第7章 幂的运算（单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（苏科版2024）

第7章 幂的运算（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同底数幂相乘 【分析】此题考查了同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法法则求解即可． 【详解】解：． 故选：C． 2．下列运算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】零指数幂、同底数幂的除法运算、幂的乘方运算、同底数幂相乘 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘除，零次幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据幂的乘方，同底数幂的乘除，零次幂的性质逐项判断即可． 【详解】解：A．，原式错误； B．，计算正确； C．，原式错误； D．，原式错误； 故选：B． 3．在①；②；③；④中，计算结果为的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】同底数幂的除法运算、幂的乘方运算、同底数幂相乘 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘（除），幂的乘方， 根据法则计算即可．同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相减． 【详解】因为，，，计算结果为的有2个． 故选：B． 4．如果，那么，的值等于（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】积的乘方运算、同底数幂相乘 【分析】本题考查的是积的乘方运算及同底数幂的乘法，根据积的乘方运算可得，再建立简单方程求解即可，熟记幂的运算法则是解本题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 解得：，； 故选：C． 5．新考法定义一种新的运算：若，则有，那么的值是（　　） A． B．5 C． D． 【答案】B 【知识点】负整数指数幂、有理数四则混合运算、求一个数的绝对值 【分析】本题考查了新定义运算、负指数幂的运算，绝对值的计算，解决本题的关键是牢记公式与定义，但其计算中容易出现符号错误，根据题意列出算式，求解即可． 【详解】解： ． 故选B． 6．若，，则下列关于的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】负整数指数幂、零指数幂、有理数的乘方运算、有理数大小比较 【分析】此题考查有理数的大小比较，负整数指数幂、零指数幂以及乘方，计算出的大小是解题的关键． 先分别计算出，再比较大小即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．计算： ． 【答案】 【知识点】幂的乘方运算、积的乘方运算 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 8．已知，，的值为 ． 【答案】 【知识点】同底数幂除法的逆用 【分析】本题主要考查了同底数幂的除法，根据即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ 故答案为：． 9．比较大小： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【知识点】积的乘方运算、幂的乘方的逆用、幂的乘方运算、有理数大小比较 【分析】本题考查了幂的乘方以及逆运算，积的乘方，掌握相关运算法则是解题关键．将变形为，将变形为，即可比较大小． 【详解】解：，，且， ， 故答案为：． 10．微电子技术的不断进步，半导体材料的精细加工尺寸大幅度缩小，某种电子元件的面积大约为0.00000075平方毫米，用科学记数法表示为 平方毫米． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【详解】解：； 故答案为：． 11．若有意义，则a应满足的条件是 ． 【答案】且 【知识点】零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查了负整数指数幂和0指数幂，0指数幂和负整数指数的底数不能为0， 根据零指数幂，负整数指数幂的运算法则列不等式求解． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴且． 故答案为：且． 12．将写成只含正整数指数幂的形式： ． 【答案】 【知识点】负整数指数幂 【分析】本题考查了负整数指数幂．根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，可得答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 13．已知，，，，，之间的关系是 ， 【答案】 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法运算法则是解题的关键．由题意得，，，再利用同底数幂的乘法，找出，，之间等量关系即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 14．已知，则 ． 【答案】 【知识点】积的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用、绝对值非负性 【分析】本题考查了绝对值和偶次幂的非负性，积的乘方的逆运用， 同底数幂乘法的逆用，先求出，，然后代入，则有，再运算括号内即可求解，解题的关键是熟练掌握相关运算法则． 【详解】解：∵， ∴，， ∴则 ， 故答案为：． 15．计算机的二进制数据是用0和1两个数码来表示的数，进位规则是“逢二进一”二进制数和十进制数可以互换例如，二进制数“01011011”换成十进制数表示的数为．依此算法，二进制数“01001001”换成十进制数表示的数为 ． 【答案】73 【知识点】零指数幂、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了用数字表示数及有理数的混合运算，理解二进制和十进制的互换规则是解题关键．根据二进制和十进制的互换规则即可解答． 【详解】解：由二进制和十进制的互换规则得： ． 故答案为：73． 16．我们定义：三角形，四边形；若，则 ． 【答案】 【知识点】幂的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用 【分析】本题考查了新运算、幂的乘方、积的乘方、整体代入法求代数式的值．首先根据规定的新运算可得，从而可得：，根据幂的乘方和积的乘方的运算法则整理可得：，然后再整体代入计算可得原式． 【详解】解：， ， ． 故答案为： ． 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．计算：． 【答案】 【知识点】负整数指数幂、零指数幂、求一个数的绝对值 【分析】本题主要考查了零指数幂、负整数指数幂和有理数混合运算，首先计算乘方、零指数幂、负整数指数幂、绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可. 【详解】解： 18．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】积的乘方运算、幂的混合运算、合并同类项 【分析】本题主要考查了幂的混合计算，积的乘方计算，解题的关键是掌握相关的运算法则． （1）先算幂的乘方，再算乘除即可； （2）先算积的乘方，再算乘法，最后算加法． 【详解】（1）解： ； （2） 19．阅读下列各式：，，…… (1)发现规律：______，______． (2)应用规律： ①填空：______，______； ②计算：． 【答案】(1)， (2)①1，1；② 【知识点】积的乘方运算、积的乘方的逆用 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，积的乘方的逆运算： （1）根据题意计算求解即可； （2）①利用积的乘方的逆运算求解即可； ②把原式变形为，进而求解即可． 【详解】（1）根据题意得，，； （2）①， ； ② ． 20．（1）你发现了吗？，， 由上述计算，我们发现 （2）仿照（1），请你判断与之间的关系． （3）我们可以发现 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】负整数指数幂 【分析】本题考查了负整数指数幂，解答本题的关键在于按照题中所给的方法来进行计算并得出各个数之间的关系． （1）根据题中的计算填写答案即可； （2）按照题中所给的计算方法，求解即可； （3）根据题中所给的计算方法，进行求解判断即可． 【详解】解：（1），， ． （2），． 故． （3）  ． 21．数学探究活动课上，八年级的同学发现由幂的运算逆向思维可以得到，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙解决 (1)若，求m的值； (2)若，试比较a，b，c的大小关系． 【答案】(1) (2) 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方． （1）根据同底数幂的乘法，幂的乘方把各个底数都换成，再进行计算即可； （2）把a、b、c换算成同指数幂，再比较底数大小即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵，，，且， ∴， ∴． 22．定义一种幂的新运算：．如：，请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值； (2)，，，求的值． 【答案】(1)96 (2)21 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方运算 【分析】本题考查了幂的乘方、新定义的运算；熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据新定义的运算，把相应的值代入运算即可； （2）根据新定义的运算、幂的乘方的法则进行运算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解：当时． ． 23．（1）若，求的值； （2）已知，求的值； （3）若，，求的值． 【答案】（1）或；（2）21；（3）1 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）将依次化成，，求出、的值，代入计算即可得出答案； （2）将式子前部分进行整理成后半部分的形式，再得出等式进行计算即可得出答案； （3）先将等式进行运算得出的值，再利用同底数幂的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：（1）因为， 所以， 所以，， 解得，， 所以或． （2）由题意，得， 整理得， 所以，即， 所以． （3）由题意，得， 所以， 解得， 所以． 24．若（m，n是正整数，且），则． 利用上面的结论，解答下面的问题． (1)若，求x的值． (2)若，求x的值． (3)已知，，用含p，q的式子表示． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、积的乘方运算 【分析】本题考查了幂的混合运算，熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的运算法则是解此题的关键． （1）利用幂的乘方以及同底数幂相乘的运算法则变形为，结合题意得出，计算即可得解； （2）利用幂的乘方法则变形为，结合题意得出，计算即可得解； （3）根据幂的乘方与积的乘方法则化为含有和的式子，即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴． 25．（1）规定，求： ①求的值； ②若，求的值． （2）已知为正整数，且，求的值． 【答案】（1）①8， ②2， （2）32 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、同底数幂相乘、幂的乘方运算 【分析】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）①按照新规定计算即可； ②按照新规定列出方程即可求解； （2）把原式转化为，再把已知代入计算即可求解． 【详解】解：（1）①由题意得； ②由题意得，即， ∴， 解得； （2）∵， ∴． 26．阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，……，观察规律： ， 的末尾数字是1， 的末尾数字是1， 的末尾数字是3， 同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7． 解答下列问题： (1)的末尾数字是_______，的末尾数字是_______； (2)求的末尾数字； (3)求证：能被5整除． 【答案】(1)3，6； (2)6； (3)见解析． 【知识点】数字类规律探索、同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】（1）根据阅读材料中的结论可知的末尾数字；根据阅读材料中提供的方法，可得的末尾数字是4，的末尾数字是6，于是得解； （2）先将化成，再利用的末尾数字是6，从而得出结论； （3）分别证明的末尾数字为6和的末尾数字9推出的末尾数字是5，则命题即可得证． 【详解】（1）解：， 的末尾数字为3； 的末尾数字是4，的末尾数字是6，的末尾数字是4，… 的末尾数字是4，的末尾数字是6， 的末尾数字是6； 故答案为：3，6； （2）解：， 的末尾数字是6， 的末尾数字是6； （3）证明：的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6，的末尾数字是2，… 的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6， 的末尾数字为6； 同理可得： 的末尾数字7，的末尾数字9，的末尾数字3，的末尾数字1； 的末尾数字9， 的末尾数字是5， 能被5整除． 【点睛】此题是一道阅读理解题，主要考查了幂的运算、数的整除，熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方法则是解答此题的关键． 27．如图是一块正方形纸板，边长为1，面积记为，沿图①的底边剪去一个边长为的小正方形纸板后得到图②，图②的面积记为，然后再沿同一底边依次剪去一块更小的正方形纸板（即其边长为前一块被剪掉正方形纸板边长的）后得到图③，图④，…， (1)第5个图形的面积______； (2)记第n块纸板的面积为，则______．（用含n的代数式表示） (3)若，求n的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、幂的乘方运算 【分析】本题考查了图形的规律探究，幂的乘方等知识．根据题意推导一般性规律是解题的关键． （1）由题意知，，计算求解即可； （2）由题意知，，，则，整理作答即可； （3）由题意知，，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 故答案为：； （2）解：由题意知，， ∴， ∴， 故答案为： ； （3）解：由题意知，， 解得，， ∴的值为5． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第7章 幂的运算（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．下列运算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 3．在①；②；③；④中，计算结果为的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如果，那么，的值等于（   ） A．， B．， C．， D．， 5．新考法定义一种新的运算：若，则有，那么的值是（　　） A． B．5 C． D． 6．若，，则下列关于的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．计算： ． 8．已知，，的值为 ． 9．比较大小： （填“”、“”或“”）． 10．微电子技术的不断进步，半导体材料的精细加工尺寸大幅度缩小，某种电子元件的面积大约为0.00000075平方毫米，用科学记数法表示为 平方毫米． 11．若有意义，则a应满足的条件是 ． 12．将写成只含正整数指数幂的形式： ． 13．已知，，，，，之间的关系是 ， 14．已知，则 ． 15．计算机的二进制数据是用0和1两个数码来表示的数，进位规则是“逢二进一”二进制数和十进制数可以互换例如，二进制数“01011011”换成十进制数表示的数为．依此算法，二进制数“01001001”换成十进制数表示的数为 ． 16．我们定义：三角形，四边形；若，则 ． 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．计算：． 18．计算： (1)； (2)． 19．阅读下列各式：，，…… (1)发现规律：______，______． (2)应用规律： ①填空：______，______； ②计算：． 20．（1）你发现了吗？，， 由上述计算，我们发现 （2）仿照（1），请你判断与之间的关系． （3）我们可以发现 21．数学探究活动课上，八年级的同学发现由幂的运算逆向思维可以得到，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙解决 (1)若，求m的值； (2)若，试比较a，b，c的大小关系． 22．定义一种幂的新运算：．如：，请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值； (2)，，，求的值． 23．（1）若，求的值； （2）已知，求的值； （3）若，，求的值． 24．若（m，n是正整数，且），则． 利用上面的结论，解答下面的问题． (1)若，求x的值． (2)若，求x的值． (3)已知，，用含p，q的式子表示． 25．（1）规定，求： ①求的值； ②若，求的值． （2）已知为正整数，且，求的值． 26．阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，……，观察规律： ， 的末尾数字是1， 的末尾数字是1， 的末尾数字是3， 同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7． 解答下列问题： (1)的末尾数字是_______，的末尾数字是_______； (2)求的末尾数字； (3)求证：能被5整除． 27．如图是一块正方形纸板，边长为1，面积记为，沿图①的底边剪去一个边长为的小正方形纸板后得到图②，图②的面积记为，然后再沿同一底边依次剪去一块更小的正方形纸板（即其边长为前一块被剪掉正方形纸板边长的）后得到图③，图④，…， (1)第5个图形的面积______； (2)记第n块纸板的面积为，则______．（用含n的代数式表示） (3)若，求n的值． / 学科网（北京）股份有限公司 $$