单元培优讲义：圆柱与圆锥（知识梳理+例题讲解+培优练习）-2025-2026学年六年级下册数学北师大版

该小学数学“圆柱与圆锥”单元培优讲义以“知识梳理+例题讲解+培优练习”为框架，通过表格对比圆柱与圆锥的底面、侧面、高等特征，结合公式推导图呈现表面积（完整、无盖、无底三种情况）和体积（含等积变形）的知识脉络，清晰展现“点线面体”关系及重难点分布。 讲义亮点在于“问题情境化”的练习设计，如“圆柱形蓄水池抹水泥面积及蓄水量计算”“钢材截成两段后表面积变化求质量”等例题，结合跟踪训练和分层培优题，培养学生空间观念与应用意识。知识梳理中的“易错点警告”和公式汇总表，帮助基础薄弱学生夯实基础，拓展题助力优秀学生提升，为教师实施分层教学提供支撑。

单元培优讲义：圆柱与圆锥 知识梳理+例题讲解+培优练习 知识梳理 模块一：图形的认识与特征 这一部分主要考察对图形构成的理解，以及“点、线、面、体”之间的关系。 1. 图形的形成（面的旋转） 点动成线，线动成面，面动成体。 圆柱的形成：长方形绕着它的一条边（长或宽）旋转 360° 形成圆柱。 圆锥的形成：直角三角形绕着它的一条直角边旋转 360° 形成圆锥。 2. 圆柱与圆锥的特征对比 特征 圆柱 圆锥 底面 2个，大小完全相同的圆 1个，圆形 侧面 1个曲面，沿高展开是长方形（或正方形） 1个曲面，展开是扇形 高 无数条，长度都相等（两底面间的距离） 只有1条（顶点到底面圆心的距离） 切面 沿高切开是长方形（或正方形） 沿高切开（过顶点和直径）是等腰三角形 测量提示： 模块二：圆柱的表面积 计算表面积的关键在于判断物体 “有几个面” 。 1. 侧面积公式 圆柱侧面沿高展开是一个长方形： 长 = 圆柱的底面周长 ( ) 宽 = 圆柱的高 ( ) 公式： 2. 表面积的三种情况（易错点！） 在实际生活中，要根据物体的具体情况选择公式： （1）完整圆柱（如：礼品盒、密封油桶）： 公式： （2）无盖圆柱（如：无盖水桶、笔筒）： 公式： （3）无底圆柱（如：通风管、烟囱、压路机滚筒）： 公式： 模块三：体积与容积 1. 圆柱的体积 推导思想：转化法。把圆柱切拼成一个近似的长方体，体积不变，底面积和高也不变。 基本公式： 容积：计算方法与体积相同，但数据需从容器内部测量。 单位换算： ， 。 2. 圆锥的体积 核心关系：等底等高的圆锥体积是圆柱体积的 。 公式： 警告：计算圆锥体积时，千万不要忘记乘 ！这是考试中最常见的扣分点。 3. 等积变形（拓展应用） 当圆柱和圆锥满足特定条件时，存在以下倍数关系： 条件 关系 等底等高 （圆柱体积是圆锥的3倍） 等底等体积 （圆锥的高是圆柱的3倍） 等高等体积 （圆锥的底面积是圆柱的3倍） 核心公式汇总表 类别 公式（字母表示） 备注 圆柱侧面积 记得统一单位 圆柱表面积 视情况减去底面 圆柱体积 底面积 × 高 圆锥体积 乘三分之一 例题讲解 【典型例题1】 一个圆柱体，削去6立方分米，正好削成与它等底等高的圆锥体。这个圆锥体的体积是　 　立方分米。 【答案】3 【解析】【解答】解：6÷× =9× =3（立方分米） 故答案为：3。 【分析】根据题意及圆柱与圆锥体积的关系可知：把一个圆柱削成一个与它等底等高的圆锥体，圆锥的体积是圆柱体积的，则削去部分的体积是圆柱体积的，因此，削去部分的体积÷=圆柱的体积，削去部分的体积÷×=圆锥的体积。 【跟踪训练】 一个圆锥底面周长是6.28厘米，高是9厘米，它的体积是　 　立方厘米，一个与它底面积高分别相等的圆柱，体积是　 　立方厘米。 【典型例题2】 计算下面组合图形的体积。（单位：cm） 【答案】43.96cm3 【跟踪训练】 求下面图形的体积。(单位：cm) （1） （2） 【典型例题3】 农场在地下挖了一个圆柱形蓄水池，它的底面周长是125.6米，深2米。 （1）把底面和侧面抹上水泥，抹水泥的面积有多大？ （2）这个水池能蓄水多少立方米？ 【答案】解：根据题意，可得（1）125.6÷3.14÷2＝20（米） 3.14×202＋125.6×2 ＝3.14×400＋251.2 ＝1256＋251.2 ＝1507.2（平方米） 答：抹水泥的面积有1507.2平方米。 （2）3.14×202×2 ＝3.14×400×2 ＝2512（立方米） 答：这个水池能蓄水2512立方米。 【解析】【分析】（1）根据圆柱的周长公式：C=2πr，可知，r=C÷2π，代入数据，求出圆柱形蓄水池的半径，然后再根据圆形蓄水池的表面积公式：S=侧面积+底面积=底面周长×高+πr2，代入数据，即可求出抹水泥的面积； （2）根据圆柱的体积公式：V=πr2h，代入数据，即可求解。 【跟踪训练】 把一根长1m的圆柱形钢材截成两个小圆柱后，表面积增加了2dm2。每立方分米钢材的质量是7.85kg，原来这根钢材的质量是多少千克？ 培优练习 一、选择题 1．长方体、正方体、圆柱体和圆锥体这四种立体图形体积计算公式之间的共同点是（    ）。 A．计算方法都是“长×宽×高” B．计算方法都是“底面积×高” C．计算方法都有“底面积×高”这个步骤 D．计算方法都有“×”这个步骤 2．幸福镇在下水道改建工程中所使用的水泥管道形状如图（单位：dm），制作这样一节管道需要（    ）立方分米混凝土。 A．62.8 B．690.8 C．172.7 D．15.7 3．把一张长方形纸以长为底面周长卷成圆柱，也可以以宽为底面周长卷成圆柱，两种方法卷成的圆柱（    ）相等。 A．底面积 B．侧面积 C．表面积 D．体积 4．在数学课上，老师向学生们展示了如何通过旋转一个长方形来创建一个三维形状，他们可以得到一个（    ）。 A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．长方体 5．某工厂生产了一种饮料桶，尺寸如图所示（单位：厘米）。下面有三种饮料桶侧面的商标纸，你认为哪种纸与饮料桶侧面积最接近？（    ） A． B． C． D．以上都可以 6．下面说法正确的是（    ）。 A．①号与②号的底面积比是5∶2 B．①号与②号的体积比是5∶2 C．③号与④号的底面积比是4∶25 D．③号与④号的体积比是2∶5 二、填空题 7．嫦娥六号的返回是我国建设航天强国、科技强国的一标志性成果。如图是火箭模型的主体，它的基本形状是由( )和( )组成的。 8．市民中心广场开设了一个儿童区，现有5个相同的圆柱形石墩需要装饰，已知一个石墩的底面半径是20cm，高是50cm，石墩的上面和侧面都需要装饰，一共需要买( )m2的装饰画。 9．农历五月初五是“端午节”，有吃粽子的习惯，传说是为了纪念爱国主义诗人屈原。粽子古称“角黍”，由粽叶包裹糯米蒸制而成。如图是外形类似圆锥的粽子，该圆锥的高是( )cm，底面周长是( )cm，体积是( )cm3。 10．如图中的两个图形沿AB旋转分别得到( )和( )；如果AB为3cm，BC为1cm，则它们的体积分别是( )cm3和( )cm3。 11．三个同品质、同体积的容器。 (1)乙的高为( )。 (2)丙的底面积为( )。 (3)如果乙容器中装满了水，然后全部倒入甲容器，这时甲容器的水面高度为( )。 12．把一个长、宽、高分别为2米，1.57米，0.5米且装满沙粒的长方体沙坑内的沙子挖出来，堆成一个圆锥形的沙堆，圆锥形状的沙堆底面周长是6.28米，则这个沙堆的高是( )米。 三、判断题 13．把一个圆柱削成一个与它等底等高的圆锥，削去部分的体积是圆柱体积的。( ) 14．圆柱的底面直径是，高是，侧面沿高展开后是一个正方形。( ) 15．如果两个圆柱体的侧面积相等，那么它们的底面周长也一定相等。( ) 16．一个圆柱和一个圆锥的体积相等，它们不可能等底等高。( ) 17．如左图，用两张这样的纸可分别卷成高8厘米的圆柱或高6厘米的圆柱，两个圆柱的体积相等。( ) 四、计算题 18．求圆柱的表面积。 19．计算下面图形的体积。（单位：cm） （1）  （2）  （3） 五、解答题 20．一个圆柱形花坛，底面直径8米，高0.8米。 (1)这个花坛的占地面积是多少平方米？ (2)在花坛的外面抹上水泥（花坛厚度不计），抹水泥部分的面积是多少平方米？ (3)如果在花坛的内部填满沙土，至少需要多少立方米的沙土？ 21．把一个底面直径是6厘米的铅锤浸没在一个装有水的底面直径是20厘米的圆柱形玻璃杯中，当铅锤取出后，水面下降了0.6厘米，铅锤高多少厘米？ 22．我国古代的数学名著《九章算术》中记载着这样一种求圆柱体积的方法：周自相乘，以高乘之，十二而一。意思就是用底面周长的平方乘高，再除以12，可以得到这个圆柱的体积。（π取3） （1）利用上述方法求上图中圆柱的体积。 （2）用所学的数学知识验证第（1）题的结果。 23．一个圆锥形小麦堆（如图）。 (1)这堆小麦的占地面积是多少平方米？ (2)如果每立方米小麦的质量为700千克。这堆小麦的质量为多少千克？ 24．把一个体积为24立方厘米的圆柱形橡皮泥捏成底面积为12平方厘米的圆锥，这个圆锥的高是多少厘米？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元培优讲义：圆柱与圆锥 知识梳理+例题讲解+培优练习 知识梳理 模块一：图形的认识与特征 这一部分主要考察对图形构成的理解，以及“点、线、面、体”之间的关系。 1. 图形的形成（面的旋转） 点动成线，线动成面，面动成体。 圆柱的形成：长方形绕着它的一条边（长或宽）旋转 360° 形成圆柱。 圆锥的形成：直角三角形绕着它的一条直角边旋转 360° 形成圆锥。 2. 圆柱与圆锥的特征对比 特征 圆柱 圆锥 底面 2个，大小完全相同的圆 1个，圆形 侧面 1个曲面，沿高展开是长方形（或正方形） 1个曲面，展开是扇形 高 无数条，长度都相等（两底面间的距离） 只有1条（顶点到底面圆心的距离） 切面 沿高切开是长方形（或正方形） 沿高切开（过顶点和直径）是等腰三角形 测量提示： 模块二：圆柱的表面积 计算表面积的关键在于判断物体 “有几个面” 。 1. 侧面积公式 圆柱侧面沿高展开是一个长方形： 长 = 圆柱的底面周长 ( ) 宽 = 圆柱的高 ( ) 公式： 2. 表面积的三种情况（易错点！） 在实际生活中，要根据物体的具体情况选择公式： （1）完整圆柱（如：礼品盒、密封油桶）： 公式： （2）无盖圆柱（如：无盖水桶、笔筒）： 公式： （3）无底圆柱（如：通风管、烟囱、压路机滚筒）： 公式： 模块三：体积与容积 1. 圆柱的体积 推导思想：转化法。把圆柱切拼成一个近似的长方体，体积不变，底面积和高也不变。 基本公式： 容积：计算方法与体积相同，但数据需从容器内部测量。 单位换算： ， 。 2. 圆锥的体积 核心关系：等底等高的圆锥体积是圆柱体积的 。 公式： 警告：计算圆锥体积时，千万不要忘记乘 ！这是考试中最常见的扣分点。 3. 等积变形（拓展应用） 当圆柱和圆锥满足特定条件时，存在以下倍数关系： 条件 关系 等底等高 （圆柱体积是圆锥的3倍） 等底等体积 （圆锥的高是圆柱的3倍） 等高等体积 （圆锥的底面积是圆柱的3倍） 核心公式汇总表 类别 公式（字母表示） 备注 圆柱侧面积 记得统一单位 圆柱表面积 视情况减去底面 圆柱体积 底面积 × 高 圆锥体积 乘三分之一 例题讲解 【典型例题1】 一个圆柱体，削去6立方分米，正好削成与它等底等高的圆锥体。这个圆锥体的体积是　 　立方分米。 【答案】3 【解析】【解答】解：6÷× =9× =3（立方分米） 故答案为：3。 【分析】根据题意及圆柱与圆锥体积的关系可知：把一个圆柱削成一个与它等底等高的圆锥体，圆锥的体积是圆柱体积的，则削去部分的体积是圆柱体积的，因此，削去部分的体积÷=圆柱的体积，削去部分的体积÷×=圆锥的体积。 【跟踪训练】 一个圆锥底面周长是6.28厘米，高是9厘米，它的体积是　 　立方厘米，一个与它底面积高分别相等的圆柱，体积是　 　立方厘米。 【答案】9.42；28.26 【解析】【解答】解：根据题意，可得（1）6.28÷3.14÷2 ＝2÷2 ＝1（厘米） = ＝3.14×3 ＝9.42（立方厘米） 答：该圆锥的体积是9.42立方厘米； （2）9.42×3＝28.26（立方厘米） 答：与它底面积高分别相等的圆柱，体积是28.26立方厘米。 故答案为：9.42；28.26 【分析】（1）根据圆的周长公式：C＝2πr，可得，r＝C÷π÷2，根据圆锥体积公式：，代入数据，即可求出圆锥的体积； （2）根据圆柱和圆锥等底等高，所以圆柱体积是圆锥体积的3倍，用圆锥的体积乘以3，即可求解。 【典型例题2】 计算下面组合图形的体积。（单位：cm） 【答案】43.96cm3 【跟踪训练】 求下面图形的体积。(单位：cm) （1） （2） 【答案】（1）解：(6÷2)2×3.14×6× =9×3.14×2 =28.26×2 ＝56.52(cm3) 答：图形的体积为56.52cm3。 （2）解：(8÷2)2×3.14×12×＋(8÷2)2×3.14×12 =16×3.14×4+16×3.14×12 =200.96+602.88 ＝803.84(cm3) 答：图形的体积为56.52cm3。 【解析】【分析】（1）圆锥的体积=，据此计算； （2）圆柱的体积=，该图形的体积=圆柱的体积+圆锥的体积，据此计算。 【典型例题3】 农场在地下挖了一个圆柱形蓄水池，它的底面周长是125.6米，深2米。 （1）把底面和侧面抹上水泥，抹水泥的面积有多大？ （2）这个水池能蓄水多少立方米？ 【答案】解：根据题意，可得（1）125.6÷3.14÷2＝20（米） 3.14×202＋125.6×2 ＝3.14×400＋251.2 ＝1256＋251.2 ＝1507.2（平方米） 答：抹水泥的面积有1507.2平方米。 （2）3.14×202×2 ＝3.14×400×2 ＝2512（立方米） 答：这个水池能蓄水2512立方米。 【解析】【分析】（1）根据圆柱的周长公式：C=2πr，可知，r=C÷2π，代入数据，求出圆柱形蓄水池的半径，然后再根据圆形蓄水池的表面积公式：S=侧面积+底面积=底面周长×高+πr2，代入数据，即可求出抹水泥的面积； （2）根据圆柱的体积公式：V=πr2h，代入数据，即可求解。 【跟踪训练】 把一根长1m的圆柱形钢材截成两个小圆柱后，表面积增加了2dm2。每立方分米钢材的质量是7.85kg，原来这根钢材的质量是多少千克？ 【答案】解：1m=10dm 2÷2=1（dm2） 1×10=10（dm3） 7.85×10=78.5（kg） 答：原来这根钢材的质量是78.5千克。 【解析】【分析】根据题意可知把一根圆柱形钢材截成两个小圆柱后表面增加了两个原圆柱的底面，因此，增加的表面积÷2=原圆柱的底面积，原圆柱的底面积×原圆柱形钢材的长=原圆柱的体积，每立方分米钢材的质量×原圆柱的体积=原来这根钢材的质量；计算时统一单位：1米=10分米，大单位转化成小单位乘进率。 培优练习 一、选择题 1．长方体、正方体、圆柱体和圆锥体这四种立体图形体积计算公式之间的共同点是（    ）。 A．计算方法都是“长×宽×高” B．计算方法都是“底面积×高” C．计算方法都有“底面积×高”这个步骤 D．计算方法都有“×”这个步骤 【答案】C 【分析】长方体的体积＝长×宽×高；正方体体积＝棱长×棱长×棱长；圆柱的体积＝底面积×高；圆锥的体积＝底面积×高×，据此解答即可。 【详解】A．长方体的体积＝长×宽×高，长×宽是底面积，可以说是底面积×高。而圆柱体的体积、圆锥体的体积计算方法不是“长×宽×高”，原题说法错误，不符合题意； B．圆锥的体积＝底面积×高×。计算方法不都是“底面积×高”，原题说法错误，不符合题意； C．计算方法都有“底面积×高”这个步骤。原题说法正确，符合题意； D．计算方法只有“×”这个步骤的是圆锥的体积计算方法。原题说法错误，不符合题意。 故答案为：C 2．幸福镇在下水道改建工程中所使用的水泥管道形状如图（单位：dm），制作这样一节管道需要（    ）立方分米混凝土。 A．62.8 B．690.8 C．172.7 D．15.7 【答案】C 【分析】根据题意，制作一节这样的管道至少需要的混凝土体积＝大圆柱的体积－小圆柱的体积，根据圆柱的体积公式V＝Sh，分别算出大小圆柱的体积，再求出差即可。 【详解】6÷2＝3（dm） 4÷2＝2（dm） 3.14×32×11－3.14×22×11 ＝3.14×9×11－3.14×4×11 ＝3.14×11×（9－4） ＝3.14×11×5 ＝3.14×55 ＝172.7（dm3） 制作一节这样的管道至少需要混凝土172.7立方分米。 故答案为：C 3．把一张长方形纸以长为底面周长卷成圆柱，也可以以宽为底面周长卷成圆柱，两种方法卷成的圆柱（    ）相等。 A．底面积 B．侧面积 C．表面积 D．体积 【答案】B 【分析】根据题意，用一张长方形纸卷成两个形状不同的圆柱，一个圆柱是把长方形的长作为圆柱的底面周长，宽作为圆柱的高；另一个圆柱是把长方形的宽作为圆柱的底面周长，长作为圆柱的高；因此两个圆柱的底面半径、高都不相等，那么它们的底面积、表面积、体积就不相等，但两个圆柱的侧面积都等于这张长方形纸的面积，所以它们的侧面积相等。 【详解】A．因为卷成的是两个形状不同的圆柱，分别是以长方形的长、宽作为圆柱的底面周长，所以它们的底面周长不相等，即底面半径不相等，那么它们的底面积就不相等； B．根据圆柱侧面积公式S侧＝Ch，它们的底面周长和高的乘积一定，都等于长方形纸的面积，所以它们的侧面积相等； C．因为卷成的是两个形状不同的圆柱，则它们的底面积不相等，侧面积相等，根据圆柱表面积公式S表＝S侧＋2S底，可知它们的表面积不相等； D．因为卷成的是两个形状不同的圆柱，则它们的底面积和高都不相等，根据圆柱体积公式V柱＝Sh，可知它们的体积不相等。 故答案为：B 4．在数学课上，老师向学生们展示了如何通过旋转一个长方形来创建一个三维形状，他们可以得到一个（    ）。 A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．长方体 【答案】A 【分析】我们知道，点运动构成线，线运动构成面，而面运动构成体，以长方形或正方形的一边为轴，旋转一周，长方形或正方形的另外两个顶点绕轴旋转构成两个等圆，这两个圆面是圆柱的两个底，与轴平行的一边构成一个曲面，这就是圆柱的侧面，长方形或正方形这个面就构成圆柱；以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；通过旋转一个圆可以得到球，据此分析。 【详解】根据分析，一个长方形绕其一条边旋转一周，可以得到一个圆柱。 故答案为：A 5．某工厂生产了一种饮料桶，尺寸如图所示（单位：厘米）。下面有三种饮料桶侧面的商标纸，你认为哪种纸与饮料桶侧面积最接近？（    ） A． B． C． D．以上都可以 【答案】C 【分析】圆柱侧面沿高展开得到一个长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高；将已知数据代入圆的周长公式：C＝πd求出底面周长（也就是长方形的长），再结合选项选择即可。 【详解】3.14×8＝25.12（厘米） 饮料桶侧面沿高展开是一个长25.12厘米，宽12厘米的长方形，观察各选项可知：与饮料桶侧面展开最接近，也就是与饮料桶侧面积最接近。 故答案为：C 6．下面说法正确的是（    ）。 A．①号与②号的底面积比是5∶2 B．①号与②号的体积比是5∶2 C．③号与④号的底面积比是4∶25 D．③号与④号的体积比是2∶5 【答案】B 【分析】A．以宽为轴旋转一周得到①号圆柱，则圆柱的底面半径等于长方形的长5dm； 以长为轴旋转一周得到②号圆柱，则圆柱的底面半径等于长方形的宽2dm； 根据圆的面积公式S＝πr2，分别求出①号与②号圆柱的底面积，再求出它们的底面积之比。 B．以宽为轴旋转一周得到①号圆柱，则圆柱的底面半径等于长方形的长5dm，圆柱的高等于长方形的宽2dm； 以长为轴旋转一周得到②号圆柱，则圆柱的底面半径等于长方形的宽2dm，圆柱的高等于长方形的长5dm； 根据圆柱的体积公式V＝Sh，分别求出①号与②号圆柱的体积，再求出它们的体积之比。 C．以宽为高卷成③号圆柱，则圆柱的底面周长等于长方形的长5dm； 以长为高卷成④号圆柱，则圆柱的底面周长等于长方形的宽2dm； 根据圆的周长公式C＝2πr，可知r＝C÷π÷2，由此求出③号与④号圆柱的底面半径，再根据圆的面积公式S＝πr2，求出③号与④号圆柱的底面积，进而求出它们的底面积之比。 D．以宽为高卷成③号圆柱，由上一题可知③号圆柱的底面积； 以长为高卷成④号圆柱，由上一题可知④号圆柱的底面积； 根据圆柱的体积公式V＝Sh，求出③号和④号圆柱的体积，再求出③号与④号的体积比。 【详解】A．①号圆柱的底面积：π×52＝25π（dm2） ②号圆柱的底面积：π×22＝4π（dm2） 25π∶4π＝（25π÷π）∶（4π÷π）＝25∶4 ①号与②号的底面积比是25∶4，原说法错误； B．①号圆柱的体积：25π×2＝50π（dm3） ②号圆柱的体积：4π×5＝20π（dm3） 50π∶20π＝（50π÷10π）∶（20π÷10π）＝5∶2 ①号与②号的体积比是5∶2，原说法正确； C．③号圆柱的底面半径：5÷π÷2＝（dm） ④号圆柱的底面半径：2÷π÷2＝（dm） ③号圆柱的底面积：π×（）2＝（dm2） ④号圆柱的底面积：π×（）2＝（dm2） ∶＝（×4π）∶（×4π）＝25∶4 ③号与④号的底面积比是25∶4，原说法错误。 D．③号圆柱的体积：×2＝（dm3） ④号圆柱的体积：×5＝（dm3） ∶＝（×2π）∶（×2π）＝25∶10＝（25÷5）∶（10÷5）＝5∶2 ③号与④号的体积比是5∶2，原说法错误。 故答案为：B 二、填空题 7．嫦娥六号的返回是我国建设航天强国、科技强国的一标志性成果。如图是火箭模型的主体，它的基本形状是由( )和( )组成的。 【答案】 圆柱 圆锥 【分析】观察题中图片可知，火箭模型的主体主要是由圆柱和圆锥组成，据此来完成填空。 【详解】嫦娥六号的返回是我国建设航天强国、科技强国的一标志性成果。如图是火箭模型的主体，它的基本形状是由圆柱和圆锥组成的。 8．市民中心广场开设了一个儿童区，现有5个相同的圆柱形石墩需要装饰，已知一个石墩的底面半径是20cm，高是50cm，石墩的上面和侧面都需要装饰，一共需要买( )m2的装饰画。 【答案】3.768 【分析】根据题意，圆柱形石墩的上面和侧面都需要装饰，则一个石墩需装饰的面积＝圆柱的侧面积＋圆柱的一个底面积，根据S侧＝2πrh，S底＝πr2，代入数据计算求出一个石墩需装饰的面积，再乘5，即是5个石墩需装饰的面积。注意单位的换算：1m2＝10000cm2。 【详解】2×3.14×20×50＋3.14×202 ＝125.6×50＋3.14×400 ＝6280＋1256 ＝7536（cm2） 7536×5＝37680（cm2） 37680cm2＝3.768m2 一共需要买3.768m2的装饰画。 9．农历五月初五是“端午节”，有吃粽子的习惯，传说是为了纪念爱国主义诗人屈原。粽子古称“角黍”，由粽叶包裹糯米蒸制而成。如图是外形类似圆锥的粽子，该圆锥的高是( )cm，底面周长是( )cm，体积是( )cm3。 【答案】 4 18.84 37.68 【分析】圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的距离叫做圆锥的高，据此得出该圆锥的高。根据圆的周长公式C＝πd，求出圆锥的底面周长；根据圆锥的体积公式V＝πr2h，求出圆锥的体积。 【详解】从图中可知，该圆锥的高是4cm； 底面周长：3.14×6＝18.84（cm） 体积：×3.14×（6÷2）2×4 ＝×3.14×32×4 ＝×3.14×9×4 ＝37.68（cm3） 该圆锥的高是4cm，底面周长是18.84cm，体积是37.68cm3。 10．如图中的两个图形沿AB旋转分别得到( )和( )；如果AB为3cm，BC为1cm，则它们的体积分别是( )cm3和( )cm3。 【答案】 圆锥体/圆锥 圆柱体/圆柱 3.14 9.42 【分析】分析题目，直角三角形沿着一条直角边旋转一周得到的图形是圆锥体，沿着长方形的一条边旋转一周得到的图形是圆柱体；圆锥的体积公式V＝πr2h，圆柱的体积公式V＝πr2h，据此分别列式求出圆柱和圆锥的体积即可。 【详解】3.14×12×3× ＝3.14×1×3× ＝3.14×3× ＝9.42× ＝3.14（cm3） 3.14×12×3 ＝3.14×1×3 ＝3.14×3 ＝9.42（cm3） 如图中的两个图形沿AB旋转分别得到圆锥体和圆柱体；如果AB为3cm，BC为1cm，则它们的体积分别是3.14cm3和9.42cm3。 11．三个同品质、同体积的容器。 (1)乙的高为( )。 (2)丙的底面积为( )。 (3)如果乙容器中装满了水，然后全部倒入甲容器，这时甲容器的水面高度为( )。 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据圆柱的体积公式：（其中是底面积，是高），圆锥的体积公式：（其中是底面积，是高），因为三个容器的体积相等，即可求出乙的高，丙的底面积，如果乙容器中装满了水，然后全部倒入甲容器，因为水的体积不变，即可求出这时甲容器的水面高度。 【详解】（1）甲容器的体积：，因为乙的底面积为，即，等式两边同时除以，得到，等式两边同时乘3，得到； （2）甲容器的体积：，因为丙容器的高是，即，等式两边同时除以，得到，等式两边同时乘3，得到； （3）乙容器中装满水，水的体积就是乙容器的体积，即，设此时甲容器水面高度为，因为水的体积不变，即，等式两边同时除以，得到，这时甲容器的水面高度为。 12．把一个长、宽、高分别为2米，1.57米，0.5米且装满沙粒的长方体沙坑内的沙子挖出来，堆成一个圆锥形的沙堆，圆锥形状的沙堆底面周长是6.28米，则这个沙堆的高是( )米。 【答案】1.5 【分析】根据长方体体积＝长×宽×高，求出长方体的体积。长方体的体积与圆锥的体积相等，圆锥底面是个圆，根据C＝2πr，先求出r，再根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，求出圆锥的高即可。 【详解】2×1.57×0.5＝1.57（立方米） 6.28÷2÷3.14＝1（米） 1.57×3÷（3.14×12） ＝1.57×3÷3.14 ＝4.71÷3.14 ＝1.5（米） 这个沙堆的高是1.5米。 三、判断题 13．把一个圆柱削成一个与它等底等高的圆锥，削去部分的体积是圆柱体积的。( ) 【答案】√ 【分析】根据圆柱和圆锥的体积关系，等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍。削去部分的体积等于圆柱体积减去圆锥体积，因此削去部分的体积是圆柱体积的。 【详解】设圆柱体积为，则圆锥体积为，削去部分的体积为。因此，削去部分的体积是圆柱体积的，说法正确。 故答案为：√ 14．圆柱的底面直径是，高是，侧面沿高展开后是一个正方形。( ) 【答案】× 【分析】圆柱的侧面沿高展开图是一个长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高。当底面周长等于高时，展开图才是正方形。本题中，底面直径是6cm，高是6cm，底面周长是π×6≈18.84cm，高是6cm，两者不相等，因此展开图不是正方形。 【详解】圆柱的底面周长： 圆柱的高： 因为，所以底面周长不等于高。 因此，侧面沿高展开后不是一个正方形。 原题说法错误。 故答案为：× 15．如果两个圆柱体的侧面积相等，那么它们的底面周长也一定相等。( ) 【答案】× 【分析】圆柱的侧面积等于底面周长乘高。如果两个圆柱的侧面积相等，但高不同，底面周长可能不同，因此底面周长不一定相等。 【详解】圆柱的侧面积公式为：侧面积＝底面周长×高。若侧面积相等，当两圆柱的高不同时，底面周长可能不同。因此，侧面积相等时底面周长不一定相等。 故答案为：× 16．一个圆柱和一个圆锥的体积相等，它们不可能等底等高。( ) 【答案】√ 【分析】圆柱的体积＝底面积×高，圆锥的体积＝底面积×高×，可得等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍。若圆柱和圆锥等底等高，它们的体积必然不相等。因此，当圆柱和圆锥体积相等时，它们不可能等底等高。 【详解】一个圆柱和一个圆锥的体积相等，它们不可能等底等高。原题说法正确。 故答案为：√ 17．如左图，用两张这样的纸可分别卷成高8厘米的圆柱或高6厘米的圆柱，两个圆柱的体积相等。( ) 【答案】× 【分析】根据题意可知，这张纸可以卷成一个底面周长是6厘米、高是8厘米的圆柱，也可以卷成一个底面周长是8厘米、高是6厘米的圆柱。根据底面周长公式和体积公式，分别用π×（6÷2÷π）2×8和π×（8÷2÷π）2×6求出两个圆柱的体积，再比较即可。 【详解】π×（6÷2÷π）2×8 ＝π×（）2×8 ＝π××8 ＝（立方厘米） π×（8÷2÷π）2×6 ＝π×（）2×6 ＝π××6 ＝（立方厘米） ≠ 根据分析可知，用两张这样的纸可分别卷成高8厘米的圆柱或高6厘米的圆柱，两个圆柱的体积并不相等。原题干说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题主要考查了圆柱的体积公式的灵活应用，要熟练掌握公式。 四、计算题 18．求圆柱的表面积。 【答案】100.48cm2；244.92dm2 【分析】圆柱的表面积S表＝S侧＋2S底，其中S侧＝Ch，S底＝πr2，C＝πd或C＝2πr，代入数据计算即可求解。 【详解】圆柱的侧面积是用圆柱的底面周长乘高得到的。 （1）侧面积：3.14×4×6＝75.36（cm2） 底面积：3.14×（4÷2）2 ＝3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（cm2） 表面积：75.36＋12.56×2 ＝75.36＋25.12 ＝100.48（cm2） 圆柱的表面积是100.48cm2。 （3）侧面积：2×3.14×3×10＝188.4（dm2） 底面积：3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（dm2） 表面积：188.4＋28.26×2 ＝188.4＋56.52 ＝244.92（dm2） 圆柱的表面积是244.92dm2。 19．计算下面图形的体积。（单位：cm） （1）  （2）  （3） 【答案】（1）197.82立方厘米 （2）339.12立方厘米 （3）43.96立方厘米 【分析】（1）根据圆柱的体积公式，代入数据计算即可； （2）根据圆锥的体积公式，代入数据计算即可； （3）根据圆柱的体积公式，圆锥的体积公式，分别计算出圆柱和圆锥的体积，再相加即可解答。 【详解】（1） （立方厘米） 所以圆柱的体积是197.82立方厘米。 （2） （立方厘米） 圆锥的体积是339.12立方厘米。 （3） （立方厘米） （立方厘米） （立方厘米） 所以组合图形的体积是43.96立方厘米。 五、解答题 20．一个圆柱形花坛，底面直径8米，高0.8米。 (1)这个花坛的占地面积是多少平方米？ (2)在花坛的外面抹上水泥（花坛厚度不计），抹水泥部分的面积是多少平方米？ (3)如果在花坛的内部填满沙土，至少需要多少立方米的沙土？ 【答案】(1)50.24平方米 (2)20.096平方米 (3)40.192立方米 【分析】（1）花坛的占地面积是一个直径为8米的圆的面积，根据圆的面积＝即可求解； （2）抹水泥部分的面积是底面直径为8米，高为0.8米的圆柱的侧面积，利用圆柱侧面积＝即可求解； （3）因为填满沙土的体积是圆柱的容积，也就是圆柱的体积，这个圆柱的底面积为花坛的占地面积，高为0.8米，根据圆柱的体积＝底面积×高即可求解。 【详解】（1）（米） （平方米） 答：这个花坛的占地面积是50.24平方米。 （2）（平方米） 答：抹水泥部分的面积是20.096平方米。 （3）（立方米） 答：至少需要40.192立方米的沙土。 21．把一个底面直径是6厘米的铅锤浸没在一个装有水的底面直径是20厘米的圆柱形玻璃杯中，当铅锤取出后，水面下降了0.6厘米，铅锤高多少厘米？ 【答案】20厘米 【分析】水面下降的体积等于圆锥形铅锤的体积。先根据圆柱形玻璃杯的底面直径和水面下降高度，计算出下降部分水的体积，即铅锤的体积。再利用圆锥体积公式，反推出铅锤的高。 【详解】20÷2＝10（厘米） 6÷2＝3（厘米） ××0.6＝60 60÷（××32） ＝60÷3 ＝20（厘米） 答：铅锤高20厘米。 22．我国古代的数学名著《九章算术》中记载着这样一种求圆柱体积的方法：周自相乘，以高乘之，十二而一。意思就是用底面周长的平方乘高，再除以12，可以得到这个圆柱的体积。（π取3） （1）利用上述方法求上图中圆柱的体积。 （2）用所学的数学知识验证第（1）题的结果。 【答案】（1）384立方厘米 （2）根据圆柱的体积公式验证第（1）题的结果正确。 【分析】（1）圆柱的底面半径是4厘米，高是8厘米，根据（C表示周长，r表示半径），先求出底面周长，再求出它的平方后，乘高再除以12，即可求出圆柱的体积。 （2）（r表示半径，h表示高），代入数据求出体积，再进行比较即可。 【详解】（1） 答：圆柱的体积是384立方厘米。 （2）根据圆柱体积公式： 答：根据圆柱的体积公式验证第（1）题的结果正确。 23．一个圆锥形小麦堆（如图）。 (1)这堆小麦的占地面积是多少平方米？ (2)如果每立方米小麦的质量为700千克。这堆小麦的质量为多少千克？ 【答案】(1)28.26平方米 (2)13188千克 【分析】（1）圆锥的占地面积是指圆的面积，用计算，需先根据直径等于6米，利用求出底面的半径。 （2）先根据求出圆锥形小麦堆的体积，每立方米小麦的重量乘小麦堆的体积解答。 【详解】（1）（米） （平方米） 答：这堆小麦的占地面积是28.26平方米。 （2） （立方米） （千克） 答：这堆小麦的质量为13188千克。 24．把一个体积为24立方厘米的圆柱形橡皮泥捏成底面积为12平方厘米的圆锥，这个圆锥的高是多少厘米？ 【答案】6厘米 【分析】根据圆锥的体积V＝，用圆锥的体积除以再除以底面积即可。 【详解】 ＝24×3÷12 ＝72÷12 ＝6（厘米） 答：这个圆锥的高是6厘米。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 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