第一单元易错易混专项08 圆锥的体积解决问题拔高30题-2024-2025学年六年级下册数学小马虎错题本（北师大版）

第一单元易错易混专项08 圆锥的体积解决问题拔高30题 答案解析 一、解答题（共30小题） 1．沙漏又称沙钟，是我国古代一种计量时间的仪器，它是根据流沙从一个容器漏到另一个容器的数量来计量时间的。下图展示了一个沙漏记录时间的情况。请求出现在沙漏上部沙子的体积。（取3.14） 【分析】根据圆锥体积＝底面积×高÷3，列式解答即可。 【解答】3.14×（2÷2）2×3÷3 ＝3.14×12×3÷3 ＝3.14×1×3÷3 ＝3.14（立方厘米） 答：现在沙漏上部沙子的体积是3.14立方厘米。 【点评】关键是掌握并灵活运用圆锥体积公式。 2．一个透明的封闭盛水容器，由一个圆柱和一个圆锥组成，圆柱的底面直径和高都是14厘米，其中有一些水，正放时水面离容器顶部11厘米，倒放时水面离容器顶部5厘米，那么这个容器的容积是多少立方厘米？（） 【分析】已知圆柱的底面直径和高，只需要求出圆锥高即可。根据正放时水面离容器顶部11厘米，假设圆锥部分的高为厘米，如下图，则正放时空气部分的体积相当于高为的圆锥的体积加上高为（11－）的圆柱部分的体积。而圆柱和圆锥是等底的，根据等底的圆柱和圆锥的体积关系，高为的圆锥体积也可以看成是高为的圆柱的体积，这样正放时空气部分的体积相当于高为的圆柱体积。因为无论正放、倒放，空气体积是不变的，所以这一部分空气体积，也等于倒放时高为5厘米的圆柱的体积。因为圆柱的底面始终一样，所以两部分圆柱的高一定是相等的，即，解方程即可求得的值。再根据圆柱、圆锥的体积公式即可求得这个容器的容积。 【解答】解：设圆锥的高为厘米， 体积： （立方厘米） 答：这个容器的容积是2499立方厘米。 3．一个沙堆堆成底面周长是18.84米的圆锥形，这堆沙的高是4米。现在用这些沙子来铺路面，路面的宽是4米，沙子的厚度是0.1米，可以铺路多少米？ 【分析】已知圆锥形沙堆的底面周长和高，先根据圆的周长公式C＝2πr可知，r＝C÷π÷2，由此求出圆锥的底面半径；再根据圆锥的体积公式V＝πr2h，求出这堆沙子的体积； 把这些沙子铺路面，沙子的体积不变，路面是一个宽4米、厚0.1米的长方体，根据长方体的长＝体积÷宽÷高，即可求出可以铺路的长度。 【解答】圆锥的底面半径： 18.84÷3.14÷2＝3（米） 这堆沙子的体积： ×3.14×32×4 ＝×3.14×9×4 ＝37.68（立方米） 铺路的长度： 37.68÷4÷0.1 ＝9.42÷0.1 ＝94.2（米） 答：可以铺路94.2米。 4．如图，粮囤上面是圆锥形，下面是圆柱形，圆柱的底面周长是12.56米，高是2米，圆锥的高是1.2米。一个粮囤的体积是多少立方米？ 【分析】粮囤的体积可以看作是一个圆柱的体积加上一个圆锥的体积，其中圆柱的底面积和圆锥的底面积相等，根据圆柱的体积＝底面积×高，圆锥的体积＝×底面积×高，代入相应数值计算，据此解答。 【解答】 底面积：3.14×（12.56÷3.14÷2）2 ＝3.14×（4÷2）2 ＝3.14×4 ＝12.56（平方米） （立方米） 答：一个粮囤的体积是30.144立方米。 5．为了方便学生练习跳远，东方小学新建了一个长方体沙坑，沙坑的底面积是16平方米。运来的沙堆成了一个圆锥形沙堆，底面半径是2米，高是1.2米，用这堆沙来铺沙坑，能铺多少厘米厚？ 【分析】根据圆锥体积＝底面积×高×，求出沙堆体积，铺到沙坑的厚度相当于长方体的高，根据长方体的高＝体积÷底面积，列式解答即可，根据1米＝100厘米，统一单位。 【解答】 3.14×22×1.2×÷16 ＝3.14×4×1.2×÷16 ＝5.024÷16 ＝0.314（米） 0.314米＝31.4厘米 答：能铺31.4厘米厚。 6．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，以其多变的玩法，受到广大朋友的喜欢，其形状上方呈圆柱状，下方呈圆锥状，玩耍时可用绳子缠绕，用力抽绳，使其直立旋转，乐趣无穷。经过测试，当圆锥的高是圆柱高的时，陀螺会转得又稳又快。如图为陀螺的模型图，圆柱的直径是12厘米，高是10厘米，请你算一算，这个陀螺的体积是多少立方厘米？ 【分析】根据圆柱的体积公式：，圆锥的体积公式：，其中圆锥的高是圆柱高的，圆柱的高是10厘米，求一个数的几分之几用乘法得出圆锥的高是，且圆柱和圆锥的底面是一样的圆，则底面直径也是一样的为12厘米，半径就是12÷2。最后把数据代入公式求出它们的体积和即可。 【解答】 （立方厘米） 7．一个底面半径是6厘米的圆柱形玻璃器皿里装有一部分水，水中浸没着一个高9厘米的圆锥形铅锤。当铅锤从水中取出后，水面下降了0.5厘米。这个圆锥形铅锤的底面积是多少平方厘米？ 【分析】因原来铅锤是浸没在水中的，当铅锤从水中取出后，下降水的体积等于铅锤的体积。水的体积V＝πr2h，再根据圆锥的体积V＝πr2h，求出圆锥的底面积＝3V÷h。 【解答】容器水下降的体积：3.14×62×0.5 ＝3.14×36×0.5 ＝113.04×0.5 ＝56.52（立方厘米） 圆锥的底面积是：56.52×3÷9 ＝169.56÷9 ＝18.84（平方厘米） 答：这个圆锥形铅锤的底面积是18.84平方厘米。 8．一个圆柱形鱼缸，底面直径为40厘米，高30厘米，里面盛了一些水。把一个底面半径10厘米的圆锥形铅锤放入鱼缸中（铅锤全部浸入水中），水面高度上升了2厘米。这个铅锤的高是多少厘米？（鱼缸厚度忽略不计） 【分析】把圆锥放入圆柱形鱼缸中，上升部分水的体积就等于这个圆锥的体积，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，，求出圆锥的体积，再根据圆锥的体积公式：VSh，那么h＝V×3÷S，把数据代入公式解答。 【解答】3.14×（40÷2）2×2 ＝3.14×202×2 ＝3.14×400×2 ＝1256×2 ＝2512（立方厘米） 2512×3÷（3.14×102） ＝2512×3÷（3.14×100） ＝2512×3÷314 ＝7536÷314 ＝24（厘米） 答：这个铅锤的高是24厘米。 9．（如下图）圆柱和圆锥黏合而成的，如果把圆柱和圆锥重新分开，表面积就增加了50.24平方厘米。求原来这个物体的体积是多少立方厘米？ 【分析】根据题意可知，圆柱和圆锥分开后增加的表面积是圆锥的底面积和圆柱的一个底面积之和，且圆锥的底面积和圆柱的一个底面积相等，可由此求出底面积。由图形可得，圆柱的高为6厘米，圆锥的高为12－6＝6厘米。再根据圆柱和圆锥的体积公式，分别求出两部分的体积，最后相加即可。 【解答】50.24÷2＝25.12（平方厘米） 12－6＝6（厘米） 25.12×6＋×25.12×6 ＝150.72＋50.24 ＝200.96（立方厘米） 答：原来这个物体的体积是200.96立方厘米。 10．“人强健，清尊素影，长愿相随”，强健的体魄是人生的基石。炎炎夏季冰激凌总会带给我们清凉的感觉，你知道吗？每毫升的冰激凌约产生6千焦的热量。吃一个冰激凌需要30分钟的运动才能消耗掉这些热量。这个冰激凌大约可以产生多少千焦热量？ 【分析】根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，求出这个圆锥形冰激凌的体积；再用冰激凌的体积×6，即可解答，注意单位名数的换算。 【解答】3.14×（6÷2）2×15× ＝3.14×32×15× ＝3.14×9×15× ＝28.26×15× ＝423.9× ＝141.3（立方厘米） 141.3立方厘米＝141.3毫升 141.3×6＝847.8（千焦） 答：这个冰激凌大约可以产生847.8千焦热量。 11．一个装有水的密封容器，如图所示。 （1）如果在一个长方体纸盒中装这个容器，那么这个长方体纸盒的容积至少是多少立方厘米（纸盒厚度忽略不计）？ （2）如果将这个容器倒置，那么从圆锥尖端到液面的高度是多少厘米？ 【分析】（1）根据题意可知，长方体纸盒的长和宽应该等于容器底面圆的直径，高等于容器的高，则这个长方体纸盒的长等于10厘米，宽等于10厘米，高等于（15＋12）厘米；根据长方体容积公式：容积＝长×宽×高，代入数据，求出这个长方体纸盒的容积； （2）根据圆柱的容积公式：容积＝底面积×高，代入数据，求出液体部分的容积；再根据圆锥的容积公式：容积＝底面积×高×，代入数据，求出圆锥部分的容积；再用液体部分的容积－圆锥部分的容积，求出圆柱形剩余部分的容积，再除以圆柱的底面积，求出剩余部分圆柱形的高，再加上圆锥形部分的高，即可解答。 【解答】（1）长方体的长是10厘米，宽是10厘米，高是15＋12＝27（厘米）。 10×10×27 ＝100×27 ＝2700（立方厘米） 答：这个长方体纸盒的容积至少是2700立方厘米。 （2）3.14×（10÷2）2×7－3.14×（10÷2）2×12× ＝3.14×52×7－3.14×52×12× ＝3.14×25×7－3.14×25×12× ＝78.5×7－78.5×12× ＝549.5－942× ＝549.5－314 ＝235.5（立方厘米） 235.5÷3.14×（10÷2）2＋12 ＝235.5÷3.14×52＋12 ＝235.5÷78.5＋12 ＝3＋12 ＝15（厘米） 答：从圆锥尖端到液面的高度是15厘米。 12．豆豆去粮库参观，看到了如下图所示的粮囤。从里面量得粮囤的底面周长是62.8米，整个粮囤的高度是8米，下半部分圆柱的高与上半部分圆锥的高的比是5∶3。这个粮囤最多能装多少立方米稻谷？ 【分析】观察图形可知，粮囤是由一个圆锥和一个圆柱组成，它们的底面积相等。已知粮囤的底面周长是62.8米，根据圆的周长公式C＝2πr可知，r＝C÷π÷2，由此求出粮囤的底面半径； 已知整个粮囤的高度是8米，圆柱的高与圆锥的高的比是5∶3，则圆柱的高占整个粮囤的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，求出圆柱的高；再用整个粮囤的高减去圆柱的高，求出圆锥的高； 根据圆柱的体积（容积）公式V＝πr2h，圆锥的体积（容积）公式V＝πr2h，分别求出圆柱和圆锥的容积，再相加即是这个粮囤的最多能装多少立方米稻谷。 【解答】底面半径： 62.8÷3.14÷2 ＝20÷2 ＝10（米） 圆柱的高： 8× ＝8× ＝5（米） 圆锥的高：8－5＝3（米） 粮囤的容积： 3.14×102×5＋×3.14×102×3 ＝3.14×100×5＋×3.14×100×3 ＝1570＋314 ＝1884（立方米） 答：这个粮囤最多能装1884立方米稻谷。 13．李伯伯准备在菜地里打一口井，井口半径为4分米，井深15米。打这口井大约要挖土多少立方米？有一堆堆积成圆锥状的沙石，底面半径是0.5米，高是0.6米，将这些沙石铺在井底，可以铺多厚？ 【分析】由题意可知，求能挖出多少土也就是求圆柱形水井的体积，根据圆柱的体积V＝Sh，据此代入数值进行计算即可；再根据圆锥的体积V＝Sh，据此求出小石子的体积，然后再除以圆柱的底面积即可解答。 【解答】4分米＝0.4米 3.14××15 ＝3.14×0.16×15 ＝0.5024×15 ＝7.536（立方米） 3.14×0.52×0.6×÷（3.14×0.42） ＝3.14×0.25×0.6×÷（3.14×0.16） ＝0.785×0.6×÷0.5024 ＝0.471×÷0.5024 ＝0.157÷0.5024 ＝0.3125（米） 答：打这口井大约要挖土7.536立方米，可以铺0.3125米厚。 14．从古代到近代，匠人们打铁时，用火将铁烧红变软，然后用锤子击打成想要的形状，最后放到凉水里迅速冷却，以增加铁的硬度，这就是“淬火”。一铁匠将底面半径为10厘米的圆柱形铁块烧红，击打成与它底面大小相同的圆锥形，然后完全没入一底面积为31.4平方分米的长方体容器里粹火，水面上升了1.5厘米。请你计算这个圆锥的高是多少厘米。（损耗忽略不计） 【分析】圆锥的体积就是上升部分水的体积，这部分水可看作底面积是31.4平方分米（换算为3140平方厘米），高是1.5厘米的长方体，用底面积乘高即可算出体积。又因为圆锥的底面大小与圆柱铁块底面大小相同，即底面半径相同，所以可求出底面积，最后用体积乘3再除以底面积即可求出圆锥的高。据此解答。 【解答】31.4平方分米＝3140平方厘米 3140×1.5×3÷（3.14×102） ＝3140×1.5×3÷（3.14×100） ＝3140×1.5×3÷314 ＝14130÷314 ＝45（厘米） 答：这个圆锥的高是45厘米。 15．农村公路建设是乡村振兴的基础工程，近年来，“四好农村路”建设成为推动农村公路高质量发展的重要举措，各地积极推进农村公路建设。某村根据规划开工修路。 （1）修路现场有一堆沙子，堆成了圆锥形，其底面周长是12.56米，高是1.5米，这堆沙子的体积是多少立方米？ （2）用一台前轮半径是1.6米，宽是2米的压路机压路面前轮转动5周，压路的面积是多少平方米？ 【分析】（1）先根据半径：r＝C÷π÷2，算出12.56÷3.14÷2＝2米，即求出圆锥的底面半径；再根据圆锥的体积：V＝πr2h，代入数据，列式计算，即可求出圆锥形沙堆的体积。 （2）压路机前轮转动5周，压路的面积就是5个圆柱的侧面积。根据圆柱的侧面积：S＝ch＝2πrh，代入数据，列式计算，即可求出压路的面积。 【解答】（1）圆锥的体积： ×（12.56÷3.14÷2）2×3.14×1.5 ＝×22×1.5×3.14 ＝×4×1.5×3.14 ＝6.28（立方米） 答：这堆沙子的体积是6.28立方米。 （2）压路的面积： 1.6×2×3.14×2×5 ＝1.6×2×2×5×3.14 ＝32×3.14 ＝100.48（平方米） 答：压路的面积是100.48平方米。 16．在一个底面半径是10厘米的圆柱形杯子中装有水。水里浸没一个底面半径是5厘米的圆锥形铅锤。当铅锤从杯中取出后，杯里水面下降5毫米。铅锤高多少？ 【分析】水面下降的体积就是铅锥的体积，圆柱形杯子的底面半径×水面下降的高度＝铅锥体积，根据圆锥的高＝体积×3÷底面积，即可求出铅锥的高，注意统一单位。 【解答】5毫米＝0.5厘米 3.14×102×0.5 ＝3.14×100×0.5 ＝157（立方厘米） 157×3÷（3.14×52） ＝471÷（3.14×25） ＝471÷78.5 ＝6（厘米） 答：铅锥高6厘米。 17．一个底面是圆柱形，上面是圆锥形的粮仓，如图所示。 （1）这个粮仓的容积是多少？ （2）若每立方粮食重750千克，则这个粮仓可以储粮食多少吨？ 【分析】（1）根据圆柱的体积（容积）公式，圆锥的体积（容积）公式，圆柱的容积加上圆锥的容积，即可算出这个粮仓的容积。 （2）粮仓的容积乘每立方粮食的重量，即可算出这个粮仓可以储粮食的重量，结果单位要换算为吨。 【解答】（1） （立方米） 答：这个粮仓的容积是立方米。 （2）（千克） 157000千克＝157吨 答：这个粮仓可以储粮食157吨。 18．一个粮食基地的打谷场上有一个近似圆锥形的小麦堆，它的底面周长是37.68米，高是3米。如果把这些小麦全部装入底面半径是2米，高是1.5米的圆柱形粮仓里，可以装满几个？ 【分析】根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，半径＝周长÷π÷2，代入数据，求出圆锥形小麦的底面半径，再根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，求出圆锥形小麦的体积；再根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，求出圆柱形粮仓的体积；再用圆锥形小麦的体积÷圆柱形粮仓的体积，即可解答。 【解答】37.68÷3.14÷2 ＝12÷2 ＝6（米） （3.14×62×3×）÷（3.14×22×1.5） ＝（3.14×36×3×）÷（3.14×4×1.5） ＝（113.04×3×）÷（12.56×1.5） ＝（339.12×）÷18.84 ＝113.04÷18.84 ＝6（个） 答：可以装满6个。 19．一个圆锥的底面半径和高都是6厘米，把它浸入一个水槽的水中（如图），量得水位上升了3厘米，再把一个圆柱浸没水中，水面又上升2厘米。这个圆柱的体积是多少立方厘米？ 【分析】根据题意可知，水面上升3厘米的体积就是圆锥的体积，根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，求出圆锥的体积，再用圆锥的体积÷3，求出水槽的底面积；水面上升2厘米部分的体积，就是圆柱的体积；再用水槽的底面积×水面上升的高度，即可求出圆柱的体积。 【解答】3.14×62×6×÷3 ＝3.14×36×6×÷3 ＝113.04×6×÷3 ＝678.24×÷3 ＝226.08÷3 ＝75.36（平方厘米） 75.36×2＝150.72（立方厘米） 答：这个圆柱的体积是150.72立方厘米。 20．施工人员正在修一条长40米、宽10米的笔直的路，修建过程中要用沙子铺路面。有一个圆锥形沙堆，底面直径为4米，高为1.5米，如下图。如果要用沙子在这条路上铺2厘米厚的路面，这堆沙子够用吗？（π取3.14） 【分析】根据题意可知，先求出圆锥形沙堆的体积，用公式：圆锥的体积＝底面积×高×，然后求出铺2厘米厚的路面的沙子的体积，用路的面积×铺的厚度＝铺的沙子的体积，把两个体积进行对比，如果圆锥形沙堆的体积大于等于铺的沙子的体积，就够用，否则不够用，据此列式解答。 【解答】2厘米＝0.02米 3.14×（4÷2）2×1.5× ＝3.14×4×1.5× ＝12.56×1.5× ＝18.84× ＝6.28（立方米） 40×10×0.02 ＝400×0.02 ＝8（立方米） 6.28＜8 答：这堆沙子不够用。 21．冷饮公司今年夏天要生产一款奶油冰激凌（如下图），它的底面半径是3厘米。装这样一个冰激凌需要多少立方厘米的奶油？ 【分析】由图可知，求这个冰淇淋需要多少立方厘米的奶油，就是求一个底面半径为3厘米，高为4厘米和一个底面半径为3厘米，高为9厘米的两个圆锥体积之和，根据圆锥的体积V＝πr2h，代入数据解答即可。 【解答】3.14×32×4×＋3.14×32×9× ＝3.14×9×4×＋3.14×9×9× ＝28.26×4×＋28.26×9× ＝113.04×＋254.34× ＝37.68＋84.78 ＝122.46（立方厘米） 答：装这样一个冰激凌需要122.46立方厘米的奶油。 22．为践行绿色文明，提高环保意识，城东小学举办“变废为宝”手工创意大赛，某同学制作了运载火箭整流罩的模型（如图所示）。 （1）这个整流罩模型的体积是多少？ （2）张老师打算装饰一下模型，在圆柱部分的侧面包上一层彩纸并写上文字介绍。需要多少平方分米的彩纸？（粘合处忽略不计） 【分析】（1）模型由圆柱和圆锥组成，根据圆柱的体积＝底面积×高，圆锥的体积＝底面积×高×，再相加，即可解答； （2）求彩纸的面积，就是求这个圆柱的侧面积，根据圆柱的侧面积＝底面周长×高，列式解答即可。 【解答】（1）3.14×（2÷2）2×5＋3.14×（2÷2）2×（8－5）× ＝3.14×1×5＋3.14×1×3× ＝15.7＋9.42× ＝15.7＋3.14 ＝18.84（立方分米） 答：这个整流罩模型的体积是18.84立方分米。 （2）3.14×2×5 ＝6.28×5 ＝31.4（平方分米） 答：需要31.4平方分米的彩纸。 23．一个圆锥形麦堆，底面直径是10米，高是6米。每立方米小麦约重750千克，按出粉率为80%计算，这堆小麦可出面粉多少千克？ 【分析】已知一个圆锥形麦堆的底面直径是10米，高是6米，根据V锥＝πr2h求出圆锥形麦堆的体积；再用每立方米小麦的质量乘圆锥的体积，求出这堆小麦的质量； 已知小麦的出粉率为80%，即出面粉的质量占小麦质量的80%，将小麦的质量看作单位“1”，根据求一个数的百分之几是多少，用小麦的质量乘80%，求出这堆小麦可出面粉的质量。 【解答】×3.14×（10÷2）2×6 ＝×3.14×52×6 ＝×3.14×25×6 ＝157（立方米） 750×157＝117750（千克） 117750×80% ＝117750×0.8 ＝94200（千克） 答：这堆小麦可出面粉94200千克。 24．煤矿的空地上有一堆近似圆锥体形状的煤。已知煤堆的底面积是50.24平方米，高是2.1米。现准备用一辆车厢容积为6立方米的车来运，至少需要运多少次才能运完？ 【分析】根据圆锥的体积＝×底面积×高，代入数值计算出这堆煤的总体积；用这堆煤的总体积除以每次可以运的量，所得结果用“进一法”保留整数。 【解答】 （次） 答：至少需要6次才能运完。 25．如图1，某种油菜籽榨油机的漏斗是由圆柱和圆锥两部分组成的。底面半径是4分米，这两部分的高都是6分米。每立方分米油菜籽重0.5千克。 图1     图2 （1）这个漏斗最多能装多少千克油菜籽？ （2）如果张师傅打算用铁皮给这个漏斗做一个圆柱形的防尘罩（如图2，没有下底面），至少需要多少平方分米铁皮？ 【分析】（1）漏斗的容积＝圆柱的容积＋圆锥的容积，圆柱的容积＝底面积×高，圆锥的容积＝底面积×高÷3，据此求出漏斗的容积，漏斗的容积×每立方分米油菜籽的质量＝漏斗最多装的油菜籽质量。 （2）防尘罩没有下底面，防尘罩的表面积＝底面积＋侧面积，侧面积＝底面周长×高，据此列式解答。 【解答】（1）3.14×42×6＋3.14×42×6÷3 ＝3.14×16×6＋3.14×16×6÷3 ＝301.44＋100.48 ＝401.92（立方分米） 401.92×0.5＝200.96（千克） 答：这个漏斗最多能装200.96千克油菜籽。 （2）3.14×（10÷2）2＋3.14×10×12 ＝3.14×52＋376.8 ＝3.14×25＋376.8 ＝78.5＋376.8 ＝455.3（平方分米） 答：至少需要455.3平方分米铁皮。 26．李叔叔把一车沙子卸到地面上形成一个圆锥形沙堆，这个沙堆的底面直径是2米，高1.5米，这堆沙子的占地面积是多少平方米？如果每立方米沙子120元，李叔叔买这堆沙子需要花多少元？ 【分析】这堆沙子的占地面积，就是圆锥形沙堆的底面积，根据圆的面积公式：S＝，代入数据解答即可；根据圆锥的体积＝底面积×高÷3，求出圆锥形沙堆的体积，再用体积乘每立方米沙子的钱数即可解答。 【解答】2÷2＝1（米） 3.14×＝3.14（平方米） 3.14×1.5÷3×120 ＝4.71÷3×120 ＝1.57×120 ＝188.4（元） 答：这堆沙子的占地面积是3.14平方米，李叔叔买这堆沙子需要花188.4元。 27．一个底面半径是3厘米的圆锥，高为20厘米，将这个圆锥铁块熔铸成一个宽5厘米、高4厘米的长方体，长方体的长是多少厘米？ 【分析】根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，求出圆锥的体积，圆锥铁块熔铸成长方体，体积不变，用圆锥的体积除以长方体的宽，再除以长方体的高，即可求出长方体的长。 【解答】3.14×32×20×÷5÷4 ＝3.14×9×20×÷5÷4 ＝28.26×20×÷5÷4 ＝565.2×÷5÷4 ＝188.4÷5÷4 ＝37.68÷4 ＝9.42（厘米） 答：长方体的长是9.42厘米。 28．小明家把今年收获的小麦堆成了圆锥形，高3米，底面直径是4米。 （1）如果每立方米小麦重700千克，这堆小麦重多少千克？ （2）如果把这堆小麦倒入一个底面直径为2米的圆柱形铁桶中刚好装满，那么铁桶高多少米？ 【分析】（1）根据圆锥体积＝底面积×高÷3，求出小麦体积，小麦体积×每立方米质量＝这堆小麦的质量； （2）根据圆柱的高＝体积÷底面积，列式解答即可。 【解答】（1）3.14×（4÷2）2×3÷3 ＝3.14×22×3÷3 ＝3.14×4×3÷3 ＝12.56（立方米） 12.56×700＝8792（千克） 答：这堆小麦重8792千克。 （2）12.56÷[3.14×（2÷2）2] ＝12.56÷[3.14×12] ＝12.56÷[3.14×1] ＝12.56÷3.14 ＝4（米） 答：铁桶高4米。 29．如图，圆柱玻璃容器里面装有水，水中浸没着一个高15厘米的圆锥形铅锤，圆柱容器和圆锥铅锤的底面直径之比为5∶4，如果把铅锤取出，那么容器中的水面高度将下降多少厘米？ 【分析】已知圆柱容器和圆锥铅锤的底面直径之比为5∶4，可知它们的底面半径之比为5∶4，底面积之比为25∶16； 因为圆锥形铅锤完全浸没在水中，从水中取出铅锤，那么容器中的水面会下降，水下降部分的体积等于圆锥形铅锤的体积，它们的体积之比为1∶1； 根据圆柱的高h柱＝V÷S，圆锥的高h锥＝3V÷S，求出容器中水面下降高度和圆锥铅锤的高之比； 已知圆锥形铅锤的高是15厘米，根据比的应用的解题方法，求出一份数，进而求出容器中水面下降的高度。 【解答】圆柱容器和圆锥铅锤的底面半径之比为5∶4； 圆柱容器和圆锥铅锤的底面积之比为52∶42＝25∶16； 圆柱容器中水面下降部分的体积与圆锥铅锤的体积之比为1∶1； 圆柱容器中水面下降高度和圆锥铅锤的高之比为： （1÷25）∶（1×3÷16） ＝∶ ＝（×400）∶（×400） ＝16∶75 圆柱容器中的水面高度下降： 15÷75×16 ＝0.2×16 ＝3.2（厘米） 答：容器中的水面高度将下降3.2厘米。 【点评】求出圆柱容器中水面下降高度和圆锥铅锤的高之比是解题的关键，再根据比的应用的解题方法求解。 30．如图，一个圆柱形的玻璃容器，底面直径是12厘米，里面装满水，把容器里的水倒出60%后，还剩452.16毫升水。在里面放入等底等高的圆柱和圆锥（水完全浸没），已知它们的高均为6厘米，这时水面升高了0.5厘米。 （1）圆柱形容器的高是多少厘米？ （2）放到水里的圆柱和圆锥的体积分别是多少立方厘米？它们的底面积是多少平方厘米？ 【分析】（1）把圆柱形容器的体积看作单位“1”，已知把容器里的水倒出60%后，还剩452.16毫升水，则剩下的水占容器里的（1－60%），用剩下的水除以剩下的水占总体积的分率，即可求出圆柱形容器的体积，再根据圆柱的高＝V圆柱÷r2÷π，代入数据解答即可； （2）看图可知，水面上升的体积就是圆柱和圆锥的体积之和，圆柱容器的底面积×水面上升的高度＝圆柱和圆柱的体积之和，再等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍。以体积之和为单位“1”，圆柱的体积占体积之和的。根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，用圆柱和圆锥的体积之和乘，即可求出圆柱的体积，再用体积之和减去圆柱的体积，即可求出圆锥的体积；最后根据圆柱的底面积＝V圆柱÷h，代入数据求出圆柱和圆锥的底面积。 【解答】（1）452.16毫升＝452.16立方厘米 452.16÷（1－60%） ＝452.16÷40% ＝1130.4（立方厘米） 1130.4÷（12÷2）2÷3.14 ＝1130.4÷62÷3.14 ＝1130.4÷36÷3.14 ＝31.4÷3.14 ＝10（厘米） 答：圆柱形容器的高是10厘米。 （2）（12÷2）2×0.5×3.14 ＝62×0.5×3.14 ＝36×0.5×3.14 ＝18×3.14 ＝56.52（立方厘米） 56.52×＝42.39（立方厘米） 56.52－42.39＝14.13（立方厘米） 42.39÷6＝7.065（平方厘米） 答：放到水里的圆柱的体积是42.39立方厘米，圆锥的体积是14.13立方厘米，它们的底面积是7.065平方厘米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一单元易错易混专项08 圆锥的体积解决问题拔高30题 一、解答题（共30小题） 1．沙漏又称沙钟，是我国古代一种计量时间的仪器，它是根据流沙从一个容器漏到另一个容器的数量来计量时间的。下图展示了一个沙漏记录时间的情况。请求出现在沙漏上部沙子的体积。（取3.14） 2．一个透明的封闭盛水容器，由一个圆柱和一个圆锥组成，圆柱的底面直径和高都是14厘米，其中有一些水，正放时水面离容器顶部11厘米，倒放时水面离容器顶部5厘米，那么这个容器的容积是多少立方厘米？（） 3．一个沙堆堆成底面周长是18.84米的圆锥形，这堆沙的高是4米。现在用这些沙子来铺路面，路面的宽是4米，沙子的厚度是0.1米，可以铺路多少米？ 4．如图，粮囤上面是圆锥形，下面是圆柱形，圆柱的底面周长是12.56米，高是2米，圆锥的高是1.2米。一个粮囤的体积是多少立方米？ 5．为了方便学生练习跳远，东方小学新建了一个长方体沙坑，沙坑的底面积是16平方米。运来的沙堆成了一个圆锥形沙堆，底面半径是2米，高是1.2米，用这堆沙来铺沙坑，能铺多少厘米厚？ 6．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，以其多变的玩法，受到广大朋友的喜欢，其形状上方呈圆柱状，下方呈圆锥状，玩耍时可用绳子缠绕，用力抽绳，使其直立旋转，乐趣无穷。经过测试，当圆锥的高是圆柱高的时，陀螺会转得又稳又快。如图为陀螺的模型图，圆柱的直径是12厘米，高是10厘米，请你算一算，这个陀螺的体积是多少立方厘米？ 7．一个底面半径是6厘米的圆柱形玻璃器皿里装有一部分水，水中浸没着一个高9厘米的圆锥形铅锤。当铅锤从水中取出后，水面下降了0.5厘米。这个圆锥形铅锤的底面积是多少平方厘米？ 8．一个圆柱形鱼缸，底面直径为40厘米，高30厘米，里面盛了一些水。把一个底面半径10厘米的圆锥形铅锤放入鱼缸中（铅锤全部浸入水中），水面高度上升了2厘米。这个铅锤的高是多少厘米？（鱼缸厚度忽略不计） 9．（如下图）圆柱和圆锥黏合而成的，如果把圆柱和圆锥重新分开，表面积就增加了50.24平方厘米。求原来这个物体的体积是多少立方厘米？ 10．“人强健，清尊素影，长愿相随”，强健的体魄是人生的基石。炎炎夏季冰激凌总会带给我们清凉的感觉，你知道吗？每毫升的冰激凌约产生6千焦的热量。吃一个冰激凌需要30分钟的运动才能消耗掉这些热量。这个冰激凌大约可以产生多少千焦热量？ 11．一个装有水的密封容器，如图所示。 （1）如果在一个长方体纸盒中装这个容器，那么这个长方体纸盒的容积至少是多少立方厘米（纸盒厚度忽略不计）？ （2）如果将这个容器倒置，那么从圆锥尖端到液面的高度是多少厘米？ 12．豆豆去粮库参观，看到了如下图所示的粮囤。从里面量得粮囤的底面周长是62.8米，整个粮囤的高度是8米，下半部分圆柱的高与上半部分圆锥的高的比是5∶3。这个粮囤最多能装多少立方米稻谷？ 13．李伯伯准备在菜地里打一口井，井口半径为4分米，井深15米。打这口井大约要挖土多少立方米？有一堆堆积成圆锥状的沙石，底面半径是0.5米，高是0.6米，将这些沙石铺在井底，可以铺多厚？ 14．从古代到近代，匠人们打铁时，用火将铁烧红变软，然后用锤子击打成想要的形状，最后放到凉水里迅速冷却，以增加铁的硬度，这就是“淬火”。一铁匠将底面半径为10厘米的圆柱形铁块烧红，击打成与它底面大小相同的圆锥形，然后完全没入一底面积为31.4平方分米的长方体容器里粹火，水面上升了1.5厘米。请你计算这个圆锥的高是多少厘米。（损耗忽略不计） 15．农村公路建设是乡村振兴的基础工程，近年来，“四好农村路”建设成为推动农村公路高质量发展的重要举措，各地积极推进农村公路建设。某村根据规划开工修路。 （1）修路现场有一堆沙子，堆成了圆锥形，其底面周长是12.56米，高是1.5米，这堆沙子的体积是多少立方米？ （2）用一台前轮半径是1.6米，宽是2米的压路机压路面前轮转动5周，压路的面积是多少平方米？ 16．在一个底面半径是10厘米的圆柱形杯子中装有水。水里浸没一个底面半径是5厘米的圆锥形铅锤。当铅锤从杯中取出后，杯里水面下降5毫米。铅锤高多少？ 17．一个底面是圆柱形，上面是圆锥形的粮仓，如图所示。 （1）这个粮仓的容积是多少？ （2）若每立方粮食重750千克，则这个粮仓可以储粮食多少吨？ 18．一个粮食基地的打谷场上有一个近似圆锥形的小麦堆，它的底面周长是37.68米，高是3米。如果把这些小麦全部装入底面半径是2米，高是1.5米的圆柱形粮仓里，可以装满几个？ 19．一个圆锥的底面半径和高都是6厘米，把它浸入一个水槽的水中（如图），量得水位上升了3厘米，再把一个圆柱浸没水中，水面又上升2厘米。这个圆柱的体积是多少立方厘米？ 20．施工人员正在修一条长40米、宽10米的笔直的路，修建过程中要用沙子铺路面。有一个圆锥形沙堆，底面直径为4米，高为1.5米，如下图。如果要用沙子在这条路上铺2厘米厚的路面，这堆沙子够用吗？（π取3.14） 21．冷饮公司今年夏天要生产一款奶油冰激凌（如下图），它的底面半径是3厘米。装这样一个冰激凌需要多少立方厘米的奶油？ 22．为践行绿色文明，提高环保意识，城东小学举办“变废为宝”手工创意大赛，某同学制作了运载火箭整流罩的模型（如图所示）。 （1）这个整流罩模型的体积是多少？ （2）张老师打算装饰一下模型，在圆柱部分的侧面包上一层彩纸并写上文字介绍。需要多少平方分米的彩纸？（粘合处忽略不计） 23．一个圆锥形麦堆，底面直径是10米，高是6米。每立方米小麦约重750千克，按出粉率为80%计算，这堆小麦可出面粉多少千克？ 24．煤矿的空地上有一堆近似圆锥体形状的煤。已知煤堆的底面积是50.24平方米，高是2.1米。现准备用一辆车厢容积为6立方米的车来运，至少需要运多少次才能运完？ 25．如图1，某种油菜籽榨油机的漏斗是由圆柱和圆锥两部分组成的。底面半径是4分米，这两部分的高都是6分米。每立方分米油菜籽重0.5千克。 图1     图2 （1）这个漏斗最多能装多少千克油菜籽？ （2）如果张师傅打算用铁皮给这个漏斗做一个圆柱形的防尘罩（如图2，没有下底面），至少需要多少平方分米铁皮？ 26．李叔叔把一车沙子卸到地面上形成一个圆锥形沙堆，这个沙堆的底面直径是2米，高1.5米，这堆沙子的占地面积是多少平方米？如果每立方米沙子120元，李叔叔买这堆沙子需要花多少元？ 27．一个底面半径是3厘米的圆锥，高为20厘米，将这个圆锥铁块熔铸成一个宽5厘米、高4厘米的长方体，长方体的长是多少厘米？ 28．小明家把今年收获的小麦堆成了圆锥形，高3米，底面直径是4米。 （1）如果每立方米小麦重700千克，这堆小麦重多少千克？ （2）如果把这堆小麦倒入一个底面直径为2米的圆柱形铁桶中刚好装满，那么铁桶高多少米？ 29．如图，圆柱玻璃容器里面装有水，水中浸没着一个高15厘米的圆锥形铅锤，圆柱容器和圆锥铅锤的底面直径之比为5∶4，如果把铅锤取出，那么容器中的水面高度将下降多少厘米？ 30．如图，一个圆柱形的玻璃容器，底面直径是12厘米，里面装满水，把容器里的水倒出60%后，还剩452.16毫升水。在里面放入等底等高的圆柱和圆锥（水完全浸没），已知它们的高均为6厘米，这时水面升高了0.5厘米。 （1）圆柱形容器的高是多少厘米？ （2）放到水里的圆柱和圆锥的体积分别是多少立方厘米？它们的底面积是多少平方厘米？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$