第7章 图形的变化-【一战成名新中考】2025山东中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

教师备课尊享·山东数学 第七章　 图形的变化 　 第 七 章 图 形 的 变 化 一 知识思维导图串讲 18 教师备课尊享·山东数学 　 第 七 章 图 形 的 变 化 二 2024 山东考情分析 1. 2024 山东统考卷、统考样卷、青岛、济宁题型、题位、分值的分析与总结 　 　 　 地市 题型　 　 　 2024 统考卷 2024 统考样卷 2024 青岛 2024 济宁 选择题 2 题 3 分 4 题 3 分 2 题 3 分 4 题 3 分 9 题 3 分 2 题 3 分 4 题 3 分 6 题 3 分 2 题 3 分 填空题 15 题 3 分 15 题 3 分 15 题 3 分 解答题 22(2)题 3 分 21 题涉及 24 题 6 分 16 题 4 分 25(3)题涉及 17 题 5 分 21 题 2 分 总题量 4 道 5 道 6 道 4 道 总分值 12 分 15 分 16 分 13 分 【考情总结】 (1)总题量为 4~ 6 道,总分值为 12~ 16 分; (2)选择题、填空题共考查 2~ 4 道,6 或 12 分; (3)解答题考查 1~ 2 道,3~ 7 分. 2. 章内各版块考查频次、特点的分析与总结 　 　 　 地市 版块　 　 　 2024 统考卷 2024 统考样卷 2024 青岛 2024 济宁 尺规作图 15 题 3 分 9 题 3 分 16 题 4 分 15 题 3 分 三视图 4 题 3 分 4 题 3 分 4 题 3 分 立体图形的 展开与折叠 2 题 3 分 轴对称 (含折叠) 2 题 1. 5 分 2 题 1. 5 分 24 题 6 分 2 题 1. 5 分 25(3)题涉及 21 题 2 分 中心对称 (含旋转) 2 题 1. 5 分 22(2)题 3 分 2 题 1. 5 分 21 题涉及 2 题 1. 5 分 6 题 1. 5 分 17(2)题 2 分 平移、裁剪 与拼接 21(2)题涉及 6 题 1. 5 分 15 题 3 分 17(1)题 3 分 【考情总结】 (1)尺规作图必考 1 道,在选择题、填空题、解答题都可能考查; (2)三视图、立体图形的展开与折叠必考查 1 道,均在选择题考查; (3)对称图形的识别、轴对称的性质(含折叠)、平移性质或平移作图是高频考点; (4)旋转必考 1 道,考查旋转性质或旋转作图. 28 教师备课尊享·山东数学 　 第 七 章 图 形 的 变 化 三 2024 山东统考卷、统考样卷、青岛、济宁真题分类+好题类推 版块 1　 尺规作图 1. [2024 山东统考卷 15 题 3 分]如图,已知∠MAN,以点 A 为圆心,以适当长为半径作弧,分别与 AM, AN 相交于点 B,C;分别以 B,C 为圆心,以大于 1 2 BC 的长为半径作弧,两弧在∠MAN 内部相交于 点 P,作射线 AP. 分别以 A,B 为圆心,以大于 1 2 AB 的长为半径作弧,两弧相交于点 D,E,作直线 DE 分别与 AB,AP 相交于点 F,Q. 若 AB= 4,∠PQE= 67. 5°,则 F 到 AN 的距离为　 2 　 . 第 1 题图 　 　 　 　 　 第 1 题解图 【解析】如解图,过点 F 作 FH⊥AC 于点 H,由作图可得∠BAP = ∠CAP,DE⊥AB,AF = BF = 1 2 AB = 2, ∵∠PQE=67. 5°,∴ ∠AQF = 67. 5°,∴ ∠BAP = ∠CAP = 90°-67. 5° = 22. 5°,∴ ∠FAH = 45°,∴ AH = FH = 2 2 AF= 2 ,∴F 到 AN 的距离为 2 . 2. [2024 山东统考样卷 9 题 3 分]如图,△ABC 的边 AC 为☉O 的直径. 点 A 为圆心,以适当长为半径作 弧,分别交边 AB,AC 于点 D,E;再分别以点 D,E 为圆心,大于 1 2 DE 的长为半径作弧,两弧在 ∠BAC 内部相交于点 F,作射线 AF 与☉O 交于点 P. 点 M 为 ACP ( 上一点,连接 AM,PM. 若 ∠BAC= 50°,则∠M 的度数为 (　 C　 ) A. 75° B. 70° C. 65° D. 60° 第 2 题图 　 　 　 　 　 第 2 题解图 【解析】如解图,连接 PC,由作图可知 AP 为∠BAC 的平分线,∵ ∠BAC = 50°,∴ ∠CAP = 1 2 ∠BAC = 25°, ∵△ABC 的边 AC 为 ☉O 的直径,∴ ∠APC = 90°,∴ ∠ACP = 90° - ∠CAP = 65°,∵ PA ( = PA ( ,∴ ∠M = ∠ACP=65°. 38 教师备课尊享·山东数学 　 第 七 章 图 形 的 变 化 3. [2024 济宁 15 题 3 分]如图,△ABC 中,AB=AC,∠BAC= 90°,AD 是△ABC 的角平分线. (1)以点 B 为圆心,适当长为半径画弧,分别交 BA,BC 于点 E,F; (2)以点 A 为圆心,BE 长为半径画弧,交 AC 于点 G; (3)以点 G 为圆心,EF 长为半径画弧,与(2)中所画的弧相交于点 H; (4)画射线 AH; (5)以点 B 为圆心,BC 长为半径画弧,交射线 AH 于点 M; (6)连接MC,MB. MB 分别交 AC,AD于点 N,P. 根据以上信息,下面五个结论中正确的是　 ①②⑤　 (只填序号) . ①BD=CD;②∠ABM= 15°;③∠APN= ∠ANP;④AM AD = 3 2 ;⑤MC2 =MN·MB. 第 3 题图 　 　 　 　 　 第 3 题解图 【解析】∵AB=AC,∠BAC=90°,∴△ABC 为等腰直角三角形,∠ABD =∠ACD = 45°,又∵ AD 是△ABC 的角 平分线,∴∠DAB=∠DAC=45°,AD 垂直平分线段 BC,∴BD =AD =DC,∠ADC = 90°,故①正确;根据题意可 得∠MAC=∠ABD=45°,BM=BC,如解图,过点 M 作 MK⊥BC 于点 K,则∠MKB = 90°,∵ ∠DAM =∠DAC+ ∠MAC=45°+45° = 90°,∴ ∠DAM = ∠MKB = ∠ADC = 90°,∴四边形 ADKM 为矩形,∴ MK = AD = 1 2 BC = 1 2 BM,∴∠MBK=30°,∴∠ABM =∠ABD-∠MBK = 45°-30° = 15°,故②正确;∵ ∠APN =∠ABM+∠DAB = 15°+45° =60°,∠ANP=∠MBK+∠ACD=30°+45° =75°,∴∠APN≠∠ANP,故③错误;设 AP =x,则 PD=AD- x,∵AM∥BC,∴∠AMB=∠MBC=30°,∴tan∠AMB = tan30° = AP AM = x AM = 3 3 ,∴AM= 3 x,又∵ tan∠MBC = tan30° = PD BD = AD-x AD = 3 3 ,∴ AD = 3x + 3 x 2 ,∴ AM AD = 3 x 3x+ 3 x 2 = 3 - 1,故④错误;∵ ∠BMC = ∠MCB = 180°-∠MBC 2 = 180°-30° 2 =75°,∠MNC=∠ANP=75°,∴∠MNC=∠MCB,又∵∠BMC=∠CMN,∴△BMC∽ △CMN,∴MC ∶MN=MB ∶MC,∴MC2 =MN·MB,故⑤正确.综上所述,正确的有①②⑤. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋地 市卷好题类推 3-1 [2024 烟台 7 题 3 分]某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动,各组展示作图痕迹如 下,其中射线 OP 为∠AOB 的平分线的有 (　 D　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 第 3-1 题图 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 48 教师备课尊享·山东数学 　 第 七 章 图 形 的 变 化 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋3-2 [2024 日照 19 题 12 分]如图,以▱ABCD 的顶点 B 为圆心,AB 长为半径画弧,交 BC 于点 E,再分 别以点 A,E 为圆心,大于 1 2 AE 的长为半径画弧,两弧交于点 F,画射线 BF,交 AD 于点 G,交 CD 的延长线于点 H. (1)由以上作图可知,∠1 与∠2 的数量关系是　 ∠1=∠2　 ; (2)求证:CB=CH; (3)若 AB= 4,AG= 2GD,∠ABC= 60°,求△BCH 的面积. 第 3-2 题图 　 　 　 　 　 第 3-2 题解图 (1)解:∠1=∠2; (2)证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠1=∠CHB, 由(1)知,∠1=∠2,∴∠CHB=∠2,∴CB=CH; (3)解:如解图,过点 H 作 HK⊥BC,交 BC 的延长线于点 K,则∠HKC=90°, ∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴AD∥BC,AB∥CD,AD=BC,∴∠2=∠AGB, 由(1)知,∠1=∠2,∴∠1=∠AGB,∴AG=AB=4, ∵AG=2GD,∴GD=2,∴BC=AD=AG+GD=4+2=6, 由(2)可知,CH=CB=6, ∵AB∥CD,∴∠HCK=∠ABC=60°, 在 Rt△HCK 中,HK=CH·sin∠HCK=6× 3 2 =3 3 , ∴S△BCH = 1 2 BC·HK= 1 2 ×6×3 3 =9 3 . 4. 多解法 ∙∙∙ [2024 青岛 16 题 4 分]请用直尺、圆规作图,不写作法,但要保留作图痕迹. 已知:如图,四边形 ABCD,E 为 DC 边上一点. 求作:四边形内一点 P,使 EP∥BC,且点 P 到 AB,AD 的距离相等. 第 4 题图 解:如解图,点 P 即为所求. 第 4 题解图 58 教师备课尊享·山东数学 　 第 七 章 图 形 的 变 化 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第 4-1 题解图 地 市卷好题类推 4-1 [2024 滨州 23 题 10 分](1)如图①,△ABC 中,点 D,E,F 分别在三边 BC,CA,AB 上,且满足 DF∥ AC,DE∥AB. ①求证:四边形 AFDE 为平行四边形; ②若AB AC =BD DC ,求证:四边形 AFDE 为菱形; (2)把一块三角形余料 MNH(如图②所示)加工成菱形零件,使它的一个顶点与△MNH 的顶点 M 重合,另外三个顶点分别在三边 MN,NH,HM 上,请在图②上作出这个菱形(用尺规作图, 保留作图痕迹,不写作法) . 图① 　 　 　 　 　 图② 第 4-1 题图 (1)证明:①∵DF∥AC,DE∥AB, ∴四边形 AFDE 为平行四边形; ②证明:∵DF∥AC,∴△BFD∽△BAC,∴DF AC =BD BC ,即 DF·BC=AC·BD, 同理可得 DE·BC=AB·CD,又∵AB AC =BD DC ,∴AB·DC=AC·BD,∴DF=DE, 由(1)知四边形 AFDE 为平行四边形,∴四边形 AFDE 为菱形; (2)解:如解图,菱形 MDPE 即为所求. 版块 2　 三视图、立体图形的展开与折叠 1. [2024 山东统考卷 4 题 3 分]下列几何体中,主视图是如图的是 (　 D　 ) 第 1 题图 　 　 　 　 　 2. [2024 山东统考样卷 4 题 3 分]如图是由一个正六棱柱和一个圆锥组成的几何体,它的主视图为 (　 B　 ) 第 2 题图 　 　 　 　 　 3. [2024 青岛 4 题 3 分]如图所示的正六棱柱,其俯视图是 (　 C　 ) 第 3 题图 　 　 　 　 　 68 教师备课尊享·山东数学 　 第 七 章 图 形 的 变 化 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第 3-2 题图 第 3-3 题图 地 市卷好题类推 3-1 [2024 东营 4 题 3 分]某几何体的俯视图如图所示,下列几何体(箭头所示为正面)的俯视图与其 相同的是 (　 C　 ) 第 3-1 题图 　 　 　 　 　 3-2 [2024 济南 2 题 4 分]黑陶是继彩陶之后中国新石器时代制陶工艺的又一个高峰,被誉为“土与 火的艺术,力与美的结晶” . 如图是山东博物馆收藏的蛋壳黑陶高柄杯. 关于它的三视图,下列说 法正确的是 (　 A　 ) A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 3-3 [2024 烟台 3 题 3 分]如图是由 8 个大小相同的小正方体组成的几何体,若从标号为①②③④的小 正方体中取走一个,使新几何体的左视图既是轴对称图形又是中心对称图形,则应取走 (　 A　 ) A. ① B. ② C. ③ D. ④ 4. [2024 济宁 2 题 3 分]如图是一个正方体的展开图,把展开图折叠成正方体后,有“建”字一面的相 对面上的字是 (　 D　 ) 第 4 题图 A. 人 B. 才 C. 强 D. 国 版块 3　 轴对称、中心对称、平移、裁剪与拼接 1. [2024 山东统考卷 2 题 3 分]用一个平面截正方体,可以得到以下截面图形,其中既是轴对称图形又 是中心对称图形的是 (　 D　 ) 第 1 题图 78 教师备课尊享·山东数学 　 第 七 章 图 形 的 变 化 2. [2024 青岛 6 题 3 分]如图,将正方形 ABCD 先向右平移,使点 B 与原点 O 重合,再将所得正方形绕 原点 O 顺时针方向旋转 90°,得到四边形 A′B′C′D′,则点 A 的对应点 A′的坐标是 (　 A　 ) 第 2 题图 A. ( -1,-2) B. ( -2,-1) C. (2,1) D. (1,2) 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋地 市卷好题类推 2-1 [2024 东营 15 题 4 分]如图,将△DEF 沿 FE 方向平移 3 cm 得到△ABC,若△DEF 的周长为 24 cm,则四边形 ABFD 的周长为　 30　 cm. 第 2-1 题图 【解析】由平移的性质可知 AD=BE=3 cm,AB=DE,∵△DEF 的周长为 24 cm,∴DE+EF+DF= 24 cm,∴四 边形 ABFD 的周长为 AB+BE+EF+DF+AD=24+3+3=30(cm) . 2-2 [2024 潍坊 12 题 4 分]如图,在直角坐标系中,等边三角形 ABC 的顶点 A 的坐标为(0,4),点 B,C 均在 x 轴上. 将△ABC 绕顶点 A 逆时针旋转 30°得到△AB′C′,则点 C′的坐标为　 (4,4-4 3 3 ) 　 . 第 2-2 题图 　 　 　 　 　 第 2-2 题解图 【解析】如解图,过点 C′作 C′F⊥AO 于点 F,由A(0,4)得 OA=4,∵△ABC 是等边三角形,AO⊥BC,∴AO 是 ∠BAC 的平分线,∴∠BAO=∠OAC= 1 2 ∠BAC=30°,∴AC= OA cos30° = 8 3 3 ,由旋转的性质得 AC′=AC = 8 3 3 , ∠B′AC′=∠BAC = 60°,∠BAB′ = 30°,∴ ∠BAB′ = ∠BAO,∴点 B′在 y 轴上,∵ C′F⊥AO,∴ AF = AC′· cos60° =4 3 3 ,FC′=AC′·sin60° =4,∴OF=AO-AF=4-4 3 3 ,∴C′(4,4-4 3 3 ) . 88 教师备课尊享·山东数学 　 第 七 章 图 形 的 变 化 3. [2024 济宁 17 题 6 分]如图,△ABC 三个顶点的坐标分别是 A(1,3),B(3,4),C(1,4) . (1)将△ABC 向下平移 2 个单位长度得△A1B1C1 . 画出平移后的图形,并直接写出点 B1 的坐标; (2)将△A1B1C1 绕点 B1 逆时针旋转 90°得△A2B1C2 . 画出旋转后的图形,并求点 C1 运动到点 C2 所经过的路径长. 第 3 题图 　 　 　 　 　 第 3 题解图 解:(1)如解图,△A1B1C1 即为所求; 由图可得,点 B1 的坐标为(3,2); (2)如解图,△A2B1C2 即为所求. 点 C1 运动到点 C2 所经过的路径长为 90π×2 180 =π. 4. [2024 青岛 15 题 3 分]如图①,将边长为 2 的正方形纸板沿虚线剪掉边长为 1 的小正方形,得到如 图②的“纸板卡”,若用这样完全相同的“纸板卡”拼成正方形,最少需要　 12　 块;如图③,将长、 宽、高分别为 4,2,2 的长方体砖块,切割掉长、宽、高分别为 4,1,1 的长方体,得到如图④的“直角 砖块”,若用这样完全相同的“直角砖块”拼成正方体,最少需要　 144　 块. 第 4 题图 【解析】先用 2 块题图②拼成一个长为 3、宽为 2 的长方形,面积为 6,则 6 个这样的长方形拼成一个面积为 36 的正方形,此时边长为 6,∴最少需要题图②6×2=12(块);用 2 块题图④拼成一个长、宽、高分别为 4,3,2 的长 方体,用 4×3=12(个)这样的长方体拼成一个长、宽、高分别为 12,1,2 的长方体,用 6 个这样的长方体可以拼 成棱长为 12 的正方体,∴最少需要题图④2×3×4×6=144(块) . 98 教师备课尊享·山东数学 　 第 七 章 图 形 的 变 化 5. [2024 山东统考样卷 24 题 12 分]综合与实践 【问题情境】为了研究折纸过程中蕴涵的数学知识,老师发给每位同学完全相同的纸片,纸片形状 如图①,在四边形 ABCD 中(BC≥CD),AB∥CD,∠B= 90°. 【探究实践】老师引导同学们在边 BC 上任取一点 E,连接 DE,将△DCE 沿 DE 翻折,点 C 的对应 点为 H,然后将纸片展平,连接 CH 并延长,分别交 DE,AB 于点 M,G. 老师让同学们探究:当点 E 在不同位置时,能有哪些发现? 经过思考和讨论,小莹、小明向同学们分享了自己的发现. (1)如图②,小莹发现:“当折痕 DE 与 AD 夹角为 90°时,则四边形 AGCD 是平行四边形. ” (2)如图③,小明发现:“当 E 是 BC 的中点时,延长 DH 交 AB 于点 N,连接 EN,则 N 是 BG 的中点” . 请你分别判断两人的结论是否正确,并说明理由. 【拓展应用】 (3)如图④,小慧在小明发现的基础上,经过进一步思考发现:“延长 EH 交 AB 于点 F. 当给出 BC 和 BF 的长时,就可以求出 CD 的长. ”老师肯定了小慧同学结论的正确性. 若 BC = 6,BF = 4, 请你帮小慧求出 CD 的长. 图① 　 　 　 图② 　 　 　 图③ 　 　 　 图④ 第 5 题图 解:(1)小莹的结论正确,理由如下: ∵将△DCE 沿 DE 翻折,点 C 的对应点为 H,∴DE⊥CH,∵∠ADE=90°,∴AD⊥DE,∴AD∥CG, ∵AB∥CD,∴四边形 AGCD 是平行四边形,故小莹的结论正确; (2)小明的结论正确,理由如下: ∵AB∥CD,∠B=90°,∴∠DCB=180°-∠B=90°, ∵将△DCE 沿 DE 翻折,点 C 的对应点为 H,∴CE=HE,∠DHE=∠DCB=90°,CD=DH, ∴∠EHN=90°,∠DCH=∠DHC, ∵CD∥AB,∴∠DCH=∠HGN,∵∠DHC=∠NHG,∴∠NHG=∠HGN,∴HN=GN, ∵E 是 BC 的中点,∴CE=BE,∴BE=HE, 在 Rt△EHN 与 Rt△EBN 中, EH=EB, EN=EN,{ ∴Rt△EHN≌Rt△EBN(HL),∴BN=HN,∴GN=BN, ∴N 是 BG 的中点,故小明的结论正确; (3)∵E 是 BC 的中点,BC=6,∴CE=BE= 1 2 BC=3, ∵∠B=90°,BF=4,∴EF= BE2+BF2 =5,∵EH=CE=3,∴HF=EF-HE=2, 由(2)知,BN=HN=GN,设 BN=HN=GN=x,∴FN=4-x, ∵∠FHN=∠DHE=90°,∴FH2+HN2 =FN2,∴22+x2 =(4-x) 2,解得 x= 3 2 ,∴BG=2x=3, ∵∠BCG+∠CEM=∠BCG+∠CGB=90°,∴∠CEM=∠CGB, ∵∠DCE=∠B=90°,CE=BG=3,∴△CDE≌△BCG(ASA),∴CD=BC=6. 09 教师备课尊享·山东数学 　 第 七 章 图 形 的 变 化 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第 5-1 题解图① 第 5-1 题解图② 地 市卷好题类推 5-1 [2024 东营 24 题 10 分]在 Rt△ABC 中,∠ACB= 90°,AC= 1,BC= 3. (1)问题发现 如图①,将△CAB 绕点 C 按逆时针方向旋转 90°得到△CDE,连接 AD,BE,线段 AD 与 BE 的 数量关系是　 BE=3AD　 ,AD 与 BE 的位置关系是　 AD⊥BE　 ; (2)类比探究 将△CAB 绕点 C 按逆时针方向旋转任意角度得到△CDE,连接 AD,BE,线段 AD 与 BE 的数 量关系,位置关系与(1)中结论是否一致? 若 AD 交 CE 于点 N,请结合图②说明理由; (3)迁移应用 如图③,将△CAB 绕点 C 旋转一定角度得到△CDE,当点 D 落到 AB 边上时,连接 BE,求线段 BE 的长. 图① 　 　 　 图② 　 　 　 图③ 第 5-1 题图 解:(1)BE=3AD,AD⊥BE; (2)线段 AD 与 BE 的数量关系,位置关系与(1)中结论一致,理由如下:如解图①,延长 DA 交 BE 于点 H, ∵将△CAB 绕点 C 按逆时针方向旋转任意角度得到△CDE, ∴DC=AC=1,CE=BC=3,∠DCE=∠ACB=90°,∠ECB=∠ACD, ∴AC BC =CD CE = 1 3 ,∴△BCE∽△ACD,∴AD BE =AC BC = 1 3 ,∠CDA=∠CEB,∴BE=3AD, ∵∠CEB+∠ENH=∠CDA+∠CND=90°,∴∠EHD=90°,∴AD⊥BE; (3)如解图②,过点 C 作 CN⊥AB 于点 N, ∵∠ACB=90°,AC=1,BC=3,∴AB= AC2+BC2 = 1+9 = 10 , ∵CN⊥AB,∴∠ANC=90° =∠ACB, 又∵∠A=∠A,∴△ACN∽△ABC,∴AC AB =AN AC ,∴AN· 10 =1,∴AN= 10 10 , ∵AC=DC,CN⊥AB,∴AD=2AN= 10 5 ,由(2)可知 BE=3AD,∴BE=3 10 5 . 四 2022 年版课标内容梳理 命题点 1　 尺规作图 1. 能用尺规作图:作一个角等于已知角;作一个角的平分线; 2. 能用尺规作图:作一条线段的垂直平分线;过一点作已知直线的垂线; 3. 能用尺规作图:过直线外一点作这条直线的平行线􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍(新增); 4. 能用尺规作图:已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形;已知底边及底边上的高线作等腰三角形;已 知一直角边和斜边作直角三角形; 19 教师备课尊享·山东数学 　 第 七 章 图 形 的 变 化 5. 能用尺规作图:过不在同一直线上的三点作圆;作三角形的外接圆、内切圆;作圆的内接正方形和内接正六 边形; 6. ∗能用尺规作图:过圆外一点作圆的切线􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍(新增) . 命题点 2　 投影、视图、立体图形的展开与折叠 1. 通过丰富的实例,了解中心投影和平行投影的概念; 2. 会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图,能判断简单物体的视图,并会根据视图描述简单的几 何体; 3. 了解直棱柱、圆锥的侧面展开图,能根据展开图想象和制作模型; 4. 通过实例,了解上述视图与展开图在现实生活中的应用. 命题点 3　 轴对称与图形的折叠 1. 通过具体实例理解􀪍􀪍轴对称的概念(“了解”改为“理解”),探索它的基本性质:成轴对称的两个图形中对应点的 连线被对称轴垂直平分; 2. 能画出简单平面图形(点、线段、直线、三角形等)关于给定对称轴的对称图形; 3. 理解􀪍􀪍轴对称图形的概念(将“了解”改为“理解”);探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称性质; 4. 认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形; 5. 运用图形的轴对称进行图案设计; 6. 在平面直角坐标系中,以坐标轴为对称轴,能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标,知道对 应顶点坐标之间的关系. 命题点 4　 中心对称与图形的旋转 1. 了解中心对称、中心对称图形的概念,探索它们的基本性质:成中心对称的两个图形中,对应点的连线经过对称 中心,且被对称中心平分; 2. 探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质; 3. 认识并欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形; 4. 通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转. 探索它的基本性质:一个图形和旋转得到的图形中,对应点 到旋转中心距离相等,两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等; 5. 运用图形的旋转进行图案设计. 命题点 5　 图形的平移、裁剪与拼接 1. 通过具体实例认识平移,探索它的基本性质:一个图形和它经过平移所得的图形中,两组对应点的连线平行(或 在同一条直线上)且相等; 2. 认识并欣赏平移在自然界和现实生活中的应用; 3. 运用图形的平移进行图案设计; 4. 在平面直角坐标系中,能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移一定距离􀪍􀪍􀪍􀪍(增加“一定距离”)后图 形的顶点坐标,知道对应顶点坐标之间的关系; 5. 在平面直角坐标系中,探索并了解将一个多边形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形和原来图形具有 平移关系,体会图形顶点坐标的变化. 　 29