第16章 二次根式 期末易错题-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（人教版）

第16章 二次根式 期末易错题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（23-24八年级下·辽宁抚顺·期末）下列二次根式中，可以与合并的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·浙江台州·期末）下列式子计算结果是的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·云南德宏·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（  ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·重庆荣昌·期末）估计的值在（    ） A．4和5之间 B．3和4之间 C．2和3之间 D．1和2之间 5．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）将中根号外的移到根号里后得到的式子为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）已知x，y为实数，，那么 的值为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级下·山东威海·期末）若与最简二次根式是同类二次根式，则的平方根是（   ） A．3 B． C． D． 8．（23-24八年级下·山东烟台·期末）若成立，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 9．（23-24八年级下·重庆·期末）估计的值应该在（       ） A．7和8之间 B．8和9之间 C．9和10之间 D．10和11之间 二、填空题 10．（23-24八年级下·安徽黄山·期末）观察分析，探求规律，然后填空：， （在横线上写出第50个数）． 11．（23-24八年级下·重庆荣昌·期末）已知，则代数式的值是 ． 12．（23-24八年级下·山东东营·期末）已知，则的值为 ． 13．（23-24八年级下·山东烟台·期末）幻方是一种中国传统游戏，它是将从一到若干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等．类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则数值 ． A B 5 C 10 D 14．（22-23九年级上·吉林白城·开学考试）已知，，则 ． 15．（23-24八年级下·吉林·期末）如图，在一个矩形中放入面积分别为和的两张正方形纸片，两张正方形纸片不重叠，则图中阴影部分的面积为 ． 三、解答题 16．（23-24八年级下·云南红河·期末）计算：． 17．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）像，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为“有理化因式”．例如与，与等都是互为“有理化因式”．进行二次根式运算时，利用“有理化因式”可以化去分母中的根号． (1)化简：① ．② ． (2)计算 (3)已知，，，试比较a，b，c的大小，并说明理由． 18． （23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）先分解因式，再代入求值：，其中，． 19． （23-24八年级下·云南红河·期末）先化简，再求值：其中． 20． （23-24八年级下·甘肃陇南·期末）计算：． 21．（23-24八年级下·云南红河·期末）已知，求下列代数式的值； (1)； (2) 22．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）计算或求值： (1)； (2) (3)a，b分别是的整数部分和小数部分，求的值． 23．（23-24八年级下·贵州毕节·期末）（1）计算： （2）请从以下3个一元一次不等式中，选取2个你喜欢的一元一次不等式，组成一个一元一次不等式组，并求出该不等式组的解集． ①； ②； ③ 24． （23-24八年级下·贵州黔南·期中）先化简，再求值：，其中． 25． （23-24八年级下·山东枣庄·期末）先化简，再求值：，其中． 26． （23-24八年级下·山东青岛·期末）先化简，再求值，其中． 27．（23-24八年级下·山东菏泽·期末）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为连续的整数），则称无理数的“臻美区间”为，如，所以的“臻美区间”为． (1)无理数的“臻美区间”是______． (2)若一个无理数的“臻美区间”为，且满足，其中是关于的二元一次方程的一组正整数解，求的值． (3)实数满足如下关系式：，求的算术平方根的“臻美区间”． 28．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）已知，求下列式子的值： (1) (2) 29．（23-24八年级下·广东广州·期末）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如 的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简， ，，这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题： (1)化简： ______；______； (2)矩形的面积为 ，一边长为 ，求这个矩形的周长； (3)当时，化简：． 30．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）根据条件求值： (1)化简求值：，其中，； (2)已知，，求的值． 31．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）阅读材料： 像两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如，与、与、与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 根据以上阅读材料回答下列问题： (1)计算： ； (2)计算：． 32．（23-24八年级下·山东威海·期末）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4) 33． （23-24八年级下·西藏那曲·期末）已知，求的值． 34．（23-24八年级下·广西河池·期末）已知，． (1)分别求，的值； (2)分别求，的值． 35．（23-24八年级下·辽宁铁岭·期末）已知，，求下列代数式的值： (1) (2) 36．（23-24八年级下·江西上饶·期末）【阅读理解】阅读下列材料，然后解答下列问题． 像，，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题： (1)化简： ； (2)计算：； (3)计算：． 37．（23-24八年级下·安徽六安·期末）阅读下面问题： ； ； ； (1)直接写出：①的值为 ；②的值为 ； (2)试求的值． 38． （23-24八年级下·四川自贡·阶段练习）已知，，求的值． 39．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）像，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简： 如：， 再如：， 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简： (2)化简： (3)若，且为正整数，求的值． 40．（23-24八年级下·陕西安康·期末）在一个长为，宽为的长方体塑料容器中装满水，然后将这个塑料容器内的一部分水倒入一个高为的圆柱形玻璃容器中，当玻璃容器装满水时，塑料容器中的水面下降了．求圆柱形玻璃容器的底面半径． 2 / 29 1 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16章 二次根式 期末易错题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（23-24八年级下·辽宁抚顺·期末）下列二次根式中，可以与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同类二次根式的定义：二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式；解题的关键是正确化简各选项的二次根式．先化简选项中各个二次根式，然后找出被开方数为的二次根式即可． 【详解】解：A．，不能与合并，故本选项不符合题意； B．的被开方数是，不能与合并，故本选项不符合题意； C．，其被开方数是，能与合并，故本选项符合题意； D．，其被开方数是，不能与合并，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．（23-24八年级下·浙江台州·期末）下列式子计算结果是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则．根据二次根式的加法、乘法、减法逐一计算即可． 【详解】解：A、不等于，故本选项错误，不符合题意； B、不等于，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 3．（23-24八年级下·云南德宏·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式．熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 根据最简二次根式的定义对各选项判断作答即可． 【详解】解：由题意知，A中，不是最简二次根式，故不符合要求； B中，不是最简二次根式，故不符合要求； C中，是最简二次根式，故符合要求； D中，不是最简二次根式，故不符合要求； 故选：C． 4．（23-24八年级下·重庆荣昌·期末）估计的值在（    ） A．4和5之间 B．3和4之间 C．2和3之间 D．1和2之间 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式运算、无理数估算大小等知识，熟练掌握二次根式运算法则和无理数估算大小方法是解题关键．首先解得，结合，即可获得答案． 【详解】解：∵， 又∵，即， ∴， ∴的值在3和4之间． 故选：B． 5．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）将中根号外的移到根号里后得到的式子为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件得出，再根据二次根式的性质即可解答． 【详解】解：由题意可知：， ， 故选：A． 6．（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）已知x，y为实数，，那么 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查利用二次根式的性质化简．根据已知条件分情况讨论，当，或，时，直接利用二次根式的性质化简，再整体代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴分情况讨论， 当，时， ∴； 当，时， ∴， 综上，的值为． 故选：D． 7．（23-24八年级下·山东威海·期末）若与最简二次根式是同类二次根式，则的平方根是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式、平方根，根据同类二次根式的定义得出、的值，从而得出的值，再求平方根即可得出答案． 【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根是， 故选：B． 8．（23-24八年级下·山东烟台·期末）若成立，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的定义，以及解一元一次不等式，掌握二次根式有意义的基本条件是解题关键．根据二次根式的定义分别列出不等式，求解即可． 【详解】解：成立， ，， 解得：， 故选：C． 9．（23-24八年级下·重庆·期末）估计的值应该在（       ） A．7和8之间 B．8和9之间 C．9和10之间 D．10和11之间 【答案】C 【分析】此题考查了估算无理数的大小，以及二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式利用二次根式乘除法运算法则计算得到结果，估算即可． 【详解】解： ， ， ， ∴的值应该在9和10之间， 故选：C． 二、填空题 10．（23-24八年级下·安徽黄山·期末）观察分析，探求规律，然后填空：， （在横线上写出第50个数）． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数类规律题，观察可知，第一个数为：，第二个数为：，第三个数为：，第四个数为：，进而可得得出若n是奇数，则第n个数为：；若n是偶数，：则第n个数为：，最后代入50求解即可． 【详解】解：第一个数为：， 第二个数为：， 第三个数为：， 第四个数为：， ∴若n是奇数，则第n个数为：；若n是偶数，：则第n个数为：， ∴第50个数为：， 故答案为：． 11．（23-24八年级下·重庆荣昌·期末）已知，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，以及完全平方公式的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式变形，以及二次根式的运算法则进行解题． 利用完全平方公式得到，然后代入计算，即可得到答案． 【详解】解：根据题意， ， ， 故答案为：． 12．（23-24八年级下·山东东营·期末）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件、负整数指数幂等知识，根据二次根式有意义的条件求出，即可得到，代入即可求出答案． 【详解】由可知， ， 解得， 当时，， ∴， 故答案为： 13．（23-24八年级下·山东烟台·期末）幻方是一种中国传统游戏，它是将从一到若干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等．类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则数值 ． A B 5 C 10 D 【答案】 【分析】本题考查了数的规律探究，涉及考查一元一次方程的应用，二次根式的乘法．根据横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等列出方程求解即可． 【详解】解：对角线方向上的实数相乘的结果为， 根据方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等得， ，解得， ，解得， ，解得， ，解得， ， 故答案为：． 14．（22-23九年级上·吉林白城·开学考试）已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式和混合运算，先分解因式，再代入计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 15．（23-24八年级下·吉林·期末）如图，在一个矩形中放入面积分别为和的两张正方形纸片，两张正方形纸片不重叠，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的应用，分别得出两个正方形的边长，进而即可求解． 【详解】解：解：依题意，两个正方形的边长分别为：和， 则阴影部分的面积为， 故答案为：． 三、解答题 16．（23-24八年级下·云南红河·期末）计算：． 【答案】0 【分析】本题考查了实数的混合运算，先计算零指数幂，负整数指数幂，二次根据式的乘法，并运用完全平方公式计算，最后算加减法即可． 【详解】解： ． 17．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）像，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为“有理化因式”．例如与，与等都是互为“有理化因式”．进行二次根式运算时，利用“有理化因式”可以化去分母中的根号． (1)化简：① ．② ． (2)计算 (3)已知，，，试比较a，b，c的大小，并说明理由． 【答案】(1)①，② (2) (3) 【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算．熟练掌握分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）①根据，再计算求解即可；②根据，再计算求解即可； （2）先将括号中的每一项分母有理化，进一步计算求解即可； （3）由题意得，同理：，，则，进而可得． 【详解】（1）解：①， 故答案为：； ②解：， 故答案为：； （2）解： ． （3）解：；理由如下； ∵， ∴， 同理：，， ∴， ∴． 18．（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）先分解因式，再代入求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查分解因式，二次根式的化简求值，先提公因式进行因式分解，再代值计算即可． 【详解】解：， 当，时， 原式 ． 19．（23-24八年级下·云南红河·期末）先化简，再求值：其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值及二次根式的加减运算，正确计算是解题的关键． 根据分式的混合计算法则化简后再代入数值计算即可． 【详解】解： ； 当时， 原式． 20．（23-24八年级下·甘肃陇南·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算及实数的运算，熟练掌握二次根式的四则运算法则是解题关键．先化简二次根式，绝对值，计算零指数幂及二次根式的乘法，再加减即可． 【详解】解：原式 ． 21．（23-24八年级下·云南红河·期末）已知，求下列代数式的值； (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，分式的加减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 由已知条件可得：， （1）利用平方差公式对式子进行整理，再代入相应的值运算即可； （2）利用分式的加减法对式子进行整理，再代入相应的值运算即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ． 22．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）计算或求值： (1)； (2) (3)a，b分别是的整数部分和小数部分，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了代数式求值以及无理数的估算，同时考查了二次根式的乘法和加减运算． （1）根据二次根式的性质化简，再合并即可求解； （2）根据二次根式的乘法运算法则计算，再合并即可求解； （3）首先判断出的在1和2之间，再估算的范围，求得的整数部分和小数部分，然后把a和b的值代入代数式求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴ ． 23．（23-24八年级下·贵州毕节·期末）（1）计算： （2）请从以下3个一元一次不等式中，选取2个你喜欢的一元一次不等式，组成一个一元一次不等式组，并求出该不等式组的解集． ①； ②； ③ 【答案】（1）5 （2）详见解析 【分析】本题主要考查二次根式的运算，解一元一次不等式组的综合运用， （1）根据二次根式的乘法运算，即可求解； （2）根据不等式的性质，分别求值各个解集，再根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”即可求解． 【详解】解：（1） ． （2）选择①②， ， 解不等式，得； 解不等式，得； 原不等式组的解集为． 选①③， ， 解不等式，得； 解不等式，得， 原不等式组的解集为． 选②③， ， 解不等式，得； 解不等式，得， 原不等式组的解集为． 24．（23-24八年级下·贵州黔南·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，11 【分析】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式第一项利用完全平方公式展开，第二项利用单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，将a与b的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时，原式． 25．（23-24八年级下·山东枣庄·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式的化简，熟练掌握以上知识是解题的关键． 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式， ， ， ， 当时，原式． 26．（23-24八年级下·山东青岛·期末）先化简，再求值，其中． 【答案】 ， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 27．（23-24八年级下·山东菏泽·期末）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为连续的整数），则称无理数的“臻美区间”为，如，所以的“臻美区间”为． (1)无理数的“臻美区间”是______． (2)若一个无理数的“臻美区间”为，且满足，其中是关于的二元一次方程的一组正整数解，求的值． (3)实数满足如下关系式：，求的算术平方根的“臻美区间”． 【答案】(1) (2)37 (3) 【分析】（1）先估算的大小，然后再估算的大小，然后根据无理数的“臻美区间”进行解答即可； （2）先根据已知条件，求出满足题意的，的值，从而求出，，然后根据二元一次方程解的定义，把、、和的值分别代入，求出即可； （3）先根据二次根式的非负性，求出，从而得到，再根据偶次方的非负性，列出关于，的两个含有字母参数的二元一次方程，从而求出的值，然后估算的算术平方根的大小，求出的“臻美区间”即可． 【详解】（1）解：， ， ， 无理数的“臻美区间”是， 故答案为：； （2）解：、为连续的整数，是关于，的二元一次方程的一组正整数解， 是正整数，， 一个无理数的“臻美区间”为， ， ， 当，即时，不存在，舍去； 当，即时，不满足不等式，舍去； 当，即时，满足不等式，则； 当，即时，不存在，舍去； 满足题意的，的值为， ，则； （3）解：，，， ， ， ， ， ，， ①，②， ①②得，则，即，解得， ，即， 的算术平方根的“臻美区间”为． 【点睛】本题主要考查了无理数的估算和新定义，涉及二元一次方程的解、非负数的性质-算术平方根、二次根式有意义的条件、非负数的性质-偶次方、估算无理数的大小等知识，解题关键是熟练掌握正确估算无理数的大小和理解新定义的含义． 28．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）已知，求下列式子的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简求值、分式的加法、完全平方公式，正确对所求的式子进行变形是关键． （1）首先把所求的式子利用完全平方公式变形，然后代入数值计算即可求解． （2）首先把已知的式子进行变形，变形成的形式，然后代入数值计算即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解： ． 29．（23-24八年级下·广东广州·期末）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如 的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简， ，，这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题： (1)化简： ______；______； (2)矩形的面积为 ，一边长为 ，求这个矩形的周长； (3)当时，化简：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算， 按照二次根式的混合运算法则求解即可 （1）根据分母有理化的步骤进行计算即可． （2）首先求出矩形的另外一边长，再按矩形的周长公式计算即可． （3）把各分母先有理化再进行加减运算． 【详解】（1）解：， （2）矩形的另外一边长为： ∴矩形的周长为：． （3）当时 30．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）根据条件求值： (1)化简求值：，其中，； (2)已知，，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（）通分，利用分式的性质对分式进行化简，再求出的值，最后代入到化简后的结果中计算即可求解； （）先求出的值，再利用完全平方公式对代数式变形，最后把的值代入到变形后的结果中计算即可求解； 本题考查了分式的化简求值，二次根式的运算，完全平方公式，掌握分式和二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ， ， ， ， ∵，， ∴，， ∴原式； （2）解：∵，， ∴，， ∴原式． 31．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）阅读材料： 像两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如，与、与、与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 根据以上阅读材料回答下列问题： (1)计算： ； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键． （1）原式的分子和分母都乘以解答即可； （2）先将每一项分母有理化，再计算加减即可． 【详解】（1）解：； （2）解：原式 ． 32．（23-24八年级下·山东威海·期末）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解此题的关键． （1）根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可得出答案； （2）先根据二次根式的性质进行化简，再计算加减即可； （3）将式子变形为，再利用平方差公式和完全平方公式计算即可得出答案； （4）先将分母有理化，再计算加减即可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 33．（23-24八年级下·西藏那曲·期末）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查分式的化简求值，二次根式的运算，先计算括号内的减法，再计算除法，结果化为最简分式，再将代入计算即可．掌握相应的运算法则，性质及公式是解题的关键． 【详解】解： ， 当时，原式． 34．（23-24八年级下·广西河池·期末）已知，． (1)分别求，的值； (2)分别求，的值． 【答案】(1)2， (2)20，5 【分析】本题考查了求整式的值，二次根式的混合运算，因式分解； （1）将，代入，进行二次根式混合运算，即可求解； （2）先进行因式分解，将，代入，再进行二次根式混合运算，即可求解； 会进行因式分解，能熟练进行二次根式混合运算是解题的关键． 【详解】（1）解：当，时， ， ； （2）解：当，时，       ； ． 35．（23-24八年级下·辽宁铁岭·期末）已知，，求下列代数式的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据m、n的值，可以计算出，的值，然后将所求式子变形，再代入计算即可； （2）将所求式子变形，再将，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴ ； （2）∵，， ∴，， ∴ ． 36．（23-24八年级下·江西上饶·期末）【阅读理解】阅读下列材料，然后解答下列问题． 像，，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题： (1)化简： ； (2)计算：； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二次根式的加减法运算，分母有理化，解答的关键是理解清楚分母有理化的方法． （1）利用分母有理化的方法进行运算即可； （2）利用分母有理化的方法进行运算即可； （3）对各分母进行分母有理化运算，从而可求解． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ． 37．（23-24八年级下·安徽六安·期末）阅读下面问题： ； ； ； (1)直接写出：①的值为 ；②的值为 ； (2)试求的值． 【答案】(1)①；② (2)44 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化、数字类规律探索，二次根式的混合运算，得出规律，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据题目中的例子，计算即可得出答案； （2）根据题目中的例子得出，结合规律代入计算即可得出答案． 【详解】（1）解：①； ②； 故答案为：；； （2）解：， ， ， ， …， ， ∴ ． 38．（23-24八年级下·四川自贡·阶段练习）已知，，求的值． 【答案】22 【分析】此题考查了完全平方公式的变形计算，二次根式的混合运算． 将原式化为，分别求出，，最后代入计算即可．正确掌握完全平方公式的计算法则是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ． 39．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）像，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简： 如：， 再如：， 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简： (2)化简： (3)若，且为正整数，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】此题考查化简二次根式，完全平方公式的应用，准确变形是解题的关键． （1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （3）利用完全平方公式，结合、n为正整数求解即可． 【详解】（1）解：； 故答案为： （2）； 故答案为： （3）∵ ∴， ∴，， ∴ 又∵、n为正整数， ∴，或者， ∴当时，； 当时，． ∴k的值为：或． 40．（23-24八年级下·陕西安康·期末）在一个长为，宽为的长方体塑料容器中装满水，然后将这个塑料容器内的一部分水倒入一个高为的圆柱形玻璃容器中，当玻璃容器装满水时，塑料容器中的水面下降了．求圆柱形玻璃容器的底面半径． 【答案】圆柱形玻璃容器的底面半径为 【分析】本题考查二次根式的应用，由题意得，从塑料容器中倒出的水的体积为，设圆柱形玻璃容器的底面半径为r，利用圆柱的体积公式列方程求解即可． 【详解】解：从塑料容器中倒出的水的体积为： ， 设圆柱形玻璃容器的底面半径为r， 根据题意得， 解得． 答：圆柱形玻璃容器的底面半径为． 2 / 29 1 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $$