第1章 三角形的证明过关测试卷-2024-2025学年八年级数学下册《知识解读•题型专练》（北师大版）

第1章 三角形的证明过关测试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一．单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（   ） A．，， B．2，2，4 C．6，8，10 D．，， 【答案】C 【分析】题目主要考查勾股定理逆定理，理解题意，熟练掌握运用勾股定理逆定理是解题关键．运用勾股定理逆定理验证两小边的平方和等于最长边的平方即可判断直角三角形． 【详解】解：A、，不满足三角形三边关系，不能组成三角形，不符合题意； B、，不满足三角形三边关系，不能组成三角形，不符合题意； C、，能组成直角三角形，故符合题意； D、，，则，故不能组成直角三角形，故不符合题意， 故选：C． 2．已知，用尺规作图的方法在上确定一点P，使，则符合要求的作图痕迹是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图—线段的垂直平分线的基本作图，熟练掌握线段的垂直平分线的基本作图是解题的关键．根据，结合图形分析可得，只需作线段的垂直平分线，分析选项即可得出结论． 【详解】解：根据题意，， 由图可知，， ， 故符合要求的作图是作线段的垂直平分线， 由作图痕迹可知，只有B选项符合题意． 故选：B． 3．如图，在中，，平分，，，那么点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的相关计算问题，掌握角平分线的性质是解题的关键．过点作于E，根据角平分线的性质得，再根据求解即可． 【详解】解：过点作于， ，平分， ， ，， ， 点到的距离是， 故选：A． 4．如图，在中，，平分，于D．如果，，那么    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质．熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 线根据角平分线的性质，得到，再利用含的直角三角形三边关系计算出，从而得到的长． 【详解】解： ， 平分，， ， 在中， ， ， ． 故选B． 5．如图，在中，，，若的周长为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，由，，则是等边三角形，根据性质可得，再根据周长即可求解，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵的周长为， ∴， 故选：． 6．到三角形各顶点距离相等的点是（   ） A．三条高交点 B．三个内角平分线交 C．三条中线交点 D．三条边垂直平分线交点 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定：到这条线段两个端点的距离相等的点在线段垂直平分线上．根据线段垂直平分线的判定即可直接得出答案． 【详解】解：到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点， 故选：D． 7．如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质及内角和定理，由线段垂直平分线得到，进而得到，再由三角形外角性质得到，又由得到，由三角形内角和定理得到，利用角的和差关系即可求解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 8．如图，油纸伞在我国已有一千多年的历史，是中国古代劳动人民智慧的结晶．图1是油纸伞展开后的剖面图，图2是油纸伞收起后的剖面图．已知分别为和的中点，和都为边长为4的等边三角形，为撑杆上可移动的点，当伞从展开状态到收起状态的过程中，移动的距离是（） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查等边三角形的应用，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质．当伞从展开状态到收起状态的过程中，移动的距离是，据此求解即可． 【详解】解： 和都为边长为4的等边三角形， ， 当伞从展开状态到收起状态的过程中，移动的距离是， 故选：B． 9．如图，在中，，，，若，则的长为（   ） A．3 B．2.5 C．10 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形三线合一是解答本题的关键．先根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形得到，再根据三线合一得到，利用全等三角形的判定与性质即可求解． 【详解】解：在中，，， 是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， 即． 故选：D． 10．由于木质衣架没有柔性，所以在挂置衣服的时候不太方便操作．嘉嘉设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆．若衣架收拢时，，如图2，则此时A，B两点之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查等边三角形判定与性质，熟练掌握等边三角形判定与性质是解题的关键 根据有一个角是的等腰三角形的等边三角形进行解答即可． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， 故选：B． 二．填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．如图，在中，为的平分线，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据“三线合一”即可求解． 【详解】解：∵在中，，为的平分线， ∴是的中线， ∵， ∴， 故答案为：． 12．如图，在 中， ， ，的垂直平分线与相交于点，则 的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵的垂直平分线与相交于点， ∴， ∴的周长（） 故答案为：． 13．如图，在中，平分，，，且的面积为4，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的角平分线的性质，过点分别作的垂线，垂足分别为，则，根据等面积法得出，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， 又∵的面积为4， ∴ ∴的面积为 故答案为：． 14．如图，在中，，的于点，、是上的两点．若，，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】3 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形的面积，先根据等腰三角形的三线合一得到，再根据等底等高的三角形的面积相等得到，进而由求解即可． 【详解】解：∵在中，，的于点， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：3． 15．如图，垂直平分，垂直平分，若，则 ． 【答案】40 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等边对等角等知识点，根据三角形内角和定理得到，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据等边对等角得到，，进而得到，则． 【详解】解：∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， 故答案为：40． 16．如图，在中，，，，D为延长线上一点，．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】利用勾股定理的逆定理判定是直角三角形；利用勾股定理求得，根据同一个三角形的面积相等，解答即可． 本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形面积公式，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 三．解答题（本题共6小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）如图，于点B，于点C，且，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查直角三角形全等的判定和性质．利用直角三角形全等的判定证明，即可作答． 【详解】证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 18．（6分）如图，在的内部找出一点，使得，且满足点到与的距离相等．（尺规作图，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查的是角平分线和线段的垂直平分线的尺规作图，根据角平分线和线段的垂直平分线的尺规作图方法作图即可． 【详解】解：连接，作线段的垂直平分线，作的平分线交于点P，如图所示，点P即为所求． 19．（10分）如图，已知． (1)求证：； (2)当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质和判定： （1）根据，，即可求得答案； （2）根据，可得，进而可求得． 【详解】（1）∵， ∴． ∴． ∴． （2）∵， ∴，． ∴． ∴． 20．（8分）为落实五育并举，加强劳动教育，某校开展了“我劳动，我快乐，我实践，我成长”的劳动实践主题活动．八年级（1）班的同学发现在校园墙角处有一块如图所示的四边形空地，征得学校同意，准备将其打造为劳动实践基地，为同学们提供更多的实践机会，测量得到，，，．请帮助他们计算一下这块实践基地的面积．（结果保留根号） 【答案】这块实践基地的面积为 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，先根据勾股定理计算，得出，根据勾股定理的逆定理，判定是直角三角形，且，最后根据，代入数据计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵ ∴， ∴是直角三角形，且， ∴ ． 答：这块实践基地的面积为． 21．（10分）如图，在等边中，点D，E分别在边，上，且，与交于点F． (1)求证：； (2)过点D作于点G，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)7 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定和三角形外角的性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． （1）根据等边三角形的性质，利用证得，得到； （2）由全等得到，再根据三角形的外角与内角的关系得到，根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，求出，然后再求出结果即可． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，， 又， ． ； （2）解：如图，， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 22．（10分）如图，在，，平分，于点E，点F在上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）证明即可； （2）证明，结合，列式计算即可． 本题考查了直角三角形全等的判定和性质，角的平分线的性质，熟练掌握直角三角形的全等判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，平分，， ∴ ∵，，， ∴， ∴． （2）解：∵，平分，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵． ∴， ∵，， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 三角形的证明过关测试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一．单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（   ） A．，， B．2，2，4 C．6，8，10 D．，， 2．已知，用尺规作图的方法在上确定一点P，使，则符合要求的作图痕迹是（ ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，平分，，，那么点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，平分，于D．如果，，那么    A． B． C． D． 5．如图，在中，，，若的周长为，则的长为（   ） A． B． C． D． 6．到三角形各顶点距离相等的点是（   ） A．三条高交点 B．三个内角平分线交 C．三条中线交点 D．三条边垂直平分线交点 7．如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 8．如图，油纸伞在我国已有一千多年的历史，是中国古代劳动人民智慧的结晶．图1是油纸伞展开后的剖面图，图2是油纸伞收起后的剖面图．已知分别为和的中点，和都为边长为4的等边三角形，为撑杆上可移动的点，当伞从展开状态到收起状态的过程中，移动的距离是（） A．2 B．4 C．6 D．8 9．如图，在中，，，，若，则的长为（   ） A．3 B．2.5 C．10 D．5 10．由于木质衣架没有柔性，所以在挂置衣服的时候不太方便操作．嘉嘉设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆．若衣架收拢时，，如图2，则此时A，B两点之间的距离是（    ） A． B． C． D． 二．填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．如图，在中，为的平分线，若，则的长为 ． 12．如图，在 中， ， ，的垂直平分线与相交于点，则 的周长为 ． 13．如图，在中，平分，，，且的面积为4，则的面积为 ． 14．如图，在中，，的于点，、是上的两点．若，，则图中阴影部分的面积是 ． 15．如图，垂直平分，垂直平分，若，则 ． 16．如图，在中，，，，D为延长线上一点，．若，则的长为 ． 三．解答题（本题共6小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）如图，于点B，于点C，且，求证：． 18．（6分）如图，在的内部找出一点，使得，且满足点到与的距离相等．（尺规作图，保留作图痕迹） 19．（10分）如图，已知． (1)求证：； (2)当时，求的度数． 20．（8分）为落实五育并举，加强劳动教育，某校开展了“我劳动，我快乐，我实践，我成长”的劳动实践主题活动．八年级（1）班的同学发现在校园墙角处有一块如图所示的四边形空地，征得学校同意，准备将其打造为劳动实践基地，为同学们提供更多的实践机会，测量得到，，，．请帮助他们计算一下这块实践基地的面积．（结果保留根号） 21．（10分）如图，在等边中，点D，E分别在边，上，且，与交于点F． (1)求证：； (2)过点D作于点G，若，求的长． 22．（10分）如图，在，，平分，于点E，点F在上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$