预习专题01 比的意义（4知识点+7题型+3易错+过关检测）-【寒假自学课】2025年六年级数学寒假提升精品讲义（沪教版2024）

专题01 比的意义 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 学习目标 1.经历从具体情境中抽象出比的过程,理解比的意义,会读、写比,认识比的各部分名称,掌握求比值和求比中未知项的方法. 2.自主探究比、分数、除法三者之间的关系,明确比、分数、除法三者之间的联系和区别,体会数学知识之间的内在联系,培养模型意识. 重难点 重点:理解比的意义，掌握求比值和求比中未知项的方法. 难点:理解比、分数除法三者之间的关系. 知识点1 比的概念 1.概念 设是两个数或两个量，为了比较和，可将与相除，叫作与的比．记作，读作＂比＂，或＂与的比＂。如读作5比10. 国际篮联规定标准篮球场长28米，宽15米，写出长和宽的比，以及宽和长的比． 【易混易错提醒】 1.＂两个数相除用比表示＂中的＂比＂与＂谁比谁多（或少）＂中的＂比＂含义不同，前一个 ＂比＂表示的是两个数之间的相除关系，后一个＂比＂表示的是两个数大小的比较关系． 2.无论是长和宽的比,还是宽和长的比,都表示两个长度的比,即相比的两个数量是同类数量. 3.两个同类数量的比表示这两个数量之间的倍数关系。. 知识点2 比值 1.概念 在中，叫作比的前项，叫作比的后项．前项除以后项所得的商叫作比值．比值是一个数，可以用分数，小数或整数表示． 如： 2.比和比值的区别与联系 【拓展注解】 1.球类比赛中的＂＂与数学中的＂＂的区别. 第一，球类比赛中的＂3：2＂表示的是比赛双方的得分情况，是相差关系，一方得3分，另一方得2 分，双方相差1分；数学中的＂＂表示的是＂＂，是相除关系，商是1.5.鉴于此，球类比赛中的＂比＂（其实是比分），比号后面的数可以是0，即双方的比分可以是，也可以是；而数学中的＂比＂，比号后面的数（相当于除数）不可以是0. 第二，数学中的＂比＂是可以化简的，如＂4：2＝2：1＂；而＂4：2＂在球类比赛中却不可以化简，若化简，则不能反映双方在比赛中的实际得分。 3.求比值的方法 根据比值的意义,求比值时要把比改写成除法计算，求两个数的比值，就是用比的前项除以比的后项. 【提醒】比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示. 求下列各比的比值 (1) (2) (3) 4.探究比和比值的联系和区别 （1）联系：比和比值都可以用分数形式表示，例如：既可以表示，又可以表示的比值，要根据具体情况确定它表示的是比还是比值。 （2）区别：比表示两个数量之间的相除关系，只能写成或的形式；比值是一个具体的数，可以是分数，小数或整数。 【归纳总结】 1.求比值的方法:用比的前项除以比的后项。 2.比和比值的关系:二者在写法上可能是相同的,但比表示两个数量之间的相除关系,比值表示一个具体的数。 知识点3 比、除法、分数三者之间的关系 （1）用表格表示三者之间的联系 （2）用表格表示三者之间的联系: （3）比、除法、分数三者之间的区别 ①意义不同:比表示两个数量之司的相除关系;除法是一种运算;分数是一个数. ②表示方法不同:作为一种运算除法算式不能用分数形式表示;比可以用分量的比.数形式表示,但分数不一定表示两个数 ③结果表达不同:除法一般要求出商;比只有求比值时才进行计算;而分数本身就是一个数,无须计算. 【易混易错提醒】 (1)比的后项相当于除法算式中的除数,因为除数不能是0,所以比的后项也不能是 0。 (2)比的后项相当于分数的分母,因为分数的分母不能是0,所以比的后项也不能是0。 【拓展注解】 比值是否带单位分两种情况： 一种是同类数量的比:同类数量的比表示同类数量之间的倍数关系，比值是不带单位的，另一种是不同类数量的比:借用了比的形式，其结果(比值)是带单位的，这种情况下的比值是一个复合单位。例如:一辆卡车2小时行驶100千米,这时路程和时间的比值产生了一个新的量，即速度，单位是千米/时。 知识点4 求比中未知项的方法 1.求比中未知项的方法 根据比和除法的关系推导出：比的前项比的后项比值，比的后项比的前项比值。 （ ）： 】 比的意义 例1.一个比的后项是8，比值是，这个比的前项是（    ） A．4 B．3 C．6 D．8 【变式1-1】2．，括号中依次为 ． 【变式1-2】3．一个比的前项是15，后项是12，这个比是 ，比值是 ． 【变式1-3】判断题：比的前项相当于分数的分子，除法中的被除数．( ) 求比值 例2.求下列各比的比值． (1)； (2)； (3)； (4)． 审题关键:比值相当于除法中的商,求比值问题要转化成除法,用前项除以后项计算商. 【变式2-1】求下列各比的比值： （1）15∶60     （2）22∶110      （3）0.6∶1．5 （4）0.4∶    （5）1.5小时∶30分 （6）0.3吨∶400千克 【解题技巧总结】 求比值时,把比号转化为除号,即为数的除法运算,当求单位不同的两个量的比值时,应先化成相同的单位,比值的结果是一个数,可以是整数、小数或分数. 比的应用（工程问题）（重点） 例3.一项工程：甲单独做15天完成，乙单独做10天完成，则甲、乙每天完成的工作量的比是（   ） A． B． C． D． 审题关键:把工作总量看做单位“1”，工作效率就是工作时间的倒数，然后，根据题目的具体情况，灵活运用公式． 【变式3-1】一项工程，甲独做8天完成，乙独做12天完成．甲、乙完成这项工程所需时间的比是　 　　 　，工作效率的比是　 　　 　． 【变式3-2】甲、乙两人做100个同样的零件，甲用了72分钟，乙用了0.8小时，甲、乙两人的工作时间比是 　 　，工作效率比是 　　。 【变式3-3】加工一个零件，小红用了12分钟，小张用了15分钟。小红与小张的工作效率之比是　　 A． B． C． D． 结题总结: 数量关系式： 工作总量＝工作效率×工作时间 工作效率＝工作总量÷工作时间 工作时间＝工作总量÷工作效率 合作时间＝工作总量÷工作效率和 比的应用（行程问题）（难点） 例4.王亮6分钟走了300米，李明用的时间是王亮的1.5倍，王亮与李明的速度比是多少？ 审题关键:路程一定的情况下，速度与时间成反比，王亮与李明所用时间的比前、后项交换位置所得到的比就是王亮与李明速度的比． 【变式4-1】甲乙两人从学校去电影院，甲走了10分钟，乙走了12分钟，甲与乙的速度比是　　 A． B． C． 【变式4-2】一段路，甲车用6小时走完，乙车用8小时走完，甲乙两车的速度比是　　 A． B． C． D． 比的应用（溶质问题） 例5.杯子里有盐水，其中盐与水的质量比是，又加入水，这时杯中盐与水的质量比是—_______． 审题关键:解答本题的关键是弄清溶质、溶液和溶剂对应关系. 【变式5-1】一杯盐水正好是，其中含盐，从杯中倒出盐水后，再往杯里加满水，这时杯子里的盐与水的质量比是多少？ 【变式5-2】一满杯糖水正好是100克，其中含糖10克。充分搅拌后第一次从杯中倒出10克糖水后，往杯中加满水，这时杯子里的糖与水的比是 　 　，第二次从杯中倒出10克糖水后，再往杯中加满水，这时杯子里的糖与水的比是 　　。 几何问题（重点） 例6.两个正方形边长的比是，则周长的比是 　 　，面积的比是 　　。 【变式6-1】如图，有大、小两个正方形． （1）大、小正方形边长的比是 　　，比值是 　　． （2）大、小正方形周长的比是 　　，比值是 　　． （3）大、小正方形面积的比是 　　，比值是 　　． 根据填空，我发现了一个规律：　　． 【变式6-2】两个长方体的底面积比是，高的比是，那么它们体积的比是　　 A． B． C． D．无法确定 【变式6-3】如图中，涂色部分的面积与整个大长方形的面积比是　　 A． B． C． D． 【变式6-4】两个长方形重叠部分的面积相当于大长方形面积的，相当于小长方形面积的，大长方形和小长方形面积的比是　　 A． B． C． D． 画图问题 例7.姗姗在方格纸上画出了两个大小不同的正方形，如图。 （1）大、小正方形的边长比是 　 　　　。 （2）大、小正方形的周长比是 　　　　。 （3）大、小正方形的面积比是 　　　　。 【变式7-1】按要求做题。（下面每个方格的边长表示1厘米） （1）在上面方格纸上画出两个大、小不同的正方形，使两个正方形的边长之比是。 （2）这两个大、小正方形的周长之比是 　 　　　；面积之比是 　　　　。 【变式7-2】按要求画一画，涂一涂。 （1）将方格图（图补充完整。 （2）在如图2中涂色，使得涂色方格的个数与空白方格的个数比是。 【变式7-3】如图中每个小正方形的边长是1厘米。 （1）画一个三角形，面积是12平方厘米，底和高的比是。 （2）再把这个三角形面积的涂上阴影，空白部分与阴影部分面积的比是 　 　。 选择：求的比值，正确的是.....................（A）。 A． B． 【错解分析】 此题错在没有掌握比值和比的区别。 【错解改正】温馨提示 比值是一个具体的数，可以是分数，小数或整数。 判断：一场足球比赛，双方都没有进球，比赛结果是，因此比的前项和后项都可以是0.............（√） 【错解分析】 球类比赛中的＂比＂并不是数学中的＂比＂，球类比赛中的＂比＂要体现双方得分的多少，是相差关系；数学中的＂比＂要体现一个量是另一个量的几倍 （或几分之几），是相除关系。 【错解改正】 温馨提示 生活中，有时会用比的形式表示某种关系，这个＂比＂与数学中的＂比＂的意义不同，要仔细区别，不能混淆概念. 填空：求比值： 【错解分析】此题错在没有同一单位，求两个同类量的比值时，如果单位不同，必须把这两个量化成相同的单位． 【错解改正】 防错警示： （1）比表示两个量之间的相除关系，比值是一个具体的数字，可以是分数，小数或整数；（2）求两个同类量的比值时，如果单位不同，必须把这两个量化成相同的单位． 1.完成一项工程，甲要12天，乙要18天，甲乙工作时间之比是 　 　，甲乙工作效率之比是 　　。 2．比与除法、分数比较，比的前项相当于除法的　 　，分数的　 　，后项相当于除法的　 　，分数的　 　，比值 相当于除法的　 　，分数的　 　． 3．从学校到图书馆，李键走了11分钟，王亮走了15分钟。李键与王亮所用的时间比是　 　，两人的速度比是　　。 4．打同一份稿件，钱阿姨需要2小时完成，王阿姨需要3小时完成。钱阿姨和王阿姨的工作效率的比是　　 A． B． C． D．无法确定 5．如图，梯形的面积与平行四边形面积的比是　　 A． B． C． D． 6.如图，阴影部分面积与大长方形面积的比是　 　　　，在这个长方形中能画出　　个与阴影部分面积相等的三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 比的意义 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 学习目标 1.经历从具体情境中抽象出比的过程,理解比的意义,会读、写比,认识比的各部分名称,掌握求比值和求比中未知项的方法. 2.自主探究比、分数、除法三者之间的关系,明确比、分数、除法三者之间的联系和区别,体会数学知识之间的内在联系,培养模型意识. 重难点 重点:理解比的意义，掌握求比值和求比中未知项的方法. 难点:理解比、分数除法三者之间的关系. 知识点1 比的概念 1.概念 设是两个数或两个量，为了比较和，可将与相除，叫作与的比．记作，读作＂比＂，或＂与的比＂。如读作5比10. 国际篮联规定标准篮球场长28米，宽15米，写出长和宽的比，以及宽和长的比． 解析 ：比是有顺序的，对于一个比要搞清楚谁与谁比． 解：长和宽的比是，宽和长的比是． 【易混易错提醒】 1.＂两个数相除用比表示＂中的＂比＂与＂谁比谁多（或少）＂中的＂比＂含义不同，前一个 ＂比＂表示的是两个数之间的相除关系，后一个＂比＂表示的是两个数大小的比较关系． 2.无论是长和宽的比,还是宽和长的比,都表示两个长度的比,即相比的两个数量是同类数量. 3.两个同类数量的比表示这两个数量之间的倍数关系。. 知识点2 比值 1.概念 在中，叫作比的前项，叫作比的后项．前项除以后项所得的商叫作比值．比值是一个数，可以用分数，小数或整数表示． 如： 2.比和比值的区别与联系 【拓展注解】 1.球类比赛中的＂＂与数学中的＂＂的区别. 第一，球类比赛中的＂3：2＂表示的是比赛双方的得分情况，是相差关系，一方得3分，另一方得2 分，双方相差1分；数学中的＂＂表示的是＂＂，是相除关系，商是1.5.鉴于此，球类比赛中的＂比＂（其实是比分），比号后面的数可以是0，即双方的比分可以是，也可以是；而数学中的＂比＂，比号后面的数（相当于除数）不可以是0. 第二，数学中的＂比＂是可以化简的，如＂4：2＝2：1＂；而＂4：2＂在球类比赛中却不可以化简，若化简，则不能反映双方在比赛中的实际得分。 3.求比值的方法 根据比值的意义,求比值时要把比改写成除法计算，求两个数的比值，就是用比的前项除以比的后项. 【提醒】比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示. 求下列各比的比值 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了求比值的方法， （1）用比的前项除以后项，所得的商即为比值． （2）用比的前项除以后项，所得的商即为比值． （3）先统一单位，用比的前项除以后项，所得的商即为比值． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 4.探究比和比值的联系和区别 （1）联系：比和比值都可以用分数形式表示，例如：既可以表示，又可以表示的比值，要根据具体情况确定它表示的是比还是比值。 （2）区别：比表示两个数量之间的相除关系，只能写成或的形式；比值是一个具体的数，可以是分数，小数或整数。 【归纳总结】 1.求比值的方法:用比的前项除以比的后项。 2.比和比值的关系:二者在写法上可能是相同的,但比表示两个数量之间的相除关系,比值表示一个具体的数。 知识点3 比、除法、分数三者之间的关系 （1）用表格表示三者之间的联系 （2）用表格表示三者之间的联系: （3）比、除法、分数三者之间的区别 ①意义不同:比表示两个数量之司的相除关系;除法是一种运算;分数是一个数. ②表示方法不同:作为一种运算除法算式不能用分数形式表示;比可以用分量的比.数形式表示,但分数不一定表示两个数 ③结果表达不同:除法一般要求出商;比只有求比值时才进行计算;而分数本身就是一个数,无须计算. 【易混易错提醒】 (1)比的后项相当于除法算式中的除数,因为除数不能是0,所以比的后项也不能是 0。 (2)比的后项相当于分数的分母,因为分数的分母不能是0,所以比的后项也不能是0。 【拓展注解】 比值是否带单位分两种情况： 一种是同类数量的比:同类数量的比表示同类数量之间的倍数关系，比值是不带单位的，另一种是不同类数量的比:借用了比的形式，其结果(比值)是带单位的，这种情况下的比值是一个复合单位。例如:一辆卡车2小时行驶100千米,这时路程和时间的比值产生了一个新的量，即速度，单位是千米/时。 知识点4 求比中未知项的方法 1.求比中未知项的方法 根据比和除法的关系推导出：比的前项比的后项比值，比的后项比的前项比值。 （ ）： 解析:因为，所以；因为，所以。 方法2：也可以将未知项看作，转化成方程来解。 如 15 ：（ ）可以转化成，求得. 】 比的意义 例1.一个比的后项是8，比值是，这个比的前项是（    ） A．4 B．3 C．6 D．8 【答案】C 【分析】设前项是x，根据比的意义求出x的值． 【详解】解：设前项是x，，则． 故选：C． 【点睛】本题考查比的意义，解题的关键是根据比的意义求出比的前项． 【变式1-1】2．，括号中依次为 ． 【答案】4，49，16，7 【分析】根据小数、分数和除法的关系填空． 【详解】解：根据，所以， 根据，所以， 根据，所以， 根据，所以， ． 故答案是：4，49，16，7． 【点睛】本题考查小数、分数和除法的关系，解题的关键是掌握它们之间的互相转换的方法． 【变式1-2】3．一个比的前项是15，后项是12，这个比是 ，比值是 ． 【答案】 15：12 【分析】根据比的前项除以后项等于比值，由此得出结果． 【详解】前项：后项=15:12， 比值为， 故填：15：12；． 【点睛】本题考查比的定义，要知道“：”前面的叫做前项，后面的叫做后项，比值要化成最简形式． 【变式1-3】判断题：比的前项相当于分数的分子，除法中的被除数．( ) 【答案】√ 【分析】此题是考查比、除法、分数之间的关系，属于基础知识，要熟记．根据比、除法、分数之间的关系，比的前项相当于分数的分子，除法中的被除数，后项相当于分母、除数． 【详解】解：根据比、除法、分数之间的关系，比的前项相当于分数的分子，除法中的被除数， 原题的说法是正确的． 故答案为：√ 求比值 例2.求下列各比的比值． (1)； (2)； (3)； (4)． 审题关键:比值相当于除法中的商,求比值问题要转化成除法,用前项除以后项计算商. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】利用比例的性质化简即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）． 【点睛】本题考查了有理数的除法，解题的关键是掌握比例的性质． 【变式2-1】求下列各比的比值： （1）15∶60     （2）22∶110      （3）0.6∶1．5 （4）0.4∶    （5）1.5小时∶30分 （6）0.3吨∶400千克 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）1；（5）3；（6） 【分析】（1）根据比的基本性质即可求出结论； （2）根据比的基本性质即可求出结论； （3）根据比的基本性质即可求出结论； （4）根据比的基本性质即可求出结论； （5）先统一单位，根据比的基本性质即可求出结论； （6）先统一单位，根据比的基本性质即可求出结论． 【详解】解：（1）原式     （2）原式     （3）原式    （4） ∴原式    （5）1.5小时=90分，原式 （6）0.3吨=300千克，原式 【点睛】此题考查的是求比值问题，掌握比的基本性质是解决此题的关键． 【解题技巧总结】 求比值时,把比号转化为除号,即为数的除法运算,当求单位不同的两个量的比值时,应先化成相同的单位,比值的结果是一个数,可以是整数、小数或分数. 比的应用（工程问题）（重点） 例3.一项工程：甲单独做15天完成，乙单独做10天完成，则甲、乙每天完成的工作量的比是（   ） A． B． C． D． 审题关键:把工作总量看做单位“1”，工作效率就是工作时间的倒数，然后，根据题目的具体情况，灵活运用公式． 【答案】D 【分析】本题主要考查了比的运算，先将整个工程看作单位1，然后得出甲、乙每天完成的工作量，然后求比值即可． 【详解】解：∵甲单独做15天完成，乙单独做10天完成， ∴甲、乙每天完成的工作量的比为：． 故选：D． 【变式3-1】一项工程，甲独做8天完成，乙独做12天完成．甲、乙完成这项工程所需时间的比是　 　　 　，工作效率的比是　 　　 　． 【分析】把工作总量看作单位“1”，先根据题意，求出甲、乙完成工程所用时间的比；进而根据“工作总量工作时间工作效率”分别求出甲和乙的工作效率，写出对应的比，再根据比的基本性质化成最简整数比． 【解答】解：（1）， ， ； （2）， ， ， ； 答：甲、乙完成工程的时间比是，甲、乙的工作效率之比是； 故答案为：2，3，3，2． 【点评】本题主要是根据比的意义及工作总量、工作效率和工作时间三者之间的关系解决问题． 【变式3-2】甲、乙两人做100个同样的零件，甲用了72分钟，乙用了0.8小时，甲、乙两人的工作时间比是 　 　，工作效率比是 　　。 【答案】，。 【分析】（1）先把72分钟换算为小时，然后根据比的意义，甲乙两人工作时间比为，然后化简即可； （2）把零件总数看作“1”，那么甲的工作效率为，乙的工作效率为，由此求出他们的效率比。 【解答】解：（1）72分钟小时 工作时间比为 （2）甲的工作效率：， 乙的工作效率：， 甲、乙的工作效率比是。 故答案为：，。 【点评】本题考查了比的意义．在求工作效率时设这项工程为“1”来分析比较好理解。 【变式3-3】加工一个零件，小红用了12分钟，小张用了15分钟。小红与小张的工作效率之比是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据工作效率工作总量工作时间，分别计算出小红和小张的工作效率，用小红的工作效率比小张的工作效率，化简比即可解答。 【解答】解：小红的工作效率为： 小张的工作效率为： ：小红与小张的工作效率之比是。 故选：。 【点评】解答此题用到的知识点：（1）比的意义；（2）工作量、工作时间、工作效率三者之间的关系。 结题总结: 数量关系式： 工作总量＝工作效率×工作时间 工作效率＝工作总量÷工作时间 工作时间＝工作总量÷工作效率 合作时间＝工作总量÷工作效率和 比的应用（行程问题）（难点） 例4.王亮6分钟走了300米，李明用的时间是王亮的1.5倍，王亮与李明的速度比是多少？ 审题关键:路程一定的情况下，速度与时间成反比，王亮与李明所用时间的比前、后项交换位置所得到的比就是王亮与李明速度的比． 【分析】根据“速度路程时间”，用300米除以6分钟就是王亮的速度，用300米除以分钟就是李明的速度．根据比的意义即可写出王亮与李明的速度比． 【解答】解：（分钟） 或 答：王亮与李明的速度比是． 【点评】此题是考查比的意义及化简．关键是根据路程、速度、时间三者之间的关系求出王亮、李明的速度． 【变式4-1】甲乙两人从学校去电影院，甲走了10分钟，乙走了12分钟，甲与乙的速度比是　　 A． B． C． 【答案】 【分析】读题可知：把学校到电影院的距离看作单位“1”，然后用单位“1”除以时间表示速度，进而写出速度比并化简成最简整数比即可。 【解答】解： 故选：。 【点评】本题考查了比的意义的理解与应用，以及比的基本性质的应用。解答本题容易出错的地方是：把速度的比写成所用时间的比。 【变式4-2】一段路，甲车用6小时走完，乙车用8小时走完，甲乙两车的速度比是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】相同路程，速度和时间成反比，据此计算。 【解答】解： 即甲乙两车的速度比是。 故选：。 【点评】本题考查了比的意义。 比的应用（溶质问题） 例5.杯子里有盐水，其中盐与水的质量比是，又加入水，这时杯中盐与水的质量比是　　． 审题关键:解答本题的关键是弄清溶质、溶液和溶剂对应关系. 【分析】根据杯子里有盐水50克，盐与水的质量比是，则盐占盐水的，水占盐水的，用乘法分别求得盐有多少克、水有多少克，又加入水，用盐的质量比上加了10克水后水的总质量即可取出盐与水的比． 【解答】解：（克 （克 答：这时杯中盐与水的质量比是． 故答案为：． 【点评】此题考查了比的意义的运用，关键是求得后来的水的总质量． 【变式5-1】一杯盐水正好是，其中含盐，从杯中倒出盐水后，再往杯里加满水，这时杯子里的盐与水的质量比是多少？ 【分析】由题意可知，盐水中含盐，则含盐率为，从杯中倒出盐水后，杯中还含盐，再往杯中加满水，则此时杯中含盐还是，盐水还是，但含水却是克，则这时杯子里的盐与水的比是． 【解答】解：原来含盐率为：， 从杯中倒出盐水后，杯中还含盐：， 再往杯中加满水，则此时杯中含盐还是，含水：， 这时杯子里的盐与水的比是：， 答：这时杯子里的盐与水的比是． 【点评】本题考查了比的应用．解答此题关键是求得后来杯子中含盐多少克、含水多少克． 【变式5-2】一满杯糖水正好是100克，其中含糖10克。充分搅拌后第一次从杯中倒出10克糖水后，往杯中加满水，这时杯子里的糖与水的比是 　　，第二次从杯中倒出10克糖水后，再往杯中加满水，这时杯子里的糖与水的比是 　　。 【答案】；。 【分析】由题意可知，糖水中含糖，则含糖率为，从杯中倒出糖水后，杯中还含糖，再往杯中加满水，则此时杯中含糖还是，糖水还是，但含水却是克，则这时杯子里的糖与水的比是；现在含糖率为：，第二次从杯中倒出10克糖水后，杯中还含糖：（克，再往杯中加满水，则此时杯中含糖还是，糖水还是，但含水却是（克，则这时杯子里的糖与水的比是。 【解答】解：原来含糖率为：， 从杯中倒出糖水后，杯中还含糖：， 再往杯中加满水，则此时杯中含糖还是，含水：， 这时杯子里的糖与水的比是：； 现在含糖率为：， 第二次从杯中倒出10克糖水后，杯中还含糖：（克， 再往杯中加满水，则此时杯中含糖还是，糖水还是，但含水却是（克，则这时杯子里的糖与水的比是。 答：第一次从杯中倒出10克糖水后，往杯中加满水，这时杯子里的糖与水的比是，第二次从杯中倒出10克糖水后，再往杯中加满水，这时杯子里的糖与水的比是。 故答案为：；。 【点评】本题考查了比的应用；解答此题关键是求得后来杯子中含糖多少克、含水多少克。 几何问题（重点） 例6.两个正方形边长的比是，则周长的比是 　　，面积的比是 　　。 【答案】，。 【分析】把两个正方形的边长分别看作2份、3份，再根据正方形的周长公式，分别求出周长，再写出比即可；根据正方形的面积公式，分别求出面积，再写出比即可。 【解答】解： 故选：，。 【点评】此题主要考查了正方形的周长公式与面积公式的实际应用。 【变式6-1】如图，有大、小两个正方形． （1）大、小正方形边长的比是 　　，比值是 　　． （2）大、小正方形周长的比是 　　，比值是 　　． （3）大、小正方形面积的比是 　　，比值是 　　． 根据填空，我发现了一个规律：　　． 【答案】，2.5；，2.5；，6.25；大、小正方形的周长的比就是它们边长的比，面积的比就是边长的平方比． 【分析】根据正方形的周长和面积公式，分别计算出这两个正方形的周长和面积，即可求出它们的比，再化简求值即可 【解答】解：（1）大、小正方形边长的比是： 比值是： （2）大正方形与小正方形的周长比是： 比值是： （3）大正方形与小正方形的面积之比是： 比值是： 根据填空，我发现了一个规律：大、小正方形的周长的比就是它们边长的比，面积的比就是边长的平方比． 故答案为：，2.5；，2.5；，6.25；大、小正方形的周长的比就是它们边长的比，面积的比就是边长的平方比． 【点评】此题主要考查正方形的周长与面积公式的计算应用以及求比值的方法． 【变式6-2】两个长方体的底面积比是，高的比是，那么它们体积的比是　　 A． B． C． D．无法确定 【答案】 【分析】把两个长方体底面积看作“3”、“2”，高级单位看作“1”，根据长方体的体积计算公式“”分别求出这两个长方体的体积，然后再根据比的意义即可写出它们的体积之比。 【解答】解： 答：它们体积的比是。 故选：。 【点评】此题考查了比的意义及化简。关键记住长方体的体积计算公式“”。 【变式6-3】如图中，涂色部分的面积与整个大长方形的面积比是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】图示显示大长方形是由5个小长方形拼组而成，假设每个小长方形的面积是1，则阴影部分面积为2，根据比的意义写出比并化简比即可解答。 【解答】解：假设每个小长方形的面积是1，则： 答：涂色部分的面积与整个大长方形的面积比是。 故选：。 【点评】本题考查了比的意义的应用以及长方形面积计算的应用。 【变式6-4】两个长方形重叠部分的面积相当于大长方形面积的，相当于小长方形面积的，大长方形和小长方形面积的比是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】设重叠部分的面积是1，先把大长方形的面积看成单位“1”，它的对应数量是重叠部分的面积1，由此用除法求出大长方形的面积；同理把小长方形的面积看成单位“1”，它的对应数量是重叠部分的面积1，由此用除法求出小长方形的面积；然后用大长方形的面积比上小长方形的面积即可。 【解答】解：设重叠部分的面积是1 答：大长方形和小长方形面积的比是。 故选：。 【点评】解答此题重点找出两个不同的单位“1”，设出重叠部分的面积，分别用除法求出大小长方形的面积，再作比即可。 画图问题 例7.姗姗在方格纸上画出了两个大小不同的正方形，如图。 （1）大、小正方形的边长比是 　 　　　。 （2）大、小正方形的周长比是 　　　　。 （3）大、小正方形的面积比是 　　　　。 【答案】（1）3，2；（2）3，2；（3）9，4。 【分析】设小方格为的小正方形，则大正方形的边长为6，小正方形的边长为4，据此解答。 【解答】解：设小方格为的小正方形，则大正方形的边长为6，小正方形的边长为4，则： （1）大、小正方形的边长比是，即； （2）大、小正方形的周长比是，即； （3）大、小正方形的面积比是，即。 故答案为：3；2；3；2；9；4。 【点评】此题考查比的意义，根据大小正方形的边长关系可以直接求出。 【变式7-1】按要求做题。（下面每个方格的边长表示1厘米） （1）在上面方格纸上画出两个大、小不同的正方形，使两个正方形的边长之比是。 （2）这两个大、小正方形的周长之比是 　 　　　；面积之比是 　　　　。 【答案】（1）（答案不唯一）； （2）3，2，9，4。 【分析】（1）画出两个正方形，只要两个正方形的边长比是即可，因此图形并不唯一； （2）正方形的周长边长，分别求出大小正方形的周长，再求出比即可；正方形的面积边长边长，分别求出大小正方形的面积，再求出比即可。 【解答】解：（1）如图 （2）大正方形的周长是（厘米） 小正方形的周长是（厘米） 大、小正方形的周长之比是， 大正方形的面积是（平方厘米） 小正方形的面积是（平方厘米） 大、小正方形的面积之比是。 故答案为：3，2，9，4。 【点评】本题考查了比的应用，解决本题的关键是利用正方形的周长和面积公式。 【变式7-2】按要求画一画，涂一涂。 （1）将方格图（图补充完整。 （2）在如图2中涂色，使得涂色方格的个数与空白方格的个数比是。 【答案】 【分析】（1）百分数的意义表示一个数是另一个数的百分之几，据此图中有4行方格，再画一行就可以用表示； （2）一共有20个格子，把20个格按进行比例分配，即可求出涂色的格子，据此解答。 【解答】解：（1） （2）（格 如图： 【点评】本题考查了百分数的意义及按比分配的应用。 【变式7-3】如图中每个小正方形的边长是1厘米。 （1）画一个三角形，面积是12平方厘米，底和高的比是。 （2）再把这个三角形面积的涂上阴影，空白部分与阴影部分面积的比是 　 　。 【答案】（1） （2） 。 【分析】（1）根据三角形面积公式，可得底乘高为24份，又因为底和高的比是，可得底和高分别是多少； （2）把这个三角形面积的涂上阴影，则需先求出这个三角形面积的是多少平方厘米，然后再进行涂色即可，最后算出空白部分的面积，再进行求比即可。 【解答】解：（1）三角形面积底高 因为面积是12平方厘米，所以底高， 即底高平方厘米， 满足底高的有：，，，。 又因为底和高的比是，可得底是6厘米，高是4厘米。 作图如下： （2）阴影面积：（平方厘米） 空白部分面积：（平方厘米） 空白部分与阴影部分面积的比： 作图如下： 故答案为：。 【点评】此题考查比的应用。进一步考查学生作图的能力。 选择：求的比值，正确的是.....................（A）。 A． B． 【错解分析】 此题错在没有掌握比值和比的区别。 【错解改正】 B 温馨提示 比值是一个具体的数，可以是分数，小数或整数。 判断：一场足球比赛，双方都没有进球，比赛结果是，因此比的前项和后项都可以是0.............（√） 【错解分析】 球类比赛中的＂比＂并不是数学中的＂比＂，球类比赛中的＂比＂要体现双方得分的多少，是相差关系；数学中的＂比＂要体现一个量是另一个量的几倍 （或几分之几），是相除关系。 【错解改正】 温馨提示 生活中，有时会用比的形式表示某种关系，这个＂比＂与数学中的＂比＂的意义不同，要仔细区别，不能混淆概念. 填空：求比值： 【错解分析】此题错在没有同一单位，求两个同类量的比值时，如果单位不同，必须把这两个量化成相同的单位． 【错解改正】 防错警示： （1）比表示两个量之间的相除关系，比值是一个具体的数字，可以是分数，小数或整数；（2）求两个同类量的比值时，如果单位不同，必须把这两个量化成相同的单位． 1.完成一项工程，甲要12天，乙要18天，甲乙工作时间之比是 　 　，甲乙工作效率之比是 　　。 【答案】，。 【分析】用甲完成一项工程所用时间比上乙完成这项工程所用时间，化成最简比；效率比等于时间的反比。 【解答】解：甲乙工作时间之比是： 甲乙工作效率之比是： 故答案为：，。 【点评】熟悉比的含义是解决本题的关键。 2．比与除法、分数比较，比的前项相当于除法的　 　，分数的　 　，后项相当于除法的　 　，分数的　 　，比值 相当于除法的　 　，分数的　 　． 【分析】根据比、除法、分数之间的关系，比与除法、分数比较，比的前项相当于除法的被除数，分数的分子，后项相当于除法的除数，分数的分母，比值 相当于除法的商，分数的分数值． 【解答】解：比与除法、分数比较，比的前项相当于除法的被除数，分数的分子，后项相当于除法的除数，分数的分母，比值 相当于除法的商，分数的分数值． 故答案为：被除数，分子，除数，分母，商，分数值． 【点评】本题是考查比、除法、分数之间的关系，属于基础知识，要记住． 3．从学校到图书馆，李键走了11分钟，王亮走了15分钟。李键与王亮所用的时间比是　 　，两人的速度比是　　。 【答案】，。 【分析】根据比的意义即可写出李键与王亮所用的时间比；把从学校到图书馆的距离看作“1”，根据“速度”分别求出两人的速度，再根据比的意义即可写出两人速度的比，并化成最简整数比。 【解答】解：李键与王亮所用的时间比是 两人的速度比是 答：李键与王亮所用的时间比是，两人的速度比是。 故答案为：，。 【点评】由于路程一定时，时间与速度成反比，把二人时间比的前、后项交换位置所得到的比就是速度的比。 4．打同一份稿件，钱阿姨需要2小时完成，王阿姨需要3小时完成。钱阿姨和王阿姨的工作效率的比是　　 A． B． C． D．无法确定 【答案】 【分析】根据工作量工作时间工作效率，写出比，再化简即可。 【解答】解： 答：钱阿姨和王阿姨的工作效率的比是。 故选：。 【点评】此题考查的目的是理解掌握工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系及应用。 5．如图，梯形的面积与平行四边形面积的比是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据梯形面积（上底下底）高，平行四边形面积底高，假设它们的高都是，求出它们的面积，再写出它们的比，再化简，即可解答。 【解答】解：假设它们的高都是。 答：梯形的面积与平行四边形面积的比是。 故选：。 【点评】本题考查的是比的意义，理解和应用比的意义是解答关键。 6.如图，阴影部分面积与大长方形面积的比是　 　　　，在这个长方形中能画出　　个与阴影部分面积相等的三角形． 【分析】阴影部分为三角形，三角形的底等于长方形的长，三角形的高等于长方形的宽，三角形的面积底高，长方形的面积长宽，所以三角形的面积与长方形面积的比是；在长方形中可以画出无数条与宽相等的高，所以可以画出无数个与阴影部分面积相等的三角形． 【解答】解：阴影部分面积与大长方形面积的比是，在这个长方形中能画出无数个与阴影部分面积相等的三角形． 故答案为：1、2，无数． 【点评】此题主要考查比的意义，关键要弄清三角形的底和高与长方形的关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$