数最多为 ． 故答案为：． 【点睛】此题考查的知识点是相交线，关键是此题在相交线的基础上，着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊到一般猜想的方法． 【变式4】平面内n条直线最多将平面分成多少个部分？ 【答案】 【分析】根据题意画出图形，然后可寻找规律，进而问题可求解． 【详解】解：首先画图如下，列表如下： 直线条数 1 2 3 4 … 平面最多被分成的部分个数 2 4 7 11 … 当时，平面被分成2个部分； 当时，增加2个，最多将平面分成（个）部分； 当时，增加3个，最多将平面分成（个）部分； 当时，增加4个，最多将平面分成（个）部分；…； 所以当有n条直线时，最多将平面分成（个）部分． 【点睛】本题主要考查图形规律及几何初步，解题的关键是得到直线把平面分成几个部分的一般规律． 题型02 垂线的定义理解 【典例1】如图，直线相交于点O，射线，垂足为点O，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂直的定义，邻补角的定义，求出的度数是解题的关键．根据垂直的定义可求的度数，然后根据邻补角的定义求解即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴． 故选：C． 【变式1】如图，已知，，所以与在同一条直线上的理由是（   ） A．两点确定一条直线 B．经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 C．过一点只能作一条垂线 D．垂线段最短 【答案】B 【分析】本题考查了垂线的基本事实，根据垂线的基本事实结合图形得出结论是解题关键．利用同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直进而得出答案即可． 【详解】解：因为，， 所以直线与重合， 其理由是：同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故选：B． 【变式2】如图，直线AB、CD相交于点O，于点O，， 度． 【答案】47 【分析】本题考查垂直的定义，角的和差．根据垂直的定义得到，再根据角的和差即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 【变式3】如图，直线相交于点O，于点O， 度． 【答案】 【分析】此题主要考查了垂线的性质．根据垂直定义可得的度数，然后再根据可得． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 【变式4】如图，交直线于点O，射线在内，平分，其中． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，找准角度之间的和差关系，是解题的关键： （1）垂直得到，利用即可得出结果； （2）角平分线的定义求出的度数，平角的定义求出的度数． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）∵，平分， ∴， ∴． 题型03 画垂线 【典例1】在平面内，过一点画已知直线的垂线，可画垂线的条数是（   ） A．1 B．2 C．无数 D．不存在 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂线的性质，根据垂线的性质解答即可，理解性质是解题的关键．即在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 【详解】在平面内，过一点画已知直线的垂线，可画垂线的条数是， 故选：． 【变式1】下列各图中，过直线l外的点P画l的垂线．三角尺操作正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查画垂线，用直角三角板的一条直角边与l重合，另一条直角边过点P后沿直角边画直线即可． 【详解】解：用直角三角板的一条直角边与l重合，另一条直角边过点P后沿直角边画直线， ∴D选项的画法正确， 故选：D． 【变式2】如图，一束光线以入射角为50°的角度射向斜放在地面AB上的平面镜CD，经平面镜反射后与水平面成30°的角，则CD与地面AB所成的角∠CDA的度数是 ． 【答案】70° 【详解】解：过点E作EM⊥CD于E． 根据题意得：∠1=∠2=50°，∠END=30°， ∴∠DEN=40°， ∴∠CDA=∠DEN+∠END=30°+40°=70°． 故答案为70°． 【点睛】本题借助物理里的反射光线考查了三角形外角定理．属于学科交叉知识，题目难度不大，注意数形结合思想的应用． 【变式3】如图，过直线l外一点A，作直线l的垂线，可以作 条. 【答案】1 【详解】试题解析：过直线l外一点A，作直线l的垂线，可以作1条. 故答案为1. 点睛：平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 【变式4】如图，平面上有四个点A、B、C、D，按照要求作图： (1)画出线段． (2)画出直线． (3)在直线上面出与点B距离最短的点E并说明这样画的理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析，垂线段最短 【分析】本题考查了直线、射线、线段，以及垂线段，关键是掌握直线、射线、线段的性质． （1）以A、B为端点，画线段即可； （2）过C、D画直线即可； （3）过点B作直线的垂线段即可． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求， （2）解：如图，直线即为所求； （3）解：如图，点E即为所求， 理由是垂线段最短． 题型04 垂线段最短 【典例1】如图，点P是直线a外的一点，点在直线a上，且，垂足为点，则下列正确的语句是（   ） A．线段的长是点P到直线a的距离 B．三条线段中，最短 C．线段的长是点A到直线的距离 D．线段的长是点C到直线的距离 【答案】B 【分析】此题主要考查了点到直线的距离及垂线段的性质．解题的关键是掌握垂线段的性质，从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短． 根据“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短”，“从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”进行判断，即可解答． 【详解】A．线段的长是点到的距离，原说法错误，故此选项不符合题意； B．三条线段中，依据垂线段最短可知最短，原说法正确，故此选项符合题意； C．线段的长是点A到直线的距离，原说法错误，故此选项不符合题意； D．线段的长是点C到直线的距离，原说法错误，故此选项不符合题意． 故选：B． 【变式1】小峰同学家在点处，他在行走速度相同的情况下，想尽快到达公路边，他选择沿线段去公路边，这一选择用到的数学知识是（    ） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．两点之间，线段最短 D．过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 【答案】B 【分析】此题主要考查了垂线段的性质：点到直线的所有连线中，垂线段最短．根据垂线段的性质解答即可． 【详解】解：小峰同学的家在点处，他在行走速度相同的情况下，想尽快地到达公路边，他选择沿线段去公路边，是因为垂线段最短； 故选：B． 【变式2】如图，在中，过点C作于点D，M是边上的一个动点，连接．若，则线段的长的最小值是 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查点到直线的距离，根据垂线段最短可得结论． 【详解】解：∵，且， 根据“垂线段最短”可知，当点M与点D重合时，最短， 所以，的最小值为的长， 所以，的最小值为6， 故答案为：6． 【变式3】如图，欲在河岸上某处P点修建一水泵站，将水引到村庄C处，可在图中画出垂直，垂足为P，然后沿铺设，则能使铺设的管道长最短，这种设计的依据是： ． 【答案】垂线段最短 【分析】本题考查点到直线距离的知识，根据两点之间垂线段最短即可得出答案． 【详解】解：解：已知在河岸上某处P点修建一水泵站，将水引到村庄C处，又知直线外一点到该直线的最短距离是其垂线段，这种设计的依据是：垂线段最短， 故答案为：垂线段最短 【变式4】如图所示的正方形网格，所有小正方形的边长都为，、、都在格点上． (1)利用网格作图：过点画直线的垂线，垂足为点； (2)线段的长度是点______到直线_______的距离； (3)比较大小：______（填＞、＜或＝），理由：______． 【答案】(1)见解析 (2)   (3)   垂线段最短 【分析】本题主要考查垂线段、点到直线的距离： （1）取格点，作直线，交直线于点； （2）根据点到直线的距离的定义即可解答； （3）根据垂线段最短即可解答． 【详解】（1） （2）线段的长度是点到直线的距离． 故答案为：   （3），理由：垂线段最短． 故答案为：   垂线段最短 题型05 点到直线的距离 【典例1】若P为直线l外一定点，A为直线l上一点，且，d为点P到直线l的距离，则d的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点的直线的距离，根据垂线段最短即可求出答案． 【详解】解：由垂线段最短可知：， 当时， 此时, 故选：C． 【变式1】如图，量得直线l外一点P到l的距离的长为，点A是直线l上的一点，那么线段的长不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂线段最短的性质和点到直线的距离的概念，熟练掌握点到直线的距离的概念是解题的关键． 从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短，据此可得结论． 【详解】解：直线l外一点P到l的距离的长为，点A是直线l上的一点， ∴线段的长最短等于， 故不可能是． 故选：A． 【变式2】如图，在三角形中，，，垂足为．若，，，则点A到直线的距离为 ，点到直线的距离为 ，点到直线的距离为 ． 【答案】 4 3 【分析】本题考查了点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握点到直线的距离的定义；根据三角形等面积法求出，再根据点到直线的距离的定义即可得解． 【详解】解：， ， ， 点A到直线的距离为，点到直线的距离为，点到直线的距离为， 故答案为：4，3，． 【变式3】如图，P是直线l外一点，A，B，C三点在直线l上，且于点B，，若，，，，则点A到直线的距离是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了点到直线的距离，点到直线的距离定义为从直线外一点到这条直线的垂线段长度，由点到直线的距离的定义即可得解． 【详解】解：由题意可知，的长即为点A到直线的距离． 因为， 所以点A到直线的距离是4， 故答案为：． 【变式4】如图，点是的边上的一点，请过点画出，的垂线，分别交于点，，哪条线段的长度表示点到直线的距离？ 【答案】作图见详解，线段表示点P到直线的距离 【分析】本题考查了点到直线的距离，先根据题意画出图形，再根据点到直线的距离的定义得出即可．能熟记点到直线的距离的定义是解此题的关键． 【详解】解：如图， 线段的长度表示点到直线的距离． 题型06 对顶角的定义 【典例1】下面四个图形中，与是对顶角的为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角．两条边互为反向延长线的两个角叫对顶角，根据定义结合图形逐个判断即可． 【详解】解：A、不符合对顶角的定义，故本选项不符合题意； B、不符合对顶角的定义，故本选项不符合题意； C、符合对顶角的定义，故本选项符合题意； D、不符合对顶角的定义，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式1】下列说法正确的是（    ） A．如果，则和是对顶角 B．如果和有公共的顶点，则和是对顶角 C．对顶角都是锐角 D．锐角的对顶角也是锐角 【答案】D 【分析】此题考查了对顶角的定义，有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角． 根据对顶角的定义进行分析即可． 【详解】解：A．如果，则和不一定是对顶角， 故本选项错误； B．如果和有公共的顶点，则和不一定是对顶角， 故本选项错误； C．对顶角不一定都是锐角，故本选项错误； D．锐角的对顶角也是锐角，故本选项正确． 故选：D． 【变式2】若一个角的对顶角是它的补角的，则这个角的度数为 ． 【答案】/45度 【分析】本题主要考查对顶角和补角，一元一次方程的几何应用，设这个角的度数是x，根据一个角的对顶角是它的补角的，列出方程求解即可． 【详解】解：设这个角的度数是x， 角的对顶角也为x， 根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 【变式3】若条直线两两相交于不同的点时，可形成 对对顶角． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角的定义，熟记对顶角的概念是解题的关键．根据对顶角的概念即可求解． 【详解】解：若三条直线两两相交，最多有3个交点，对对顶角； 四条直线两两相交，最多有个交点，对对顶角； ， 条直线两两相交于不同的点时，可形成对对顶角； 故答案为：． 【变式4】如图，直线和相交于点O，；垂足为O，平分，．解 (1)的邻补角是 ；的对顶角是 ； (2)求的度数． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了邻补角的定义，对顶角的定义，角平分线定义，解题的关键是熟练掌握相关定义． （1）根据邻补角和对顶角的定义即可得出结果； （2）根据，，可以得出，再由平分，得出，进而求出． 【详解】（1）解：， 的邻补角是， 直线和相交于点O， 的对顶角是． 故答案为：；． （2）解：，， ， 平分， ， ． 题型07 对顶角相等 【典例1】如图，直线、相交于点O，平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义和对顶角的性质．解决本题的关键是熟记对顶角相等．根据对顶角相等可得，由于平分，可得的度数，再由平角的定义可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故选：A． 【变式1】如图，直线、相交于点，为直角，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了对顶角相等，根据对顶角相等和已知条件求出，即可得到答案． 【详解】解：∵为直角，， ∴， 故选：B． 【变式2】如图，直线和直线相交于点，，则 ． 【答案】/度 【分析】此题考查了对顶角的性质．根据对顶角相等进行解答即可． 【详解】解：∵，与是对顶角， ∴， 故答案为： 【变式3】如图，直线、相交于点O，平分，，， ， ． 【答案】 37 53 【分析】由邻补角定义即可得出结果；由对顶角相等得出，由角平分线定义即可得出结果；求出，即可得出的度数．本题考查了对顶角相等的性质以及角平分线定义；熟练掌握各个角之间的数量关系是解决问题的关键． 【详解】解：，平分， ； ∵ ， ． 故答案为：37，53 【变式4】如图，已知直线、相交于点，． (1)若，求的度数． (2)若，平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查互补、互余的定义，角平分线的定义，对顶角相等，理解图示，掌握角平分线的定义，几何中角度的和差计算即可求解． （1）根据对顶角相等可得，根据互余的计算即可求解； （2）根据补角的性质可得，由对顶角相等可得，根据角平分线的定义可得，再根据互补的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 题型08 邻补角的定义理解 【典例1】下列四个图中，一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角的性质和互补的定义，正确识别图形、熟知对顶角相等的性质是解题关键，根据对顶角的性质、互补的定义和角在图形中的位置逐项判断即可． 【详解】解：A、图形中的与互补，不能判断是否相等，故本选项不符合题意； B、图形中的与不能判断是否相等，故本选项不符合题意； C、图形中的与是对顶角，能判断相等，故本选项符合题意； D、图形中的与不能判断是否相等，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式1】如图，直线相交于点O，于点O，平分若则下列结论中不正确的是（   ） A． B． C．与互为邻补角 D．与互为邻补角 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂线的定义，角平分线的定义，对顶角相等，邻补角的定义，先由垂线的定义得到，则由角平分线的定义可得，即可判断A；根据对顶角相等即可判断B；有公共顶点和一条公共边，且两个角的另一边互为反向延长线，这样的两个角互为邻补角，据此可判断C、D． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴，故A结论正确，不符合题意； ∵， ∴，故B结论正确，不符合题意； 由图可知，与互为邻补角，与不互为邻补角，故C中结论正确，不符合题意，D中结论错误，符合题意； 故选：D． 【变式2】如图，直线、相交于点、平分、于点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，补角的定义，角的和差；由角平分线的定义得 ，由补角的定义得 ，能表示出比例式中的两个角是解题的关键． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ； 故答案：． 【变式3】两直线相交所成的四个角中，有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为 ． 【答案】邻补角 【分析】本题考查邻补角，只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，由此即可得到答案． 【详解】解：两直线相交所成的四个角中，有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． 故答案为：邻补角． 【变式4】如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西，，射线是的反向延长线． (1)射线的方向是________； (2)求的度数； (3)若射线平分，求的度数． 【答案】(1)北偏东 (2) (3) 【分析】此题主要考查了方向角的表达，角平分线的定义，邻补角，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，再求得的度数，即可确定的方向； （2）根据，，得出，进而求出的度数； （3）根据射线平分，即可求出再利用求出答案即可． 【详解】（1）解：如图， 的方向是北偏西，的方向是北偏东， ，， ， ， ， ， 的方向是北偏东； 故答案为：北偏东； （2）解：如图， ，， ． 又射线是的反向延长线， ． ． （3）解：如图， ，平分， ． ． ． 题型09 找邻补角 【典例1】如图，直线AB、MN相交于一点O，，则∠COM的邻补角是（    ） A．∠AON B．∠AOC C．∠NOC D．∠MOB 【答案】C 【分析】相邻且互补的两个角互为邻补角 【详解】解：∠COM与∠NOC相邻且互补，所以互为邻补角. 故选：C 【点睛】熟记邻补角的定义是解题的关键. 【变式1】如图，两条直线与相交于点O，是射线，则图中共有邻补角和对顶角的数量分别为（    ） A．6对，2对 B．4对，2对 C．8对，4对 D．4对，4对 【答案】A 【分析】根据邻补角与对顶角的定义找出邻补角和对顶角即可求解． 【详解】解：∵两条直线与相交于点O，是射线， ∴对顶角有：与，与，共2对， 邻补角有：与，与，与，与，与，与，共6对 故选:A 【点睛】本题考查了邻补角与对顶角的定义，掌握定义是解题的关键． 【变式2】如图，点O是直线 上一点，自点O引射线，图中共有 对邻补角． 【答案】4 【分析】此题考查了邻补角定义：和为180度的两个有公共顶点且有公共边的角是邻补角，根据定义直接解答． 【详解】解：根据图形可知， ，，，， 故答案为4． 【变式3】如图，直线相交于点，则的对顶角是 ，的邻补角是 ；若，则 ， ． 【答案】 / 或 /度 /度 【分析】本题主要考查了对顶角的定义和性质，邻补角的定义和性质，熟知对顶角的定义和性质，邻补角的定义和性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，的对顶角是，的邻补角是或； ∵， ∴，； 故答案为：；或；；． 【变式4】如图，直线、交于点，已知，    (1)分别写出的邻补角、余角； (2)若，试说明． 【答案】(1)的邻补角是的余角是 (2)见解析 【分析】本题主要考查了垂线的定义，几何图形中角度的计算，余角和邻补角的定义： （1）根据邻补角的定义和余角的定义求解即可； （2）由垂线的定义得到，则，进而得到，据此推出，即． 【详解】（1）解：由题意得，的邻补角是； ∵， ∴， ∴的余角是； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴，即． 题型10 利用邻补角互补求角度 【典例1】如图，已知是直线上一点，，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了邻补角的计算及角平分线的应用，熟练掌握邻补角及角平分线的相关知识点是解决本题的关键． 根据角的和差由先求出，再根据角平分线的定义求出的度数即可． 【详解】解：∵， ， 平分， ， 故选：C． 【变式1】如图，直线相交于点O，于O，，的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了对顶角相等，垂直的意义，熟练掌握知识点是解题的关键．根据垂直得到，根据对顶角相等得到，再利用角度和差计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2】如图，直线、相交于点，若，则直线与的夹角的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查对顶角，平角的知识，解题的关键是根据题意，则，根据，求出，再根据对顶角相等，即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式3】如图，直线与直线相交于点，于点，且，则的度数为 ． 【答案】/120度 【分析】本题考查了垂直的定义，邻补角，数形结合是解题的关键．根据垂直的定义可得：，由，求出，最后利用平角的定义求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式4】如图，直线相交于点． (1)若，则的余角有__________． (2)若，求和的度数． 【答案】(1)， (2)，． 【分析】此题主要考查了垂直的定义，对顶角的性质和邻补角的定义计算，要注意领会由垂直得直角这一要点． （1）由垂线的性质求得，然后根据等量代换及余角的定义解答； （2）根据垂直的定义求得，再由求得，然后根据邻补角定义和对顶角的性质即可求解． 【详解】（1）解：，， ，即， ∵， 的余角有：，； 故答案为：，； （2）解：， ， ，， ∴， ， ∴． 1．如图，直线、相交于点O，，垂足为O，．则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂直的定义，求一个角的邻补角，余角等知识点，根据邻补角求得，根据余角的定义即可求得的度数，熟练掌握其性质，数形结合是解决此题的关键． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 2．如图，直线于点O，直线经过点O，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相交线．熟练掌握垂线的定义，是解题的关键． 先得出，再结合，，进行角的运算，即可作答． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 3．a，b，c为同一平面内的任意三条直线，那么它们的交点可能有（    ）个 A．1，2或3 B．0，1，2或3 C．1或2 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了相交线，掌握分类讨论思想是解题关键． 分以下四种情况①三条直线两两平行，②三条直线交于一点，③两条直线平行与第三条直线相交，④三条直线两两相交不交于同一点解答即可． 【详解】解：①三条直线两两平行，没有交点； ②三条直线交于一点，有一个交点； ③两条直线平行与第三条直线相交，有两个交点； ④三条直线两两相交不交于同一点，有三个交点． 综上，它们的交点可能有0，1，2或3个． 故选：B． 4．如图所示，直线相交于点，，射线平分，射线平分，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直的定义，角平分线的定义，邻补角的定义，由，得，再根据角平分线的定义求出，最后利用邻补角的定义即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∵射线平分， ∴， ∵射线平分， ∴， ∵， ∴， 故选：． 5．如图，直线，相交于点，平分，于点．若，下列说法：①；②；③．其中正确的是（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，对顶角相等，根据角平分线的性质，垂直的定义，对顶角相等，结合角的和差关系，逐一进行计算判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴；故①正确； ∴；故②正确； ；故③正确； 故选D． 6．已知，等于，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查了垂线的定义，角的和差运算．结合图形是做这类题的关键．根据垂直关系知，由，可求，根据与的位置关系，分类求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 的位置有两种：一种是在内，一种是在外． ①当在内时，； ②当在外时，． 故答案为：或． 7．已知直线和相交于点，射线于点，且，则的度数为 度． 【答案】或 【分析】本题考查了对顶角、邻补角、角的计算，熟记概念并准确画图是解题的关键． 根据垂直的定义求出，然后求出或，再根据邻补角或对顶角相等即可解答． 【详解】解：分为两种情况： 如图： ， ， 又， ， ； 如图： ， ， ， ， 又直线和相交于点， ； 综上，的度数为或， 故答案为：或． 8．如图，直线、相交于点．已知，把分成两个角，且，将射线绕点逆时针旋转角到，若时，的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是对顶角的性质，角的和差运算，分两种情况讨论：当在之间时，当在之间时，先求解，，再分别进一步求解即可． 【详解】解：①当在之间时，如图． ∵直线、相交于点，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即； ②当在之间时，如图． ∵直线、相交于点，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：或 9．如图，直线，相交于点，，平分，，则的度数为 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查了角平分线的定义，垂直的定义等知识，先根据垂直定义得出，然后结合，求出的度数，根据平角定义求出的度数，最后根据角平分线的定义求解即可． 【详解】解：因为， 所以， 因为， 所以， 所以． 因为OF平分， 所以． 10．如图，点O在直线上，平分，，，设，利用方程的思想，求得 ． 【答案】20 【分析】本题考查了邻补角，角平分线的定义，找出角度之间的数量关系，利用方程的思想是解题关键．设，由题意可得，进而得到，再根据角平分线的定义，得到，最后根据，求出即可． 【详解】解：设， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：20． 11．如图，已知直线相交于点O，与互余，平分，，求的度数． 【答案】 【分析】此题考查了余角的定义，角的平分线，以及角的和差，关键是理清图中角之间的关系，利用数形结合的思想求解．先计算出的度数，进而可得的度数，即可求得的度数，由对顶角的定义即可解答． 【详解】解：∵与互余，， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ∴． 12．如图，直线相交于点O，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角平分线的定义，对顶角相等，邻补角的定义，熟练掌握上述知识是解题关键． （1）根据角平分线的定义可求出，再结合对顶角相等求解即可； （2）根据邻补角互补，结合题意可求出，再由（1）同理即可求解． 【详解】（1）解：因为，平分， 所以， 所以； （2）解：因为，， 所以． 因为平分， 所以， 所以． 13．如图，直线与相交于点，． (1)如果，那么根据________，可得________； (2)如果，求的度数． 【答案】(1)对顶角相等，； (2)． 【分析】（）利用对顶角相等的性质解答即可； （）根据对顶角相等，可知，结合，即可求解； 本题考查了对顶角的性质，平角的定义，垂直的定义，熟练掌握上述性质和定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴（对顶角相等）， 故答案为：对顶角相等，； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 14．已知，． (1)如图1，若，的度数是______； (2)如图2，若，的度数是______； (3)根据（1）（2）结果猜想与有怎样的关系？并根据图1说明理由； (4)如图2，若，则的度数是______，的度数是______． 【答案】(1) (2) (3)与互补，理由见解析 (4)， 【分析】本题主要考查了垂直的定义，角的和差， 余角的定义，周角的定义． （1）根据垂直的定义，可得出与的度数， 根据余角的定义， 得出， 再根据角的和差求出结果； （2）根据垂直的定义， 可得出与的度数，再结合角的和差，得到， 从而求出结果； （3）根据（1）（2）的结果，均得到，故猜想与的度数和为，再结合角的和差，可以验证自己的猜想是正确的； （4）根据比例分配关系，得出 计算即可得到结果． 【详解】（1）∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为： （2）∵，， ∴． ∴． 故答案为： （3）与互补． 理由如下：∵， ∴， ∴． ∵，所以， ∴， ∴．即与互补． 故答案为：与互补 （4）   由角的和差，得， 按比例分配，得，． 故答案为：， 15．如图1，为直线上一点，过点在直线的下方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的上方． (1)将图1中的三角板以每秒的速度绕点顺时针旋转（始终保持在直线的上方），在旋转的过程中，第秒时，恰好与在同一直线上，请直接写出的值． (2)将图1中的三角板绕点顺时针旋转到图2所示的位置，使一边在的内部，且恰好平分，求的度数． (3)将图1中的三角板绕点顺时针旋转到图3的位置，使在的内部，请探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了角的运算，角平分线的有关计算，利用邻补角互补求角度等知识点，认真审题并仔细观察图形，找到各个角之间的和差关系是解题的关键． （1）根据邻补角互补求出，再利用角的和差关系求得，然后求出时间即可； （2）根据角平分线的定义求出，再利用角的和差关系求得，然后利用邻补角互补即可求出的度数； （3）用和分别表示出，然后列出关系式，整理后即可得解． 【详解】（1）解：如图， ∵，（即）恰好与在同一直线上， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故与之间的数量关系为：． 2 / 43 学科网（北京）股份有限公司 $$