第16章 二次根式能力提升测试卷-2024-2025学年八年级数学下册《知识解读•题型专练》（人教版）

第16章 二次根式能力提升测试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各组数中互为相反数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．已知，，则值是（   ） A． B． C． D． 4．计算：等于（   ） A． B． C． D． 5．计算的结果为（    ） A． B． C．1 D．3 6．的整数部分是，小数部分是，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．若实数在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A．－1 B．1 C． D． 8．已知实数满足，则的值为（      ） A． B． C． D． 9．已知实数a、b，定义“△”运算如下：，计算的值为（    ） A． B． C． D． 10．如图是一个按某种规律排列的数阵．若用有序实数对表示第行，从左到右第个数，如表示实数，则表示的实数是（   ） 第1行 第2行 第3行 第4行 …… …… A． B． C． D． 2、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．已知函数，则自变量的取值范围是 ． 12．已知的整数部分是a，小数部分是b，求的值 ． 13．比较大小： ． 14．阅读材料：一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如：等都是复合二次根式．其中有一些特殊的复合二次根式可以进行化简，例如： ． 请利用上述运算法则化简： ． 15．将根号外的因式移到根号内得 ． 16．设，N是M的小数部分，则的值为 ． 三、解答题（本题共6小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（6分）计算： (1) (2) 18．（8分）已知满足． (1)求 的值； (2)试问以为边长能否构成三角形？若能构成，求出三角形的周长；若不能构成三角形，请说明理由． 19．（8分）已知，， (1)求的值； (2)求的值． 20．（8分）如图，某小区有一块矩形空地，矩形空地的长为，宽为，现要在空地中间修建一个小矩形花坛（阴影部分），小矩形花坛的长为，宽为．    (1)求矩形空地的周长；（结果化为最简二次根式） (2)除去修建花坛的地方，其他空地全修建成通道，通道上要铺造价为6元的地砖，要铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？ 21．（10分）【阅读材料】小聪在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． 【类比归纳】 （1）请你仿照小聪的方法将化成另一个式子的平方； （2）请你运用小聪的方法化简； 【类比归纳】 （3）若，且均为正整数，，求的值． 22．（12分）【阅读】我们将与称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“”去掉，于是二次根式的除法可以这样计算：．像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)比较大小：_______．（用“＞”“＜”或“=”填空） (2)已知，，求的值； (3)解方程：．（利用“对偶式”相关知识，提示：令）． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16章 二次根式能力提升测试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式，利用二次根式性质化简，根据最简二次根式的性质逐项化简判断即可． 【详解】解：A、，原二次根式不是最简二次根式，不符合题意； B、，原二次根式不是最简二次根式，不符合题意； C、，原二次根式不是最简二次根式，不符合题意； D、为最简二次根式，符合题意， 故选：D． 2．下列各组数中互为相反数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的化简、相反数的定义、立方根、绝对值等知识点，掌握相关化简方法是解题的关键． 先将各数化简，再根据相反数的定义进行判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴与3互为相反数，符合题意； B、∵， ∴与不互为相反数，不符合题意； C、由与互为倒数，不互为相反数，不符合题意； D、∵， ∴与不互为相反数，不符合题意． 故选：A． 3．已知，，则值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算，先根据，可得，，再根据二次根式的性质可得，，再利用二次根式的运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴ ， 故选：B． 4．计算：等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的乘除运算和二次根式的性质，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据二次根式的乘除运算法则进行计算，最后根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解： ， 故选：A． 5．计算的结果为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的运算，积的乘方的逆用，平方差公式，将原式变形为，再利用积的乘方的逆运算和平方差公式求解即可． 【详解】解： ， 故选：A． 6．的整数部分是，小数部分是，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算和二次根式的性质，由于，由此可确定的整数部分x，接着确定小数部分y，然后代入所求代数式中恰好利用平方差公式计算出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴ 故选A． 7．若实数在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A．－1 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的性质与化简、实数与数轴，掌握二次根式的基本性质是解题关键．根据二次根式的基本性质，先把二次根式写成绝对值的形式，再用绝对值的性质化简，最后计算． 【详解】解：由图知：， ，， ． 故选：C． 8．已知实数满足，则的值为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式求值，算术平方根的定义，根据算术平方根的定义得到，则，进而得到，即可求得． 【详解】解：∵要有意义， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故选：B． 9．已知实数a、b，定义“△”运算如下：，计算的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，解题关键是理解新定义的含义，列出正确的算式． 根据已知条件中的新定义，列出算式，进行二次根式的加减法即可； 【详解】解：∵， ∴ 故选：A 10．如图是一个按某种规律排列的数阵．若用有序实数对表示第行，从左到右第个数，如表示实数，则表示的实数是（   ） 第1行 第2行 第3行 第4行 …… …… A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数字类的规律探索，用有序数对表示位置，二次根式．理解题意找出规律是解题关键．根据表格可知规律为每行数的个数与行数相同，被开方数为正整数按顺序排列，由此可求出第八行第1个数，从而即可求出第八行第5个数． 【详解】解：由表格可知每行数的个数与行数相同，被开方数为正整数按顺序排列， ∴第八行第1个数为， ∴第八行第5个数为， ∴表示的实数是． 故选B． 2、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．已知函数，则自变量的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件、二次根式有意义的条件等知识点，掌握相关有意义的条件成为解题的关键． 根据分式有意义的条件、二次根式有意义的条件列不等式组求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：且． 故答案为：且． 12．已知的整数部分是a，小数部分是b，求的值 ． 【答案】/ 【分析】本题考查估算无理数的大小，二次根式的混合运算，平方差公式，先根据得出a，b的值，再将变形为，将a，b的值代入计算即可． 【详解】解：， ， ， 的整数部分是a，小数部分是b， ，， ， 故答案为：． 13．比较大小： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数大小比较，正确将原数变形是解题的关键． 直接利用二次根式的性质将原数变形进而得出答案． 【详解】解：， ， 即， 故答案为：． 14．阅读材料：一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如：等都是复合二次根式．其中有一些特殊的复合二次根式可以进行化简，例如： ． 请利用上述运算法则化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了利用完全平方公式进行因式分解，利用二次根式的性质进行化简等知识．熟练掌握利用完全平方公式进行因式分解，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． 由题意知，，则，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 故答案为：． 15．将根号外的因式移到根号内得 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，从而完成求解． 根据二次根式的性质，得，再根据二次根式的性质计算，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，得， ， ， ， ， 故答案为：． 16．设，N是M的小数部分，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查二次根式的运算，先求得，再估算的取值范围，求得，再代入代数式进行计算即可．掌握用逼近法估算无理数的大小是解题的关键． 【详解】解：， ∵，且 ∴，则 ∵是的小数部分， ∴， 则 ， 故答案为：1． 三、解答题（本题共6小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（6分）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算． （1）根据二次根式的除法的法则进行运算即可； （2）先化简，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 18．（8分）已知满足． (1)求 的值； (2)试问以为边长能否构成三角形？若能构成，求出三角形的周长；若不能构成三角形，请说明理由． 【答案】(1)，，． (2)能构成三角形，周长为 【分析】本题考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：绝对值、偶次方、二次根式（算术平方根），熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据非负数的性质可求出的值； （2）根据，，，可得，即可根据三角形三边关系，得出以为边长能构成三角形，再把三角形三边相加即可求得周长． 【详解】（1）解：由题意得：，，， 解得：，，． （2）解：∵，，． ∴， ∵，， ∴， ∴以为边长能构成三角形， ∴此时三角形的周长为． 19．（8分）已知，， (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次根式的混合运算． （1）先求出，，把变形为，利用整体代入求值即可； （2）把变为，利用整体代入求值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴ ； （2） ． 20．（8分）如图，某小区有一块矩形空地，矩形空地的长为，宽为，现要在空地中间修建一个小矩形花坛（阴影部分），小矩形花坛的长为，宽为．    (1)求矩形空地的周长；（结果化为最简二次根式） (2)除去修建花坛的地方，其他空地全修建成通道，通道上要铺造价为6元的地砖，要铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？ 【答案】(1)长方形的周长为米 (2)购买地砖需要花费元 【分析】本题考查了二次根式的混合运算的实际应用，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式进行计算即可求解； （2）先求得长方形的面积，根据面积乘以6即可求解． 【详解】（1）解：         （米）． 答：长方形的周长为米． （2）解： （平方米）． （元）． 答：购买地砖需要花费元． 21．（10分）【阅读材料】小聪在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． 【类比归纳】 （1）请你仿照小聪的方法将化成另一个式子的平方； （2）请你运用小聪的方法化简； 【类比归纳】 （3）若，且均为正整数，，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）或8 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和完全平方公式的使用： （1）将转化为，进行求解即可； （2）将转化为完全平方的形式，再化简即可； （3）根据，得到，结合均为正整数，，求出正整数解即可． 【详解】解：（1） （2） （3） 均为正整数， 或 或8． 22．（12分）【阅读】我们将与称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“”去掉，于是二次根式的除法可以这样计算：．像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)比较大小：_______．（用“＞”“＜”或“=”填空） (2)已知，，求的值； (3)解方程：．（利用“对偶式”相关知识，提示：令）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，，，可得，进而可得结果； （2）由题意知，，，根据，代值求解即可； （3）令，则，即，可求，则，，整理得，，则，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：由题意知，，， ∴， ∴的值为； （3）解：令， ∴，即， 解得，， ∵， ∴，整理得，， ∴， 解得，， 经检验，是原方程的解． 【点睛】本题考查了分母有理化，无理数的大小比较，代数式求值，平方差等知识．熟练掌握分母有理化，无理数的大小比较，代数式求值，平方差是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$