第02讲 等边三角形（知识解读+达标检测）-2024-2025学年八年级数学下册《知识解读•题型专练》（北师大版）

第02讲 等边三角形的性质和判定 【题型1利用等边三角形的性质求边长】 【题型2利用等边三角形的性质求角度】 【题型3等边三角形的判定与性质】 【题型4含30°角的直角三角形的性质】 考点1：等边三角形的概念与性质 1. 等边三角形概念 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形. 注意： （1） 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ . （2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. 2.等边三角形的性质 （1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. （2）三个角都是60° 【题型1利用等边三角形的性质求边长】 【典例1】（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，等边三角形的边长为6，则高的长为（  ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】此题考查了等腰三角形及等边三角形的性质，以及勾股定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．由等边三角形的性质可知三边长都为6，再利用等腰三角形的三线合一性质，由与垂直得到D为的中点，进而由的长求出的长，在直角三角形中，由及的长，利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵为边长为6的等边三角形，且， ∴， ∴， 在中，由， 根据勾股定理得：． 故选：C． 【变式1-1】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）已知等边的一边长为2，则它的周长是（   ） A．2 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键；因此此题可根据等边三角形的三条边都相等进行求解即可． 【详解】解：由等边的一边长为2，可知：该等边三角形的三条边都为2，所以它的周长为6； 故选C． 【变式1-2】（24-25八年级上·全国·期中）如图，等边，点O是上任意一点，、分别与两边垂直，等边三角形的高为4．则的值为（    ）． A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等边三角形的面积求法等知识点，根据，由是等边三角形，得出三个三角形是等底的三角形，进而可得出高高等于三角形的高，熟练掌握三角形的面积求法是解决此题的关键． 【详解】连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵，，，等边三角形的高为4， ∴，即， ∴， 故选：C． 【变式1-3】（24-25八年级上·海南儋州·阶段练习）如图，已知是等边三角形，且边长为3，点、分别在边、上，将沿所在的直线折叠，若点落在点处，、分别交边于点、．则阴影部分图形的周长等于（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，折叠的性质，由折叠的性质得，是解题的关键．利用折叠的性质可得，，利用等量代换和等式的性质解答即可． 【详解】解：利用折叠的性质可得：，． ∴阴影部分图形的周长 ， ∵是边长为3的等边三角形， ∴， ∴， ∴阴影部分图形的周长等于9， 故选：D． 【题型2利用等边三角形的性质求角度】 【典例2】（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，直线，等边三角形的顶点在直线上．若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的性质；由等边三角形的性质得，由三角形外角的性质得，由平行线的性质得，即可求解；掌握等边三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图， 是等边三角形， ， ， ， ， 故选：C． 【变式2-1】（23-24八年级上·甘肃张掖·期末）如图，是等边三角形，点在边上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角定理，熟练掌握等边三角形性质及外角定理是解题的关键利用等边三角形的性质及三角形外角定理计算即可 【详解】∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 故选： 【变式2-2】（24-25八年级上·吉林·期末）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的等边上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，解答的关键熟记平行线的性质两直线平行，同位角相等；先求出三角形是等边三角形利用外角的定义可求得，再利用三角形内角和求出，再由平行线的性质可得 【详解】解∶如图 等边中，， ， ， ． 太阳光线平行，即有：， ． 故选：B． 【变式2-3】（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，，且点E恰好落在线段上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形性质，等腰三角形性质，三角形内角和等．根据题意可以得出，继而得到，再利用三角形内角和可得，即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 考点2：等边三角形的判定 （1）三个角相等的三角形是等边三角形. （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 【题型3 等边三角形的判定和性质综合】 【典例3】（24-25八年级上·甘肃定西·期末）如图，已知中，点是底边的中点， ，，垂足分别是， (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）由等边对等角可得，再证明即可求证； （）由得，再证明为等边三角形的，根据等边三角形的性质即可求解； 本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵点是底边的中点， ∴， ∵ ，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵点是底边的中点， ∴， ∵，， ∴为等边三角形的， ∴的周长． 【变式3-1】（24-25八年级上·山东滨州·期中）如图，在等边中，与的平分线相交于点O，且交于点D，交于点． (1)试判定的形状，并说明你的理由； (2)若，求的周长． 【答案】(1)为等边三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，等角对等边，平行线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合为等边三角形，以及平行线的性质得，，即可证明为等边三角形，进行作答． （2）结合角平分线的定义以及平行线的性质得，再由等角对等边，得，同理得，即可作答． 【详解】（1）解：为等边三角形， 理由如下： 为等边三角形， ， ，， ，， 为等边三角形； （2）解：平分，， ，， ， ， 同理， 的周长． 【变式3-2】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）我国的纸伞工艺十分巧妙．如图，伞不论张开还是缩拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且．    (1)求证：． (2)由（1）可得伞圈在伞圈上滑动．如图1，伞打开时，；当伞缩拢到图2状态时，时，伞圈下滑的距离长是多少？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键． （1）由，，，根据“”证明，则； （2）首先证明是等边三角形，则，结合证明是等边三角形，所以，设交于点，则，，利用勾股定理解得的值，易知，即可求得答案． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴． （2）解：如图1， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 如图2，设交于点，    ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 答：伞圈下滑的距离长是． 【变式3-3】（2024七年级下·全国·专题练习）如图，过等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，且，连交边于D． (1)求证：； (2)若的边长为1，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识．熟练掌握等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质是解题的关键． （1）如图，过P作交于点F，证明是等边三角形；证明，进而结论得证； （2）由（1）可知，是等边三角形，由，可得，由（1）可知，，则，根据，计算求解即可． 【详解】（1）证明：如图，过P作交于点F， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形； ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． （2）解：由（1）可知，是等边三角形， ∵， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴的长为． 考点3：等边三角形的判定 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 【题型4含30°角的直角三角形的性质】 【典例4】（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图，在中，，交于点，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形的内角和定理，含角的直角三角形的性质，由，根据三角形的内角和定理得，由垂直定义得，则，由角的直角三角形的性质得，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式4-1】（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，小明在A处看见前面山上有个气象站C，仰角为，当笔直向山行4千米到达B处时，小明看气象站C的仰角为．请你算出这个气象站离地面的高度是 ． 【答案】2千米 【分析】该题主要考查了等腰三角形的判定，直角三角形的性质，解题的关键是理解题意． 根据题意证明，得出千米，再根据直角三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴（千米）， ∵， ∴（千米）． 故答案为：2千米． 【变式4-2】（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，已知中，，，平分，且交于点D，，那么的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质、角平分线定义以及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握含角的直角三角形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键．由直角三角形的性质和角平分线定义得，则，，得，再求出，即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 【变式4-3】（24-25八年级上·吉林·期末）如图，在中，，以点A为圆心，为半径作弧，交边于点D，若，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了直角三角形的性质，尺规作图．根据直角三角形的性质得到，根据尺规作图知，利用，列式计算即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵以点A为圆心，为半径作弧，交边于点D， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∴， 故答案为：3． 一、单选题 1．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）如图，等边的边长为4，平分，点在的延长线上，，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 根据题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵边的边长为4，，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选B． 2．（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图，中，，，点D，E在上，，．则是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不等边三角形 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质、等边三角形的判定定理，由等边对等角得出，，再由三角形外角的定义及性质可得，，即可得解． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴是等边三角形， 故选：B． 3．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，油纸伞在我国已有一千多年的历史，是中国古代劳动人民智慧的结晶．图1是油纸伞展开后的剖面图，图2是油纸伞收起后的剖面图．已知分别为和的中点，和都为边长为4的等边三角形，为撑杆上可移动的点，当伞从展开状态到收起状态的过程中，移动的距离是（） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查等边三角形的应用，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质．当伞从展开状态到收起状态的过程中，移动的距离是，据此求解即可． 【详解】解： 和都为边长为4的等边三角形， ， 当伞从展开状态到收起状态的过程中，移动的距离是， 故选：B． 4．（24-25八年级上·吉林松原·期末）如图，将三个大小不同的等边三角形的一个顶点重合放置．若，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的性质，角的和差计算，根据题意，得到，进行求解即可． 【详解】解：如图，由题意，得：    ∴， ∴； 故选C 二、填空题 5．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）如图，是等边三角形，点、、分别在、、上，，，则 ． 【答案】50 【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，证明，可得结论． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：50． 6．（24-25八年级上·吉林·期末）如图，是等边三角形，是边上的中线，，垂足为，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，由是等边三角形，得，，由等腰三角形“三线合一”得，最后由含角的直角三角形得性质即可求解，掌握等腰三角形“三线合一”性质，含角的直角三角形性质是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∴是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，，是的平分线，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查三线合一，根据等腰三角形三线合一，即可得出结果． 【详解】解：，的平分线交边于点，， ． 故答案为：5 8．（22-23八年级上·河北承德·期中）如图，过边长为2的等边的边上点作于，为延长线上一点，当时，连交边于，则长为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查等边三角形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质，关键在于正确地作出辅助线，熟练运用相关的性质、定理，认真地进行计算．过做的平行线至于，通过求证和全等，推出，再通过证明是等边三角形和，推出，即可推出，可得，即可推出的长度． 【详解】解：过做的平行线至于， ， 等边， ，， 是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， 于，是等边三角形， ， ， ， ， ． 故答案为1． 三、解答题 9．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知是等边三角形，，，分别是射线，，上的点，且，连结，，． (1)求证：； (2)试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)是等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质， （1）根据等边三角形性质得，，则，再根据，得，证明全等，然后根据全等三角形的性质可得出结论； （2）证明，则，再由（1）的结论得，由此可判定的形状； 理解等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）是等边三角形． 理由：在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 10．（2024八年级上·全国·专题练习）如图：在中，，，与相交于点，于．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定及性质及含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． （1）由已知可得是等边三角形，从而得到，根据即可判定； （2）根据全等三角形的性质可得到，再根据外角的性质即可求得，即可得出，根据含30°角的直角三角形的性质即可得结论 【详解】（1）证明：∵， ∴是等边三角形， ∴， 在和中，， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 11．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，一艘轮船由海平面上C地出发向南偏西的方向行驶海里到达B地，再由B地向北偏西的方向行驶海里到达A地，求A，C两地相距多少海里？ 【答案】A，C两地相距20海里 【分析】本题考查了方向角的计算，等边三角形的判定与性质．熟练掌握方向角的计算与等边三角形的判定与性质是解题的关键． 根据题目条件得出，判定是等边三角形，再由等边三角形的性质即可得出、两地距离． 【详解】解：如图，连接， 一艘轮船由海平面上C地出发向南偏西的方向行驶海里到达B地，由B地向北偏西的方向行驶海里到达A地， ， ， 海里， 是等边三角形， ∴海里， 即A，C两地相距海里． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 等边三角形的性质和判定 【题型1利用等边三角形的性质求边长】 【题型2利用等边三角形的性质求角度】 【题型3等边三角形的判定与性质】 【题型4含30°角的直角三角形的性质】 考点1：等边三角形的概念与性质 1. 等边三角形概念 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形. 注意： （1） 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ . （2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. 2.等边三角形的性质 （1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. （2）三个角都是60° 【题型1利用等边三角形的性质求边长】 【典例1】（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，等边三角形的边长为6，则高的长为（  ） A． B． C． D．3 【变式1-1】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）已知等边的一边长为2，则它的周长是（   ） A．2 B．5 C．6 D．8 【变式1-2】（24-25八年级上·全国·期中）如图，等边，点O是上任意一点，、分别与两边垂直，等边三角形的高为4．则的值为（    ）． A．2 B． C．4 D． 【变式1-3】（24-25八年级上·海南儋州·阶段练习）如图，已知是等边三角形，且边长为3，点、分别在边、上，将沿所在的直线折叠，若点落在点处，、分别交边于点、．则阴影部分图形的周长等于（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【题型2利用等边三角形的性质求角度】 【典例2】（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，直线，等边三角形的顶点在直线上．若，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24八年级上·甘肃张掖·期末）如图，是等边三角形，点在边上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25八年级上·吉林·期末）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的等边上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，，且点E恰好落在线段上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 考点2：等边三角形的判定 （1）三个角相等的三角形是等边三角形. （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 【题型3 等边三角形的判定和性质综合】 【典例3】（24-25八年级上·甘肃定西·期末）如图，已知中，点是底边的中点， ，，垂足分别是， (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【变式3-1】（24-25八年级上·山东滨州·期中）如图，在等边中，与的平分线相交于点O，且交于点D，交于点． (1)试判定的形状，并说明你的理由； (2)若，求的周长． 【变式3-2】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）我国的纸伞工艺十分巧妙．如图，伞不论张开还是缩拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且．    (1)求证：． (2)由（1）可得伞圈在伞圈上滑动．如图1，伞打开时，；当伞缩拢到图2状态时，时，伞圈下滑的距离长是多少？ 【变式3-3】（2024七年级下·全国·专题练习）如图，过等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，且，连交边于D． (1)求证：； (2)若的边长为1，求的长． 考点3：等边三角形的判定 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 【题型4含30°角的直角三角形的性质】 【典例4】（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图，在中，，交于点，，则 ． 【变式4-1】（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，小明在A处看见前面山上有个气象站C，仰角为，当笔直向山行4千米到达B处时，小明看气象站C的仰角为．请你算出这个气象站离地面的高度是 ． 【变式4-2】（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，已知中，，，平分，且交于点D，，那么的长是 ． 【变式4-3】（24-25八年级上·吉林·期末）如图，在中，，以点A为圆心，为半径作弧，交边于点D，若，则 ． 一、单选题 1．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）如图，等边的边长为4，平分，点在的延长线上，，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图，中，，，点D，E在上，，．则是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不等边三角形 3．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，油纸伞在我国已有一千多年的历史，是中国古代劳动人民智慧的结晶．图1是油纸伞展开后的剖面图，图2是油纸伞收起后的剖面图．已知分别为和的中点，和都为边长为4的等边三角形，为撑杆上可移动的点，当伞从展开状态到收起状态的过程中，移动的距离是（） A．2 B．4 C．6 D．8 4．（24-25八年级上·吉林松原·期末）如图，将三个大小不同的等边三角形的一个顶点重合放置．若，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）如图，是等边三角形，点、、分别在、、上，，，则 ． 6．（24-25八年级上·吉林·期末）如图，是等边三角形，是边上的中线，，垂足为，若，则 ． 7．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，，是的平分线，则 ． 8．（22-23八年级上·河北承德·期中）如图，过边长为2的等边的边上点作于，为延长线上一点，当时，连交边于，则长为 ． 三、解答题 9．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知是等边三角形，，，分别是射线，，上的点，且，连结，，． (1)求证：； (2)试判断的形状，并说明理由． 10．（2024八年级上·全国·专题练习）如图：在中，，，与相交于点，于．求证： (1)； (2)． 11．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，一艘轮船由海平面上C地出发向南偏西的方向行驶海里到达B地，再由B地向北偏西的方向行驶海里到达A地，求A，C两地相距多少海里？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$