重庆市第一中学校2024-2025学年八年级上学期月考数学试卷（10月份）

2024-2025学年重庆一中八年级（上）月考数学试卷（10月份） 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列各数中，无理数是(    ) A. B. C. D. 2.若，则点在(    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.下列各式是最简二次根式的是(    ) A. B. C. D. 4.下列各组数中，是勾股数的是(    ) A. 1，， B. 1，2，3 C. 5，12，13 D. 10，15，20 5.若点与点关于y轴对称，则等于(    ) A. B. 0 C. 1 D. 11 6.已知是关于x，y的二元一次方程的一个解，则a的值为(    ) A. B. C. 1 D. 3 7.为打造沙滨公园风光带，现有一段长为140米的人行步道修建任务，由A、B两个工程小组先后接力完成，A工程小组每天修建12米，B工程小组每天修建8米，共用时16天，设A工程小组修建人行步道x米，B工程小组修建人行步道y米，依题意可列方程组(    ) A. B. C. D. 8.估计的值在之间. A. 5和6 B. 6和7 C. 7和8 D. 8和9 9.下列说法中正确的是(    ) A. 若，则 B. 0的算术平方根和立方根都是0 C. 平行于x轴的直线上的点的横坐标相同 D. 若在y轴上，则 10.如图.在平面直角坐标系中，一动点从点出发，其顺序按图中“”方向排列，依次为：，，，，，，，…，根据这个规律，第2024个点的坐标为(    ) A. B. C. D. 11.如图，中，，，，的平分线与AC相交于点D，E是线段BD的中点，连接AE，则线段AE的长度等于(    ) A. B. C. D. 12.如图，在等腰直角中，，，点D在线段BC上，连接AD且，AD与的平分线相交于点G，点F在的外角平分线上，连接BF、CF，且，AD延长线交CF于点E，下列说法正确的有(    ) ①； ②； ③若，，则 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。 13.49的算术平方根是______. 14.在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴所围成的三角形的面积是______. 15.将一次函数的图象向上平移6个单位长度，则平移之后直线的解析式为______. 16.有6张背面完全相同的卡片，其正面分别写有2，，，4，，，把这6张卡片正面朝上，从中随机抽取一张，将卡片上的数字作为一次函数中的b，则该函数图象经过第三、四象限的概率为______. 17.若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则a的值是______. 18.若，则代数式的值为______. 19.如图，在平面直角坐标系中，C、D两点的坐标分别为、，将沿着CD翻折得到，过点C作射线轴，A为y轴正半轴上一点，连接AE并延长与射线CB相交于点F，若，则点F的坐标为______. 20.若一个四位数M的各个数位上的数字互不相同，千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，且，把M的前两位数字组成的两位数记为，后两位数字组成的两位数记为，交换M的百位数字和十位数字，得到一个新的四位数N，记，，若是整数，则______；在此条件下，若是一个完全平方数，则满足条件的N的最大值与最小值的差为______. 三、解答题：本题共8小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 21.本小题10分 计算： ； 22.本小题10分 解方程组： ； 23.本小题8分 如图，在中，，的平分线AF交CB于点F，过点C作于点 请用尺规完成基本作图：过点C作直线，垂足为点D，交AF于点保留作图痕迹，不写作法，不写结论 由中的作图，小明给出了证明的步骤，请根据小明的思路完成下面的填空. 证明：， ， ， ， ______， 的平分线AF交CB于点F， ， ______， ， ， ______， ______， 24.本小题10分 近日重庆市沙坪坝区气象台发布“高温橙色预警信号”：预计日最高气温将升至以上.某学校为重点抓好学生防中暑、防溺水、森林防火等安全教育，对部分学生就安全知识的了解程度进行了随机抽样调查，并绘制了如图所示的两幅统计图，请根据统计图中的信息，解答下列问题： 此次抽查的学生总数为______人，并补全条形统计图； 在扇形统计图中，“非常了解”所对应的圆心角度数是______； 若该校学生总数为1300人，请估计该校“了解很少”安全知识的学生约有多少人？ 25.本小题10分 小明和小红住在同一小区，他们相约周末去距离小区4500米的公园游玩，由于小红临时有事，小明先骑自行车一段时间，小红才从小区乘坐出租车出发，两车均是匀速行驶，且小明和小红的行驶路线相同，半路上出租车遭遇堵车，便停在原地不动，而自行车道畅通无阻，当小明追上小红后，小红下车并坐上小明的自行车一起去公园小红上下车的时间忽略不计，自行车的速度仍然不变，如图是小明、小红两人距小区的距离与小明出发的时间的函数图象，请观察图象，回答下列问题. 小明骑自行车的速度为______，______； 求从小红开始遇到堵车到被小明追上所经过的时间； 直接写出小红出发多长时间时，两人恰好相距510米. 26.本小题10分 在等边中，E为线段AB上一点，D为三角形外一点，连接CD、DE，F为DE上一点，连接BF，且 如图1，若BF平分，，求的度数. 如图2，若N为BF中点，且，连接DN、AD，求证： 27.本小题12分 如图，已知直线AB：与x轴交于点，与y轴交于点，且与直线相交于点求直线AB的表达式和点A的坐标. 如图1，点D在直线上，且横坐标为2，点Q为射线BC上一动点，若，请求出点Q的坐标. 如图2，过点A作y轴的垂线段AE，垂足为E，M为y轴上一点，且，请直接写出直线AM的表达式. 28.本小题12分 如图，在等腰中，，点D为平面内一点. 如图1，若点D在AB边上，，，连接CD，若，，求AD的长； 如图2，若点D在外部，，连接DC和DB，DB与AC相交于点F，过点C作于点E，连接DA并延长交CG于点O，连接AG，若，，求证：； 如图3，若点D是直线AB上的动点，，把线段CD绕着点C逆时针旋转得到线段CN，点M在边AB上，，P是AC边上的动点，连接PM、PN、MN，若，当最小时，直接写出的面积. 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意； B.是无理数，故本选项符合题意； C.，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； D.是分数，属于有理数，故本选项不符合题意； 故选： 根据无理数、有理数的定义即可判定选择项． 此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，…每两个8之间依次多1个等形式． 2.【答案】B  【解析】解：由题意得，，， 解得，， 所以，点P的坐标为在第二象限． 故选： 根据非负数的性质列式求出a、b，再根据各象限内点的坐标特征解答． 本题考查了非负数的性质、各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限 3.【答案】D  【解析】解：，不是最简二次根式； B.，不是最简二次根式； C.，不是最简二次根式； D.是最简二次根式． 故选： 根据最简二次根式的概念判断即可． 本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 4.【答案】C  【解析】解：A、，，不全是正整数，该组数不是勾股数，此选项不符合题意； B、，该组数不是勾股数，此选项不符合题意； C、，该组数是勾股数，此选项符合题意； D、，该组数不是勾股数，此选项不符合题意． 故选： 根据勾股定理的逆定理分别进行分析，从而得到答案． 此题主要考查了勾股数的定义，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足，则是直角三角形． 5.【答案】A  【解析】解：点与点关于y轴对称， ， 故选： 关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，由此可得m的值，进而可得答案． 本题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握关于y轴对称的点的坐标特征是解答本题的关键． 6.【答案】C  【解析】解：由题意得，， 解得， 故选： 运用二元一次方程组解得定义进行计算、求解． 此题考查了二元一次方程组解的定义的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识． 7.【答案】D  【解析】解：设A工程小组整治河道x米，B工程小组整治河道y米，依题意可得： ， 故选： 根据河道总长为140米和A、B两个工程队共用时16天这两个等量关系列出方程，组成方程组即可求解． 本题考查从实际问题抽象出二元一次方程组，找出等量关系是解答本题的关键． 8.【答案】C  【解析】解： ， ， ， 的值在7和8之间， 故选： 先化简二次根式，再估算无理数的大小即可得出答案． 本题考查了估算无理数的大小，解题的关键是相邻的有理数逼近无理数． 9.【答案】B  【解析】解：A、当，，即时，，故本选项不符合题意； B、0的算术平方根和立方根都是0，故本选项符合题意； C、平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同，故本选项不符合题意； D、根据题意，，即，故本选项不符合题意， 故选： 根据平面直角坐标系内点的坐标特征，乘方、平方根和立方根的运算对各选项分析判断即可． 本题考查了坐标与图形的性质和立方根，熟记概念以及平行于坐标轴的直线上的点的特征是解题的关键． 10.【答案】A  【解析】解：通过图象可知，每四组为一个周期：对应的数据为：第一组：、、、；第二组：、、、；第三组：、、、；第四组：、、、， 而， 则第2024个点为组中的最后一个数字，故横坐标为：0； 从以上四组数据看，偶数组第2、4组最后一个数为：，， 则第506组纵坐标为， 故第2024个点的坐标为：， 故选： 则第2024个点为组中的最后一个数字，故横坐标为：0；从以上四组数据看，偶数组迪2、4组最后一个数为：，，则第506组纵坐标为， 本题涉及到找规律的数学概念．通过观察给出的点坐标的规律，计算出第2024个点的坐标． 11.【答案】B  【解析】解：过点D作于F，过点E作于H，如图所示： 在中，，，， 由勾股定理得：， 的平分线与AC相交于点D，，， 设， ， ， ， 解得：， ， 在和中，， ， ， ，， ， 点E为BD的中点， 为的中位线， ，， ， 在中，由勾股定理得： 故选： 过点D作于F，过点E作于H，先求出，根据角平分线性质得，再根据求出，则，再利用勾股定理求出，然后证明EH为的中位线，则，，进而得，最后在中，由勾股定理即可求出AE的长． 此题主要考查了勾股定理，角平分线的性质，三角形的中位线定理，理解三角形的中位线定理，角平分线的性质，灵活利用勾股定理及三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键． 12.【答案】D  【解析】解：如图，连接CG， 平分，是等腰直角三角形， 垂直平分AC，， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 故①正确； 如图，延长DE到N，使，连接FN， 平分， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， ， 根据四边形内角和可得， ， ， ≌， ， ， 故②正确； 如图，作于M，作于R，作于S， 平分， ， 在中，，， ， ， 在中，，， ， ， 在中，， ， ，                                                                                                ， 故③正确； 所以正确的有3个， 故选： 根据等腰三角形三线合一可得BG垂直平分AC，连接CG，得到，进而通过倒角证出，进而得出①正确； 要判断②的正误，线段和差联想截长补短，所以延长DE到N，使，连接FN，构造等边三角形，证≌即可得出②正确； 利用所对的直角边是斜边的一半可得出BD边上的高线，以及BD的长度，再结合②的结论，即可得出四边形BGEF的面积为，所以③正确． 本题主要考查了等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 13.【答案】7  【解析】【分析】 根据算术平方根的意义可求． 本题主要考查了算术平方根概念的运用．如果，则x是a的平方根．若，则它有两个平方根，我们把正的平方根叫a的算术平方根；若，则它有一个平方根，即0的平方根是0，0的算术平方根也是0；负数没有平方根． 【解答】 解：， 的算术平方根是 故答案为： 14.【答案】9  【解析】解：当时，， 直线与y轴的交点坐标为； 当时，，解得：， 直线与x轴的交点坐标为 直线与两坐标轴围成的三角形面积为 故答案为： 利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出直线与两坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积计算公式，即可求出直线与两坐标轴围成的三角形面积． 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键． 15.【答案】  【解析】解：将一次函数的图象向上平移6个单位长度，则平移之后图象的解析式为：，即 故答案为： 直接根据“上加下减”的平移规律求解即可． 本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的规律是解答此题的关键． 16.【答案】  【解析】解：一次函数，当时，该函数图象经过第三、四象限， ，，，4，，中，小于0的数有4个， 该函数图象经过第三、四象限的概率为， 故答案为： 直接由概率公式求解即可． 本题考查了概率公式以及一次函数的性质，概率=所求情况数与总情况数之比．熟记概率公式是解题的关键． 17.【答案】2  【解析】解：， ①②得： 又关于x，y的二元一次方程组的解满足， ， 解得：， 的值是 故答案为： 利用方程①方程②，可得出，再结合方程组的解满足，即可求出a的值． 本题考查了二元一次方程组的解，由两方程同解，找出关于a的方程是解题的关键． 18.【答案】5  【解析】解：， ， ，即， ， 则 ， 故答案为： 根据完全平方公式得到，利用因式分解法把原式变形，代入计算即可． 本题考查的是二次根式的化简求值，掌握完全平方公式、多项式的因式分解是解题的关键． 19.【答案】  【解析】解：过点E作轴于H，HE的延长线交CB于K，过点A作于M，如图所示： 点、点， ，， 由翻折的性质得：，，， 设，， 轴， ， 四边形OHKC为矩形， ，， ， ，，， ，， ， ∽， ：：：CE， 即：a：：：6， 由a：：6，得：①， 由b：：6，得：②， 由①，②解得：，， ，， 点E的坐标为， ，， ， 又，， ∽， ：：EK， 即：， ， ， 点A的坐标为， 设直线AF的表达式为：， 将点，点代入， 得：，解得：， 直线AF的表达式为：， 轴，点，点F在CB上， 点F的横坐标为6， 对于，当时，， 点F的坐标为 故答案为： 过E作轴于H，HE的延长线交CB于K，过A作于M，由翻折性质得，，，设，，由四边形OHKC为矩形得，，则，证明∽，根据相似三角形的性质得出，，则，，由此得点，再证明∽，根据相似三角形的性质得出，则，由此得点，然后利用待定系数法求出直线AF的表达式，据此可得点F的坐标． 此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，坐标与图形变化，相似三角形的判定与性质，理解图形的翻折变换及其性质，平行线的性质，坐标与图形变化，熟练掌握等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，灵活利用相似三角形的性质进行计算，待定系数法求一次函数的表达式是解决问题的关键． 20.【答案】9  4752  【解析】解：要使得是整数，则与应能被9整除，而已满足能被9整除，则只需要满足能被9整除，即能被9整除， 要使得能被9整除，则能被9整除，而c与d都是大于0且小于10的整数，所以； N是四位数，则， ，即， 是完全平方数，，则N的值有： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，且a，b，c，d各不相等， 符合N的值有： ，，， 的最大值为7425，最小值为2673， ， 的最大值与最小值的差为 故答案为：9； 要使得是整数，则与应能被9整除，而已满足能被9整除，只需要能被9整除即可，进而可得的值；是完全平方数，则N能被33整除，且是完全平方数，列举出各值，找出符合题意的数，再作差求值． 本题考查了因式分解的应用，读懂题意，找出各数值之间的内在关系，通过估算列举找出符合题意的值是解本题的关键，综合性较强． 21.【答案】解： ；   【解析】先根据平方差公式计算，再算加减； 先算乘法，再算减法． 本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算顺序和运算法则是解题的关键． 22.【答案】解：， 由②得：③， 把③代入①得：， 解得：， 把代入③得：， 则方程组的解为； 方程组整理得：， ①+②得：， 解得：， 把代入②得：， 则方程组的解为  【解析】方程组利用代入消元法求出解即可； 方程组整理后，利用加减消元法求出解即可． 此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 23.【答案】        【解析】解：如图所示． 证明：， ， ， ， ， 的平分线AF交CB于点F， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；；； 根据垂线的作图方法作图即可． 根据等腰三角形的判定与性质填空即可． 本题考查作图-复杂作图、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解答本题的关键． 24.【答案】200    【解析】解：此次抽查的学生总数为人， 不了解的人数为人， 非常了解的人数为人， 补全条形统计图如下： 故答案为：200； 在扇形统计图中，“非常了解”所对应的圆心角度数是； 故答案为：； 人， 答：估计该校“了解很少”安全知识的学生约有390人． 由基本了解的有80人，占，可求得接受问卷调查的学生数，用总人数乘不了解的人数所占的百分比求出不了解的人数，再求出非常了解的人数，继而补全条形统计图； 用乘非常了解的人数所占的百分比即可求出所对应的圆心角度数； 利用样本估计总体的方法，即可求得答案． 本题考查条形统计图、扇形统计图，了解和掌握两个统计图中数量之间的关系是正确解答的前提． 25.【答案】5  3000  【解析】解：， 从图中可以看出村与公园的距离为4500m，小明骑车速度是 小明骑车600s的行程为： 故答案为4500m，5； 由题意，小明骑车速度是， 小明300s的行程为 又， 小明骑车200s后小红才出发． 小红的速度为： 小红开始堵车的时间是： 又时，小明追上了小红， 从小红开始遇到堵车到被小明追上所经过的时间为 由题意，①当小红出发后追上小明前，小红出发t s，两人相距510m， ②小红超过小明后，堵车前，小红出发t s，两人相距510m， ③堵车后，小明追上小红前，经过t s，两人相距510m， 综上，当小明出发时间分别为49s或151s或298s时，小军与小明两人何时 根据路程、速度和时间的关系式也可以算得小明的骑车速度，再由小明骑车600s的路程可得a的值； 依据题意，由小明骑车速度是，从而小明300s的行程为，又，故小明骑车200s后小红才出发，进而小红的速度为：，则小红开始堵车的时间是：，最后根据600s时，小明追上了小红，进而可以判断得解； 依据题意，设经过t s，两人相距510m，再分①当小红出发后追上小明前②小红超过小明后，堵车前③堵车后，小明追上小红前，三种情形进行计算可以得解． 本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能读懂题意，列出关系式是关键． 26.【答案】解：是等边三角形， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ； 证明：方法一：如图，延长DN到点G，使，连接BH、AH，则， 为BF中点， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， 在中，， 在中，， 是等边三角形， ，， ， ， 由知， ， 即， ， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ，， ， 即， 是等边三角形， ， 方法二：延长FD到K，使，连接BK、CK， 是BF中点，D是FK中点， 是的中位线， ， 由知， ， ， ， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ≌， ，   【解析】要求角度一般用内角和或者外角性质，根据题意易得出，，在中利用内角和求出的度数，进而在中利用三角形内角和求解即可； 要证，可考虑倍长中线构造全等三角形，利用等线段转化，由N是BF中点，可以延长DN到点G，使，连接BH、AH，则，所以证即可，由等边可联想到手拉手模型，证是等边三角形，所以思路转化到证≌即可，已经证出两边了，我们需要证夹角，利用平行线+三角形内角和转化得出，进而得证． 本题主要考查了角平分线的定义、三角形内角和、全等三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 27.【答案】解：直线AB：与x轴交于点点，与y轴交于点， ，解得：， 直线AB的表达式为：， 解方程组，得：， 直线AB：与直线的交点坐标为； 连接CD，如图1所示： 点D在直线上，且横坐标为2， 点， ，点， ，，， ， 为直角三角形，即，， 点Q为射线BC上一动点， 设点，其中， ， ， ， ， 解得：， ， 点Q的坐标为； 为y轴上一点，且， 有以下两种情况： ①点M在点E的上方时，过点B作交直线AM于点N，过点N作轴于H，过点A作轴于T，如图2所示： 则， 点， ，， ， ， ， 即， ， 为等腰直角三角形， ， 轴，， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， 点， ， ，， 点N的坐标为， 设直线AM的表达式为：， 将点，点代入， 得：，解得：， 直线AM的表达式为：； ②当点M在点E的下方的时，如图3所示： 直线AM的表达式为：， 当时，， 点M的坐标为， ， ， 在和中， ， ≌， ， ， 点， 设直线的表达式为：， 将，点代入， 得：，解得：， 直线的表达式为：， 综上所述：直线AM的表达式为或  【解析】将点，点代入之中求出，，进而可得直线AB的表达式；解方程组，得，由此可得点A的坐标； 连接CD，依题意得点，根据点，点，由此可利用勾股定理的逆定理证明，设点，其中，则，然后根据得，即，由此解出，进而可得点Q的坐标； 依题意有以下两种情况：①点M在点E的上方时，过点B作交直线AM于点N，过点N作轴于H，过点A作轴于T，先证明为等腰直角三角形得，进而证明和全等得，，由此得，，则点，然后利用待定系数法即可求出直线AM的表达式；②当点M在点E的下方的时，先求出点，则，证明和全等得，则点，再利用待定系数法即可求出直线的表达式，综上所述即可得出答案． 此题主要考查了一次函数，等腰直角三角形，全等三角形的判定和性质，熟练掌握待定系数法求一次函数的表达式，一次函数交点坐标，正确地作出辅助线，构造等腰直角三角形和全等三角形是解决问题的关键． 28.【答案】解：如图1，过点C作于点H， ，， ， ， ， ； 证明：过点A作于L，过点C作交DA的延长线于点T，过点A作于K，连接OK，如图2， 则， 四边形ALCK是矩形， ，，，， ， ， ， ， ， ，A，L三点共线， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ，， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， ， 在和中， ， ≌， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ； 解：，，， 是等边三角形， ，， 点M在边AB上，， ， 如图3，作，在射线AE上取， 过点N作于H，过点C作于G，于F，过点作于K， 由旋转得，， ， ， ， ， ≌， ， 点N在直线NH上运动， ， ， 当，P，N三点共线且，即点N与点T重合时，最小， ，，， 是等边三角形，， ， ， 四边形CFHG是正方形， ， ，， ， ，， ， 此时，是等边三角形，， ，   【解析】过点C作于点H，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理即可求得答案； 过点A作于L，过点C作交DA的延长线于点T，过点A作于K，连接OK，先证得四边形ALCK是矩形，得出：，，，，再证得、、是等腰直角三角形，进而可证≌，≌，最后再证得是等腰直角三角形，即可求得答案； 作，在射线AE上取，过点N作于H，过点C作于G，于F，过点作于K，再证得≌，得出，可判断点N在直线NH上运动，进而推出当，P，N三点共线且，即点N与点T重合时，最小，再运用等边三角形性质和勾股定理即可求得答案． 本题是三角形综合题，考查了直角三角形性质，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形的性质，轴对称求线段和的最值问题，熟练掌握以上知识并能综合应用是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$