江苏省苏州市2024-2025学年上学期九年级数学期末模拟卷

苏州市2024-2025学年第一学期九年级数学期末模拟卷（14） 一．选择题（共10小题） 1．某店铺连续5天销售衬衣的件数分别为10，11，13，15，11．关于这组数据，以下结论错误的是（　　） A．众数是11； B．平均数是12； C．方差是3.2； D．中位数是13； 2．如图，小程的爸爸用一段10m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长5.5m）的矩形鸭舍，其面积为15m2，在鸭舍侧面中间位置留一个1m宽的门（由其它材料制成），则BC长为（　　） A．5m或6m B．2.5m或3m C．5m D．3m 3．若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≥﹣1且k≠0 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1 D．k＞﹣1且k≠0 第2题第4题第5题 4．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC＝40°，则∠BOD＝（　　） A．80° B．50° C．40° D．20° 5．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图所示，该函数图象经过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．对于下列结论：①abc＜0；②a+c＝b；③多项式ax2+bx+c可因式分解为（x+1）（x﹣5）；④当m＞﹣9a时，关于x的方程ax2+bx+c＝m无实数根．其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝90°，∠BCD＝120°，AB＝2，CD＝1，则AD的长为（　　） A．2﹣2 B．3﹣ C．4﹣ D．2 7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA＝（　　） A． B． C． D． 8．如图，用一个半径为30cm，面积为300πcm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆锥的底面半径r为（　　） 9．已知二次函数y＝﹣（x﹣h）2+5（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最大值为﹣4，则h的值为（　　） A．﹣2或4 B．0或6 C．1或3 D．﹣2或6 10．等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作CH⊥BD于H，连接AH，则AH的最小值为（　　） A．2 B．2﹣2 C．4 D．2﹣2 第6题第8题第10题 二．填空题（共9小题） 11．某单位要招聘1名英语翻译，小亮参加招聘考试的各门成绩如表所示．若把听、说、读、写的成绩按3：3：2：2计算平均成绩，则小亮的平均成绩是 　 　分． 项目 听 说 读 写 成绩（分） 70 90 80 85 12．已知圆锥底面半径为5cm，高为12cm，则它的侧面展开图的面积是 　 　cm2． 13．已知a是方程x2+x﹣3＝0的一个根，则2035﹣5a2﹣5a的值为 　 　． 14．下面是我们将在高中阶段所要学习的一个内容，请先阅读这段内容．再解答问题，三角函数中常用公式sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，求sin75°的值，即sin75°＝sin（30°+45°）＝sin30°cos45°+cos30°sin45°＝．试用公式cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，求出cos75°的值是 　 　． 15．抛物线y＝ax2+ax+2（a≠0）的对称轴是直线　 　． 16．如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在边AC上，以O为圆心，4为半径的圆恰好过点C，且与边AB相切于点D，交BC于点E，则劣弧的长是 　 　．（结果保留π） 第16题第17题 17．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝5，CA＝10，点D，E分别在AC，AB边上，AE＝AD，连接DE，将△ADE沿DE翻折，得到△FDE，连接CE，CF．若△CEF的面积是△BEC面积的2倍，则AD＝ 　 　． 18．记抛物线C1：y＝（x﹣2）2+3的顶点为A，抛物线C2：y＝ax2+1（a＜0）顶点是点B，且与x轴的正半轴交于点 C．当△ABC是直角三角形时，抛物线C2的解析式为 　 　． 19．已知二次函数y＝﹣x2﹣4x+k的图象的顶点在x轴上时，则实数k的值是 　 　． 三．解答题（共11小题） 20．选择合适的方法解方程： （1）2（x+3）2＝18； （2）3x2﹣6x﹣4＝0． 21．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围． 22．已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3． （1）请在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； （2）若点C（x，y）在该函数图象上； ①当y＞0时，则x的取值范围为 　 　； ②当t﹣1≤x＜t（t为常数）时，y随x的增大而减小，则t的取值范围是 　 　． 23．学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试已知七、八年级各有200人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩x（单位：分进行统计： 七年级：86，94，79，84，71，90，76，83，90，87． 八年级：88，76，90，78，87，93，75，87，87，79． 整理如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 84 a 90 44.4 八年级 84 87 b 6.6 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：a＝　 　，b＝　 　； A同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是 　 　年级的学生； （2）学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数； （3）你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好？请给出一条理由． 24．在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜． （1）请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率． （2）这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请说明理由． 25．为充分利用现有资源，学校“牧春园”计划用一块矩形地种植两种花卉．如图，矩形地ABCD一面靠墙（墙的长度为12m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏EF把它分成两个面积相等的矩形．已知栅栏的总长度为27m． （1）若矩形地ABCD的面积为42m2，求AB的长； （2）当AB边为多少时，矩形地ABCD的面积最大，最大面积是多少？ 26．如图1，C，D是半圆ACB上的两点，点P是直径AB上一点，且满足∠APC＝∠BPD，则称∠CPD是弧CD的“幸运角”，如图， （1）如图2，若弦CE⊥AB，D是弧BC上的一点，连接DE交AB于点P，连接CP．求证：∠CPD是弧CD的“幸运角”； （2）如图3，若直径AB＝2，弦CE⊥AB，弧CD的“幸运角”为90°，求CD的长． 27．如图，已知在△ABC中，∠A＝90° （1）请用圆规和直尺作出⊙P，使圆心P在AC边上，且与AB，BC两边都相切（保留作图痕迹，不写作法和证明）． （2）若∠B＝60°，AB＝3，求⊙P的周长． 28．如图，△ABC、△ABD内接于⊙O，AB＝BC，P是OB延长线上的一点，∠PAB＝∠ACB，AC、BD相交于点E． （1）求证：AP是⊙O的切线； （2）若BE＝2，DE＝4，∠P＝30°，求AP的长． 29．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接AP、BP，BP交AC于点D，若S△APD＝kS△ABD，求k的取值范围； （3）已知M是直线AC上一动点，将点M绕着点O旋转90°得到点Q，若点Q恰好落在二次函数的图象上，请直接写出点M的坐标． 30．【学习概念】有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线． 【理解运用】（1）如图1，对余四边形中，AB＝5，BC＝6，CD＝4，连接AC，若AC＝AB，则cos∠ABC＝　 　，sin∠CAD＝　 　． （2）如图2，凸四边形中，AD＝BD，AD⊥BD，当2CD2+CB2＝CA2时，判断四边形ABCD是否为对余四边形，证明你的结论． 【拓展提升】（3）在平面直角坐标系中，A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2），四边形ABCD是对余四边形，点E在对余线BD上，且位于△ABC内部，∠AEC＝90°+∠ABC．设＝u，点D的纵坐标为t，请在下方横线上直接写出u与t的函数表达，并注明t的取值范围 　 　． 几何量，计算出圆锥的底面半径和高，是解答本题的关键． 9．【解答】解：∵二次函数y＝﹣（x﹣h）2+5（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最大值为﹣4，∴当h≤1时，x＝1时，函数取得最大值﹣4， 即﹣4＝﹣（1﹣h）2+5，解得h1＝4（舍去），h2＝﹣2； 当1＜h＜3时，当x＝h时函数取得最大值0与题干中的函数值y的最大值为﹣4矛盾，故此种情况不存在； 当h≥3时，x＝3时，函数取得最大值﹣4，即﹣4＝﹣（3﹣h）2+5，解得h3＝0（舍去），h4＝6； 由上可得，h的值是﹣2或6，故选：D． 【点评】考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 10．【解答】解：∵∠CHB＝90°，BC是定值，∴H点是在以BC为直径的半圆上运动（不包括B点和C点），连接HO，则HO＝BC＝2．当A、H、O三点共线时，AH最短，此时AH＝AO﹣HO＝2﹣2． 故选：B． 【点评】本题主要考查勾股定理、直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是找准H点运动的轨迹． 二．填空题（共9小题） 11．【解答】解：由题意可得：平均成绩＝70×+90×+80×+85×＝21+27+16+17＝81． 故答案为：81． 【点评】本题考查了加权平均数的计算，掌握加权平均数的计算公式是关键． 12．【解答】解：∵圆锥的高为12cm，底面半径为5cm，∴圆锥的母线长为：＝13cm， ∴圆锥的侧面展开图的面积为：π×5×13＝65πcm2．故答案为：65π 【点评】本题考查圆锥侧面积公式的运用，掌握公式是关键；注意圆锥的高，母线长，底面半径组成直角三角形这个知识点． 13．【解答】解：由题意可知：a2+a﹣3＝0，∴a2+a＝3， ∴2035﹣5a2﹣5a＝2035﹣5（a2+a）＝2035﹣5×3＝2020，故答案为：2020． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值及恒等变式问题，熟练掌握和运用代数式求值及恒等变式的方法是解决本题的关键． 14．【解答】解：∵cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ， ∴cos75°＝cos（30°+45°）＝cos30°cos45°﹣sin30°sin45° ＝＝，故答案为：． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答此题要熟记特殊角的三角函数值，并能把“新定义”的问题转化为已知问题解答． 15．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴方程x＝﹣， ∴抛物线y＝ax2+ax+2（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣． 即对称轴是直线x＝﹣．故答案为：x＝﹣． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，熟记二次函数的对称轴方程为x＝﹣是解题的关键． 16．【解答】解：如图，连接OD，OE，∵OC＝OE，∴∠OCE＝∠OEC， ∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠OEC，∴AB∥OE，∴∠BDO+∠DOE＝180°， ∵AB是切线，∴OD⊥AB，∴∠BDO＝90°，∴∠DOE＝180°﹣∠DOE＝90°， 【点评】考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法确定函数解析式，二次函数的性质等知识点，难度较大． 19．【解答】解：由题意，∵y＝﹣x2﹣4x+k＝﹣（x+2）2+4+k，∴顶点为（﹣2，4+k）． 又顶点在x轴上时，∴4+k＝0．∴k＝﹣4．故答案为：k＝﹣4． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能利用顶点式是关键． 三．解答题（共11小题） 20．【解答】解：（1）∵2（x+3）2＝18，∴（x+3）2＝9，∴x+3＝±3，则x1＝0，x2＝﹣6； （2）∵3x2﹣6x﹣4＝0，∴3x2﹣6x＝4，∴x2﹣2x＝， 则x2﹣2x+1＝+1，即（x﹣1）2＝，∴x﹣1＝±，∴x1＝1+，x2＝1﹣． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 21．【解答】（1）证明：∵在方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0中，Δ＝[﹣（k+3）]2﹣4×1×（2k+2）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，∴方程总有两个实数根． （2）解：∵x2﹣（k+3）x+2k+2＝（x﹣2）（x﹣k﹣1）＝0，∴x1＝2，x2＝k+1． ∵方程有一根小于1，∴k+1＜1，解得：k＜0，∴k的取值范围为k＜0． 【点评】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程结合方程一根小于1，找出关于k的一元一次不等式． 22．【解答】解：y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4． （1）当﹣x2﹣2x+3＝0时，即（x﹣1）（x+3）＝0，解得x＝1或x＝﹣3．该二次函数开口向下，对称轴是直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，4），与x轴交点坐标为（﹣3，0）、（1，0）．其在平面直角坐标系中的图象如图： （2）①由图象可知，当﹣3＜x＜1时，y＞0．故答案为：﹣3＜x＜1． ②∵y随x的增大而减小，∴x≥﹣1，又∵t﹣1≤x＜t，∴t﹣1≥﹣1， ∴t≥0．故答案为：t≥0． 【点评】本题通过画二次函数的图象等方式，间接考查了二次函数的性质及图象上坐标的特征． 23．【解答】解：（1）把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为：71，76，79，83，84，86，87，90，90，94，根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为a＝＝85， 八年级10名学生的成绩中87分的最多有3人，所以众数b＝87， A同学得了86分，大于85分，位于年级中等偏上水平，由此可判断他是七年级的学生； 故答案为：85，87，七； （2）×200+×200＝220（人）， 答：该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数大约为220人； （3）我认为八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好， 理由：因为七、八年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，所以八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好． 【点评】本题考查中位数、众数、方差的意义和计算方法以及用样本估计总体，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键． 24．【解答】解：（1）画树状图得： 共有12种等可能的结果，其中甲获胜的结果有8种，∴甲获胜的概率为； （2）不公平．由树状图可知，乙获胜的结果有4种，∴乙获胜的概率为， ∵，∴游戏不公平． 【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 25．【解答】解：设AB的长为x m，则BC的长为（27﹣3x）m， 根据题意得：（27﹣3x）x＝42，解得x＝2或x＝7， 当x＝2时，27﹣3x＝21＞12，不合题意，舍去， 当x＝7时，27﹣3x＝6＜12，符合题意，∴x＝7， 答：AB的长为7m； （2）设矩形的面积为S m2，则S＝（27﹣3x）x＝﹣3x2+27x＝﹣3（x﹣9x）＝﹣3（x﹣）2+， ∵BC＝27﹣3x≤12，∴x≥5，∵﹣3＜0，∴当x＝5时，S有最大值，最大值为60， ∴当AB边为5时，矩形地ABCD的面积最大，最大面积是60m2． 【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程及函数关系式． 26．【解答】解：（1）∵AB是直径，CE⊥AB，∴AB平分CE，∴△CEP是等腰三角形， ∵CE⊥AB，∴∠CPA＝∠EPA，∵∠EPA＝∠BPD，∴∠CPA＝∠BPD，∴∠CPD是弧CD的“幸运角”； （2）如图，连接OC，OD，∵弧CD的“幸运角”为90°， ∴∠CPD＝90°，∴， ∵CE⊥AB，∴∠CED＝90°﹣45°＝45°，∴∠COD＝2∠CED＝90°， ∵AB＝2，∴，∴，即CD的长为． 【点评】本题考查垂径定理，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，理解“幸运角”的概念是解题的关键． 第26题第27题 27．【解答】解：（1）如图，⊙P为所作； （2）过P点作PD⊥BC于D点，如图， ∵⊙P与AB，BC两边都相切，PA⊥AB，∴PA、PB为⊙P的半径，BP平分∠ABD， ∴∠ABP＝∠ABC＝30°，在Rt△ABP中，∵∠ABP＝30°， ∴AP＝AB＝×3＝，∴⊙P的周长为2π×＝2π． 【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了含30度角的直角三角形三边的关系和切线的判定与性质． 28．【解答】（1）证明：连接OA，如图， ∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA． ∵∠PAB＝∠ACB，∴∠BAC＝∠PAB． ∵AB＝BC，∴，∴OB⊥AC， ∴∠BAC+∠ABO＝90°， ∵OB＝OA，∴∠ABO＝∠BAO． ∴∠BAO+∠BAC＝90°，∴∠BAO+∠PAB＝90°， ∴∠PAO＝90°，即OA⊥AP，∵OA为⊙O的半径，∴AP是⊙O的切线； （2）解：∵OA⊥AP，∠P＝30°，∴∠AOP＝60°， ∵OA＝OB，∴△OAB为等边三角形，∴AO＝AB． 第1页（共5页） 学科网（北京）股份有限公司 $$