第8章 认识概率（基础+中等类型）-2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版）

第8章 认识概率思维导图 【类型覆盖】 类型一、确定事件与随机事件 【解惑】下列事件是必然事件的是（   ） A．嘉兴明天最高气温是 B．13名学生中，至少有两名学生的生日在同一个月． C．射击运动员射击一次，命中10环． D．某运动员跳高的最好成绩是8米． 【融会贯通】 1．下列事件是随机事件的是(   ) A．瓜熟蒂落 B．石沉大海 C．一箭双雕 D．海底捞月 2．一个不透明的袋中装有3个红球，1个白球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3球，则“摸出的球有1个白球”是 事件．（填“必然”“不可能”或“随机”） 3．将下列事件对应的序号，正确填入题后横线上． ①守株待兔；②水中捞月；③连续抛掷同一枚硬币2次都是正面朝上；④任意画一个三角形，其内角和为；⑤若，则；⑥从1，3，5中任选一个数，这个数是奇数． (1)其中是必然事件的有______； (2)其中是随机事件的有______； (3)其中是确定事件的有______． 类型二、可能性大小 【解惑】如图是一个游戏转盘．自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字，，，所示区域内可能性最大的是（   ） A．号 B．号 C．号 D．号 【融会贯通】 1．下列成语反应的事件中，发生的可能性最小的是（   ） A．旭日东升 B．大海捞针 C．瓜熟蒂落 D．瓮中捉鳖 2．一只不透明的袋子中装有3个红球，2个白球和1个蓝球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，则摸到 球的可能性最大．（填球的颜色） 3．某超市举办迎新春活动：凡购物者都可从一个不透明的箱子中抽出一张卡片，然后放回．箱子中放有9张红卡、6张黄卡、8张绿卡，每张卡片除颜色外其余均相同．抽到红卡得一副春联，抽到黄卡得一幅窗花，抽到绿卡得一个灯笼，购物者抽得 的可能性最大．（填“春联”，“窗花”，“灯笼”） 类型三、频率与概率 【解惑】在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f，该事件的概率为P．下列说法正确的是（    ） A．试验次数越多，f越大 B．f与P都可能发生变化 C．试验次数很大时，f等于P D．当试验次数很大时，在P附近摆动，并趋于稳定 【融会贯通】 1．下列说法中，正确的是（    ） A．“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件 B．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1 C．某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票就一定会中奖 D．抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率可以用列举法求得 2．下列语句中，关于频率与概率的关系表示正确的有 ． ①频率就是概率 ②频率是客观存在的，与试验次数无关 ③随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 ④概率是随机的，在实验前不能确定 3．下列说法：①频率是反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小；②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的概率一定等于；③频率是不能脱离具体的n次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．其中正确的是 (填序号)． 类型四、求某事件的频率 【解惑】在一个样本中，个数据分别落在个小组内，第小组的频数分别是，则第小组的频率是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．期中调研日期为“2023年04月20日”，其中出现的频率相同的数字是（    ） A．0和4 B．0和3 C．2和4 D．0和2 2．在整数中，数字“”出现的频率是 ． 3．“鹅要过河，河要渡鹅，不知是鹅渡河，还是河渡鹅”，在这句含有个汉字的绕口令中“鹅”出现的频率为______． 类型五、求某事件的概率 【解惑】不透明袋子中有个红球和个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出个球，恰好是红球的概率为（   ） A． B． C． D．1 【融会贯通】 1．在一个不透明的袋中装有5个球，其中2个红球，3个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出1个球，摸出红球的概率是（   ） A． B． C． D． 2．掷一个材质均匀的骰子，向上一面的点数是3的概率是 ． 3．已知一个箱子里放有3个白球和2个黑球，它们除颜色外其余都相同．现在从箱子中任意摸出一个球，是黑球的概率为 ． 类型六、由频率估计概率 【解惑】某校篮球队进行篮球投篮训练，下表是某队员投篮的统计结果： 投篮次数/次 10 50 100 150 200 命中次数/次 9 40 70 108 144 命中率 根据上表，请你估计该队员一次投篮命中的概率是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如表是一位同学在罚球线上投篮的试验结果，根据表中数据回答问题： 试验总次数 100 200 300 500 1500 2000 3000 投中的次数 61 93 165 246 753 996 1503 投中的频率 0.610 0.465 0.550 0.492 0.502 0.498 0.501 根据表中的数据，这位同学投篮一次，投中的概率为（    ） A． B． C． D． 2．某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验时，记录了试验过程并把结果绘制成如下表格，则符合表格数据的试验可能是 ．①掷一枚质地均匀的硬币，出现反面朝上；②掷一枚质地均匀的骰子，掷得朝上的点数是3的整数倍；③在“石头、剪刀、布”游戏中，小明出的是“石头”；④将一副去掉大、小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张扑克牌的花色是红桃． 试验总次数 100 200 300 500 800 1000 2000 3000 … 频率 … 3．某水果公司以2元/kg的成本价新进柑橘．如果公司希望这些柑橘能够获得利润5000元，那么在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克定价大约 元（精确到角）比较合适．为解决此问题，销售人员首先从所有柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，结果如下： 柑橘总质量n/kg 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 损坏柑橘质量m/kg 5.50 10.50 15.15 19.42 24.25 30.93 35.32 39.24 44.57 51.54 频率（三位小数） 0.110 0.105 类型七、简单的列举可能性 【解惑】随机掷一枚质地均匀的硬币两次，落地后至多有一次反面朝上的概率为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．连续抛掷两枚质地均匀的硬币，“两枚正面朝上”的概率是（　　） A． B． C． D．1 2．将三个数1，5，8随机排成一个三位数，则排成的三位数是偶数的概率为 ． 3．要从甲、乙、丙、丁4人中抽签选出两人参加素质检测，恰好抽到甲、乙两人的可能性是 ． 类型八、判断概率大小 【解惑】一只不透明的袋子中装有1个白球、2个黑球、3个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出1个球，则摸到球的概率最大的是（　　） A．白球 B．黑球 C．红球 D．黄球 【融会贯通】 1．一个布袋中装有7个红球，2个黑球和1个白球，它们除颜色外都相同．从中任意摸出一个球，被摸到的可能性最大的球是（    ） A．红球 B．黑球 C．白球 D．黄球 2．如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被涂成蓝、红两种颜色，任意转动转盘一次，则P（蓝）表示指针停留在蓝色区域的可能性，P（红）表示指针停留在红色区域的可能性，则P（蓝） P（红）．（填“”“”或“”）    3．在一个不透明的袋中，只有白、红颜色的球，这些球除颜色外完全相同，已知从袋中随机摸出一个红球的概率为，则随机摸出一个白球的概率是 ． 类型九、几何概率 【解惑】小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机地停留在某块方砖上，每一块方砖除颜色外完全相同，它最终停留在黑色方砖上的概率是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图是一个飞镖游戏板，大圆的直径把一组同心圆分成四等份，假设飞镖击中圆面上每一个点都是等可能的，则飞镖落在黑色区域的概率是（   ） A． B． C． D． 2．如图是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到四边形．将一个飞镖随机投掷在矩形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是 ． 3．如图，一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是 ． 类型十、频率估计概率的实际应用 【解惑】如图，四个不透明布袋中都装进只有颜色不同的3个小球，分别从中随机摸出一个小球，“摸到白球”属于随机事件的布袋是 （填写布袋对应的序号）． 【融会贯通】 1．你认为，有一匹马奔跑的速度是70米/秒是 事件． 2．转盘上有六个面积相等的扇形区域，颜色分布如图，若指针固定不动，转动转盘，当转盘停止后，则指针落在 色区域的可能性最大． 3．某玩具公司承接了第19届杭州亚运会吉祥物公仔的生产任务，现对一批公仔进行抽检，其结果统计如下，请根据表中数据，回答问题： 抽取的公仔数 10 100 1000 2000 3000 5000 优等品的频数 9 96 951 1900 2856 4750 优等品的频率 0.9 0.96 0.951 0.95 0.952 0.95 (1)从这批公仔中任意抽取1只公仔是优等品的概率的估计值是_________；（精确到0．01） (2)若该公司这一批次生产了10000只公仔，求这批公仔中优等品大约有多少只？ 【一览众山小】 1．下列选项中的事件，属于必然事件的是（   ） A．两数相加，和大于其中一个加数 B．若x是实数，则 C．射击运动员射击一次，命中8环 D．两数相乘，同号得正数 2．下列事件中，是不确定事件的是（   ） A．打开电视正在播放广东卫视电视台 B．同位角相等，两条直线平行 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．对顶角相等 3．小明从盒子里摸球，每次摸出一个后再放回盒中，他连续摸5次，每次摸到的都是红球，下面说法正确的是（   ） A．盒子里一定都是红球 B．他第6次摸到的一定还是红球 C．他第6次摸到的可能还是红球 D．盒子里一定还有其他颜色的球 4．在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 摸到黑球的次数m 65 118 189 310 482 602 摸到黑球的频率 0.65 0.59 0.63 0.62 0.603 0.602 （1）请估计：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到0.1）； （2）试估计袋子中有黑球 个； （3）若学习小组通过实验结果，想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为  50%，则可以在袋子中增加相同的白球 个或减少黑球 个 5．某班“红领巾义卖”活动中设立了一个可以自由转动的转盘．规定：顾客购物20元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 1000 落在“书画作品”区域的次数m 60 122 180 298 a 604 落在“书画作品”区域的频率 0.6 0.61 0.6 b 0.59 0.604 （1）完成上述表格：______；______； （2）请估计当n很大时，频率将会接近______，假如你去转动该转盘一次，你获得“书画作品”的概率约是______；（结果全部精确到0.1） （3）如果要使获得“手工作品”的可能性大于获得“书画作品”的可能性，则表示“手工作品”区域的扇形的圆心角至少还要增加多少度？ 6．在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共100只，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球实验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，如表是实验中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 70 124 190 325 538 670 2004 摸到白球的频率 0.70 0.62 0.633 0.65 0.6725 0.670 0.668 （1）若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为　　　　；(精确到0.01) （2）试估算盒子里黑球有　　　　只； （3）某小组在“用频率估计概率”的试验中，符合这一结果的试验最有可能的是　　　　． A．从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红色的” B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上” C．掷一个质地均匀的正六面体骰子(面的点数标记分别为1到6)，落地时面朝上的点数小于5． 7．在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的11个小球，其中红球4个，黑球7个．先从袋子中取出个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件A． (1)当事件A为必然事件时，则　　； (2)当事件A为随机事件时，则　　． 8．把一副扑克牌中的13张红桃牌正面朝下，洗匀后，从中任意抽取1张．下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？估计这些事件发生的可能性的大小，并把这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列． （1）抽到的牌的点数是8； （2）抽到的牌的点数小于6； （3）抽到的牌是黑桃； （4）抽到的牌是红桃． 9．“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．图1是由边长为的正方形薄板分为7块制作成的“七巧板”，分别是五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形，图2是一个用该“七巧板”拼成的“台灯”形状装饰图，放入长方形中，装饰图中三角形的顶点F在边上，三角形的边和分别在边、上，使得．      (1)通过观察图形得到 ； (2)一只蚂蚁在长方形内爬行，已知它停在长方形内任意一点的可能性相同，那么它停在“台灯”上与空白区域的可能性相同吗？请通过计算说明． 10．某批乒乓球的质量检验结果如下： 抽取的乒乓球数n 200 400 600 800 1000 1600 2000 优等品的频数m 190 384 570 756 955 1520 1900 优等品的频率 a b c (1)填空： ______，______，______； (2)在下图中画出优等品频率的折线统计图： (3)从这批乒乓球中，任意抽取的一只乒乓球是优等品的概率的估计值是多少？ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第8章 认识概率思维导图 【类型覆盖】 类型一、确定事件与随机事件 【解惑】下列事件是必然事件的是（   ） A．嘉兴明天最高气温是 B．13名学生中，至少有两名学生的生日在同一个月． C．射击运动员射击一次，命中10环． D．某运动员跳高的最好成绩是8米． 【答案】B 【分析】本题考查了随机事件“在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件”、必然事件“在一定条件一定发生的事件是必然事件，发生的可能性为1”，熟记定义是解题关键．根据随机事件和必然事件的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、嘉兴明天最高气温是，是随机事件，则此项不符合题意； B、因为一年只有12个月，所以13名同学中，至少有两名学生的生日在同一个月，则此项是必然事件，符合题意； C、射击运动员射击一次，命中10环，是随机事件，则此项不符合题意； D、某运动员跳高的最好成绩是8米，是随机事件，则此项不符合题意； 故选：B． 【融会贯通】 1．下列事件是随机事件的是(   ) A．瓜熟蒂落 B．石沉大海 C．一箭双雕 D．海底捞月 【答案】C 【分析】本题考查了事件的分类，根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点判断即可． 【详解】解：A．瓜熟蒂落，这是必然事件，故A不符合题意； B．石沉大海，这是必然事件，故B不符合题意； C．一箭双雕，这是随机事件，故C符合题意； D．海底捞月，这是不可能事件，故D不符合题意； 故选：C． 2．一个不透明的袋中装有3个红球，1个白球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3球，则“摸出的球有1个白球”是 事件．（填“必然”“不可能”或“随机”） 【答案】随机 【分析】本题考查了随机事件，根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可得解． 【详解】解：∵一个不透明的袋中装有3个红球，1个白球，每个球除颜色外都相同， ∴从中任意摸出3球，则“摸出的球有1个白球”是随机事件， 故答案为：随机． 3．将下列事件对应的序号，正确填入题后横线上． ①守株待兔；②水中捞月；③连续抛掷同一枚硬币2次都是正面朝上；④任意画一个三角形，其内角和为；⑤若，则；⑥从1，3，5中任选一个数，这个数是奇数． (1)其中是必然事件的有______； (2)其中是随机事件的有______； (3)其中是确定事件的有______． 【答案】(1)④⑥ (2)①③⑤ (3)②④⑥ 【分析】本题考查确定事件和随机事件的概念．熟练应用确定事件和随机事件的概念进行判断是解题的关键．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可． 【详解】（1）解：是必然事件的有：④任意画一个三角形，其内角和为；⑥从1，3，5中任选一个数，这个数是奇数； 故答案为：④⑥； （2）解：是随机事件的有：①守株待兔；③连续抛掷同一枚硬币2次都是正面朝上；⑤若，则； 故答案为：①③⑤； （3）解：是确定事件的有②水中捞月；④任意画一个三角形，其内角和为；⑥从1，3，5中任选一个数，这个数是奇数； 故答案为：②④⑥． 类型二、可能性大小 【解惑】如图是一个游戏转盘．自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字，，，所示区域内可能性最大的是（   ） A．号 B．号 C．号 D．号 【答案】C 【分析】本题主要考查可能性的大小．比较圆心角度数大小即可． 【详解】解：由图形知，数字4对应扇形圆心角为， ∴数字3对应扇形圆心角度数最大， ∴指针落在数字，，，所示区域内可能性最大的是3号， 故选：C． 【融会贯通】 1．下列成语反应的事件中，发生的可能性最小的是（   ） A．旭日东升 B．大海捞针 C．瓜熟蒂落 D．瓮中捉鳖 【答案】B 【分析】本题考查了可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待，一般的必然事件的可能性大小为，不可能发生的可能性大小为，随机事件发生的可能性大小在至之间． 旭日东升、瓜熟蒂落、瓮中捉鳖是必然事件；大海捞针是随机事件，可能性极小． 【详解】解：旭日东升、瓜熟蒂落、瓮中捉鳖是必然事件， 大海捞针是随机事件，可能性极小， 故选：B ． 2．一只不透明的袋子中装有3个红球，2个白球和1个蓝球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，则摸到 球的可能性最大．（填球的颜色） 【答案】红 【分析】本题主要考查了可能性大小的知识，解题的关键是了解“哪种颜色的球最多，摸到哪种球的可能性就最大”，难度不大．根据红球数量最多，得出摸到红球的可能性最大． 【详解】解：红球数量最多， 摸到红球的可能性最大， 故答案为：红． 3．某超市举办迎新春活动：凡购物者都可从一个不透明的箱子中抽出一张卡片，然后放回．箱子中放有9张红卡、6张黄卡、8张绿卡，每张卡片除颜色外其余均相同．抽到红卡得一副春联，抽到黄卡得一幅窗花，抽到绿卡得一个灯笼，购物者抽得 的可能性最大．（填“春联”，“窗花”，“灯笼”） 【答案】春联 【分析】本题考查了可能性大小，根据红卡数量最多，即可求解． 【详解】解：红卡数量最多，依题意，购物者抽得春联的可能性最大． 故答案为：春联． 类型三、频率与概率 【解惑】在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f，该事件的概率为P．下列说法正确的是（    ） A．试验次数越多，f越大 B．f与P都可能发生变化 C．试验次数很大时，f等于P D．当试验次数很大时，在P附近摆动，并趋于稳定 【答案】D 【分析】本题考查了频率与概率，掌握频率的稳定性是关键．根据频率的稳定性解答即可． 【详解】解：在多次重复试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且趋于稳定这个性质称为频率的稳定性． 故选：D． 【融会贯通】 1．下列说法中，正确的是（    ） A．“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件 B．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1 C．某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票就一定会中奖 D．抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率可以用列举法求得 【答案】B 【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的定义可判断A，根据随机事件发生的机会大小，估计概率的大小可判断B，可判断C，不规则物体的概率只能通过大数次的实验，使频率达到稳定时用频率估计概率可判断D． 【详解】解：“射击运动员射击一次，命中靶心”可能会发生，也可都能不会发生是随机事件不是必然事件，故选项A不正确； 事件发生的可能性越大，说明发生的机会越大，它的概率越接近1，故选项B正确； 某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票每一张彩票中奖的概率都是1%，可能会中奖，但一定会中奖机会很小，故选项C不正确； 图钉是不规则的物体，抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率只能通过实验，大数次的实验，使频率稳定时，可用频率估计概率，不可以用列举法求得，故选项D不正确． 故选择B． 【点睛】本题考查事件，事件发生的可能性，概率，实验概率，掌握事件，事件发生的可能性，概率，实验概率知识是解题关键． 2．下列语句中，关于频率与概率的关系表示正确的有 ． ①频率就是概率 ②频率是客观存在的，与试验次数无关 ③随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 ④概率是随机的，在实验前不能确定 【答案】③ 【分析】由概率和频率的有关概念逐个分析． 【详解】解：①：频率不是概率，频率会随着重复试验的次数变化而变化，而概率是固定的，故①错误； ②：频率是客观存在的，与试验次数有关，试验次数越多，频率越稳定，故②错误 ③：由频率的性质知：随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率，故③正确； ④：概率是客观的，在试验前能确定，故④错误． 故答案为：③． 【点睛】本题考查概率与频率的概念，以及它们之间的关系，难度不大，属于基础题，解题关键是要记住相关概念． 3．下列说法：①频率是反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小；②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的概率一定等于；③频率是不能脱离具体的n次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．其中正确的是 (填序号)． 【答案】①③④ 【分析】利用频率与概率的意义即可得出． 【详解】解：①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小，正确； ②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率为不是事件的概率，因为频率是可以改变的，而概率是一定的，故不正确； ③频率是不能脱离n次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值，正确； ④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值，正确； 故答案为①③④ 【点睛】本题考查概率的意义，考查概率和频率之间的关系，正确理解概率和频率的关系，做一个实验事件发生频率是变化的，而概率是不变的，是一个确定的数值． 类型四、求某事件的频率 【解惑】在一个样本中，个数据分别落在个小组内，第小组的频数分别是，则第小组的频率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据各组的频数可求出第小组的频数，再根据频率的计算方法即可求解． 【详解】解：个数据分别落在个小组内，第小组的频数分别是， ∴第小组的频数为， ∴第小组频率为， 故选：D． 【点睛】本题主要考查频率的计算方法，掌握频率的计算公式是解题的关键． 【融会贯通】 1．期中调研日期为“2023年04月20日”，其中出现的频率相同的数字是（    ） A．0和4 B．0和3 C．2和4 D．0和2 【答案】D 【分析】根据频率的定义即可解答． 【详解】解：在“2023年04月20日”中，共有0、2、3、4四个数字，其中0出现了3次，2出现了3次，3出现了1次，4出现了1次， 则数字0和2的频率相同，均为， 数字3和4的频率相同，均为． 故选：D． 【点睛】本题考查了频率，掌握频数与总次数的比值（或者百分比）称为这类数据频数的频率是解题关键． 2．在整数中，数字“”出现的频率是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了频率的计算方法，掌握频率的计算公式是解题的关键． 根据整数可知共有8种等可能结果，出现0的有两种，根据频率等于可能出现的结果除以总的结果即可求解． 【详解】解：整数中有8位数字，共有8种等可能结果，出现0的结果有2中， ∴0出现的频率为， 故答案为： ． 3．“鹅要过河，河要渡鹅，不知是鹅渡河，还是河渡鹅”，在这句含有个汉字的绕口令中“鹅”出现的频率为______． 【答案】 【分析】根据频率＝频数÷总次数进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：， ∴在这句含有个汉字的绕口令中“鹅”出现的频率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了频数与频率，熟练掌握频率＝频数÷总次数是解题的关键． 类型五、求某事件的概率 【解惑】不透明袋子中有个红球和个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出个球，恰好是红球的概率为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了概率的求法，找出全部情况的总数和符合条件的个数是解题的关键． 根据概率的求法计算即可． 【详解】解：∵袋子中共有个小球，其中红球有个， ∴摸出一个球是红球的概率是． 故选：Ａ ． 【融会贯通】 1．在一个不透明的袋中装有5个球，其中2个红球，3个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出1个球，摸出红球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了概率公式求概率；根据简单事件的概率计算公式即可得． 【详解】：由题意得：从不透明的袋中随机摸出1个球共有5种等可能性的结果，其中，摸出红球的结果有2种，则从中随机摸出1个球，摸出红球的概率是 故选：C． 2．掷一个材质均匀的骰子，向上一面的点数是3的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了简单的概率计算，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键．根据概率的计算公式直接计算即可． 【详解】解：掷一个材质均匀的骰子，向上一面的点数有6种可能，点数是3只有1种情况， 所以向上一面的点数是3的概率． 故答案为：． 3．已知一个箱子里放有3个白球和2个黑球，它们除颜色外其余都相同．现在从箱子中任意摸出一个球，是黑球的概率为 ． 【答案】 【分析】此题考查了概率公式的应用，由一个箱子里放有3个白球和2个黑球，它们除颜色外均相同，直接利用概率公式求解即可求得答案，掌握概率公式是解题的关键． 【详解】解：∵一个箱子里放有3个白球和2个黑球，共个球， ∴从箱子中任意摸出一个球是黑球的概率是， 故答案为：． 类型六、由频率估计概率 【解惑】某校篮球队进行篮球投篮训练，下表是某队员投篮的统计结果： 投篮次数/次 10 50 100 150 200 命中次数/次 9 40 70 108 144 命中率 根据上表，请你估计该队员一次投篮命中的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据评率估计概率，解题的关键是掌握经过大量重复试验，事件发生的频率会稳定在一个常数附近，这个常数等于概率．据此即可解答． 【详解】解：由表可知，经过大量重复试验，该队员一次投篮命中的频率稳定在， ∴该队员一次投篮命中的概率是， 故选：D． 【融会贯通】 1．如表是一位同学在罚球线上投篮的试验结果，根据表中数据回答问题： 试验总次数 100 200 300 500 1500 2000 3000 投中的次数 61 93 165 246 753 996 1503 投中的频率 0.610 0.465 0.550 0.492 0.502 0.498 0.501 根据表中的数据，这位同学投篮一次，投中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了频率估计概率，随着试验次数的增加，频率在概率附近摆动，趋近于一个固定值；据此即可得结果． 【详解】解：由表知，随着试验次数的增加，频率在附近摆动，故投中的概率为； 故选：B． 2．某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验时，记录了试验过程并把结果绘制成如下表格，则符合表格数据的试验可能是 ．①掷一枚质地均匀的硬币，出现反面朝上；②掷一枚质地均匀的骰子，掷得朝上的点数是3的整数倍；③在“石头、剪刀、布”游戏中，小明出的是“石头”；④将一副去掉大、小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张扑克牌的花色是红桃． 试验总次数 100 200 300 500 800 1000 2000 3000 … 频率 … 【答案】②③/③② 【分析】本题考查了概率的知识，熟练应用根据频率估计概率是解题的关键．根据图中信息得出，实验结果在附近波动，即其概率，判断各项中的概率即可． 【详解】解：根据图中信息得出，实验结果在附近波动，利用频率估计概率得到实验的概率为， ①掷一枚质地均匀的硬币，出现反面朝上的概率为，不符合题意； ②掷一枚质地均匀的骰子，掷得朝上的点数是3的整数倍的概率为，符合题意； ③在“石头、剪刀、布”游戏中，小明出的是“石头”的概率为，符合题意； ④将一副去掉大、小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张扑克牌的花色是红桃的概率为，不符合题意． ∴符合表格数据的试验可能是②③． 故答案为：②③． 3．某水果公司以2元/kg的成本价新进柑橘．如果公司希望这些柑橘能够获得利润5000元，那么在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克定价大约 元（精确到角）比较合适．为解决此问题，销售人员首先从所有柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，结果如下： 柑橘总质量n/kg 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 损坏柑橘质量m/kg 5.50 10.50 15.15 19.42 24.25 30.93 35.32 39.24 44.57 51.54 频率（三位小数） 0.110 0.105 【答案】2.8 【分析】本题考查了利用频率估计概率及一元一次方程的应用，用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比．得到售价的等量关系是解决问题的关键．根据概率计算出完好柑橘的质量为千克，设每千克柑橘的销售价为元，然后根据“售价进价利润”列方程解答． 【详解】根据估计的概率可以知道，在10000千克柑橘中完好柑橘的质量为千克． 设每千克柑橘的销售价为元，则应有， 解得． 所以出售柑橘时每千克大约定价为2.8元可获利润5000元． 故答案为：2.8 类型七、简单的列举可能性 【解惑】随机掷一枚质地均匀的硬币两次，落地后至多有一次反面朝上的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了列举法求概率，解题的关键是找到所有的情况．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 用列举法确定所有等可能的情况，根据落地后至多有一次正面朝下的次数，利用概率公式计算解答． 【详解】随机掷一枚质地均匀的硬币两次，共“正、反”，“反、正”，“正、正”，“反、反”，4种情况，落地后至多有一次正面朝下包括“正、反”，“反、正”，“正、正”，3种情况， 故至多有一次反面朝上的概率为． 故选：A． 【融会贯通】 1．连续抛掷两枚质地均匀的硬币，“两枚正面朝上”的概率是（　　） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了等可能事件的概率．先求出连续抛掷两枚质地均匀的硬币的结果有4种，其中两枚正面朝上共有1种结果，再利用概率公式即可得出答案． 【详解】解：连续抛掷两枚质地均匀的硬币，共有4种结果：正正，正负，负正，负负， ∴“两枚正面朝上”的概率是． 故答案为：A． 2．将三个数1，5，8随机排成一个三位数，则排成的三位数是偶数的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了简单概率事件的求解，属于基本题型，熟练掌握求解的方法是关键． 先列举出所有可能的情况数，再找出其中是偶数的情况数，然后根据概率公式求解即可． 【详解】解：用1，5，8三个数字排成一个三位数，有：158，185，518，581，815，851共6种情况， 其中是偶数的有：158与518两种情况， ∴（排出的数是偶数）． 故答案为：． 3．要从甲、乙、丙、丁4人中抽签选出两人参加素质检测，恰好抽到甲、乙两人的可能性是 ． 【答案】 【分析】本题考查了列举法求概率，列举出所有组合，再由概率公式求解即可． 【详解】解：4人中选2人，基本事件有甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁，共6种，抽中甲乙只是其中的一种，所以抽中甲乙的概率： 故答案为：． 类型八、判断概率大小 【解惑】一只不透明的袋子中装有1个白球、2个黑球、3个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出1个球，则摸到球的概率最大的是（　　） A．白球 B．黑球 C．红球 D．黄球 【答案】C 【分析】根据概率公式可知，哪种球的数量最多，摸到那种球的概率就大． 【详解】解：袋子中装有1个白球，2个黄球和3个红球， ∵ ∴其中红球最多， ∴摸到红球的概率最大． 故选：C． 【点睛】本题考查了概率公式，随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 【融会贯通】 1．一个布袋中装有7个红球，2个黑球和1个白球，它们除颜色外都相同．从中任意摸出一个球，被摸到的可能性最大的球是（    ） A．红球 B．黑球 C．白球 D．黄球 【答案】A 【分析】根据布袋哪个颜色的球最多即可判断． 【详解】解：∵红球最多， ∴被摸到的可能性最大． 故选：A． 【点睛】本题考查了概率，解决本题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 2．如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被涂成蓝、红两种颜色，任意转动转盘一次，则P（蓝）表示指针停留在蓝色区域的可能性，P（红）表示指针停留在红色区域的可能性，则P（蓝） P（红）．（填“”“”或“”）    【答案】 【分析】先求出蓝色区域的圆心角为，得出蓝色区域的面积大于红色区域的面积，即可得出答案． 【详解】解：根据题意，可得红色区域的圆心角为，蓝色区域的圆心角为，蓝色区域的面积大于红色区域的面积，所以． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了可能性大小的判断，解题的关键是求出蓝色区域的圆心角，得出蓝色区域的面积大于红色区域的面积． 3．在一个不透明的袋中，只有白、红颜色的球，这些球除颜色外完全相同，已知从袋中随机摸出一个红球的概率为，则随机摸出一个白球的概率是 ． 【答案】 【分析】因为所有事件的概率之和为，所以随机摸白球的概率为减去摸红球的概率即可． 【详解】∵随机摸红球的概率为； ∴随机摸出一个白球的概率为：； 故答案为：． 【点睛】此题考查概率知识，解此题关键是知道所有事件概率之和等于1． 类型九、几何概率 【解惑】小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机地停留在某块方砖上，每一块方砖除颜色外完全相同，它最终停留在黑色方砖上的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查几何概率．根据几何概率的求法：最终停留在黑色的方砖上的概率就是黑色区域的面积与总面积的比值． 【详解】解：观察这个图可知：黑色区域（4块）的面积占总面积（9块）的， 则它最终停留在黑色方砖上的概率是； 故选：C． 【融会贯通】 1．如图是一个飞镖游戏板，大圆的直径把一组同心圆分成四等份，假设飞镖击中圆面上每一个点都是等可能的，则飞镖落在黑色区域的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了几何概率．两个同心圆被均分成四等份，飞镖落在每一个区域的机会是均等的，且黑色区域的面积等于白色区域的面积，利用几何概率的计算方法解答即可． 【详解】解：因为两个同心圆等分成四等份，飞镖落在每一个区域的机会是均等的，其中黑色区域的面积与白色区域的面积相等， 所以P(飞镖落在黑色区域)． 故选：A． 2．如图是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到四边形．将一个飞镖随机投掷在矩形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了几何概率，矩形的性质．用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比．根据概率公式求出阴影部分占整体的几分之几即可求解． 【详解】解：如图，连接， 根据矩形的对称性可得：四个三角形的面积之和等于长方形面积的一半，故阴影部分占长方形面积的， 故飞镖落在阴影区域的概率是， 故答案为：． 3．如图，一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了几何概率，弄清黑色区域的面积与图形总面积间的关系是解题的关键．根据题意可得：图中共有12块大小相同的三角形，其中黑色区域的面积恰好等于4块三角形的面积，根据及几何概率的求解方法解答即可． 【详解】解：根据题意可得：图中共有12块大小相同的三角形，其中黑色区域的面积恰好等于4块三角形的面积， 所以该小球停留在黑色区域的概率； 故答案为：． 类型十、频率估计概率的实际应用 【解惑】如图，四个不透明布袋中都装进只有颜色不同的3个小球，分别从中随机摸出一个小球，“摸到白球”属于随机事件的布袋是 （填写布袋对应的序号）． 【答案】②③ 【分析】本题考查了事件的分类，正确理解题意，并分类分析是解题的关键．根据事件，进行分类分析，即可得解． 【详解】解：①袋中有个白球，没有红球，摸到白球属于必然事件； ②袋中有个红球，个白球，摸到白球属于随机事件； ③袋中有个红球，个白球，摸到白球属于随机事件； ④袋中有个红球，没有白球，摸到白球属于不可能事件． 故答案为：②③． 【融会贯通】 1．你认为，有一匹马奔跑的速度是70米/秒是 事件． 【答案】不可能 【分析】本题考查事件的分类，根据必然事件，随机事件，不可能事件的概念进行判断，即可解题． 【详解】解：一匹马奔跑的速度是70米/秒是不可能事件． 故答案为：不可能． 2．转盘上有六个面积相等的扇形区域，颜色分布如图，若指针固定不动，转动转盘，当转盘停止后，则指针落在 色区域的可能性最大． 【答案】蓝 【分析】本题主要考查可能性的大小，根据转盘中红、黄、蓝区域的个数求解即可． 【详解】解：由题意得，黄色区域占转盘总面积的，红色区域占转盘总面积的，蓝色区域占转盘总面积的，所以指针落在蓝色区域的可能性最大． 故答案为：蓝． 3．某玩具公司承接了第19届杭州亚运会吉祥物公仔的生产任务，现对一批公仔进行抽检，其结果统计如下，请根据表中数据，回答问题： 抽取的公仔数 10 100 1000 2000 3000 5000 优等品的频数 9 96 951 1900 2856 4750 优等品的频率 0.9 0.96 0.951 0.95 0.952 0.95 (1)从这批公仔中任意抽取1只公仔是优等品的概率的估计值是_________；（精确到0．01） (2)若该公司这一批次生产了10000只公仔，求这批公仔中优等品大约有多少只？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据表中数据可判断频率在左右摆动，即可得到答案； （2）公仔总数乘以优等品的概率即可得出答案． 【详解】（1）解：这批公仔中任意抽取1只公仔是优等品的概率的估计值是， 故答案为：． （2）（只）， 答：这批公仔中优等品大约有9500只． 【点睛】本题本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是熟悉概率公式． 【一览众山小】 1．下列选项中的事件，属于必然事件的是（   ） A．两数相加，和大于其中一个加数 B．若x是实数，则 C．射击运动员射击一次，命中8环 D．两数相乘，同号得正数 【答案】D 【分析】本题主要考查了必然事件的定义，熟练掌握必然事件，在一定的条件下重复进行试验时，有的事件在每次试验中必然会发生，这样的事件叫必然发生的事件，简称必然事件是解题的关键． 【详解】解：A、两数相加，和大于其中一个加数，是随机事件，因为，而和0并不大于其中一个加数0，故不符合题意； B、若x是实数，则，是随机事件，因为若，则不成立，故不符合题意； C、射击运动员射击一次，命中8环，是随机事件，不符合题意； D、两数相乘，同号得正数，是必然事件，符合题意． 故选：D． 2．下列事件中，是不确定事件的是（   ） A．打开电视正在播放广东卫视电视台 B．同位角相等，两条直线平行 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．对顶角相等 【答案】A 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】解：A、打开电视正在播放广东卫视电视台，是不确定事件，故该选项符合题意； B、同位角相等，两条直线平行是必然事件，是确定事件，故该选项不符合题意； C、平行于同一条直线的两条直线平行是必然事件，是确定事件，故该选项不符合题意； D、对顶角相等是必然事件，是确定事件，故该选项不符合题意． 故选：A． 3．小明从盒子里摸球，每次摸出一个后再放回盒中，他连续摸5次，每次摸到的都是红球，下面说法正确的是（   ） A．盒子里一定都是红球 B．他第6次摸到的一定还是红球 C．他第6次摸到的可能还是红球 D．盒子里一定还有其他颜色的球 【答案】C 【分析】本题考查了可能性，根据可能性大小逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. 盒子里不一定都是红球，故该选项不正确，不符合题意；     B. 他第6次摸到的不一定还是红球，故该选项不正确，不符合题意； C. 他第6次摸到的可能还是红球，故该选项正确，符合题意；     D. 盒子里不一定还有其他颜色的球，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 4．在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 摸到黑球的次数m 65 118 189 310 482 602 摸到黑球的频率 0.65 0.59 0.63 0.62 0.603 0.602 （1）请估计：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到0.1）； （2）试估计袋子中有黑球 个； （3）若学习小组通过实验结果，想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为  50%，则可以在袋子中增加相同的白球 个或减少黑球 个 【答案】（1）0.6；（2）；（3）10；10． 【分析】（1）观察表格中摸到黑球的频率可得结果； （2）用总数乘以黑球的频率即可得到结果； （3）根据摸到黑球的可能性大小为50%，则黑球和白球相同，据此计算即可． 【详解】解：（1）观察表格得：当n很大时， 摸到黑球的频率将会接近0.6， 故答案为：0.6； （2）黑球有：个， 故答案为：； （3）原来白球的数量为：50-30=20， 摸到黑球的可能性大小为50%，则黑球和白球相同， ∴若保持黑球数量不变，则白球数量：20+10=30， 若保持白球的数量不变，则黑球数为：30-10=20， ∴要使摸到黑球的可能性大小为50%， 则需要增加相同的白球10个，或减少黑球10个， 故答案为：10；10． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 5．某班“红领巾义卖”活动中设立了一个可以自由转动的转盘．规定：顾客购物20元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 1000 落在“书画作品”区域的次数m 60 122 180 298 a 604 落在“书画作品”区域的频率 0.6 0.61 0.6 b 0.59 0.604 （1）完成上述表格：______；______； （2）请估计当n很大时，频率将会接近______，假如你去转动该转盘一次，你获得“书画作品”的概率约是______；（结果全部精确到0.1） （3）如果要使获得“手工作品”的可能性大于获得“书画作品”的可能性，则表示“手工作品”区域的扇形的圆心角至少还要增加多少度？ 【答案】（1）295；0.745；（2）0.6，0.6；（3）至少还要增加36度． 【分析】（1）根据表格中的数据，利用频率=频数总数即可求得a和b的值； （2）根据表格中的数据可以估计频率是多少，再利用频率估计概率即可得； （3）先根据获得“书画作品”的概率可得获得“手工作品”的概率，再乘以可得“手工作品”区域的扇形圆心角度数，然后与进行比较即可得． 【详解】（1）由题意得：，， 故答案为：295，0.745； （2）由表格中的数据得：当n很大时，频率将会接近0.6， 假如你去转动该转盘一次，你获得“书画作品”的概率约是0.6， 故答案为：0.6，0.6； （3）由（2）可知，获得“书画作品”的概率约是0.6， 则获得“手工作品”的概率为， “手工作品”区域的扇形圆心角度数为， 因此，， 答：表示“手工作品”区域的扇形的圆心角至少还要增加36度． 【点评】本题考查了利用频率估计概率、扇形统计图、可能性大小，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答本题． 6．在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共100只，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球实验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，如表是实验中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 70 124 190 325 538 670 2004 摸到白球的频率 0.70 0.62 0.633 0.65 0.6725 0.670 0.668 （1）若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为　　　　；(精确到0.01) （2）试估算盒子里黑球有　　　　只； （3）某小组在“用频率估计概率”的试验中，符合这一结果的试验最有可能的是　　　　． A．从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红色的” B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上” C．掷一个质地均匀的正六面体骰子(面的点数标记分别为1到6)，落地时面朝上的点数小于5． 【答案】（1）0.67；（2）33；（3）C． 【分析】（1）大量重复实验下摸球的频率可以估计摸球的概率，据此即可求解； （2）根据摸到白球的概率即可得出摸出黑球的概率，再让摸出黑球的概率乘以100即可得出黑球的个数； （3）算出每个选项的概率，即可判断． 【详解】（1）由表可知，若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为0.67， 故答案为：0.67； （2）根据题意得：100×（1﹣0.67）=33（只）， 答：盒子里黑球有33只， 故答案为：33； （3）A．从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红色的”的概率为==0.5＜0.67，故此选项不符合题意； B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”的概率为=0.5，不符合题意； C．掷一个质地均匀的正六面体骰子(面的点数标记分别为1到6)，落地时面朝上的点数小于5的概率为≈0.67，符合题意； 所以某小组在“用频率估计概率”的试验中，符合这一结果的试验最有可能的是C． 故答案为：C． 【点睛】本题考查了用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目×相应频率． 7．在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的11个小球，其中红球4个，黑球7个．先从袋子中取出个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件A． (1)当事件A为必然事件时，则　　； (2)当事件A为随机事件时，则　　． 【答案】(1)4 (2)2或3 【分析】（1）当事件A为必然事件时，意味着剩余球一定都是黑球，没有红球，确定计算即可． （2）当事件A为随机事件时，意味着剩余球一定有红球，得到，根据球的个数是整数，求整数解即可． 本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵“摸出黑球”为必然事件， ∴必须把红球全部取出，才能使摸出黑球为必然事件， ∴m的值是4； 故答案为：4． （2）解：∵“摸出黑球”为随机事件， ∴必须留有红球，才能使摸出黑球为随机事件， ∴， ∴m的值是2或3； 故答案为：2或3． 8．把一副扑克牌中的13张红桃牌正面朝下，洗匀后，从中任意抽取1张．下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？估计这些事件发生的可能性的大小，并把这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列． （1）抽到的牌的点数是8； （2）抽到的牌的点数小于6； （3）抽到的牌是黑桃； （4）抽到的牌是红桃． 【答案】（1）发生的可能性，随机事件 （2）发生的可能性，随机事件 （3）不可能事件，发生的可能性为0 （4）必然事件，发生的可能性为1 按发生的可能性从小到大的顺序排列为：（3）（1）（2）（4） 【分析】此题主要考查了可能性大小以及事件的名称，正确求出各事件发生的可能性是解题关键．利用必然事件、不可能事件、随机事件的定义分析，再分别求出发生的可能性． 【详解】解：（1）抽到的牌的点数是8，是随机事件，发生的可能性为； （2）抽到的牌的点数小于6，是随机事件，发生的可能性为； （3）抽到的牌是黑桃，是不可能事件，发生的可能性为0； （4）抽到的牌是红桃，是必然事件，发生的可能性为1； 则按发生的可能性从小到大的顺序排列为：（3）（1）（2）（4）． 9．“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．图1是由边长为的正方形薄板分为7块制作成的“七巧板”，分别是五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形，图2是一个用该“七巧板”拼成的“台灯”形状装饰图，放入长方形中，装饰图中三角形的顶点F在边上，三角形的边和分别在边、上，使得．      (1)通过观察图形得到 ； (2)一只蚂蚁在长方形内爬行，已知它停在长方形内任意一点的可能性相同，那么它停在“台灯”上与空白区域的可能性相同吗？请通过计算说明． 【答案】(1) (2)可能性不同，见解析 【分析】本题通过七巧板考查正方形的性质，勾股定理，几何概率，理解题意，发现与图1中的正方形对角线间的关系，以及掌握几何概率公式是解题的关键． （1）观察可以发现正好等于正方形的对角线长，利用勾股定理求出对角线长即可； （2）根据几何概率公式分别求出它停在“台灯”上与空白区域的概率，即可作出判断． 【详解】（1）解：对比图2与图1，可以发现正好等于正方形的对角线长， ∵正方形的边长为， ∴对角线长为， 故答案为：， （2）解：不相同． 说明：∵， ∴， ∴(它停在“台灯”上）， 它停在空白区域， ， ∴它停在“台灯”上与空白区域的可能性不相同． 10．某批乒乓球的质量检验结果如下： 抽取的乒乓球数n 200 400 600 800 1000 1600 2000 优等品的频数m 190 384 570 756 955 1520 1900 优等品的频率 a b c (1)填空： ______，______，______； (2)在下图中画出优等品频率的折线统计图： (3)从这批乒乓球中，任意抽取的一只乒乓球是优等品的概率的估计值是多少？ 【答案】(1)，， (2)作图见解析 (3) 【分析】（1）代入计算求解即可； （2）描点、连线即可； （3）利用频率估计概率即可． 【详解】（1）解：由题意得，，， 故答案为：，，； （2）解：折线图如下： （3）解：∵在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率， ∴任意抽取的一只乒乓球是优等品的概率的估计值为． 【点睛】本题考查了频率，画折线图，用频率估计概率．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$