专题02 等边三角形的性质和判定（四大题型）（题型专练）-2024-2025学年八年级数学下册《知识解读•题型专练》（北师大版）

专题02 等边三角形的性质和判定（四大题型） 【题型1利用等边三角形的性质求边长】 【题型2利用等边三角形的性质求角度】 【题型3等边三角形的判定与性质】 【题型4含30°角的直角三角形的性质】 【题型1利用等边三角形的性质求边长】 1．（24-25八年级上·湖南永州·期中）如图，为等边三角形，点是边上异于，的任意一点，于点，于点．若边上的高线，则（   ） A．5 B．10 C．8 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，求三角形的面积，连接，根据，再代入数值可得答案． 【详解】如图所示，连接， ∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴， 即， ∴． 故选：B． 2．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，等边的周长为，则它的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由等边三角形的性质可得，由三线合一可得，由垂线的性质可得，由等边的周长为可得，于是可得，在中，根据勾股定理可得，于是得解． 【详解】解：是等边三角形， ， 又， ，， ， ， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三线合一，垂线的性质，线段的和与差，等式的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握等边三角形的性质及勾股定理是解题的关键． 3．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）如图，在等边三角形中，是边上的高，延长至点，使，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，根据题意可得，进而根据，即可求解． 【详解】解：∵在等边三角形中，是边上的高， ∴， 又∵， ∴ ∴ 故答案为：． 4．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中等边的顶点B的坐标为，点A在第一象限，则点A的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标，根据等边三角形的性质，勾股定理确定点的坐标是解题的关键． 根据等边三角形的性质得出，再根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：作于点，轴于点， ∴， ∵， ∴， 是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 故答案为： ． 5．（24-25八年级上·四川广安·期中）若等边三角形的边长是，则的周长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．根据等边三角形三条边相等得到，据此可求三角形的周长． 【详解】解：等边三角形的边长是， ， 的周长是， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·吉林白城·阶段练习）如图，在中，，是等边三角形，若，则线段的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查等边三角形的性质、角所对的直角边与斜边的关系，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 根据等边三角形的性质，可以得到的度数和，再根据直角三角形的性质，可以得到和的关系，然后根据，即可求得的长，从而可以得到的长． 【详解】解：∵是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：6． 7．（24-25八年级上·吉林松原·阶段练习）如图，是等边三角形，是边上的中线，，垂足为点，若，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，掌握等腰三角形三线合一，含角的直角三角形三边数量关系是解题的关键． 根据等边三角形的性质可得，由等腰三角形的三线合一可得，再根据垂直的定义，可得，则，，可求出，即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， 故答案为： ． 8．（24-25八年级上·河南省直辖县级单位·期中）如图，是周长为的等边三角形，D是上一点，，交于点E，则线段 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 先求出等边得边长，再在中，由可得，从而求出即可解决问题． 【详解】解：∵是等边三角形，周长为， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：2． 9．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，已知等边三角形的边长为6，过边上一点P作于点E，Q为延长线上一点，取，连接，交于，则的长为 ． 【答案】3 【分析】延长，过点作于点，先证明，得出，，再证明，得出，即可求解．本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握等边三角形三个角都是，正确画出辅助线，构造全等三角形． 【详解】解：延长，过点作于点， 为等边三角形， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ，， ， ． 故答案为：3． 10．（24-25八年级上·全国·期中）如图，是等边三角形，为的中点，，垂足为点．若，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质、直角三角形的两个锐角互余．根据等边三角形的性质和直角三角形的两个锐角互余得到，进而利用含30度角的直角三角形的性质求得即可，进而求得三角形的周长． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，，则， ∵为的中点， ∴， ∴的周长为． 故答案为：． 11．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质等知识，过作， 则， 利用含角的直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出，根据等腰三角形的判定与性质求出，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：过作， 则， 如图： 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（24-25八年级上·江西宜春·阶段练习）如图，一次强台风中一棵垂直于地面生长的大树在离地面处折断倒下，倒下部分与地面成夹角，这棵大树折断前的高度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质．根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，求出折断部分的长度，再加上离地面的距离就是折断前树的高度． 【详解】解：根据题意， ∵，， ∴， ∴． 则这棵大树在折断前的高度为． 故答案为：． 13．（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）图①是一类光学直角棱镜，其中一块直角棱镜的截面为图②所示的，所在的面为不透光的磨砂面，，．现有一束单色光从边的点E处垂直射入，到达边的点D处，恰有，经过反射后（即）从边的点F处射出．若光线在棱镜内部经过的路径，则这块棱镜的高度为 cm． 【答案】20 【分析】本题主要考查含角的直角三角形三边的关系、等边三角形判定与性质等知识点，说明是等边三角形成为解题的关键．由、得，又得，而，得，可证是等边三角形得，然后求得，由即可解答． 【详解】解：∵、， ∴， ， ，， ，， ， ，，， ∴是等边三角形； ∴， ∵， ∴，， ∴． 故答案为：20． 【题型2利用等边三角形的性质求角度】 14．（24-25九年级上·重庆南岸·阶段练习）如图，直线，等边三角形的顶点C在直线b上，，则的度数为（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、平行线的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握等边三角形的三个内角都相等且都等于是解题的关键． 先根据等边三角形的性质得到，根据三角形内角和定理计算出，再根据平行线的性质得到即可解答． 【详解】解：如图：∵为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 15．（24-25九年级上·海南·阶段练习）如图，直线，等边三角形的两个顶点分别落在直线上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质、等边三角形的性质，根据平行线的性质可得，从而可得，再根据等边三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：B． 16．（24-25八年级上·湖北·阶段练习）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形的内角和定理，角度和差，由，，，根据三角形的内角和定理得，最后由线段和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 17．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，已知是等边三角形，，是上的点，，与交于点．若，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质、平行线的性质，三角形的外角的性质；由等边三角形的性质求出，由得，进而可得，再根据三角形外角性质求出的度数即可． 【详解】解：是等边三角形， ， ， ， 又，， ， ， ， 故选：B． 18．（24-25八年级上·云南曲靖·期末）如图，在等边三角形中，，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，先由三线合一定理和垂直的定义得到，再由等边对等角和三角形内角和定理求出，则． 【详解】解：∵在等边三角形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 19．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，是等边三角形，在中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握等边三角形的性质、等腰三角形的性质及三角形外角的性质是解题的关键；由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：D． 【题型3等边三角形的判定与性质】 20．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）已知：在中，，D为边上一点，过点D作、的垂线，垂足分别为点E，F， (1)当D为边中点时，求证：； (2)当时，求的面积； (3)在（2）的条件下，当点D在线段上运动时，的值是否为一个定值？若是，求出这个定值；若否，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)的值是一个定值， 【分析】（1）根据证根据全等三角形的性质推出即可； （2）根据等边三角形的判定定理得到是等边三角形，过A作于M，根据等边三角形的性质得到，根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式即可得到的面积； （3）连接，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵D为边中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， 过A作于M， ∴， ∴ ∴的面积； （3）解：的值是一个定值， 连接， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等边对等角，三角形的面积公式，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 21．（24-25八年级上·四川泸州·期中）如图，在中，，，是边的中点，以点为直角顶点向上方作等腰直角三角形，边经过点C，与交于点G． (1)求证：是等边三角形； (2)若，为的中点，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（）由角所对直角边是斜边的一半得，根据直角三角形斜边上的中线性质得出，则，最后等边三角形的判定即可求证； （）由是等边三角形，则，从而得出，，由角所对直角边是斜边的一半得，然后根据等腰三角形的判定得，则，再由是等腰直角三角形，且，则，求出即可； 本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵是边中点， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴． 22．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，为等腰三角形，，、分别是边、上的点，且满足，连接、交于点．    (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质、三角形的外角定理，熟练掌握是解题的关键． （1）判定为等边三角形，得到，，结合即可判定； （2）根据全等三角形的性质得，根据三角形的外角定理进行转化即可得出． 【详解】（1）证明：∵，， ∴为等边三角形 ∴， 在和中， ， ∴．    （2）解：∵， ∴ ∴． 23．（24-25八年级上·浙江台州·期中）我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图，伞不管是张开还是收拢，伞骨，伞圈能沿着伞柄上下滑动． (1)求证：平分 (2)研究发现：雨往往是斜打的，且都是平行的．当伞完全张开时，当伞完全收拢时，D滑到，求伞从完全张开到收拢伞圈滑过的距离． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）利用证明，得到，即可得出结论； （2）由角平分线的性质得到，从而证明为等边三角形，得到，即可求解． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 如图，当伞完全收拢时，点在上， ∵， ∴点在点位置， ∵， ∴点D滑到点时，伞圈滑过的距离． 24．（24-25八年级上·广东广州·期中）在我国北斗卫星导航系统的精确导航下，一艘货轮在海上以每小时40海里的速度行半小时后货轮到达C处，此时测得灯塔A在其北偏东的方向上，求货轮到达C处时与灯塔A的距离． 【答案】货轮到达处时与灯塔的距离是20海里． 【分析】本题考查了等边三角形判定和性质，方向角，根据题意得出，进而根据等边三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意得：， ， ， 又， ， 是等边三角形， （海里）， 答：货轮到达处时与灯塔的距离是20海里． 25．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，点O是等边内一点，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，α为多少度？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，熟记等边三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质、等边三角形的性质求出，根据等边三角形的判定推出即可； （2）根据全等三角形的性质及等边三角形的性质求出，，则，，再根据等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形． （2）解：∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：． 26．（24-25八年级·全国·课后作业）如图，在中，，是角平分线，在上截取． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，则，由，可得； （2）证明是等边三角形，则，可求，，则，根据，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴的度数为． 【点睛】本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，等角对等边，等边三角形的判定与性质等知识．熟练掌握角平分线，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，等角对等边，等边三角形的判定与性质是解题的关键． 27．（24-25八年级上·全国·期中）如图，在中，，的平分线交于点D，，垂足为D． (1)求证：是等边三角形； (2)若交于点F，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，得出，求出，即可证明结论； （2）根据等边三角形的性质得出，求出，根据直角三角形的性质得出，求出，中，根据，，得出． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：由（1）知，是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴ 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 28．（22-23八年级上·江苏宿迁·期中）已知：如图1，点C为线段上一点，、都是等边三角形，交于点E，交于点F． (1)求证： (2)求证：为等边三角形 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据等边三角形的性质，证明，即可得出结论； （2）证明，得到，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵、是等边三角形， ∴，，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， 又∵， ∴为等边三角形． 29．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，在等边中，D为边的中点，过点D作，，垂足分别为E，F． (1)求证：； (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)的周长为60 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，所对的直角边是斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得，然后结合等边三角形的性质，证明，即可作答． （2）由等边三角形的性质得，再结合所对的直角边是斜边的一半，则，即可作答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴． ∵是等边三角形， ∴． ∵D是的中点， ∴． 在和中 ∴ ∴． （2）解：∵为等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴的周长为60． 30．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，是边长为6的等边三角形，是边上一动点，由点向点运动（与，不重合），是延长线上一点，与点同时以相同的速度由点向延长线方向运动（点不与点重合），过点作于点，连接交于点． (1)若设，则______，______；（用含的式子表示） (2)时，求的长； (3)在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由． 【答案】(1)， (2)； (3)当点P、Q运动时，线段的长度不会改变，． 【分析】（1）根据题意得，然后得到，； （2）在中利用角直角三角形的性质列方程求解即可； （3）过点P作的平行线交AB于点M，首先证明出是等边三角形，然后得到，然后证明出，得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，， ∵是边长为6的等边三角形， ∴，， ∴，； 故答案为：，； （2）解：在中，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴； （3）解：当点P、Q运动时，线段的长度不会改变，， 理由如下： 如图：过点P作的平行线交AB于点M，    ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，角直角三角形的性质，一元一次方程的应用等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 【题型4含30°角的直角三角形的性质】 31．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，，点E在的平分线上，，垂足为C，点F在上，若，，则的面积是（　　） A．4 B．8 C．16 D．18 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线、含角直角三角形、等腰三角形的判定和性质等知识点．过点E作，交于点D，根据角平分线的性质可得，再根据含角直角三角形的性质计算求得的长，证明，求得，利用三角形面积公式即可解答． 【详解】解：如图，过点E作，交于点D，如图所示：      ∵点E在的平分线上，， ∴， ∵，， ∴． ∵，点E在的平分线上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积是， 故选：C． 32．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）如图，中，，是斜边上的高，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形的高，由直角三角形两锐角互余可得，进而由三角形的高得到，利用所对的直角边等于斜边的一半即可得和，掌握直接三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是斜边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 33．（24-25八年级上·河南洛阳·阶段练习）如图，在中，，是高，，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的性质．首先在中根据直角三角形中的锐角所对的直角边等于斜边的一半可知，在中再次利用直角三角形中的锐角所对的直角边等于斜边的一半得到． 【详解】解：是高， ， 又， ， ， ， 在中，， 在中，． 故选：C ． 34．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图是某车库出入口的栏杆，栏杆绕点C旋转，记旋转角．若，则栏杆B端从栏杆水平位置上升的垂直距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质及直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中30度角所对直角边等于斜边的一半即可得解，由旋转性质得根据直角三角形中30度角所对直角边等于斜边的一半即可得解． 【详解】解：由题意可得，，， ∴栏杆B端从栏杆水平位置上升的垂直距离， 故选：A． 35．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图所示，已知，点在边上，，点、在边上，，若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质．首先过点作，根据等腰三角形三线合一定理可知，根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半可得，根据可求结果． 【详解】解：如下图所示，过点作， ，， ， 在中，， ， ， ． 故选：B． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 等边三角形的性质和判定（四大题型） 【题型1利用等边三角形的性质求边长】 【题型2利用等边三角形的性质求角度】 【题型3等边三角形的判定与性质】 【题型4含30°角的直角三角形的性质】 【题型1利用等边三角形的性质求边长】 1．（24-25八年级上·湖南永州·期中）如图，为等边三角形，点是边上异于，的任意一点，于点，于点．若边上的高线，则（   ） A．5 B．10 C．8 D．6 2．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，等边的周长为，则它的高为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）如图，在等边三角形中，是边上的高，延长至点，使，则的长为 ． 4．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中等边的顶点B的坐标为，点A在第一象限，则点A的坐标为 ． 5． （24-25八年级上·四川广安·期中）若等边三角形的边长是，则的周长 是 ． 6．（24-25八年级上·吉林白城·阶段练习）如图，在中，，是等边三角形，若，则线段的长为 ． 7．（24-25八年级上·吉林松原·阶段练习）如图，是等边三角形，是边上的中线，，垂足为点，若，则 ． 8．（24-25八年级上·河南省直辖县级单位·期中）如图，是周长为的等边三角形，D是上一点，，交于点E，则线段 ． 9．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，已知等边三角形的边长为6，过边上一点P作于点E，Q为延长线上一点，取，连接，交于，则的长为 ． 10．（24-25八年级上·全国·期中）如图，是等边三角形，为的中点，，垂足为点．若，则的周长为 ． 11．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，，，则的长为 ． 12．（24-25八年级上·江西宜春·阶段练习）如图，一次强台风中一棵垂直于地面生长的大树在离地面处折断倒下，倒下部分与地面成夹角，这棵大树折断前的高度为 ． 13．（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）图①是一类光学直角棱镜，其中一块直角棱镜的截面为图②所示的，所在的面为不透光的磨砂面，，．现有一束单色光从边的点E处垂直射入，到达边的点D处，恰有，经过反射后（即）从边的点F处射出．若光线在棱镜内部经过的路径，则这块棱镜的高度为 cm． 【题型2利用等边三角形的性质求角度】 14．（24-25九年级上·重庆南岸·阶段练习）如图，直线，等边三角形的顶点C在直线b上，，则的度数为（　　）． A． B． C． D． 15．（24-25九年级上·海南·阶段练习）如图，直线，等边三角形的两个顶点分别落在直线上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 16．（24-25八年级上·湖北·阶段练习）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若，则等于（   ） A． B． C． D． 17．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，已知是等边三角形，，是上的点，，与交于点．若，则的度数为(   ) A． B． C． D． 18．（24-25八年级上·云南曲靖·期末）如图，在等边三角形中，，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 19．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，是等边三角形，在中，，则（   ） A． B． C． D． 【题型3等边三角形的判定与性质】 20．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）已知：在中，，D为边上一点，过点D作、的垂线，垂足分别为点E，F， (1)当D为边中点时，求证：； (2)当时，求的面积； (3)在（2）的条件下，当点D在线段上运动时，的值是否为一个定值？若是，求出这个定值；若否，说明理由． 21．（24-25八年级上·四川泸州·期中）如图，在中，，，是边的中点，以点为直角顶点向上方作等腰直角三角形，边经过点C，与交于点G． (1)求证：是等边三角形； (2)若，为的中点，求的长． 22．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，为等腰三角形，，、分别是边、上的点，且满足，连接、交于点．    (1)求证：； (2)求的度数． 23．（24-25八年级上·浙江台州·期中）我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图，伞不管是张开还是收拢，伞骨，伞圈能沿着伞柄上下滑动． (1)求证：平分 (2)研究发现：雨往往是斜打的，且都是平行的．当伞完全张开时，当伞完全收拢时，D滑到，求伞从完全张开到收拢伞圈滑过的距离． 24．（24-25八年级上·广东广州·期中）在我国北斗卫星导航系统的精确导航下，一艘货轮在海上以每小时40海里的速度行半小时后货轮到达C处，此时测得灯塔A在其北偏东的方向上，求货轮到达C处时与灯塔A的距离． 25．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，点O是等边内一点，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，α为多少度？ 26．（24-25八年级·全国·课后作业）如图，在中，，是角平分线，在上截取． (1)求证：； (2)若，求的度数． 27．（24-25八年级上·全国·期中）如图，在中，，的平分线交于点D，，垂足为D． (1)求证：是等边三角形； (2)若交于点F，，求的长． 28．（22-23八年级上·江苏宿迁·期中）已知：如图1，点C为线段上一点，、都是等边三角形，交于点E，交于点F． (1)求证： (2)求证：为等边三角形 29．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，在等边中，D为边的中点，过点D作，，垂足分别为E，F． (1)求证：； (2)若，求的周长． 30．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，是边长为6的等边三角形，是边上一动点，由点向点运动（与，不重合），是延长线上一点，与点同时以相同的速度由点向延长线方向运动（点不与点重合），过点作于点，连接交于点． (1)若设，则______，______；（用含的式子表示） (2)时，求的长； (3)在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由． 【题型4含30°角的直角三角形的性质】 31．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，，点E在的平分线上，，垂足为C，点F在上，若，，则的面积是（　　） A．4 B．8 C．16 D．18 32．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）如图，中，，是斜边上的高，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 33．（24-25八年级上·河南洛阳·阶段练习）如图，在中，，是高，，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 34．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图是某车库出入口的栏杆，栏杆绕点C旋转，记旋转角．若，则栏杆B端从栏杆水平位置上升的垂直距离为（   ） A． B． C． D． 35．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图所示，已知，点在边上，，点、在边上，，若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$