精品解析：浙江省宁波市镇海蛟川书院2024--2025学年上学期七年级期中考试数学卷

蛟川书院2024学年第一学期期中测试 初一数学试卷 （满分100分，考试时间100分钟） 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1. 的绝对值是（ ） A. B. 2024 C. D. 2. 下列各式中，错误是（ ） A. B. C. D. 3. 第三十三届夏季奥林匹克运动会已落下帷幕．16天来，来自全球206个国家和地区代表团的10500位运动员齐聚巴黎，在塞纳河畔、埃菲尔铁塔下，公平竞争，友好交流，向全世界奉献了一场精彩的体育盛宴．其中10500用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 在实数：，0.1010010001．…（每2个1之间依次多一个0）中，无理数的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 下列各式的计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知大喇叭和小音箱的单价分别为x元、y元．广播操比赛前夕，大喇叭按七折出售．此时购买两个大喇叭和一个小音箱共需（ ）元（用含x、y的代数式表示）． A. B. C. D. 7. 明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之为四两，九两分之为半斤．其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差半斤（注：明代时1斤两，故有“半斤八两”这个成语）．设共有x两银子，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 8. 已知：，且a，b为两个连续的整数，则（ ） A. B. C. D. 9. 实数a，b在数轴上的位置如下图所示，则的化简结果为（ ） A. B. C. D. 10. 在一个方格中填写9个数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数的和相等．若方格中9个数的和为m，则称这个三阶幻方为“m幻方”．例如：图1中的三阶幻方为“45幻方”．如果图2中的三阶幻方为“m幻方”，则m的值为（ ） A. 33 B. 36 C. 39 D. 42 二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分） 11. 的立方根是__________． 12. 单项式系数为________，次数为________． 13. 将精确到百分位的结果是________． 14. 若和是同类项，则________． 15. 若一个正数的平方根分别为和，则这个正数是________． 16. 某同学解关于x的方程，，在去分母时，漏乘方程右边的常数项，求得错误的解为， 则________，该方程正确的解为________． 17. 数学家欧拉最先把关于x的多项式用记号来表示．当（a为常数）时，用来表示该多项式的值．若，且，则的值为________． 18. 有些数学问题从正面入手求解比较繁琐，但如果从问题的反面思考，往往能开拓解题思路、简化运算过程．下图是一张方格纸的左上角的部分，用图中的方式从左上角的格子开始涂色，直到不能涂色为止，则在原方格纸上有________个格子被涂色． 三、解答题（本题有6小题，第19题9分，第20题6分，第21题6分，第22题8分，第23题7分，第24题10分，共46分） 19. 计算： （1） （2） （3） 20. 解方程： （1） （2） 21. 已知： （1）当时，求值； （2）若多项式不含ab项，求m的值． 22. 定义：如果两个一元一次方程的解互为倒数，则称这两个方程互为“优雅方程”．例如：和互为“优雅方程” （1）判断：________（填“是”或“不是”） “优雅方程”． （2）若方程与关于x的方程互为“优雅方程”，求a的值． （3）若两个关于x的方程（m为正整数）与（n为负整数）互为“优雅方程”，求出所有满足条件的m、n的值． 23. 【知识链接】 在求解几何图形的面积时，通常会利用割、补等手段．所谓“割”，就是将原图形分为若干个常见的规则图形（如正方形、直角三角形等），分割后各个图形的面积之和等于原图形的面积． 纵观历史，我国著名的数学家赵爽在《勾股圆方图注》中绘制了一张弦图（见下图），并将大正方形中四个完全相同的直角三角形命名为朱实，中间的小正方形命名为黄实．上述规则图形无缝隙、无重叠． 【问题探究】 一张赵爽弦图如下图所示．若四个直角三角形的两条直角边都分别为a和b（即，），且． （1）请你用含a、b的代数式表示出正方形的面积S，并求出当时，S的值． （2）现将赵爽弦图中四个完全相同的直角三角形分别沿着正方形的四条边向外翻折，得到如下图所示的大正方形记正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为请问是否存在常数k使得成立？若存在，请求出k的值：若不存在，请说明理由． 24. 数学活动课上，同学们将数轴进行折叠、旋转等几何变换．请阅读下列素材，完成探究任务 【素材1】灵动小组绘制了一条“灵动数轴”（如下图），其中点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C表示的数为c．已知a、b、c满足． 【素材2】 通达小组分别以“灵动数轴”中的点A和点B为中心旋转一定角度，形成了如下图所示的“数轴阶梯”，其中点A和点B之间的部分（包括点A和点B）叫做“阶梯坡面”． 【任务1】在“灵动数轴”中，________，________，________． 【任务2】 折叠“灵动数轴”，使点B与点C重合，求此时与点A重合的点所表示的数． 【任务3】 点D落在“阶梯坡面”上，．现在动点P、Q同时开始运动：点P从点C出发，以3个单位长度/秒的速度向点A运动，过点A后以2个单位长度/秒的速度“上坡”至点B，再以5个单位长度/秒的速度“下坡”至终点A；点Q从点D出发，以1个单位长度/秒的速度“上坡”至终点B．当一个点到达终点后，另一个点也立即停止运动．当点P在“阶梯坡面”上运动时，满足，若此时点P的运动时间为t秒，请直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 蛟川书院2024学年第一学期期中测试 初一数学试卷 （满分100分，考试时间100分钟） 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1. 的绝对值是（ ） A. B. 2024 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，根据绝对值的定义进行求解即可． 【详解】解：， 故选：B． 2. 下列各式中，错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查实数的运算，根据乘方运算法则，实数大小比较法则，算术平方根的化简分别计算并判断． 【详解】解：A.，此项正确； B.，，， ∴，故此项正确； C.，故此项正确； D.，故此项错误； 故选：D． 3. 第三十三届夏季奥林匹克运动会已落下帷幕．16天来，来自全球206个国家和地区代表团的10500位运动员齐聚巴黎，在塞纳河畔、埃菲尔铁塔下，公平竞争，友好交流，向全世界奉献了一场精彩的体育盛宴．其中10500用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数，当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：， 故选：A． 4. 在实数：，0.1010010001．…（每2个1之间依次多一个0）中，无理数的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查无理数的概念．根据无理数的概念：无限不循环小数，进行判断即可． 【详解】解：由无理数的概念：无限不循环小数可知：0.1010010001…（每2个1之间依次多一个0）是无理数，共1个，其它的都是有理数； 故选：A． 5. 下列各式的计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查整式的加减，熟练掌握整式加减法则是解题的关键，根据整式加减法则计算即可． 【详解】解：A.，此项正确； B.与不是同类项，此项错误； C.，故此项计算错误； D.与不是同类项，不能合并，故计算错误； 故选：A． 6. 已知大喇叭和小音箱的单价分别为x元、y元．广播操比赛前夕，大喇叭按七折出售．此时购买两个大喇叭和一个小音箱共需（ ）元（用含x、y的代数式表示）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，解题的关键是理解题意，根据大喇叭和小音箱的单价分别为x元、y元，大喇叭按七折出售，得出购买两个大喇叭和一个小音箱需要的费用即可． 【详解】解：大喇叭和小音箱的单价分别为x元、y元，大喇叭按七折出售，则购买两个大喇叭和一个小音箱共需元． 故选：C． 7. 明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之为四两，九两分之为半斤．其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差半斤（注：明代时1斤两，故有“半斤八两”这个成语）．设共有x两银子，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次方程，正确理解题意是关键；根据人数列出方程即可． 【详解】解：设有x两银子， 由题意得，， 故选：D． 8. 已知：，且a，b为两个连续的整数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的大小估算，已知字母的值求代数式的值，先由，得出，则，结合a，b为两个连续的整数，则，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∵，且a，b为两个连续的整数， 则， ∴， 故选：B． 9. 实数a，b在数轴上的位置如下图所示，则的化简结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查数轴，利用数轴判断式子的符号，整式的加减计算，解题的关键是学会根据点在数轴上的位置来判断数的正负以及代数式的值的符号，根据绝对值定义化简，再计算加减法． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴ . 故选B． 10. 在一个方格中填写9个数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数的和相等．若方格中9个数的和为m，则称这个三阶幻方为“m幻方”．例如：图1中的三阶幻方为“45幻方”．如果图2中的三阶幻方为“m幻方”，则m的值为（ ） A. 33 B. 36 C. 39 D. 42 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数的运算，一元一次方程的应用，根据“每行每列每条对角线上的三个数之和相等”可得第一行第三个方格中的数字，根据对角线上两数之和等于中间数的2倍即可列出方程，据此即可求解． 【详解】解：第一行第三个方格中的数字为 由题意得：， ∴， 故选：B． 二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分） 11. 的立方根是__________． 【答案】-2 【解析】 【分析】根据立方根的定义进行求解即可得． 【详解】解：∵（﹣2）3=﹣8， ∴﹣8的立方根是﹣2， 故答案为﹣2． 【点睛】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 12. 单项式的系数为________，次数为________． 【答案】 ①. ②. 6 【解析】 【分析】本题考查了单项式的相关概念，属于基础题目，熟练掌握基本知识是解题关键．根据单项式的系数和次数的定义解答即可． 【详解】解：单项式的系数是，次数是6． 故答案为：，6． 13. 将精确到百分位结果是________． 【答案】 【解析】 【分析】把千分位上的数字5进行四舍五入即可．本题考查了近似数，熟练掌握四舍五入法是解题的关键． 【详解】解：用四舍五入法将精确到百分位的结果是， 故答案为：． 14. 若和是同类项，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同类项的定义，解题的关键是根据同类项的定义，正确求出a、b的值，根据同类项的定义：字母相同，相同字母的指数也相同，即可得到答案． 【详解】解：∵与是同类项， ∴ ∴，， ∴； 故答案为. 15. 若一个正数的平方根分别为和，则这个正数是________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了已知一个数的平方根，求这个数，正确掌握平方根的概念是解题的关键．根据正数的平方根互为相反数，两平方根相加等于0求出m值，再求出一个平方根，进而就可以得到这个正数． 【详解】解：∵一个正数的平方根分别为和， ∴， 解得， 则这个正数是． 故答案为：9． 16. 某同学解关于x的方程，，在去分母时，漏乘方程右边的常数项，求得错误的解为， 则________，该方程正确的解为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】此题考查解一元一次方程，正确掌握解法是解题的关键，先根据题意去分母，将代入求出a的值，再将a代回原方程求出方程的解． 【详解】解：∵方程，在去分母时，漏乘方程右边的常数项， ∴去分母得， 将代入，得， 解得， ∴原方程为， 解得 故答案为，． 17. 数学家欧拉最先把关于x的多项式用记号来表示．当（a为常数）时，用来表示该多项式的值．若，且，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由得出，再整体代入计算即可．本题主要考查代数式求值，解题的关键是掌握整体代入思想的运用． 【详解】解：依题意，将代入， 得， 整理得， 则原式 ， 故答案为：． 18. 有些数学问题从正面入手求解比较繁琐，但如果从问题的反面思考，往往能开拓解题思路、简化运算过程．下图是一张方格纸的左上角的部分，用图中的方式从左上角的格子开始涂色，直到不能涂色为止，则在原方格纸上有________个格子被涂色． 【答案】4999 【解析】 【分析】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是先求出白色的格子的数量，从而可求涂色的格子的数量．本题由图可得，白色的格子分别是2， 6， 10， 14， ．．．从而可得第n个数是，则其总数是结合方格纸的大小可求得白色格子的数量，从而可求涂色的格子的数量． 【详解】解∶由题意得白色的格子分别是2， 6， 10， 14， ．．． ∴第n个数是∶， ∴白色格子的总数是： ， ∵方格纸的规格是， ∴白色格子的行数是（行）， 即当时，其白色格子的总数是： （个）， ∴涂色的格子的数量为∶ （个）． 故答案为∶ ． 三、解答题（本题有6小题，第19题9分，第20题6分，第21题6分，第22题8分，第23题7分，第24题10分，共46分） 19. 计算： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】此题考查实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键： （1）根据乘法分配律计算； （2）先计算乘方，及乘法分配律，再计算加减法； （3）先计算算术平方根，立方根，乘法，再计算加减法． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ． 20. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查解一元一次方程，正确计算是解题的关键： （1）去括号，移项，合并同类项，系数化1解方程； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1解方程． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 两边同乘以21，得 去括号，得 移项，合并同类项，得 系数化为1，得． 21. 已知： （1）当时，求的值； （2）若多项式不含ab项，求m的值． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】此题考查整式的加减计算法则， （1）根据题意列式计算即可； （2）将A，B的值代入计算并化简，再根据不含项计算求出m的值． 【小问1详解】 解： ∵， ∴原式； 【小问2详解】 解： ∵多项式不含项， ∴ ∴． 22. 定义：如果两个一元一次方程的解互为倒数，则称这两个方程互为“优雅方程”．例如：和互为“优雅方程” （1）判断：________（填“是”或“不是”） 的“优雅方程”． （2）若方程与关于x的方程互为“优雅方程”，求a的值． （3）若两个关于x的方程（m为正整数）与（n为负整数）互为“优雅方程”，求出所有满足条件的m、n的值． 【答案】（1）是 （2） （3）或或或 【解析】 【分析】（1）解已知条件中的两个一元一次方程，然后根据“优雅方程”的定义进行判断即可； （2）先解已知条件中的两个方程，根据新定义，列出关于a的方程，解方程即可； （3）先解含有字母参数两个方程，然后根据新定义，列出关于m，n的方程，解方程即可． 本题主要考查了一元一次方程的解，倒数，其他应用，解题关键是熟练掌握已知条件中的新定义． 【小问1详解】 解：依题意，， 解得：， 则， 移项得， ∴， 解得， ∵和是互为倒数， ∴是方程的“优雅方程”， 故答案为：是； 【小问2详解】 解：依题意，， 去括号得， ∴， 解得， ∴， ∴， 则， ∴， 则， ∵方程与关于x的方程互为“优雅方程”，且的倒数是， ∴， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：依题意，， ∴， ∴， 依题意，， ∴， ∴， ∵关于x的方程与互为“优雅方程”， ∴， ∴， ∴， ∵m为正整数，n为负整数， ∴ 或； 或； 或； 综上可知：或或或； 23. 【知识链接】 在求解几何图形面积时，通常会利用割、补等手段．所谓“割”，就是将原图形分为若干个常见的规则图形（如正方形、直角三角形等），分割后各个图形的面积之和等于原图形的面积． 纵观历史，我国著名的数学家赵爽在《勾股圆方图注》中绘制了一张弦图（见下图），并将大正方形中四个完全相同的直角三角形命名为朱实，中间的小正方形命名为黄实．上述规则图形无缝隙、无重叠． 【问题探究】 一张赵爽弦图如下图所示．若四个直角三角形的两条直角边都分别为a和b（即，），且． （1）请你用含a、b的代数式表示出正方形的面积S，并求出当时，S的值． （2）现将赵爽弦图中的四个完全相同的直角三角形分别沿着正方形的四条边向外翻折，得到如下图所示的大正方形记正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为请问是否存在常数k使得成立？若存在，请求出k的值：若不存在，请说明理由． 【答案】（1）49 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）根据题意，用含a、b的代数式表示出正方形的面积S，再将a，b的值代入求值即可； （2）用含a、b的代数式表示出正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为，再计算出，即可发现与的关系，从而得到k的值． 本题考查赵爽弦图，解答中涉及列代数式，求代数式的值，乘法公式，理解题意，掌握题目中提供的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意可知，正方形的边长为， ∴正方形的面积， 当时，； 【小问2详解】 解：存在． 由题意，得，，， ∴， ∵， ∴． 24. 数学活动课上，同学们将数轴进行折叠、旋转等几何变换．请阅读下列素材，完成探究任务 【素材1】灵动小组绘制了一条“灵动数轴”（如下图），其中点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C表示的数为c．已知a、b、c满足． 【素材2】 通达小组分别以“灵动数轴”中的点A和点B为中心旋转一定角度，形成了如下图所示的“数轴阶梯”，其中点A和点B之间的部分（包括点A和点B）叫做“阶梯坡面”． 【任务1】在“灵动数轴”中，________，________，________． 【任务2】 折叠“灵动数轴”，使点B与点C重合，求此时与点A重合的点所表示的数． 【任务3】 点D落在“阶梯坡面”上，．现在动点P、Q同时开始运动：点P从点C出发，以3个单位长度/秒的速度向点A运动，过点A后以2个单位长度/秒的速度“上坡”至点B，再以5个单位长度/秒的速度“下坡”至终点A；点Q从点D出发，以1个单位长度/秒的速度“上坡”至终点B．当一个点到达终点后，另一个点也立即停止运动．当点P在“阶梯坡面”上运动时，满足，若此时点P的运动时间为t秒，请直接写出t的值． 【答案】任务1：，；任务:2：4；任务3：或 【解析】 【分析】任务1：利用非负数的性质解答即可； 任务2：利用对称性求得折痕处对应的数为0.5，则利用点对应的数距离0.5的长度为3.5解答即可； 任务3：利用题意得到的取值范围为，利用分类讨论的方法分两种情况讨论解答：当时，此时点，都在做上坡运动，①当点在点下方时，利用含的代数式表示出线段，，依据已知条件列出关于的方程解答即可；②当点在点上方时，利用①的方法列方程解答即可；当时，此时点在做上坡运动，点做下坡运动，①当点在点下方时，利用含的代数式表示出线段，，依据已知条件列出关于的方程解答即可；②当点在点上方时，利用①的方法列方程解答即可． 【详解】解：任务1：， ， ，，， ，，． 故答案为：；7；； 任务2：点与点重合， 折痕处对应的数为， 与点重合的点所表示的数为． 任务3：，点表示的数为7， 点表示的数为0， 点从点出发，以1个单位长度秒的速度“上坡”至终点，当一个点到达终点后，另一个点也立即停止运动， ． 点在“阶梯坡面”上运动，，点从点出发，以3个单位长度秒的速度向点运动， ． 当时，此时点，都在做上坡运动， ①当点在点下方时， 由题意得：， ，， ， ， ， ． ②当点在点上方时， 由题意得：， ，， ， ， ， （大于6，不合题意舍去）． 当时，此时点做上坡运动，点做下坡运动， 由题意得：，， ． ①当点在点下方时， ， ， ， ． ②当点在点上方时， ， ， ， （小于6，不合题意舍去）． 综上，当点在“阶梯坡面”上运动时，满足，的值为秒或秒． 【点睛】本题主要考查了数轴，非负数的应用，一元一次方程的应用，分类讨论的思想方法，利用已知条件正确列出方程是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$