高一数学开学摸底考01（人教A版2019必修第一册全部）-2024-2025学年高中下学期开学摸底考试卷

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年下学期开学摸底考试 高一数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年下学期开学摸底考 高一数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 1、 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．已知函数（且）的图象经过定点A，且点A在角θ的终边上，则（   ） A． B．0 C．7 D． 4．已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．若存在正实数x，y满足，且使不等式有解，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．将函数图象向右平移个单位得到奇函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．若是奇函数，则（   ） A． B． C． D． 8．已知函数是定义在上的偶函数．，且，恒有．若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2、 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．有如下命题，其中为真命题的是（   ） A．若幂函数的图象过点，则 B．函数（且）的图象恒过定点 C．函数有两个零点 D．若函数在区间上的最大值为4，最小值为3，则实数的取值范围是 10．已知，且，，则（    ） A． B． C． D． 11．设函数，若关于的方程有四个实根，，，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．的最小值为16 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数，则 ． 13．已知函，若，则 ． 14．已知函数，且，若函数在区间上单调递减，则的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸． 15．（13分）已知集合，，. (1)求，； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16．（15分）已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)若，，求的值. 17．（15分）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求，的值； (2)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 18．（17分）某公司的股票在交易市场过去的一个月内（以30天计），第天每股的交易价格满足函数关系（单位：元），第天的日交易量（万股）的部分数据如下表，给出以下四个函数模型： ①；②；③；④. 10 15 20 25 30 50 55 60 55 50 (1)请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述该股票日交易量（万股）与时间第天的函数关系（简要说明理由），并求出该函数的关系式； (2)根据（1）的结论，求出该股票在过去一个月内第天的日交易额的函数关系式，并求其最小值. 19．（17分）已知函数与关于直线对称. (1)若，求函数的值域； (2)若方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围； (3)若函数，方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年下学期开学摸底考 高一数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．已知函数（且）的图象经过定点A，且点A在角θ的终边上，则（   ） A． B．0 C．7 D． 4．已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．若存在正实数x，y满足，且使不等式有解，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．将函数图象向右平移个单位得到奇函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．若是奇函数，则（   ） A． B． C． D． 8．已知函数是定义在上的偶函数．，且，恒有．若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．有如下命题，其中为真命题的是（   ） A．若幂函数的图象过点，则 B．函数（且）的图象恒过定点 C．函数有两个零点 D．若函数在区间上的最大值为4，最小值为3，则实数的取值范围是 10．已知，且，，则（    ） A． B． C． D． 11．设函数，若关于的方程有四个实根，，，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．的最小值为16 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数，则 ． 13．已知函，若，则 ． 14．已知函数，且，若函数在区间上单调递减，则的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知集合，，. (1)求，； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16．（15分）已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)若，，求的值. 17．（15分）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求，的值； (2)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 18．（17分）某公司的股票在交易市场过去的一个月内（以30天计），第天每股的交易价格满足函数关系（单位：元），第天的日交易量（万股）的部分数据如下表，给出以下四个函数模型： ①；②；③；④. 10 15 20 25 30 50 55 60 55 50 (1)请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述该股票日交易量（万股）与时间第天的函数关系（简要说明理由），并求出该函数的关系式； (2)根据（1）的结论，求出该股票在过去一个月内第天的日交易额的函数关系式，并求其最小值. 19．（17分）已知函数与关于直线对称. (1)若，求函数的值域； (2)若方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围； (3)若函数，方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$画学科网，学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2024-2025学年下学期开学摸底考 高一数学·参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 5 6 B D A D B D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 BD BC ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.2025 13.e 14.(0,13,4 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 【详解】(1)因为集合A={x4≤x≤6，B={x1<x<5引，所以AUB={x<x≤6；3分 又gA={xx<4或x>6,则(RAnB={xl<x<4 …6分 (2)因为x∈A是x∈C的必要不充分条件，所以集合C是集合A的真子集，7分 当C=☑时，2a-3>Q+1,解得a>4,满足愿意；.9分 a+1≤6 a+1<6 7 当C≠⑦时，由题意 2a-3>4或2a-324,所以 气a≤4；.12分 as4 as4 综上所述： a的取值范围为 13分 16.(15分) 【详解】(1)f儿x=5cos'x-sim2x-5sim'x=5.1+cos2x-sin2r-5.-cos2 2 2 2分 =3 cos2x-sin2x=2cos2x+ 6 4分 令2x+∈|-m+2km,2hm,keZ, 6 1/5 高学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 解得x∈ +k,2 12 +kmk∈Z 6分 故f的单调递增区同为[径+，e: 7分 2)因为0引所以(+8[ 8分 -2ma+}gpom2x+引 所以+}[引.2+)号 .10分 …13分 3x5,4x135+4 …15分 252 10 17.(15分) 【详解】(1)因为f(x)是R上的奇函数， 所以f0)=0,即，+也=0，解得b=1,2分 2+a -2+1 从而有f)=2+a1 又由0=-f-少，知-241.子之士.解得a=2,…5分 1 4+a1+a 经检验，当d专名十时，0，满足题意：…6分 (2)由(1)知f=2+222+1 -2+11,1 任取X,x∈R,且x<x,则 小-引一分 因为x<x,所以2-2<0，所以f(x)-f(x)<0,即f(x)<f(x), 所以f)在R上为减函数，又因为f)为R上为奇函数，…10分 所以由f(2-)+f22-k)<0得f2-<fk-2r2）,12分 所以1-1>k-22,得312-1-素>0恒成立，13分 所以4=1+12t<0,所以<一方所以k的取值范围为 0,12 .15分 2/5 高学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 18.(17分)【详解】(1)由表格数据知，当时间x变换时，Q(x先增后减，而@③④都是单调函数所以选 择模型②， 2分 (x)=ax-m+b 由215=Q25),可得15-m=25-m,解得m=20,4分 Q(15)=5a+b=55 由 0(20)=b=60 ，解得0=-1，b=60,6分 所以Q(x与时间x的变化的关系式为Q(x=-x-20+601≤x≤30，x∈N7分 (2)由(1)知：Qx)=-x-20+60= x+80,20<x≤30xeN…9分 x+40,1≤x≤20 10+1x+40,1sx≤20 所以f(x)=P(x·O(x ∈N）11分 10+-+80,20<x30 当1≤x≤20，reN时，由基本不等式，可得f)=10x+0+401≥20x40+401=41, 当且仅当10r=40时，即x=2时等号成立， .13分 当20<x530,xeN时，x=-10x+80+799为减函数， 所以函复的最小值为f-f30-40·学41， 15分 综上，当x=2时，函数f(x取得最小值441（万元)17分 19.(17分) 【详解】(1)因为函数f(x与g(x=10g,x关于直线y=x对称， 所以f(x)=2,则hx=log 2+司 2分 又2”+分22，当且仅当x=0时等式成立. 所以函数h(X)的值域为l,+o 4分 (2)方程x)-1=1+1有两个不同的实数解，即2-1=1+1有两个不同的实数解， 令函数y-p-小-2，x<0 2-1x20, 5分 则当x20时，y=2-1单调递增，且2-1≥0： 当x<0时，y=1-2单调递减，且0<1-21<1：7分 3/5 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 所以要使方程2-1=1+1有两个不同的实数解，则0<1+1<1，即-1<1<0， 所以实数1的取值范围为-1,0)。 9分 9)因为>0，所以新4有到，所以气}2， x+1 x+1 又0=：4-)在(0+四)上单河递指，且0得)=0， 所以y=p(x的图象如图所示， VA y=p(x川 11分 3 因为p(x+ap(x川+a+3=0有三个不同的实数解， 设p(x=t,由y=p(x的图象可得， 当1=0或1≥2时，对于一个确定的1值，对应一个x的值： 当0<1<2时，对于一个确定的t值，对应两个不同的x的值， 则r+a+a+3=0有两个根，且一个在(0,2)上，一个根为0： 或r++a+3=0有两个根，且一个在(0,2)上，一个在2，+)上，13分 ①当2+a+a+3=0有两个根，且一个在(0,2)上，一个根为0时， 因为一个根为0，所以，即a=-3, 此时2+at+a+3=2-3t=0,则另一根为3e(0,2),舍去： 14分 ②当2+am+a+3=0有两个根，且一个在(0,2)上，一个在2，+0)上时， 令kt)=2+a1+a+3, ()当一个根在(0,2)上，一个在(2，+0)上， k(0)>0 20解将-3a-子5分 [a+3>0 则k2<0 ()当一个根在(0,2)上，一个根为2，则k(2)=7+30=0,解得a=-7 31 此时-子+号-0的另一根为0,2小，满足愿意。 3 4/5 学科网，学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 综上，实数a的取值范围为 17分 5/5 2024-2025学年下学期开学摸底考 高一数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数函数性质解对数不等式求出集合A，解绝对值不等式求出集合B，再根据交集定义直接计算即可得解. 【详解】因为函数是增函数，所以解得， 所以集合， 解不等式得即， 所以集合， 所以. 故选：B 2．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】根据对数函数的单调性化简，即可根据充要条件的定义求解. 【详解】因为，等价于即，解得， 所以是的充要条件. 故选：C. 3．已知函数（且）的图象经过定点A，且点A在角θ的终边上，则（   ） A． B．0 C．7 D． 【答案】D 【分析】根据指数运算的性质，结合三角函数的定义、同角三角函数的商关系进行求解即可. 【详解】对于函数（且），当时，，即， 因为点A在角θ的终边上， 所以， 于是， 故选：D 4．已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数单调性分析判断即可. 【详解】因为在R上单调递增，所以，即， 又因为，又且在上单调递增， 所以，，所以. 故选：A. 5．若存在正实数x，y满足，且使不等式有解，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出的最小值，再借助不等式有解求出范围. 【详解】由，且，得， 当且仅当，即时取等号，依题意，，解得或， 所以的取值范围是. 故选：D 6．将函数图象向右平移个单位得到奇函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】先根据平移得出，再应用函数是奇函数得出进而求出最小值即可. 【分析】根据题意可得： 为奇函数， ， 故选：B 7．若是奇函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由奇函数的性质、函数的定义域分析，求出的值，又由，求出的值，计算可得答案. 【详解】根据题意，已知是奇函数， 当时，， 函数的定义域为，定义域不关于原点对称， 此时，函数一定不是奇函数，故， 则有，且，变形可得， 所以的根为，解可得，故， 又因为为奇函数，则有， 即， 即，所以， 即，故. 所以. 故选：C. 8．已知函数是定义在上的偶函数．，且，恒有．若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知不等式转化后得出函数在上是增函数，不等式转化为，然后由偶函数与单调性求解即可． 【详解】不妨设，所以， 则， 所以， 令，则， 所以在上单调递增， 又是偶函数，所以， 即也是偶函数，则其在上单调递减， 因为，所以， 则， 所以，解之得． 故选：D 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．有如下命题，其中为真命题的是（   ） A．若幂函数的图象过点，则 B．函数（且）的图象恒过定点 C．函数有两个零点 D．若函数在区间上的最大值为4，最小值为3，则实数的取值范围是 【答案】BD 【分析】根据幂函数的定义判断选项A，由指数的性质判断选项B，由零点存在性定理的应用判断选项C，由二次函数的图象和性质判断选项D． 【详解】设幂函数，代入，得到，∴，∴，则，故A错误； 由于恒过定点，因此令，即时，恒有， 即图象恒过定点，故B正确； 转化，即， 函数与在同一直角坐标系下的图象如图1所示， 两个函数只有一个交点，故函数只有一个零点，故C错误. 函数中，得，， 如图2所示，可得若函数在区间上的最大值为4，最小值为3， 则实数的取值范围是，故D正确. 故选：BD.    10．已知，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由正切关系得到正余弦关系，结合，分别求出和，判断出AB选项，再由二倍角公式和和差角公式判断出CD选项. 【详解】∵，即， ∴， ∴， ∴，B选项正确， ∴，A选项错误， ∴ ，C选项正确 ， ∵，∴，∴，D选项错误. 故选：BC 11．设函数，若关于的方程有四个实根，，，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．的最小值为16 【答案】ABD 【分析】作出函数的图象，根据题意得到，，再逐项判断. 【详解】解：作出函数的图象，如图所示： 由图象知：， 由二次函数的对称性可得， 令或, 所以, 因为方程有四个实根，所以， 又，则， 即，则， 所以， 所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：ABD 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数，则 ． 【答案】2025 【分析】根据分段函数的定义及对数、指数的运算法则计算． 【详解】由已知， ，， 所以， 故答案为：2025． 13．已知函，若，则 ． 【答案】 【分析】根据条件，利用指数和对数的运算求得答案. 【详解】由，可得， 即，也即， 且，， 两边取对数得：，解得. 故答案为：. 14．已知函数，且，若函数在区间上单调递减，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】分和，根据复合函数单调性结合对数函数性质分析求解即可. 【详解】令，可知其图象开口向上，对称轴为， 若，则在定义域内单调递减， 由题意可知：在区间上单调递增，且在区间上恒成立， 则，解得； 若，则在定义域内单调递增， 由题意可知：在区间上单调递减，且在区间上恒成立， 则，解得； 综上所述：的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知集合，，. (1)求，； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用并集概念求解，先求出，然后再求解即可； （2）根据题意知集合是集合的真子集，分和讨论求解即可. 【详解】（1）因为集合，，所以； 又或，则. （2）因为是的必要不充分条件，所以集合是集合的真子集， 当时，，解得，满足题意； 当时，由题意或，所以； 综上所述：的取值范围为. 16．（15分）已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)若，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由降幂公式和辅助角公式化简，结合整体法可求的单调递增区间； （2）化简得，由求出范围，再结合余弦差角公式即可求解. 【详解】（1） ，令， 解得， 故的单调递增区间为； （2）因为，所以， ，即， 所以，， 所以 . 17．（15分）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求，的值； (2)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用奇函数定义，在中的运用特殊值求，的值； （2）首先确定函数的单调性，然后结合奇函数的性质把不等式转化为关于的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知识求出的取值范围． 【详解】（1）因为是上的奇函数， 所以，即，解得，从而有， 又由，知，解得， 经检验，当时，，满足题意； （2）由（1）知， 任取，，且，则 因为，所以，所以，即， 所以在R上为减函数，又因为为上为奇函数， 所以由得， 所以，得恒成立， 所以，所以，所以的取值范围为. 18．（17分）某公司的股票在交易市场过去的一个月内（以30天计），第天每股的交易价格满足函数关系（单位：元），第天的日交易量（万股）的部分数据如下表，给出以下四个函数模型： ①；②；③；④. 10 15 20 25 30 50 55 60 55 50 (1)请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述该股票日交易量（万股）与时间第天的函数关系（简要说明理由），并求出该函数的关系式； (2)根据（1）的结论，求出该股票在过去一个月内第天的日交易额的函数关系式，并求其最小值. 【答案】(1)选择模型②， (2)，441（万元） 【分析】（1）股票价格不可能是单调的得出选择模型②，代入具体值求出函数解析式； （2）首先写出的解析式，然后再根据函数单调性和基本不等式求出最值. 【详解】（1）由表格数据知，当时间变换时，先增后减，而①③④都是单调函数所以选择模型②， 由，可得，解得， 由，解得， 所以与时间的变化的关系式为. （2）由（1）知： 所以. 当时，由基本不等式，可得， 当且仅当时，即时等号成立， 当时，为减函数， 所以函数的最小值为， 综上，当时，函数取得最小值441（万元）. 19．（17分）已知函数与关于直线对称. (1)若，求函数的值域； (2)若方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围； (3)若函数，方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）根据函数的对称关系求出，进而求得的值域； （2）构造函数并确定函数的值域规律，将问题转化为，即可求出实数的取值范围； （3）画出的图象，利用换元法，设，数形结合，利用二次方程根的分布，类讨论即可得解. 【详解】（1）因为函数与关于直线对称， 所以，则， 又，当且仅当时等式成立， 所以函数的值域为. （2）方程有两个不同的实数解，即有两个不同的实数解， 令函数 则当时，单调递增，且； 当时，单调递减，且； 所以要使方程有两个不同的实数解，则，即， 所以实数的取值范围为. （3）因为，所以，所以， 又在上单调递增，且， 所以的图象如图所示，    因为有三个不同的实数解， 设，由的图象可得， 当或时，对于一个确定的值，对应一个的值； 当时，对于一个确定的值，对应两个不同的的值， 则有两个根，且一个在上，一个根为0； 或有两个根，且一个在上，一个在上， ①当有两个根，且一个在上，一个根为0时， 因为一个根为0，所以，即， 此时，则另一根为，舍去； ②当有两个根，且一个在上，一个在上时， 令， （i）当一个根在上，一个在上， 则，即，解得， （ii）当一个根在上，一个根为2，则，解得， 此时的另一根为，满足题意， 综上，实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解 13 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$