第7章 幂的运算（单元复习 6个知识点+9类题型突破）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（苏科版2024）

第7章 幂的运算 01 思维导图 02 知识速记 知识点01 同底数幂的乘法 1．同底数幂的乘法性质：(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）. 2．同底数幂的乘法的逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数.即（都是正整数）. 知识点02 幂的乘方 1．幂的乘方法则： (其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 要点诠释：公式的推广： (，均为正整数) 2．幂的乘方法则逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形， 从而解决问题. 知识点03 积的乘方 1．积的乘方法则： (其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 要点诠释：公式的推广： (为正整数). 2．积的乘方法则逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时， 计算更简便.如： 知识点04 同底数幂的除法 (其中都是正整数).即同底数幂相除，底数不变，指数相减. 要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2） 逆用公式：即（都是正整数）. 知识点05 零指数幂：（a≠0） 负指数幂：（a≠0，p是正整数） 知识点06 科学记数法 我们曾用科学记数法表示一些绝对值较大的数，即利用10的正整数指数幂，把一个绝对值较大的数表示成a×10n的形式，其中n是正整数，； 类似地，我们可以利用10 的负整数指数幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成a×10-n的形式，其中n是正整数，. 03 题型归纳 题型一　同底数幂的运算与逆运算 例题：（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可； （2）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可； （3）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可； （4）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可； （5）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可． 【详解】（1） ． （2） ． （3） ． （4） （5） ． 巩固训练 1．（2024七年级下·江苏·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)256 (4) 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据同底数幂乘法运算法则计算即可． （1）根据同底数幂相乘运算法则求解即可； （2）根据同底数幂相乘运算法则求解即可； （3）根据同底数幂相乘运算法则求解即可； （4）根据同底数幂相乘运算法则求解即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 2．（23-24八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法运算． （1）按照同底数幂的乘法运算法则计算即可． （2）把变成，然后再按照同底数幂的乘法运算法则计算即可． （3）把变成，然后再按照同底数幂的乘法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： （2） （3） 3．（23-24八年级上·广东东莞·期末）计算：已知，，求的值； 【答案】 【知识点】同底数幂乘法的逆用 【分析】本题考查了同底数幂的乘法；根据逆用同底数幂的乘法的运算法则，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． 4．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）回答下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求x的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】同底数幂乘法的逆用、同底数幂相乘 【分析】（1）根据同底数幂乘法的逆运算解答； （2）根据同底数幂乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：因为， 所以， 所以． （2）解：因为， 所以， 所以． 【点睛】此题考查了同底数幂乘法的计算法则及逆运算，正确掌握同底数幂乘法的计算法则是解题的关键． 题型二　幂的乘方运算及逆运算 例题：（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）计算：． 【答案】 【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方运算 【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂相乘法则，合并同类项，先根据幂的乘方，同底数幂相乘法则计算，然后合并同类项即可． 【详解】解： ． 巩固训练 1．（24-25八年级上·山东德州·期中）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方运算 【分析】（1）先计算同底数幂的乘法，然后按照整式的加减运算法则合并同类项即可； （2）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法，然后按照整式的加减运算法则合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，整式的加减运算，合并同类项等知识点，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 2．（24-25八年级上·安徽芜湖·阶段练习）计算： (1)若，，求的值． (2)若，求x的值． 【答案】(1)18 (2) 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方的逆用 【分析】（1）利用幂的乘方和同底数幂的乘法法则进行变形，再利用整体代入计算即可； （2）把变形为，得到关于x的方程，解方程即可得到答案； 熟练掌握幂的乘方、同底数幂的乘法法则，并利用整体思想是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵． ∴， 解得 3．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）将幂的运算逆向思维可以得到，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)若，，求的值． (2)若，求x的值． 【答案】(1)72 (2)3 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算： （1）逆向运用幂的运算法则，将原式变形为，即可求解； （2）逆向运用幂的运算法则，将原式变形为，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵， ∴， 解得． 题型三　积的乘方运算及逆运算 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】积的乘方运算、幂的乘方运算、合并同类项 【分析】该题主要考查了幂的乘方和积的乘方以及合并同类项，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据幂的乘方和积的乘方运算法则计算即可； （2）根据幂的乘方和积的乘方先算乘方，然后合并即可； 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式． 巩固训练 1．（23-24七年级下·山东滨州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】整式的加减运算、幂的乘方运算、积的乘方运算 【分析】本题考查了整式的混合运算，涉及到同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方运算，关键是注意指数的变化，不能出错． （1）根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方运算，再进行同类项合并，即可得到结果； （2）先进行幂的乘方运算，再合并同类项，即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】积的乘方运算、幂的乘方运算、同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方进行计算，再合并同类项即可； （2）根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方进行计算，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 3．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）阅读下列各式：，，…… (1)发现规律：______，______． (2)应用规律： ①填空：______，______； ②计算：． 【答案】(1)， (2)①1，1；② 【知识点】积的乘方运算、积的乘方的逆用 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，积的乘方的逆运算： （1）根据题意计算求解即可； （2）①利用积的乘方的逆运算求解即可； ②把原式变形为，进而求解即可． 【详解】（1）根据题意得，，； （2）①， ； ② ． 4．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）下图是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题． 东东的作业 计算：． 解：原式． (1)计算： ①； ②； (2)若，请求出n的值． 【答案】(1)①1；②； (2)4 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方的逆用、积的乘方的逆用 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则，积的乘方，幂的乘方的运算法则等相关知识，熟记对应法则是解题的关键． （1）①根据积的乘方及幂的乘方的运算法则得到正确结果；②积的乘方及幂的乘方的运算法则即可得到正确结果； （2）利用幂的乘方运算法则的逆用及同底数幂的乘法法则即可得到n的值． 【详解】（1）解：①； ② （2）解：∵ ∴， ∴ ∴， ∴， 解得：． 题型四　利用幂的乘方比较大小 例题：（24-25八年级上·湖南·阶段练习）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，，则的大小关系是______（填“”或“”．） 解：，，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质：______； A．同底数幂的乘法    B．同底数幂的除法    C．幂的乘方    D．积的乘方 (2)比较的大小； (3)比较与的大小； (4)已知，，．求之间的等量关系． 【答案】(1)C (2) (3) (4) 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、幂的乘方的逆用 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算和幂的乘方运算，同底数幂乘法计算： （1）根据幂的乘方的逆运算法则判断即可； （2）根据幂的乘方计算法则及其逆运算法则得到，，，据此可得答案； （3）根据幂的乘方计算法则及其逆运算法则得到，，据此可得答案； （4）根据得到，进而得到，则． 【详解】（1）解：由题意得，上述求解过程中，逆用了幂的乘方计算法则， 故答案为：C； （2）解：∵，，，且， ∴； （3）解：∵，，且， ∴． （4）解：∵，，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 巩固训练 1．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）比较大小： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【知识点】幂的乘方的逆用 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆用，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据，，由，，得出，根据，即可得出结论． 【详解】解：， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即． 故答案为：． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读下列两则材料，解决问题． 材料一：比较和的大小． 解：因为， 所以，即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数（底数大于1）的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较和的大小． 解：因为， 所以，即． 小结：底数相同（底数大于1）的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． (1)比较的大小； (2)比较的大小； (3)已知，比较的大小（均为大于1的数）． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数大小比较、幂的乘方的逆用、幂的乘方运算 【分析】本题主要考查了幂的乘方、幂的乘方的逆用、有理数大小比较等知识点，掌握幂的乘方的运算法则成为解题的关键． （1）根据材料一的方法求解即可； （2）根据材料二的方法求解即可； （3）先根据材料一的方法可得，然后判断即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵，， ∴． （3）解：∵， ∴． ∵， ∴． 题型五　同底数幂的除法及逆运算 例题：（23-24八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】幂的乘方运算、积的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】（1）把当作一个整体，根据同底数幂的除法法则计算，再利用积的乘方法则计算即可； （2）先根据幂的乘方法则计算，再根据同底数幂的除法法则计算； （3）先根据同底数幂的乘法法则计算同时根据有理数乘方进行运算，再根据同底数幂的除法法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 【点睛】本题考查整式的乘除混合运算，掌握相应的运算法则、掌握运算顺序是解题的关键． 巩固训练 1．（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】同底数幂的除法运算、积的乘方运算、同底数幂相乘 【分析】（1）利用同底数幂的除法法则计算即可； （2）利用同底数幂的乘法和除法法则计算即可； （3）利用积的乘方和同底数幂的除法法则计算即可； （4）先把，底数作为一个整体，利用同底数幂的乘法和除法计算即可； 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，熟练运用这些运算法则是解题的关键． 2．（23-24七年级下·江苏镇江·期中）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【知识点】同底数幂除法的逆用、幂的乘方运算、同底数幂乘法的逆用、同底数幂相乘 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的灵活运用． （1）首先根据同底数幂的乘法法则求出m的值，然后利用同底数幂的乘除法的法则及幂的乘方的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可； （2）利用同底数幂的乘法和幂的乘方对整理为，然后求解即可． 【详解】（1）∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ； （2） ∴ ∴ ∴． 3．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)写出，，之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】同底数幂除法的逆用、幂的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用 【分析】本题考查了幂的乘方逆运算，同底数幂的乘法的逆运算，同底数幂的除法的逆运算，熟练掌握幂的运算性质是解题的关键． （1）根据，代入计算即可； （2）根据，结合代入计算即可； （3）根据，结合变形即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵， ∴． （3）解：∵， 又， ∴， ∴． 题型六　幂的混合运算 例题：（23-24八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】同底数幂的除法运算、积的乘方运算、幂的乘方运算、同底数幂相乘 【分析】（1）根据积的乘方，同底数幂的乘除法进行计算即可； （2）根据幂的乘方和同底数幂的乘除法进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法和除法，熟练掌握以上运算法则是解题的关键． 巩固训练 1．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）计算：． 【答案】 【知识点】同底数幂的除法运算、积的乘方运算、幂的乘方运算、幂的混合运算 【分析】本题主要考查了幂的混合运算，解题的关键是熟练掌握幂的乘方，积的乘方，同底数幂乘法运算法则．根据幂的乘方，积的乘方，同底数幂乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 2．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，6 【知识点】零指数幂、幂的混合运算 【分析】本题考查了幂的混合运算，先根据幂的乘方、同底数幂相乘，零次幂法则进行化简，再合并同类项，得出，然后把代入，进行计算，即可作答． 【详解】解： 把代入， 得 3．（22-23七年级下·江苏·周测）先化简，再求值： (1)，其中 (2)，其中 【答案】(1)， (2)， 【知识点】幂的混合运算 【分析】（1）先根据同底数幂乘法，积的乘方法则计算，再计算括号内的，然后计算除法，即可求解； （2）先根据幂的乘方，积的乘方法则计算，再计算计算乘法，然后计算加法，即可求解． 【详解】（1）解： 当时，原式； （2）解： 当时，原式． 【点睛】本题主要考查了幂的混合运算，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． 题型七　已知代数式的值，利用同底数幂的运算求式子的值 例题：（24-25八年级上·四川巴中·期中）已知：，，． (1)求的值； (2)证明：． 【答案】(1)125 (2)见解析 【知识点】同底数幂除法的逆用、同底数幂乘法的逆用 【分析】（1）逆用同底数幂乘法和同底数幂除法运算的性质进行求解即可； （2）利用，即可求解． 本题考查了同底数幂除法与同底数幂乘法性质的逆向运用，逆向思维是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴． 巩固训练 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）（1）若，求的值； （2）已知，求的值； （3）若，，求的值． 【答案】（1）或；（2）21；（3）1 【知识点】幂的乘方运算、同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）将依次化成，，求出、的值，代入计算即可得出答案； （2）将式子前部分进行整理成后半部分的形式，再得出等式进行计算即可得出答案； （3）先将等式进行运算得出的值，再利用同底数幂的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：（1）因为， 所以， 所以，， 解得，， 所以或． （2）由题意，得， 整理得， 所以，即， 所以． （3）由题意，得， 所以， 解得， 所以． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）阅读下列材料： 若（且，是整数），由于两个幂相等，且底数相同，因此它们的指数相等，即有．根据这一结论我们可以解简单的方程： 若，求的值． 解：根据指数运算法则有： ， ∴，∴，∴． 利用上面知识解决下面的问题： (1)已知，求x的值； (2)如果，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、幂的乘方运算、同底数幂的除法运算、积的乘方的逆用 【分析】本题主要考查了同底数幂的运算、幂的乘方运算、积的乘方的逆用、解一元一次方程等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）将原式整理为，进而可得，求解即可； （2）将原式整理为，进而可得，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 即， 则，解得； （2）∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 题型八　零指数幂、负整数指数幂 例题：（24-25九年级上·湖北十堰·阶段练习）计算：． 【答案】9 【知识点】实数的混合运算、求一个数的绝对值、零指数幂、负整数指数幂 【分析】此题考查了绝对值，有理数的乘方，零指数幂和负整数指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算绝对值，有理数的乘方，零指数幂和负整数指数幂，然后计算加减． 【详解】解： ． 巩固训练 1．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如果成立，则 ． 【答案】 【知识点】零指数幂 【分析】本题主要考查了零指数幂成立的条件，解题的关键是熟练掌握．根据零指数幂成立的条件，得出，求出结果即可． 【详解】解：如果成立，那么， 解得：． 故答案为：． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）如无意义，则 ． 【答案】4 【知识点】负整数指数幂 【分析】本题考查了负整数指数幂，由已知无意义，可知，然后代入求值． 【详解】解：∵无意义， ∴， ∴， ∴． 故答案为4． 3．（24-25七年级上·上海·期中）若，则大小关系是 ．（按从小到大顺序排列） 【答案】 【知识点】零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查了负指数幂和零指数幂．解决本题的关键是根据负指数幂的法则可得、、根据指数幂运算法则可得，然后根据计算的结果比较它们之间的大小关系为． 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为： ． 4．计算：． 【答案】 【分析】此题考查了绝对值，有理数的乘方，零指数幂以及负整数指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则．首先计算绝对值，有理数的乘方，零指数幂和负整数指数幂，然后计算加减． 【详解】解： 5．计算： 【答案】3 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则和性质是解题的关键，直接利用实数运算的法则和性质计算即可． 【详解】解： 6．计算：． 【答案】 【分析】此题考查了负整数指数幂，有理数的乘方，绝对值和零指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算负整数指数幂，有理数的乘方，绝对值和零指数幂，然后计算加减即可求解． 【详解】解： ． 题型九　用科学计数法表示绝对值小于1的数 例题：（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）微电子技术的不断进步，半导体材料的精细加工尺寸大幅度缩小，某种电子元件的面积大约为0.00000075平方毫米，用科学记数法表示为 平方毫米． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【详解】解：； 故答案为：． 巩固训练 1．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）红细胞是血液中数量最多的一种血细胞，主要负责运输氧气和二氧化碳，人的红细胞的直径大约在左右．数据用科学记数法表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键； 根据绝对值小于1的负数科学记数法表示，一般形式为，其中，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，据此解答即可． 【详解】解：； 故答案为：． 2．（24-25八年级上·重庆·开学考试）2023年 5月 31 日，我国首个国际科技组织总部集聚区在北京揭牌并正式启用，首批有国际氢能燃料电池协会等8家国际科技组织入驻． 氢能燃料电池是氢能利用的一种重要形式，能有效推动能源绿色低碳转型． 氢通常的单质形态是氢气，氢气是最轻的气体且难溶于水，其水溶性为，0.00017用科学记数法表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，为整数（确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位，小数点向左移为正，向右移为负）． 【详解】解：， 故答案为：． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第7章 幂的运算 01 思维导图 02 知识速记 知识点01 同底数幂的乘法 1．同底数幂的乘法性质：(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）. 2．同底数幂的乘法的逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数.即（都是正整数）. 知识点02 幂的乘方 1．幂的乘方法则： (其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 要点诠释：公式的推广： (，均为正整数) 2．幂的乘方法则逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形， 从而解决问题. 知识点03 积的乘方 1．积的乘方法则： (其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 要点诠释：公式的推广： (为正整数). 2．积的乘方法则逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时， 计算更简便.如： 知识点04 同底数幂的除法 (其中都是正整数).即同底数幂相除，底数不变，指数相减. 要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2） 逆用公式：即（都是正整数）. 知识点05 零指数幂：（a≠0） 负指数幂：（a≠0，p是正整数） 知识点06 科学记数法 我们曾用科学记数法表示一些绝对值较大的数，即利用10的正整数指数幂，把一个绝对值较大的数表示成a×10n的形式，其中n是正整数，； 类似地，我们可以利用10 的负整数指数幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成a×10-n的形式，其中n是正整数，. 03 题型归纳 题型一　同底数幂的运算与逆运算 例题：（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 巩固训练 1．（2024七年级下·江苏·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（23-24八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 3．（23-24八年级上·广东东莞·期末）计算：已知，，求的值； 4．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）回答下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求x的值． 题型二　幂的乘方运算及逆运算 例题：（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）计算：． 巩固训练 1．（24-25八年级上·山东德州·期中）计算： (1)； (2)； 2．（24-25八年级上·安徽芜湖·阶段练习）计算： (1)若，，求的值． (2)若，求x的值． 3．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）将幂的运算逆向思维可以得到，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)若，，求的值． (2)若，求x的值． 题型三　积的乘方运算及逆运算 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 巩固训练 1．（23-24七年级下·山东滨州·期中）计算： (1)； (2)． 2．（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 3．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）阅读下列各式：，，…… (1)发现规律：______，______． (2)应用规律： ①填空：______，______； ②计算：． 4．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）下图是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题． 东东的作业 计算：． 解：原式． (1)计算： ①； ②； (2)若，请求出n的值． 题型四　利用幂的乘方比较大小 例题：（24-25八年级上·湖南·阶段练习）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，，则的大小关系是______（填“”或“”．） 解：，，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质：______； A．同底数幂的乘法    B．同底数幂的除法    C．幂的乘方    D．积的乘方 (2)比较的大小； (3)比较与的大小； (4)已知，，．求之间的等量关系． 巩固训练 1．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）比较大小： （填“”、“”或“”）． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读下列两则材料，解决问题． 材料一：比较和的大小． 解：因为， 所以，即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数（底数大于1）的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较和的大小． 解：因为， 所以，即． 小结：底数相同（底数大于1）的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． (1)比较的大小； (2)比较的大小； (3)已知，比较的大小（均为大于1的数）． 题型五　同底数幂的除法及逆运算 例题：（23-24八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 巩固训练 1．（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（23-24七年级下·江苏镇江·期中）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 3．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)写出，，之间的数量关系． 题型六　幂的混合运算 例题：（23-24八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 巩固训练 1．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）计算：． 2．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）先化简，再求值：，其中． 3．（22-23七年级下·江苏·周测）先化简，再求值： (1)，其中 (2)，其中 题型七　已知代数式的值，利用同底数幂的运算求式子的值 例题：（24-25八年级上·四川巴中·期中）已知：，，． (1)求的值； (2)证明：． 巩固训练 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）（1）若，求的值； （2）已知，求的值； （3）若，，求的值． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）阅读下列材料： 若（且，是整数），由于两个幂相等，且底数相同，因此它们的指数相等，即有．根据这一结论我们可以解简单的方程： 若，求的值． 解：根据指数运算法则有： ， ∴，∴，∴． 利用上面知识解决下面的问题： (1)已知，求x的值； (2)如果，求的值． 题型八　零指数幂、负整数指数幂 例题：（24-25九年级上·湖北十堰·阶段练习）计算：． 巩固训练 1．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如果成立，则 ． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）如无意义，则 ． 3．（24-25七年级上·上海·期中）若，则大小关系是 ．（按从小到大顺序排列） 4．计算：． 5．计算： 6．计算：． 题型九　用科学计数法表示绝对值小于1的数 例题：（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）微电子技术的不断进步，半导体材料的精细加工尺寸大幅度缩小，某种电子元件的面积大约为0.00000075平方毫米，用科学记数法表示为 平方毫米． 巩固训练 1．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）红细胞是血液中数量最多的一种血细胞，主要负责运输氧气和二氧化碳，人的红细胞的直径大约在左右．数据用科学记数法表示为 ． 2．（24-25八年级上·重庆·开学考试）2023年 5月 31 日，我国首个国际科技组织总部集聚区在北京揭牌并正式启用，首批有国际氢能燃料电池协会等8家国际科技组织入驻． 氢能燃料电池是氢能利用的一种重要形式，能有效推动能源绿色低碳转型． 氢通常的单质形态是氢气，氢气是最轻的气体且难溶于水，其水溶性为，0.00017用科学记数法表示为 ． / 学科网（北京）股份有限公司 $$