第1章 三角形的证明能力提升测试卷-2024-2025学年八年级数学下册《知识解读•题型专练》（北师大版）

第1章 三角形的证明能力提升测试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一．单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知分别为的三条边，下列条件不能判别为直角三角形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理逆定理和三角形内角和定理，解题关键是根据三角形内角和求出内角的度数，或根据三角形的三边长判断是否是直角三角形． 【详解】解：A. ∵ ， ∴，符合题意； B. ∵， ∴，不符合题意； C. ∵， ∴，不符合题意； D. ∵，设， ∴，不符合题意； 故选：A． 2．等腰三角形的一边长为6，另一边长为，则它的周长为（   ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系的应用．熟练掌握等腰三角形的性质，三角形三边关系的应用是解题的关键． 由题意知，等腰三角形的第三边的长为6或，根据三角形的三边关系确定第三边的长，然后求周长即可． 【详解】解：由题意知，等腰三角形的第三边的长为6或， 当等腰三角形的第三边的长为6时， ∵， ∴此时不能构成三角形，舍去； 当等腰三角形的第三边的长为时，满足三角形三边关系， ∴它的周长为， 故选：C． 3．如图，在中，，点在延长线上，于点，交于点，若，，则的长度为（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，解题的关键是证明，注意等边对等角，以及等角对等边的使用． 根据等边对等角得出，再根据，得出，，从而得出，再根据对顶角相等得出，最后根据等角对等边即可得出答案． 【详解】解：在中， ， ， ，， ， 又， ， ， 是等腰三角形， 又，， ，， ， 故选：C． 4．如图，将一块有角的直角三角板的直角顶点放在一张宽为的长方形纸带边上．另一个顶点在纸带的另一边上，测得三角板的较短直角边与纸带边所在的直线成角，则该三角板斜边的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了本题主要考查了直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理．首先过点作，可得是等腰直角三角形，利用勾股定理可以求出，根据直角三角形中的锐角所对的直角边等于斜边的一半可以求出的长度． 【详解】解：如下图所示，过点作， ， 是等腰直角三角形， 根据矩形的性质可得：， ， 在中，，， ． 故选：B． 5．如图，中，，是的平分线，交于点，若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质和勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键； 过点作交于点，先证明，然后求出，接着设，在中利用勾股定理即可求解； 【详解】解：如图，过点作交于点， ，平分交于点，， ，， ，， ， 在中，， 在中，， 设，则， 解得： 即； 故选：A 6．如图，在中，，边上有一点，使得，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等边对等角，设，根据等边对等角得，由三角形外角的性质得，继而得到，根据三角形内角和得，进一步得，再根据等边对等角得，求解即可．利用方程的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 即． 故选：B． 7．如图，在中，已知，，边的垂直平分线交于点E，交于点D，且，则的长是（　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和含角的直角三角形的性质等知识，利用线段垂直平分线的性质得，利用等腰三角形的性质得∠且，再利用外角的性质得，即可得的值． 【详解】解：如图，连接， ∵边的垂直平分线交于点E，交于点D， ∴， ∴， ∵，， ∴且， ∴， ∴． 故选：B． 8．的三边长分别为，，，若满足，则的形状为（   ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．有角的直角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的判定、偶次方和绝对值的非负性，熟练掌握等边三角形的判定是解题关键．根据偶次方和绝对值的非负性可得，从而可得，再根据等边三角形的判定即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵的三边长分别为，，， ∴是等边三角形， 故选：A． 9．如图，在长方形中，，分别是，边上的点，连接，将长方形沿折叠，点落在点处，点落在点处，与边交于点．若四边形的周长是，，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查折叠的性质，平行线的性质，由折叠可知，，，，，进而可知，再结合四边形的周长是，，即可求解． 【详解】解：由折叠可知，，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形的周长是，， ∴，则， 则， ∴， ∴四边形的周长为， 故选：A． 10．如图，已知等腰中，，，于点，点是延长线上一点，点是线段上一点，，下面的结论：①；②是等边三角形；③；④．其中正确的为（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】①利用等边对等角，即可证得，，则，据此可以求解；②证明，且，即可证得是等边三角形；③在上截取，首先证明，，则，；④过点C作于H，根据，利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图1，连接， ∵，， ∴，， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴； 故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形； 故②正确； ∴,, 如图2， 在上截取， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 故③正确； 如图3， 过点C作于H， ∵，， ∴， ∴， ， ∴； 故④正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 二．填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．如图，为内一点，平分，，，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，理解角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．延长交于点，根据角平分线的定义及垂直的定义得，，利用可证明，得出，，可得，根据等角对等边得出，即可得的长． 【详解】解：如图，延长交于， ∵平分，， ∴，， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 12．在中，的角平分线与边的垂直平分线相交于点F，连接，若，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，根据角平分线得到，根据垂直平分线得到，从而得到，结合得到，即可得到答案； 【详解】解：∵是的角平分线， ∴，， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13．如图，在的正方形网格中，A，B两点在小正方格的顶点上，点C也在小方格的顶点上，且以A，B，C为顶点的三角形为轴对称图形，则这样的点C有 个． 【答案】8 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定，根据两边相等的三角形是等腰三角形进行画图即可． 【详解】解：如图所示： ， 这样的点C有8个， 故答案为：8． 14．如图，在中，，D、E是斜边上两点，且，若，，则的面积为 ． 【答案】36 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理，由等腰直角三角形的性质可得，将绕点逆时针旋转得到，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，由勾股定理可得，证明，得出，再由勾股定理和等腰直角三角形的性质得出，即可得解． 【详解】解：∵在中，， ∴， 如图，将绕点逆时针旋转得到，连接， 则，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ 故答案为：． 15．如图，过边长为2的等边的边上点作于，为延长线上一点，当时，连交边于，则长为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查等边三角形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质，关键在于正确地作出辅助线，熟练运用相关的性质、定理，认真地进行计算．过做的平行线至于，通过求证和全等，推出，再通过证明是等边三角形和，推出，即可推出，可得，即可推出的长度． 【详解】解：过做的平行线至于， ， 等边， ，， 是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， 于，是等边三角形， ， ， ， ， ． 故答案为1． 16．如图，中，点、分别是、延长线上一点，、的角平分线、交于点，连接，过点作、，垂足分别是点、，则、、之间的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质与判定、全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是根据全等三角形的性质找到边之间的关系．首先过点作，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可证，利用可证和，根据全等三角形对应边相等可证、，从而找到、、之间的数量关系． 【详解】解：如下图所示，过点作， 平分，、， ， 又平分， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， 同理可证， ， ， 故答案为： ． 三．解答题（本题共6小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）如图，在中，． (1)作出边，的垂直平分线，，并分别与边交于点，．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)连接，． ①若，则的周长为______． ②若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)①8；② 【分析】本题考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，正确作图是解答本题的关键． （1）根据线段垂直平分线的作图方法画图即可； （2）①由线段垂直平分线的性质得，，，进而可求出的周长； ②先由三角形内角和求出，进而得出，进而可求的度数． 【详解】（1）解：如图， （2）解：①如图， ∵点D在的垂直平分线上， ∴． 同理：， ∴的周长 ． 故答案为：8； ②∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 18．（8分）如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点． (1)已知的周长，求的长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和等； （1）由垂直平分线的性质得，，由三角形的周长即可求解； （2）由三角形的内角和得，由等腰三角形的性质得，，即可求解； 掌握垂直平分线的性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】（1）解： 垂直平分，垂直平分， ，， 的周长， ， ， ， 故的长为； （2）解： ，， ， ，， ，， ． 19．（8分）如图，在中，，平分交于点，过点作于点，点在上，使．    (1)求证：． (2)请判断之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由角平分线的性质得，根据可证明； （2）由，可得，再证明，可得，由线段的数量关系即可得证． 【详解】（1）证明：，平分， ，， 又， ； （2）解：，理由如下： ， ， 平分， ， ，， ， ， ， ． 20．（8分）如图，已知点、、在同一条直线上，和都是等边三角形．交于，交于． (1)求证：； (2)求证：； (3)判断的形状并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)是等边三角形；理由见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质及等边三角形的判定和性质； （1）利用等边三角形的性质得出条件，可证明：； （2）利用得出，再运用平角定义得出进而得出因此； （3）由和根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”可得是等边三角形． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ． ， ． ， 在和中， ， ， ； （3）解：是等边三角形． 理由如下： ，， 是等边三角形． 21．（10分）如图，在中，，，点在线段上运动（与、不重合），连接，作，交线段于点． (1)当时，____，_____． (2)当_____时，？请写出证明过程． (3)在点的运动过程中，什么时候是等腰三角形？求出此时的度数． 【答案】(1)， (2)；证明见解析 (3)当∠BDA的度数为110°或80°时，是等腰三角形 【分析】（1）先利用平角的意义求出，再三角形的内角和定理求出； （2）先利用等式的性质判断出，再用全等三角形的性质得出，即可得出结论； （3）分三种情况，利用等腰三角形的性质求出，再用三角形外角的性质求出，最后用平角的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：，， ， ， 在中，， 故答案为：，； （2）当时，， 理由：当时， 在中，， ， ， 在中， ， 故答案为：． （3）是等腰三角形， ①当时，， ， 点与点重合，不符合题意，舍去， 当时，， ， ， 当时，， ， ， 即当是等腰三角形时的度数为或． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平角的意义，三角形外角的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 22．（10分）如图，等腰中，，，点分别在坐标轴上． (1)如图，若点的横坐标为，求点的坐标； (2)如图，若轴恰好平分，交轴于点，过点作轴于点，求的值； (3)如图，若点的坐标为，点在轴的正半轴上运动时，分别以、为边在第一、第二象限作等腰、等腰，连接交轴于点，当点在轴的正半轴上移动时，求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（）作轴，证，得到，进而根据点的横坐标为即可求解； （）延长交延长线于点，证明和，可得，进而即可求解； （）作轴，证和，可得和，据此即可求证． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点，则， ∵，， ∴, ∴， 在和 中， ， ∴， ∴， ∵点的横坐标为， ∴， ∴, ∴点； （2）解：如图，延长交延长线于点， ∵， ∴， ∵轴平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）证明：如图，作轴于， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴． 【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，余角性质，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 三角形的证明能力提升测试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一．单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知分别为的三条边，下列条件不能判别为直角三角形的是（  ） A． B． C． D． 2．等腰三角形的一边长为6，另一边长为，则它的周长为（   ） A． B．或 C． D． 3．如图，在中，，点在延长线上，于点，交于点，若，，则的长度为（　） A． B． C． D． 4．如图，将一块有角的直角三角板的直角顶点放在一张宽为的长方形纸带边上．另一个顶点在纸带的另一边上，测得三角板的较短直角边与纸带边所在的直线成角，则该三角板斜边的长为（   ） A． B． C． D． 5．如图，中，，是的平分线，交于点，若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 6．如图，在中，，边上有一点，使得，则（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，已知，，边的垂直平分线交于点E，交于点D，且，则的长是（　） A． B． C． D． 8．的三边长分别为，，，若满足，则的形状为（   ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．有角的直角三角形 D．钝角三角形 9．如图，在长方形中，，分别是，边上的点，连接，将长方形沿折叠，点落在点处，点落在点处，与边交于点．若四边形的周长是，，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D． 10．如图，已知等腰中，，，于点，点是延长线上一点，点是线段上一点，，下面的结论：①；②是等边三角形；③；④．其中正确的为（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 二．填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．如图，为内一点，平分，，，若，，则的长为 ． 12．在中，的角平分线与边的垂直平分线相交于点F，连接，若，，则的度数是 ． 13．如图，在的正方形网格中，A，B两点在小正方格的顶点上，点C也在小方格的顶点上，且以A，B，C为顶点的三角形为轴对称图形，则这样的点C有 个． 14．如图，在中，，D、E是斜边上两点，且，若，，则的面积为 ． 15．如图，过边长为2的等边的边上点作于，为延长线上一点，当时，连交边于，则长为 ． 16．如图，中，点、分别是、延长线上一点，、的角平分线、交于点，连接，过点作、，垂足分别是点、，则、、之间的数量关系是 ． 三．解答题（本题共6小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）如图，在中，． (1)作出边，的垂直平分线，，并分别与边交于点，．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)连接，． ①若，则的周长为______． ②若，求的度数． 18．（8分）如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点． (1)已知的周长，求的长； (2)若，，求的度数． 19．（8分）如图，在中，，平分交于点，过点作于点，点在上，使．    (1)求证：． (2)请判断之间的数量关系，并说明理由． 20．（8分）如图，已知点、、在同一条直线上，和都是等边三角形．交于，交于． (1)求证：； (2)求证：； (3)判断的形状并说明理由． 21．（10分）如图，在中，，，点在线段上运动（与、不重合），连接，作，交线段于点． (1)当时，____，_____． (2)当_____时，？请写出证明过程． (3)在点的运动过程中，什么时候是等腰三角形？求出此时的度数． 22．（10分）如图，等腰中，，，点分别在坐标轴上． (1)如图，若点的横坐标为，求点的坐标； (2)如图，若轴恰好平分，交轴于点，过点作轴于点，求的值； (3)如图，若点的坐标为，点在轴的正半轴上运动时，分别以、为边在第一、第二象限作等腰、等腰，连接交轴于点，当点在轴的正半轴上移动时，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $$