四川省绵阳市涪城区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2024-2025学年绵阳市涪城区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：（每小题3分，共36分，每小题给出四个答案中，只有一个答案符合题目要求。） 1．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．笛卡尔心形图 B．三叶玫瑰线 C．阿基米德螺旋线 D．椭圆 2．若m是一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的根，则代数式4m﹣m2的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 3．如图所示的转盘被均匀的分为4部分，每个扇形部分都表示一个数字．转动转盘两次，分别记录停止后的数字（若停在线上则重新转），则两次转动的数字之和大于6的概率是（　　） A． B． C． D． 4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，D为斜边AB上任一点，作经过点C，且与边AB相切于点D的⊙O．对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（　　） 结论Ⅰ：若⊙O的圆心O落在边BC上，则⊙O的半径为； 结论Ⅱ：当⊙O与直线AC有另一交点E，与直线BC交于另一点F时，点E，F之间的最小距离为． A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 5．如图，在矩形AOBC中，OB＝6，OA＝4．分别以OB、OA所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．F为BC边上的一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数的图象与边AC交于点E，连接EF，将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，则此时k的值为（　　） A．8 B．﹣8 C． D． 6．如图，等腰△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E、F，且AB＝AC＝13，BC＝10，则DE的长是（　　） A． B． C． D． 7．下列关于圆的叙述正确的有（　　） ①圆内接四边形的对角互补； ②相等的圆周角所对的弧相等； ③正多边形内切圆的半径与正多边形的半径相等； ④同圆中的平行弦所夹的弧相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．已知二次函数y＝﹣x2+2x+c（c＜0），当自变量为x1时，其函数值y1大于零：当自变量为x1﹣2，x1+2时，其函数值分别为y2，y3，则（　　） A．y2＜0，y3＞0 B．y2＜0，y3＜0 C．y2＞0，y3＞0 D．y2＞0，y3＜0 9．如图，将△ABC绕顶点C旋转得到△DEC，点A对应点D，点B对应点E，点B刚好落在DE边上，∠A＝24°，∠BCD＝48°，则∠ABC等于（　　） A．68° B．70° C．72° D．74° 10．往圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，水的最大深度为16cm，则圆柱形容器的截面直径为（　　）cm． A．10 B．14 C．26 D．52 11．某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为∠BAF时，顶部边缘B处离桌面的高度BC为7cm，此时底部边缘A处与C处间的距离AC为24cm，小组成员调整张角的大小继续探究，当张角∠DAF＝120°时（D是B的对应点）．则线段CE的长为（　　） A．11.5cm B．12cm C．12.5cm D．13cm 12．如图，在平面直角坐标系中，线段OA与反比例函数y＝（x＞0）相交于点A，将线段OA绕点O逆时针旋转45°得到线段OB，点B恰好落在双曲线y＝（x＞0）上，则△ABO的面积为（　　） A．3 B． C． D．6 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.将答案填写在答题卡相应横线上。） 13．如图，A、B、C为⊙O上三点，若∠AOB＝140°，则∠ACB度数为 　 　°． 14．在平面直角坐标系中，点P（﹣5，5）与点Q（5，m）关于原点对称，则m＝　 　． 15．将抛物线y＝（x+2）2﹣5向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，平移后所得抛物线的表达式为 　 　． 16．某校八年级选举了4名同学获得“学习之星”荣誉，其中有2名女同学，2名男同学，在这4名同学中随机选2名同学作为学生代表在期末大会上发言，那么恰好有1名男同学，1名女同学代表发言的概率为 　 　． 17．某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为扩大销量，增加利润，超市准备适当降价，据测算，每箱每降价1元平均每天可多售出20箱，若要使每天销售饮料获利1440元，则每箱应降价 　 　元． 18．如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是　 　． 三、解答题：（本大题共7个小题，计90分.解答应写出文字说明、证明过程或推理步骤）. 19．(12分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（4，0），B（1，3），C（3，3）． （1）把△ABC绕原点O旋转180°后得到对应的△A′B′C′，请画出旋转后的△A′B′C′； （2）若点P为△ABC的外心，请直接写出点P的坐标 　 　． 20．(12分)已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+（m﹣1）＝0有实数根． （1）求m的取值范围； （2）若该方程的一个根为，求该方程的另一个根及m的值． 21．(12分)一个不透明的箱子中装有1张白色的卡片和若干张红色的卡片，这些卡片除颜色外，大小、形状、厚度等均相同．某学习小组做试验：将卡片搅匀后从中任意摸出1张卡片，记下颜色后放回；搅匀后再摸一张卡片，记下颜色后放回；不断重复上述过程，获得数据如表： 摸卡的次数 100 200 300 400 500 摸到白色卡片的频数 27 49 75 101 126 摸到白色卡片的频率 0.270 0.245 0.250 0.253 0.252 （1）根据上表估计，任意摸一次为白色卡片的概率为0.25（精确到0.01），求红色卡片有多少张？ （2）现从该箱子中先后各摸出1张卡片，求恰好两张卡片颜色相同的概率． 22．(14分)如图，一次函数y1＝kx+b和反比例函数y2＝的图象交于A，B两点． （1）求一次函数y1＝kx+b和反比例函数y2＝的解析式． （2）求△OAB的面积． 23．(12分)某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园ABCD，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18m，另外三边由36m长的栅栏围成．设在矩形ABCD中，垂直于墙的边AB＝x m，矩形ABCD的面积为y m2（如图）． （1）求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （2）若植物园的面积为160m2，求x的值． 24．(14分)如图，△ABC中，▱ODEF的顶点O，D在边AB上，顶点E，F分别在边BC，AC上，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与AB相交于点D，与BC相切于点E． （1）求证：△ABC是直角三角形； （2）若sin∠BAC＝，CE＝6，求AB的长． 25．(14分)抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为A（﹣2，0），点C的坐标为C（0，6），对称轴为直线x＝1．点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m，连接AC，BC，DC． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若∠BCD＝∠ACO，求m值． （3）点F坐标为（0，2），连接AF，点P在直线AF上，点Q是平面上任意一点，当以A、C、P、Q四点为顶点的四边形为菱形时，直接写出Q点坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级（上）期末数学参考答案 1.D 2.B 3.C 4.A 5.D 6.D 7.B 8.B 9.C 10.D 11.A 12.D 13. 70 14. -5 15. y＝（x+4）2 16. 17. 3或4 18. 8≤AB≤10 19. 解：（1）如图所示：△A′B′C′即为所求； （2）如图2，点P为△ABC的外心， ∵四边形ANBM为正方形， ∴MN为AB的垂直平分线， ∵B（1，3），C（3，3）， ∴BC的垂直平分线为直线x＝2， 由图可知，BC的垂直平分线与AB的垂直平分线相交于点（2，1）， ∴点（2，1）为△ABC外心， ∴点P坐标为（2，1）． 故答案为：（2，1）． 20.解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+（m﹣1）＝0有实数根， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（m﹣1）≥0， 解得m≤5， 即m的取值范围为m≤5； （2）设该方程的另一个根为x2， 则（2﹣）+x2＝4， 解得x2＝2+， ∵（2﹣）（2+）＝m﹣1， ∴﹣1＝m﹣1， 解得m＝0， 即该方程的另一个根是2+，m的值是0． 21.解：（1）总的卡片张数：1÷0.25＝4（张）， 则红色的卡片张数为：4﹣1＝3（张）， 答：红色卡片有3张； （2）由于白色卡片只有1张，因此相同颜色的两张卡片只能是红色， 第一次摸出红色卡片的概率为：， 摸出一张红色卡片之后，剩余红色卡片为2张，盒中卡片总张数为：3张， 则第二次摸出红色卡片的概率为：， 即：两张卡片均为是红色的概率为：， 答：恰好两张卡片颜色相同的概率为． 22.解：（1）由图可知，点A的坐标为（﹣2，﹣2）． ∵反比例函数y2＝的图象经过点A（﹣2，﹣2）， ∴﹣2＝， 解得m＝4， ∴反比例函数的解析式是：y2＝． ∵点B的横坐标是3，且反比例函数y2＝的图象经过点B， ∴y2＝，则点B的坐标为（3，）． ∵一次函数y1＝kx+b经过点A（﹣2，﹣2），B（3，）， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式是y1＝x﹣． （2）把x＝0代入y1＝x﹣，得D（0，﹣）， ∴S△OAB＝S△OAD+S△OBD＝××2+××3＝． 23.解：（1）根据题意得：y＝x（36﹣2x）＝﹣2x2+36x， ∵0＜36﹣2x≤18， ∴9≤x＜18， ∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x2+36x（9≤x＜18）； （2）由题意得：﹣2x2+36x＝160， 解得x1＝8，x2＝10， ∵9≤x＜18， ∴x1＝8不符合题意， ∴x＝10， 答：植物园面积为160m2时，x的值是10． 24.（1）证明：连接OE， ∵⊙O与BC相切于点E， ∴OE⊥BC， ∵四边形ODEF为平行四边形， ∴OD∥EF，OD＝EF， ∵OA＝OD， ∴OA＝EF， ∴四边形AOEF是平行四边形， ∴AC∥OE， ∴∠C＝∠OEB＝90°， ∴△ACB是直角三角形； （2）解；∵EF∥AB， ∴∠CFE＝∠BAC， ∴， ∴， ∴， ∵OA＝OE， ∴四边形AOEF是菱形， ∴AF＝EF＝10， 设BC＝3x，则AB＝5x， ∴（5x）2＝（3x）2+182 ∴（舍去负值）， ∴． 25.解：（1）由题意得：， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2+x+6； （2）当点D在直线BC上方时，过点B作BE⊥BC交CD的延长线于E，垂足为B，作EF⊥x轴于F， ∵点A的坐标为A（﹣2，0），对称轴为直线x＝1．点C的坐标为C（0，6）， ∴B（4，0）， ∴OA＝2，OC＝6，OB＝4， ∵∠BCD＝∠ACO，∠AOC＝∠EBC， ∴△AOC∽△EBC， ∴＝3， ∵∴BE⊥BC， ∴∠OBC+∠EBF＝90°， ∵∠OBC+∠BCO＝90°， ∴∠BCO＝∠EBF， ∵∠BOC＝∠EFB＝90°， ∴△BOC∽△EFB， ∴＝3， ∴＝3， ∴BF＝2，EF＝， ∴OF＝OB+BF＝6， ∴E（6，）， 设直线CE的解析式为y＝kx+n， ∴，解得， ∴直线CE的解析式为y＝﹣x+6， 联立y＝﹣x2+x+6得x＝0（舍去）或， ∴m＝； 当点D在直线BC下方时（D′的位置），延长EB交CD′于G，过G作GH⊥x轴于H， ∵∠BCD′＝∠ACO＝∠BCD，BE⊥BC， ∴BG＝BE， ∵∠BHG＝∠BFE＝90°，∠GBH＝∠EBF， ∴△GBH≌△EBF（AAS）， ∴BH＝BF＝2，GH＝EF＝， ∴OH＝OB﹣BH＝2， ∴G（2，﹣）， ∴直线CG的解析式为y＝﹣x+6， 联立y＝﹣x2+x+6得x＝0（舍去）或， ∴m＝； 综上，m的值为或； （3）∵点A的坐标为A（﹣2，0），点C的坐标为C（0，6），点F坐标为（0，2）， ∴AC2＝22+62＝40，直线AF为y＝x+2， 设P（t，t+2）， AP2＝（t+2）2+（t+2）2＝2t2+8t+8， PC2＝t2+（t+2﹣6）2＝2t2﹣8t+16， ①当AC是菱形的边时，如图， AP＝AC时，2t2+8t+8＝40，解得t＝﹣2+2或t＝﹣2﹣2， ∴P（﹣2+2，2）或（﹣2﹣2，﹣2）， ∵点A的坐标为A（﹣2，0），点C的坐标为C（0，6）， ∴Q（2，2+6）或（﹣2，﹣2+6）， CP＝AC时，2t2﹣8t+16＝40，解得t＝﹣2（舍去）或t＝6， ∴P（6，8）， ∵点A的坐标为A（﹣2，0），点C的坐标为C（0，6）， ∴Q（4，2）， 综上，当AC是菱形的边时，点Q的坐标为（2，2+6）或（﹣2，﹣2+6）或（4，2）； ②当AC是菱形的对角线时，如图， ∴AP＝CP， ∴2t2+8t+8＝2t2﹣8t+16，解得t＝， ∴P（，）， ∵点A的坐标为A（﹣2，0），点C的坐标为C（0，6）， ∴Q（﹣，）， 综上所述，点Q的坐标为（2，2+6）或（﹣2，﹣2+6）或（4，2）或（﹣，）． 学科网（北京）股份有限公司 $$