专题01 等腰三角形的性质和判定（六大题型）（题型专练）-2024-2025学年八年级数学下册《知识解读•题型专练》（北师大版）

专题01 等腰三角形的性质和判定（六大题型） 【题型1根据等腰三角形的性质求有关的边长】 【题型2根据等腰三角形的性质求角度】 【题型3判断等腰三角形的个数】 【题型4根据等腰三角形的存在性找点的个数】 【题型5等腰三角形的判定】 【题型6等腰三角形的判定与性质】 【题型1根据等腰三角形的性质求有关的边长】 1．（23-24八年级上·青海西宁·期中）等腰三角形的一边长为6，另一边长为，则它的周长为（   ） A． B．或 C． D． 2．（24-25八年级上·山东济宁·期中）已知a，b满足，则以a，b为两边长的等腰三角形的周长是（   ） A．16 B．16或17 C．17或18 D．18 3．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）已知等腰三角形有两边长为和，则该等腰三角形的周长为（   ） A． B． C． D．或 4．（24-25八年级上·山东济宁·期中）在等腰三角形中，它的周长为，其中一边长为，它的腰长为 ． 5．（24-25八年级上·浙江台州·期中）已知等腰三角形的一边长等于5，另一边长等于2，则它的周长为 ． 【题型2根据等腰三角形的性质求角度】 6．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）等腰三角形的一个角为，则它的底角为（   ） A． B． C．或 D．或 7．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）如果等腰三角形的一个底角为，那么另外两个角的度数分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 8．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）等腰三角形的一个底角为，那么它的顶角是（   ） A．或 B． C． D． 9．（24-25八年级上·内蒙古赤峰·期中）等腰三角形的一个内角是，则它的底角是（    ） A． B． C．或 D．或 10．（24-25八年级上·广东汕尾·阶段练习）等腰三角形的一个角是，它的底角的大小为（   ） A． B． C．或 D．或 11．（23-24八年级上·四川遂宁·期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则此三角形的顶角是（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【题型3判断等腰三角形的个数】 12．（15-16八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，是的角平分线，则图中的等腰三角形共有(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，四边形沿对角线对折后重合，连接交于点，若，则图中等腰三角形的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 14．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，平分交于点，交于点，则图中共有等腰三角形（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 15．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图所示，共有等腰三角形（    ） A．2 B．3 C．5 D．4 16．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，下列4个三角形中，均有AB=AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（  ） A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④ 17．（23-24八年级下·河北保定·期中）如图，在中，，，是边上的两点，且有，则图中等腰三角形的个数是（    ） A．2 B．6 C．5 D．7 【题型4根据等腰三角形的存在性找点的个数】 18．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 19．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）已知平面直角坐标系中有两点，若坐标轴上有点，使得为等腰三角形，则满足条件的点的个数有（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．8个 20．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点）．在这张的方格纸中，找出格点，使是等腰三角形，则满足条件的格点的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 21．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，在x轴上确定点P，使为等腰三角形，则符合条件的点P有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 22．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，已知中，，，在直线取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的点P共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 23．（23-24八年级上·广东惠州·期中）如图，坐标平面内一点，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．1 24．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知：如图中，，，在直线BA上找一点D，使或为等腰三角形，则符合条件的点D的个数有（　　）    A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【题型5等腰三角形的判定】 25．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，平分，，请判断的形状，并证明． 26．（24-25八年级上·江西南昌·期中）如图，在中，点D为上一点，点E为的中点，连接并延长到点F使得，连接． (1)求证：； (2)若平分，求证：为等腰三角形． 27．（12-13八年级上·全国·课后作业）如图，，，求证：是等腰三角形． 28．（23-24八年级下·陕西宝鸡·期中）如图，在中，点在上，点在上，，连接与且相交于点，有．求证：为等腰三角形．    29．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，点E，F在上，，，，与交于点O． (1)求证：； (2)试判断的形状，并说明理由． 【题型6等腰三角形的判定与性质】 30．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）如图，在中，，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．若，． (1)求的度数； (2)求的周长． 31．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在锐角中，点是边上一点，，于点，与交于点． (1)求证：； (2)若，，为中点，求的长． 32．（22-23七年级上·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，对角线与交于点D，已知． (1)试说明：是等腰三角形； (2)若，求的长； (3)若，求的度数． 33．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）【问题原形】在数学活动课上，徐老师给出如下问题：如图①，在中，，．以为斜边作直角三角形，点D在边上方，与交于点O，连接，过A作于点E． 求证：． 【解决问题】如图②，小明同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段、、之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系，根据小明同学的思路证明． 【应用】 （1）的大小为______度． （2）若点O是的中点，且，则的长为______． 34．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，在等腰三角形中，，是底边上的高线，于点，交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 35．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，在锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，G为中点，求的长． 36．（22-23八年级上·江西新余·阶段练习）在中，，，的平分线交边于点．    (1)如图1，求证：为等腰三角形； (2)如图2，若的平分线交边于点，求证：； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 等腰三角形的性质和判定（六大题型） 【题型1根据等腰三角形的性质求有关的边长】 【题型2根据等腰三角形的性质求角度】 【题型3判断等腰三角形的个数】 【题型4根据等腰三角形的存在性找点的个数】 【题型5等腰三角形的判定】 【题型6等腰三角形的判定与性质】 【题型1根据等腰三角形的性质求有关的边长】 1．（23-24八年级上·青海西宁·期中）等腰三角形的一边长为6，另一边长为，则它的周长为（   ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系的应用．熟练掌握等腰三角形的性质，三角形三边关系的应用是解题的关键． 由题意知，等腰三角形的第三边的长为6或，根据三角形的三边关系确定第三边的长，然后求周长即可． 【详解】解：由题意知，等腰三角形的第三边的长为6或， 当等腰三角形的第三边的长为6时， ∵， ∴此时不能构成三角形，舍去； 当等腰三角形的第三边的长为时，满足三角形三边关系， ∴它的周长为， 故选：C． 2．（24-25八年级上·山东济宁·期中）已知a，b满足，则以a，b为两边长的等腰三角形的周长是（   ） A．16 B．16或17 C．17或18 D．18 【答案】B 【分析】本题考查了非负数的性质、等腰三角形的定义、三角形三边关系，由非负数的性质求出，，再分两种情况：当为腰长时，当为腰长时，分别求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， 解得：，， 当为腰长时，满足三角形三边关系，等腰三角形的周长是， 当为腰长时，满足三角形三边关系，等腰三角形的周长是， 以a，b为两边长的等腰三角形的周长是16或17， 故选：B． 3．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）已知等腰三角形有两边长为和，则该等腰三角形的周长为（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形周长，构成三角形三边关系．根据题意分情况讨论，求出符合条件的等腰三角形三边长度，继而求出周长． 【详解】解：∵等腰三角形有两边长为和， ①当为腰长时，即三边为，，， ∵， ∴可以构成三角形，此时周长为：， ②当为腰长时，即三边为，，， ∵，不符合构成三角形条件， ∴此种情况舍去， 故选：B． 4．（24-25八年级上·山东济宁·期中）在等腰三角形中，它的周长为，其中一边长为，它的腰长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，分腰长为和底边长为两种情况解答即可求解，掌握等腰三角形的定义是解题的关键． 【详解】解：当腰长为时，底边长为， ∵， ∴腰长为符合题意； 当底边长为时，腰长为， ∵， ∴腰长为符合题意； 综上，它的腰长为或， 故答案为：或． 5．（24-25八年级上·浙江台州·期中）已知等腰三角形的一边长等于5，另一边长等于2，则它的周长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查等腰三角形．熟练掌握等腰三角形的定义，三角形的三边关系，是解题的关键． 题目给出等腰三角形有两条边长为5和2，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：当5是腰时， ∵， ∴能构成三角形． ∴周长为：． 当2是腰长时， ∵， ∴不能构成三角形． 故答案为：12． 【题型2根据等腰三角形的性质求角度】 6．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）等腰三角形的一个角为，则它的底角为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质以及分类讨论是解题的关键．根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：①等腰三角形的顶角为， 它的一个底角度数为； ②等腰三角形的底角为， 综上所述：底角为或， 故选：C． 7．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）如果等腰三角形的一个底角为，那么另外两个角的度数分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的定义是解题的关键． 根据等腰三角形的定义可得，两个底角相等，由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：等腰三角形的一个底角为， ∴另一个底角为， ∴顶角为， ∴另外两个角的度数分别为和， 故选：B ． 8．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）等腰三角形的一个底角为，那么它的顶角是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和是和等腰三角形2个底角是相等，在等腰三角形中，2个底角是相等的，然后用减去2个就是等腰三角形的顶角的度数． 【详解】解： ， 即：顶角是． 故选：B． 9．（24-25八年级上·内蒙古赤峰·期中）等腰三角形的一个内角是，则它的底角是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分的角是底角和顶角两种情况解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：当的角是底角时，底角即为； 当的角是顶角时，底角为； ∴它的一个底角的度数是或， 故选：C． 10．（24-25八年级上·广东汕尾·阶段练习）等腰三角形的一个角是，它的底角的大小为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键．根据题意可分当这个内角为顶角和底角时，然后根据等腰三角形的定义可进行求解． 【详解】解：当内角为是该等腰三角形的底角时，则它的底角度数为； 当内角为是该等腰三角形的顶角时，则它的底角度数为； 综上，等腰三角形的一个角是，它的底角的大小为或， 故选：D． 11．（23-24八年级上·四川遂宁·期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则此三角形的顶角是（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查外角的性质、三角形内角和定理，垂直的性质，关键在于根据题意分析讨论，认真的进行计算． 根据题意，一种情况为等腰三角形为锐角等腰三角形，根据垂直的性质外角的性质即可推出顶角为，另一种情况为等腰三角形为钝角三角形，根据三角形内角和定理和垂直的定理即可推出顶角为． 【详解】解：①此等腰三角形为钝角三角形， 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为， 此三角形的顶角， ②此等腰三角形为锐角三角形， 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为， 此三角形的顶角 故选：C． 【题型3判断等腰三角形的个数】 12．（15-16八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，是的角平分线，则图中的等腰三角形共有(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由是的角平分线，可得，又可求，所以是等腰三角形；又，故，所以是等腰三角形；由，得，可求，故，所以是等腰三角形． 【详解】解：是的角平分线， ， ， 是等腰三角形①． ， ， 是等腰三角形②． ，， ， ， 是等腰三角形③． 故图中的等腰三角形有个． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定、角的平分线的性质及三角形内角和定理；由已知条件利用相关的性质求得各个角的度数是正确解答本题的关键． 13．（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，四边形沿对角线对折后重合，连接交于点，若，则图中等腰三角形的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由对折后重合得相等的线段和相等的角，由平行线得相等的角，再得相等的线段，判断出等腰三角形； 【详解】解：由对折后重合得，，， ，， 和为等腰三角形， ， ， ，， ，， 和为等腰三角形， 因此共有个等腰三角形， 故选：D． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定，在图形中找出相应条件是解题关键． 14．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，平分交于点，交于点，则图中共有等腰三角形（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质，由已知条件利用相关的性质求得各个角相等是本题的关键．根据等腰三角形的判定和性质定理以及平行线的性质即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴为等腰三角形，， ∵ ∴， ∴，为等腰三角形， ∵平分， ∴， ∴，为等腰三角形， ， ∴，为等腰三角形， ∵，， ∴ ∴，为等腰三角形． 综上所述：共有5个等腰三角形． 故选C． 15．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图所示，共有等腰三角形（    ） A．2 B．3 C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，根据有两个角相等的三角形是等腰三角形，结合三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形，， ∴ ， ∴，， ∴、是等腰三角形， ∵，， ∴，， ∴、是等腰三角形， 故图中共有5个等腰三角形， 故选：C． 16．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，下列4个三角形中，均有AB=AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（  ） A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④ 【答案】D 【分析】逐个画出图形，即可得到答案． 【详解】解：图①中，∠A=36°，AB=AC，则∠ABC=∠ACB=72°， 以B为顶点，在△ABC内作∠ABC的平分线，则∠ABD=∠DBC=36°， ∴∠A=∠ABD=36°， ∴△ABD是等腰三角形， 而∠DBC=∠ABC-∠ABD=36°，∠ACB=72°， ∴∠ACB=∠BDC=72°， ∴△BDC是等腰三角形， 故直线BD将△ABC分成了两个小等腰三角形，故①符合题意； 图③中，∠BAC=90°，AB=AC， ∴△ABC是等腰直角三角形，∠B=∠C=45°， 过A作AE⊥BC于E，如图： 则△ABE和△ACE是等腰直角三角形， 故直线AE将△ABC分成了两个小等腰三角形，故③符合题意； 图④中，∠BAC=108°，AB=AC，则∠B=∠C=36°， 以A为顶点，在△ABC内作∠BAF=72°，如图： 则△ABF和△ACF都是等腰三角形，故④符合题意； 图②是等边三角形，没有直线能将它分成两个小的等腰三角形， 故②不符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定，涉及三角形内角和定理的应用，解题的关键是分别画出图形，计算图中角的大小，用等边对等角判断等腰三角形． 17．（23-24八年级下·河北保定·期中）如图，在中，，，是边上的两点，且有，则图中等腰三角形的个数是（    ） A．2 B．6 C．5 D．7 【答案】B 【分析】根据等角对等边、三角形外角的性质和三角形的内角和定理逐一判断即可． 【详解】解：∵，， ∴△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠DAB=∠ADE－∠B=36°，∠EAC=∠AED－∠C=36°， ∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C， ∴△DAB和△EAC都是等腰三角形， ∵∠B＋∠BEA＋∠BAE=180°，∠C＋∠CDA＋∠CAD=180°， ∴∠BAE=180°－∠B－∠BEA=72°，∠CAD=180°－∠C－∠CDA=72°， ∴∠BAE=∠BEA，∠CAD=∠CDA， ∴△BAE和△CAD都是等腰三角形， 综上：共有6个等腰三角形． 故选B． 【点睛】此题考查的是等腰三角形的判定，掌握等角对等边、三角形外角的性质和三角形的内角和定理是解决此题的关键． 【题型4根据等腰三角形的存在性找点的个数】 18．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题． 分为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C的个数． 【详解】解：如图：当为腰时，点C的个数有2个， 当为底时，点C的个数有1个， 故选：C． 19．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）已知平面直角坐标系中有两点，若坐标轴上有点，使得为等腰三角形，则满足条件的点的个数有（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．8个 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定、坐标与图形的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 分、、三种情况，进行分析画图即可解答． 【详解】解：如图： 当时，以点A为圆心，长为半径画弧，交y轴于点， 当时，以点B为圆心，长为半径画弧，交x轴于点， 当时，作的垂直平分线，交x轴于点，交y轴于点， ∵点A，B，三个点在同一条直线上， ∴满足条件的点C的个数是5． 故选：B． 20．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点）．在这张的方格纸中，找出格点，使是等腰三角形，则满足条件的格点的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的判定、勾股定理，根据网格特点和等腰三角形的判定可找出所求格点． 【详解】解：如图， ∵，， ∴、是等腰三角形； ∵，， ∴、是等腰三角形； ∵，， ∴、是等腰三角形， 综上，满足条件的格点有6个， 故选：D． 21．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，在x轴上确定点P，使为等腰三角形，则符合条件的点P有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；针对线段在等腰三角形中的地位，分类讨论用两圆一线的方式，找与轴的交点即可得到答案． 【详解】解：分二种情况进行讨论：如图， ①当为等腰三角形的腰时，以O为圆心为半径的圆弧与轴有两个交点，即和；以A为圆心为半径的圆弧与轴有一个交点； 当为等腰三角形的底时，作线段的垂直平分线，与轴有一个交点． 故符合条件的点一共个， 故选：C． 22．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，已知中，，，在直线取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的点P共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，根据题意，画出图形，即可得到答案． 【详解】解：分三种情况①，②，③： 如图，①以点A为圆心，长为半径交直线于点和， ②以点B为圆心，长为半径交直线于点A和， ③线段垂直平分线与直线的交点记为点， 符合条件的点P共有4个， 故选：C． 23．（23-24八年级上·广东惠州·期中）如图，坐标平面内一点，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．1 【答案】C 【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①为等腰三角形底边；②为等腰三角形一条腰． 【详解】如图： ①为等腰三角形底边，符合条件的动点P有一个； ②为等腰三角形一条腰，符合条件的动点P有三个． 综上所述，符合条件的点P的个数共4个． 故选：C． 24．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知：如图中，，，在直线BA上找一点D，使或为等腰三角形，则符合条件的点D的个数有（　　）    A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】B 【分析】分或为等腰三角形两种情况画出图形即可判断． 【详解】解：如图：当时，是等腰三角形；    ∵，∴是等边三角形，∴； 当时，是等腰三角形； 当，，当时，都是等腰三角形； 综上，符合条件的点D的个数有6个． 故选：B． 【点睛】本题考查等腰三角形存在问题，如果题中没有说明等腰三角形的腰或者底分别是哪条线段，都要进行分类讨论，让三条线段分别两两相等，得出三种情况，再根据题意看有没有需要排除的情况，然后再一一分析符合条件的图形 【题型5等腰三角形的判定】 25．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，平分，，请判断的形状，并证明． 【答案】等腰三角形，证明见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定， 根据“两直线平行，内错角相等”得，再根据角平分线的定义得，即可得出，最后根据“等角对等边”得出答案． 【详解】解：是等腰三角形，理由如下： ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 26．（24-25八年级上·江西南昌·期中）如图，在中，点D为上一点，点E为的中点，连接并延长到点F使得，连接． (1)求证：； (2)若平分，求证：为等腰三角形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先根据线段中点的定义可得，然后利用证明，从而可得； （2）根据可得，根据平分得出，即可得，根据等角对等边即可证明． 【详解】（1）证明：∵为中点， ， 在和中， ， ， ∴； （2）证明：∵， ， ∵平分， ， ， ， ∴为等腰三角形． 27．（12-13八年级上·全国·课后作业）如图，，，求证：是等腰三角形． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，先证明，得到，即得，据此即可求证，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∴即， ∴， ∴是等腰三角形． 28．（23-24八年级下·陕西宝鸡·期中）如图，在中，点在上，点在上，，连接与且相交于点，有．求证：为等腰三角形．    【答案】见详解 【分析】根据推出，根据全等三角形的性质得出，求出，根据推出即可．本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定的应用，能求出是解此题的关键，注意：有两边相等的三角形是等腰三角形． 【详解】证明：在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 是等腰三角形． 29．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，点E，F在上，，，，与交于点O． (1)求证：； (2)试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)是等腰三角形，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定定理：等角对等边，正确证明两个三角形全等是关键． （1）利用等式的性质可以证得，则依据即可证得三角形全等； （2）依据全等三角形的性质，即可证得，然后依据等角对等边从而证得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴≌； （2）解：∵≌， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【题型6等腰三角形的判定与性质】 30．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）如图，在中，，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．若，． (1)求的度数； (2)求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求得，再利用角平分线的定义求得，即可解答； （2）根据平行线的性质，证明，为等腰三角形，再利用等腰三角形的性质即可求解； 【详解】（1）解：， ， 平分平分， ； （2）解：平分， ， ， ， ， ， 同理可得， ， ， 的周长为． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，看到平行线之间有角平分线应想到能得到等腰三角形是解题的关键． 31．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在锐角中，点是边上一点，，于点，与交于点． (1)求证：； (2)若，，为中点，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)的长为． 【分析】（）根据垂直定义可得，利用直角三角形的两个锐角互余可得∴，，再利用等腰三角形的性质可得，然后利用等角的余角相等可得，再根据对顶角相等可得，从而可得，最后利用等角对等边即可解答； （）过点作，垂足为，利用等腰三角形的性质得，再根据中点定义得，再证明，根据全等三角形的性质得出，最后由勾股定理即可求解； 本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，掌握知识点的应用，添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：过点作，垂足为， ∴， ∵，， ∴， ∵为中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 32．（22-23七年级上·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，对角线与交于点D，已知． (1)试说明：是等腰三角形； (2)若，求的长； (3)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理及三角形外角等知识，解决本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质． （1）证明，则，即可得到结论； （2）由得到，，即可得到答案； （3）由得到，，则，再求出，根据三角形外角性质得到，则，即可得到的度数． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵，． ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ∴，， ∴； （3）解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 33．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）【问题原形】在数学活动课上，徐老师给出如下问题：如图①，在中，，．以为斜边作直角三角形，点D在边上方，与交于点O，连接，过A作于点E． 求证：． 【解决问题】如图②，小明同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段、、之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系，根据小明同学的思路证明． 【应用】 （1）的大小为______度． （2）若点O是的中点，且，则的长为______． 【答案】【解决问题】见解析；【应用】（1）135；（2） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关性质定理为解题关键． 解决问题：通过证明即可得出结论； 应用（1）：利用三角形全等得到，结合三角形内角和定理求出的度数进而求出结果； （2）通过证明得到，通过求出角的度数得到，利用等腰三角形的性质即可得出，最后利用勾股定理即可求出结果即可． 【详解】解：解决问题：如图②，在上截取，连接， ， ， 又， ， ， ， ， ， ； 应用：（1）， ， ， ， 在中，， ， 故答案为：135； （2）是中点，即， ，， 在与中， ， ． ， 由（1）得， ， ， ， 是等腰的高， ， ， ， ∵， ∴， ∴在中，． 故答案为：． 34．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，在等腰三角形中，，是底边上的高线，于点，交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理． （1）先根据等腰三角形的性质得到，，再根据等腰三角形的判定和三角形的内角和定理证得，，然后证明，即可得证； （2）由得到即可求解． 【详解】（1）解：∵在等腰三角形中，是底边上的高线， ∴，， ∴， ∵， ∴，又， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 35．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，在锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，G为中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，正确添加适当的辅助线是解题的关键． （1）根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，再利用等腰三角形的性质可得，然后利用等角的余角相等可得，再根据对顶角相等可得，从而可得，最后利用等角对等边即可解答； （2）如图：过点E作，垂足为F，利用等腰三角形的三线合一性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后利用证明，从而利用全等三角形的性质可得，最后在中，利用勾股定理求出的长，从而求出的长即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：图：过点E作，垂足为F， ∴， ∵， ∴， ∵G为中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为8． 36．（22-23八年级上·江西新余·阶段练习）在中，，，的平分线交边于点．    (1)如图1，求证：为等腰三角形； (2)如图2，若的平分线交边于点，求证：； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由内角和定理，得，于是，得，所以； （2）过点E作，交于点F，可证，求证，所以，可证，线段等量代换可得结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴． ∴为等腰三角形．    （2）证明：过点E作，交于点F， 则． ∴． ∴． 又， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴．    【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行的性质，等角对等边，三角形内角和定理；添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$