压轴题03 二次函数的简答题综合题（6大题型）-2025年中考数学压轴题专项训练（全国通用）

压轴题03 二次函数的简答题综合题 二次函数的简答题的综合题是中考数学不可争议的压轴题型，也常是与其他考点结合类型的压轴题，此类题中二次函数常结合的其他考点及对应应对策略如下： 1、二次函数的代数综合题：常考二次函数的考点有：解析式的求解、二次函数的性质、图象上点的坐标特征、以及图象与系数的关系等，具体信息有： 解析式求法 待定系数法：设、代入、解、再代入 图象特征 顶点与对称轴公式 二次函数的性质的应用 对于二次函数y＝ax2+bx+c的性质规律： 当a＞0时，抛物线有最低点，函数有最小值，各点中，谁离对称轴越近，谁的y越小； 当a＜0时，抛物线有最高点，函数有最大值，各点中，谁离对称轴越近，谁的y越大； 图象与系数的关系 b2-4ac与0 确定抛物线与x轴交点个数 2、二次函数与三角形面积的结合：求不规则几何图形的面积常用方法——割补法；两定一动型三角形面积求解公式——； 3、抛物线与特殊三角形的存在性问题： ①“两定一动”等腰三角形的存在性问题处理方法：“两圆一线”找点，“勾股定理”求点；没规定腰长时，按边相等分成三类； ②“两定一动”直角三角形的存在性问题处理方法：“两垂一圆”找点，“勾股定理”求点；没规定直角顶点时，按直角分成三类； 4、抛物线与特殊四边形的存在性问题： ①“三定一动”型平行四边形的存在性问题：根据平行四边形的中心对称性，分别以三个定点中的两点为对角线，分三类讨论； ②菱形存在性问题→转化为等腰三角形的存在性问题； ③矩形的存在性问题→转化为直角三角形的存在性问题 5、二次函数的新定义问题：新定义类函数问题，新规定的定义就是解决问题重要的性质，做题中还需联系与新定义关联紧密的已学考点。 压轴题型一：二次函数的代数综合题 √满分技法 ①二次函数代数类考察，解析式中一般含有参数，即给的是“不完整的解析式”；而这类解析数有可能可以通过因式分解法求其与x轴交点坐标，或者通过因式分解找到该“不完整函数”所过的定点； ②：这类问题中，一般都需要求二次函数的对称轴、顶点。其中，对称轴一般是确定的，但开口方向不定，所以利用此结论求交点个数或函数最值问题时，要注意分类讨论，特别要注意其中的计算； 1．（2024•北京）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2a2x（a≠0）． （1）当a＝1时，求抛物线的顶点坐标； （2）已知M（x1，y1）和N（x2，y2）是抛物线上的两点．若对于x1＝3a，3≤x2≤4，都有y1＜y2，求a的取值范围． 2．（2024•南通）已知函数y＝（x﹣a）2+（x﹣b）2（a，b为常数）．设自变量x取x0时，y取得最小值． （1）若a＝﹣1，b＝3，求x0的值； （2）在平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）在双曲线y上，且x0．求点P到y轴的距离； （3）当a2﹣2a﹣2b+3＝0，且1≤x0＜3时，分析并确定整数a的个数． 3．（2024•广西）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数y＝x2+2ax+a﹣3的最值问题展开探究． 【经典回顾】二次函数求最值的方法． （1）老师给出a＝﹣4，求二次函数y＝x2+2ax+a﹣3的最小值． ①请你写出对应的函数解析式； ②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值； 【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整理成如表： a … ﹣4 ﹣2 0 2 4 … x … * 2 0 ﹣2 ﹣4 … y的最小值 … * ﹣9 ﹣3 ﹣5 ﹣15 … 注：*为②的计算结果． 【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．” 甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取x＝﹣a，就能得到y的最小值．” 乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值” （2）请结合函数解析式y＝x2+2ax+a﹣3，解释甲同学的说法是否合理？ （3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由． 压轴题型二：二次函数与三角形面积 1．（2024•通辽）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点C，D，抛物线（k为常数）经过点D且交x轴于A，B两点．（1）求抛物线表示的函数解析式； （2）若点P为抛物线的顶点，连接AD，DP，CP．求四边形ACPD的面积． 2．（2024•西宁）如图，二次函数的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，顶点C的坐标为（﹣2，﹣1）． （1）求二次函数的解析式． （2）判断△ABC的形状，并说明理由． （3）在直线AB上方的抛物线上是否存在一点P，使S△PAB＝2S△ABC？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2024•济宁）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（0，﹣3），（﹣b，c）两点，其中a，b，c为常数，且ab＞0． （1）求a，c的值； （2）若该二次函数的最小值是﹣4，且它的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． ①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标； ②如图，在y轴左侧该二次函数的图象上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线AC交于点E，连接PC，CB，BE．是否存在点P，使若存在，求此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 压轴题型三：抛物线与特殊三角形的存在性问题 1．（2024•泰安）如图，抛物线的图象经过点D（1，﹣1），与x轴交于点A，点B． （1）求抛物线C1的表达式； （2）将抛物线C1向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线C2，求抛物线C2的表达式，并判断点D是否在抛物线C2上； （3）在x轴上方的抛物线C2上，是否存在点P，使△PBD是等腰直角三角形．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2024•宜宾）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣4），其顶点为D． （1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标； （2）在y轴上是否存在一点M，使得△BDM的周长最小．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点E在以点P（3，0）为圆心，1为半径的⊙P上，连结AE，以AE为边在AE的下方作等边三角形AEF，连结BF．求BF的取值范围． 3．（2024•雅安）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C． （1）求二次函数的表达式； （2）如图①，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段PQ的长度最大时，求点Q的坐标； （3）如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且∠CQD＝2∠OCQ．在y轴上是否存在点E，使得△BDE为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 压轴题型四：抛物线与特殊四边形的存在性问题 1．（2024•甘南州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣5（a≠0）交x轴于A，C两点，交y轴于点B，5OA＝OB＝OC． （1）求此抛物线的表达式； （2）已知抛物线的对称轴上存在一点M，使得△ABM的周长最小，请求出点M的坐标； （3）连接BC，点P是线段BC上一点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求当四边形OBQP为平行四边形时点P的坐标． 2．（2024•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（3，0），与y轴交于点B，且关于直线x＝1对称． （1）求该抛物线的解析式； （2）当﹣1≤x≤t时，y的取值范围是0≤y≤2t﹣1，求t的值； （3）点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线AB于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 3．（2024•宁夏）抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，点P是第四象限内抛物线上的一点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，过P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．设点D的横坐标为m，当时，求m的值； （3）如图2点F（1，0），连接CF并延长交直线PD于点M，点N是x轴上方抛物线上的一点，在（2）的条件下，x轴上是否存在一点H，使得以F，M，N，H为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 压轴题型五：二次函数新定义问题 1．（2024•乐山）在平面直角坐标系xOy中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线y＝ax2﹣2ax+2a（a为常数且a＞0）与y轴交于点A． （1）若a＝1，求抛物线的顶点坐标； （2）若线段OA（含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围； （3）若抛物线与直线y＝x交于M、N两点，线段MN与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，求a的取值范围． 2．（2024•深圳）在综合实践课上，数学探究小组用两个互相垂直的直尺制作了一个“T”形尺，并用它对二次函数图象的相关性质进行研究． 把“T”形尺按图1摆放，水平宽AB的中点为C，图象的顶点为D，测得AB为m厘米时，CD为n厘米． 【猜想】 （1）探究小组先对y＝x2的图象进行多次测量，测得m与n的部分数据如表： m 0 2 3 4 5 6 … n 0 1 2.25 4 6.25 9 … 描点：以表中各组对应值为点的坐标，在图2的直角坐标系内描出相应的点． 连线：用光滑的曲线顺次连接各点． 猜想：n与m的关系式是 　 　 【验证】 （2）探究小组又对多个二次函数的图象进行了测量研究，发现测得的n与m也存在类似的关系式，并针对二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）的情况进行了推理验证．请从下表中任选一种方法（在“□”内打“√”）并补全其推理过程；（根据需要，选用字母a，m，n，h，k表示答案） □方法1 □方法2 如图3，平移二次函数图象，使得顶点D移到原点O的位置，则： A'B'＝AB＝m，C'O＝CD＝n， C'B， 所以点B′坐标为 　 　； 将点B′坐标代入y＝ax2， 得到n与m的关系式是 　 　． 如图4，顶点D的横坐标加个单位，纵坐标加n个单位得到点B的坐标，所以点B坐标为 　 　； 将点B坐标代入y＝a（x﹣h）2+k， 得到n与m的关系式是 　 　． 【应用】 （3）已知AB∥x轴且AB＝4，两个二次函数y＝2（x﹣h）2+k和y＝a（x﹣h）2+d的图象都经过A，B两点．当两个函数图象的顶点之间的距离为10时，求a的值． 3．（2024•甘孜州）【定义与性质】 如图，记二次函数y＝a（x﹣b）2+c和y＝﹣a（x﹣p）2+q（a≠0）的图象分别为抛物线C和C1． 定义：若抛物线C1的顶点Q（p，q）在抛物线C上，则称C1是C的伴随抛物线． 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若C1是C的伴随抛物线，则C也是C1的伴随抛物线，即C的顶点P（b，c）在C1上． 【理解与运用】 （1）若二次函数y（x﹣2）2+m和y（x﹣n）2的图象都是抛物线yx2的伴随抛物线，则m＝　 　，n＝　 　． 【思考与探究】 （2）设函数y＝x2﹣2kx+4k+5的图象为抛物线C2． ①若函数y＝﹣x2+dx+e的图象为抛物线C0，且C2始终是C0的伴随抛物线，求d，e的值； ②在①的条件下，若抛物线C2与x轴有两个不同的交点（x1，0），（x2，0）（x1＜x2），请直接写出x1的取值范围． 压轴题型六：二次函数与几何最值问题 √满分技法 ①求PA+PB类线段和最小值：立刻想将军饮马模型； ②其他可结合几何最值模型——胡不归； 1．（2024•镇江）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y（x﹣1）2+4的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为C． （1）求A、B、C三点的坐标； （2）一个二次函数的图象经过B、C、M（t，4）三点，其中t≠1，该函数图象与x轴交于另一点D，点D在线段OB上（与点O、B不重合）． ①若D点的坐标为（3，0），则t＝　 　； ②求t的取值范围； ③求OD•DB的最大值． 2．（2024•德阳）如图，抛物线y＝x2﹣x+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）当0＜x≤2时，求y＝x2﹣x+c的函数值的取值范围； （3）将抛物线的顶点向下平移个单位长度得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，求PAPM的最小值． 3．（2024•甘肃）如图1，抛物线y＝a（x﹣h）2+k交x轴于O，A（4，0）两点，顶点为B（2，2），点C为OB的中点． （1）求抛物线y＝a（x﹣h）2+k的表达式； （2）过点C作CH⊥OA，垂足为H，交抛物线于点E．求线段CE的长． （3）点D为线段OA上一动点（O点除外），在OC右侧作平行四边形OCFD． ①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标； ②如图3，连接BD，BF，求BD+BF的最小值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 压轴题03 二次函数的简答题综合题 二次函数的简答题的综合题是中考数学不可争议的压轴题型，也常是与其他考点结合类型的压轴题，此类题中二次函数常结合的其他考点及对应应对策略如下： 1、二次函数的代数综合题：常考二次函数的考点有：解析式的求解、二次函数的性质、图象上点的坐标特征、以及图象与系数的关系等，具体信息有： 解析式求法 待定系数法：设、代入、解、再代入 图象特征 顶点与对称轴公式 二次函数的性质的应用 对于二次函数y＝ax2+bx+c的性质规律： 当a＞0时，抛物线有最低点，函数有最小值，各点中，谁离对称轴越近，谁的y越小； 当a＜0时，抛物线有最高点，函数有最大值，各点中，谁离对称轴越近，谁的y越大； 图象与系数的关系 b2-4ac与0 确定抛物线与x轴交点个数 2、二次函数与三角形面积的结合：求不规则几何图形的面积常用方法——割补法；两定一动型三角形面积求解公式——； 3、抛物线与特殊三角形的存在性问题： ①“两定一动”等腰三角形的存在性问题处理方法：“两圆一线”找点，“勾股定理”求点；没规定腰长时，按边相等分成三类； ②“两定一动”直角三角形的存在性问题处理方法：“两垂一圆”找点，“勾股定理”求点；没规定直角顶点时，按直角分成三类； 4、抛物线与特殊四边形的存在性问题： ①“三定一动”型平行四边形的存在性问题：根据平行四边形的中心对称性，分别以三个定点中的两点为对角线，分三类讨论； ②菱形存在性问题→转化为等腰三角形的存在性问题； ③矩形的存在性问题→转化为直角三角形的存在性问题 5、二次函数的新定义问题：新定义类函数问题，新规定的定义就是解决问题重要的性质，做题中还需联系与新定义关联紧密的已学考点。 压轴题型一：二次函数的代数综合题 √满分技法 ①二次函数代数类考察，解析式中一般含有参数，即给的是“不完整的解析式”；而这类解析数有可能可以通过因式分解法求其与x轴交点坐标，或者通过因式分解找到该“不完整函数”所过的定点； ②：这类问题中，一般都需要求二次函数的对称轴、顶点。其中，对称轴一般是确定的，但开口方向不定，所以利用此结论求交点个数或函数最值问题时，要注意分类讨论，特别要注意其中的计算； 1．（2024•北京）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2a2x（a≠0）． （1）当a＝1时，求抛物线的顶点坐标； （2）已知M（x1，y1）和N（x2，y2）是抛物线上的两点．若对于x1＝3a，3≤x2≤4，都有y1＜y2，求a的取值范围． 【分析】（1）将a＝1代入即可求出抛物线的顶点坐标； （2）利用作差法建立关于x2和a的不等式，因为a不确定，所以要分类讨论，再根据范围取舍即可． 【解答】解：（1）将a＝1代入得y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1， ∴顶点坐标为（1，﹣1）； （2）方法一：由题得，y1＝a•（3a）2﹣2a2•3a＝3a3， y22a2x2， ∵y1＜y2， ∴y2﹣y1＝a（2ax2﹣3a2）＝a（x2﹣3a）（x2+a）＞0， ①当a＞0时，（x2﹣3a）（x2+a）＞0， ∴或， 解得x2＞3a或x2＜﹣a， ∵3≤x2≤4， ∴3a＜3或﹣a＞4， ∴a＜1或a＜﹣4， ∵a＞0， ∴0＜a＜1； ②当a＜0时，（x2﹣3a）（x2+a）＜0， ∴或， 解得3a＜x2＜﹣a， ∵3≤x2≤4， ∴，解得a＜﹣4， 综上，0＜a＜1或a＜﹣4． 方法二：①当a＞0时， M（x1，y1）和N（x2，y2）都在对称轴右侧， 此时y随x增大而增大， ∵y1＜y2， ∴x1＜x2， ∴3a＜3， ∴0＜a＜1； ②当a＜0时， M（x1，y1）在对称轴左侧，N（x2，y2）在对称轴右侧， 点M（3a，y1）关于对称轴的对称点（﹣a，y1）在对称轴右侧， 在对称轴右侧，y随x增大而减小， ∵y1＜y2， ∴﹣a＞4， ∴a＜﹣4， 综上，0＜a＜1或a＜﹣4． 【点评】本题主要考查二次函数综合，熟练掌握二次函数的图象和性质、因式分解、解不等式等知识点是解题关键． 2．（2024•南通）已知函数y＝（x﹣a）2+（x﹣b）2（a，b为常数）．设自变量x取x0时，y取得最小值． （1）若a＝﹣1，b＝3，求x0的值； （2）在平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）在双曲线y上，且x0．求点P到y轴的距离； （3）当a2﹣2a﹣2b+3＝0，且1≤x0＜3时，分析并确定整数a的个数． 【分析】（1）利用求抛物线对称轴公式即可求得答案； （2）根据题意得b，代入y＝（x﹣a）2+（x﹣b）2，再根据抛物线对称轴公式建立方程求解即可； （3）由题意得b，代入y＝（x﹣a）2+（x﹣b）2，用含a的代数式表示x0，再根据题意列不等式组求解即可． 【解答】解：（1）若a＝﹣1，b＝3，则y＝（x+1）2+（x﹣3）2＝2x2﹣4x+10， ∵当x1时，y取得最小值， ∴x0＝1； （2）∵点P（a，b）在双曲线y上， ∴b， ∴y＝（x﹣a）2+（x）2＝2x2﹣（2a）x+a2， ∵x0， ∴a1＝2，a2＝﹣1， 当a＝2时，点P到y轴的距离为2； 当a＝﹣1时，点P到y轴的距离1； 综上所述，点P到y轴的距离为2或1； （3）∵a2﹣2a﹣2b+3＝0， ∴b， 由题意得：x0， ∵1≤x0＜3， ∴13， 整理得：1≤a2＜9， ∴﹣3＜a≤﹣1或1≤a＜3， ∵a为整数， ∴a＝﹣2或﹣1或1或2，共4个． 【点评】本题是函数综合题，考查了二次函数的性质，反比例函数性质，解不等式组等，理解题意，熟练运用二次函数的性质是解题关键． 3．（2024•广西）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数y＝x2+2ax+a﹣3的最值问题展开探究． 【经典回顾】二次函数求最值的方法． （1）老师给出a＝﹣4，求二次函数y＝x2+2ax+a﹣3的最小值． ①请你写出对应的函数解析式； ②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值； 【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整理成如表： a … ﹣4 ﹣2 0 2 4 … x … * 2 0 ﹣2 ﹣4 … y的最小值 … * ﹣9 ﹣3 ﹣5 ﹣15 … 注：*为②的计算结果． 【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．” 甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取x＝﹣a，就能得到y的最小值．” 乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值” （2）请结合函数解析式y＝x2+2ax+a﹣3，解释甲同学的说法是否合理？ （3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由． 【分析】（1）①a＝﹣4，y＝x2+2ax+a﹣3＝x2﹣8x﹣7； ②当抛物线在对称轴即x＝4时，y取得最小值，即可求解； （2）1＞0，故函数有最小值，即可求解 （3）当x＝﹣a时，y＝x2+2ax+a﹣3＝﹣a2+a﹣3，﹣1＜0，故y有最大值，即可求解． 【解答】解：（1）①a＝﹣4，y＝x2+2ax+a﹣3＝x2﹣8x﹣7； ②当抛物线在对称轴即x＝4时，y取得最小值为：16﹣32﹣7＝﹣23； （2）合理，理由： ∵1＞0，故函数有最小值， 当x＝﹣a（对称轴）时，y取得最小值， 故甲同学的说法合理； （3）正确，理由： 当x＝﹣a时，y＝x2+2ax+a﹣3＝﹣a2+a﹣3， ∵﹣1＜0，故y有最大值， 当a时，y的最大值为：3． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到二次函数的图象和性质、函数最值得求解等，熟悉函数的性质是解题的关键． 压轴题型二：二次函数与三角形面积 1．（2024•通辽）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点C，D，抛物线（k为常数）经过点D且交x轴于A，B两点．（1）求抛物线表示的函数解析式； （2）若点P为抛物线的顶点，连接AD，DP，CP．求四边形ACPD的面积． 【分析】（1）求出D（0，3），可得3（0﹣2）2+k，k＝4，即可得抛物线表示的函数解析式为yx2+x+3； （2）连接OP，求出C（2，0），OC＝2，A（﹣2，0），OA＝2，抛物线顶点P坐标为（2，4），可得S四边形ACPD＝S△AOD+S△POD+S△POC＝10． 【解答】解：（1）在yx+3中，令x＝0得y＝3， ∴D（0，3）， ∵抛物线经过点D（0，3）， ∴3（0﹣2）2+k， 解得k＝4， ∴y（x﹣2）2+4x2+x+3； ∴抛物线表示的函数解析式为yx2+x+3； （2）连接OP，如图； 在yx+3中，令y＝0得x＝2， ∴C（2，0），OC＝2， 在yx2+x+3中，令y＝0得0x2+x+3， 解得x＝6或x＝﹣2， ∴A（﹣2，0），OA＝2， 由y（x﹣2）2+4可得抛物线顶点P坐标为（2，4）， ∴S四边形ACPD＝S△AOD+S△POD+S△POC2×33×22×4＝3+3+4＝10； ∴四边形ACPD的面积为10． 【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，函数图象上点坐标的特征，三角形面积等知识，解题的关键是用割补法求出四边形ACPD的面积． 2．（2024•西宁）如图，二次函数的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，顶点C的坐标为（﹣2，﹣1）． （1）求二次函数的解析式． （2）判断△ABC的形状，并说明理由． （3）在直线AB上方的抛物线上是否存在一点P，使S△PAB＝2S△ABC？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）设二次函数解析式为y＝a（x﹣h）2+k（a≠0），将顶点C（﹣2，﹣1）代入解析式得y＝a（x+2）2﹣1，进而可以解决问题； （2）过点C作CD⊥y轴于点D，过点A作AE⊥CD于点E，然后根据勾股定理的逆定理即可解决问题； （3）设点P的坐标为（m，m2+4m+3），过点P作PH⊥AB，垂足为H，过点P作PQ∥y轴交直线AB于点Q，求出直线AB的解析式为y＝x+3，得点Q的坐标为（m，m+3），得PQ＝m2+4m+3﹣（m+3）＝m2+3m＝4，得m1＝1，m2＝﹣4，进而解决问题． 【解答】解：（1）设二次函数解析式为y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）， 将顶点C（﹣2，﹣1）代入解析式得y＝a（x+2）2﹣1， ∵二次函数的图象与x轴交于点A（﹣3，0）， ∴0＝a（﹣3+2）2﹣1， 解得a＝1， ∴二次函数解析式为y＝（x+2）2﹣1； （2）△ABC是直角三角形，理由如下： 抛物线y＝（x+2）2﹣1与y轴的交点， 当x＝0时，y＝3， ∴B（0，3）， 如图1，过点C作CD⊥y轴于点D， ∴D（0，﹣1）， 过点A作AE⊥CD于点E， ∴E（﹣3，﹣1）， ∵A（﹣3，0），C（﹣2，﹣1）， ∴AB2＝OB2+OA2＝32+32＝18，AC2＝AE2+CE2＝12+12＝2，BC2＝CD2+BD2＝22+42＝20， ∴AB2+AC2＝20， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴△ABC是直角三角形； （3）存在，理由如下： y＝（x+2）2﹣1＝x2+4x+3， 设点P的坐标为（m，m2+4m+3）， 过点P作PH⊥AB，垂足为H，过点P作PQ∥y轴交直线AB于点Q， 设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠O），将A（﹣3.0），B（0，3）代入得， ， 解得， ∴直线AB的解析式为y＝x+3， ∴点Q的坐标为（m，m+3）， ∵S△PAB＝2S△ABC， ∴AB•PH＝2AB•AC， ∴PH＝2AC＝2， 在Rt△AOB中，OA＝OB， ∴∠ABO＝∠BAO＝45°， ∵PQ∥y轴， ∴∠PQH＝∠ABO＝45°， 在Rt△PQH中， ∵sin45°， ∴PQ4， ∴PQ＝m2+4m+3﹣（m+3）＝m2+3m＝4， 解得m1＝1，m2＝﹣4， 当m＝1时，m2+4m+3＝8， ∴P（1，8）， 当m＝﹣4时，m2+4m+3＝3， ∴P2（﹣4，3）， ∴所有符合条件的点P的坐标是（1，8），（﹣4，3）． 【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 3．（2024•济宁）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（0，﹣3），（﹣b，c）两点，其中a，b，c为常数，且ab＞0． （1）求a，c的值； （2）若该二次函数的最小值是﹣4，且它的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． ①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标； ②如图，在y轴左侧该二次函数的图象上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线AC交于点E，连接PC，CB，BE．是否存在点P，使若存在，求此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将已知两点代入到解析式进行计算分析即可得解； （2）①将第一问求出的a、c代入配成顶点式即可得到含b的最小值，再根据题中条件建立方程即可求出b值，最后求二次函数与x轴交点，令y＝0即可得解； ②分两种情况讨论，点P在点A的左右两侧，再利用△PCE和△BCE都是以CE为底的三角形，求出PG的长度，从而得到PH解析式，联立求解即可． 【解答】解：（1）∵函数过（0，﹣3），（﹣b，c） ∴c＝﹣3，ab2﹣b2+c＝c， ∴（a﹣1）b2＝0， ∵ab＞0， ∴a≠0，b≠0， ∴a﹣1＝0， ∴a＝1． （2）①由（1）知该函数的解析式为：y＝x2+bx﹣3＝（x）2， ∵a＝1＞0， ∴当x时，函数最小值为y， ∵二次函数最小值为﹣4， ∴4， 解得b＝±2， ∵ab＞0， ∴b＝2， ∴二次函数解析式为y＝x2+2x﹣3， 令y＝0，则x2+2x﹣3＝0， 解得x1＝﹣3，x2＝1， ∴点A坐标（﹣3，0），点B坐标（1，0）． ②Ⅰ，当点P在点A右侧时，如图，过B作BF⊥AC于点F，过P作PG⊥AC于点G， ∵A（﹣3，0），C（0，﹣3），B（1，0）， ∴OA＝OC＝3，OB＝1， ∴AB＝OA+OB＝4，AC＝3， ∵S△ABC， ∴BF2， ∵△PCE和△BCE都是以CE为底的三角形， ∴， ∴PG， 过P作PH∥AC交y轴于点H，过C作CK⊥PH，则CK＝PG， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝45°， ∴∠CHK＝45°， ∴CHCK， ∴OH， ∴点H坐标（0，）， ∴直线PH解析式为y＝﹣x， 联立方程组可得， 解得，， ∴P点坐标为（，）或（，）． Ⅱ，当点P在点A左侧时，过P作PH∥AC交y轴于点H， 同第一种情况的方法可得H（0，） ∴直线PH解析式为y＝﹣x， 联立方程组得， 解得（舍），， ∴P点坐标为（，）． 综上，P点的横坐标为或或． 【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数最值问题、二次函数与x轴交点问题、二次函数与直线交点问题等内容，难度中等，熟练掌握相关知识是解题的关键． 压轴题型三：抛物线与特殊三角形的存在性问题 1．（2024•泰安）如图，抛物线的图象经过点D（1，﹣1），与x轴交于点A，点B． （1）求抛物线C1的表达式； （2）将抛物线C1向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线C2，求抛物线C2的表达式，并判断点D是否在抛物线C2上； （3）在x轴上方的抛物线C2上，是否存在点P，使△PBD是等腰直角三角形．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将点D的坐标代入抛物线表达式，即可求解； （2）由题意得：C2：y（x﹣1）2（x﹣1）﹣4+3（x）2，当x＝1时，y（x）2（1）21，即可求解； （3）当∠BAP为直角时，证明△DGB≌△EHD（AAS），求出点E（2，2），当x＝2时，y（x）2（2）22，即点E在抛物线C2上，即点P即为点E（2，2）；当∠DBP为直角时，同理可解；当∠HPD为直角时，如图3，同理可得点E（0，1），即可求解． 【解答】解：（1）将点D的坐标代入抛物线表达式得：﹣1＝a4， 解得：a， 则抛物线的表达式为：yx2x﹣4； （2）由题意得：C2：y（x﹣1）2（x﹣1）﹣4+3（x）2， 当x＝1时，y（x）2（1）21， 故点D在抛物线C2上； （3）存在，理由： 当∠BDP是直角时， 如图1，过点D作DE⊥BD且DE＝BE，则△BDE为等腰直角三角形， ∵∠BDG+∠EDH＝90°，∠EDH+∠DEH＝90°， ∴∠BDG＝∠DEH， ∵∠DGB＝∠EHD＝90°， ∴△DGB≌△EHD（AAS）， 则DH＝BG＝1，EH＝GD＝1+2＝3， 则点E（2，2）， 当x＝2时，y（x）2（2）22， 即点E在抛物线C2上， 即点P即为点E（2，2）； 当∠DBP为直角时，如图2， 同理可得：△BGE≌△DHB（AAS）， 则DH＝3＝BG，BH＝1＝GE， 则点E（﹣1，3）， 当x＝﹣1时，y（x）2（﹣1）23， 即点E在抛物线C2上， 即点P即为点E（﹣1，3）； 当∠BPD为直角时，如图3， 设点E（x，y）， 同理可得：△EHB≌△DGE（AAS）， 则EH＝x+2＝GD＝y+1且BH＝y＝GE＝1﹣x， 解得：x＝0且y＝1，即点E（0，1）， 当x＝0时，y（x）2（0）21， 即点E不在抛物线C2上； 综上，点P的坐标为：（2，2）或（﹣1，3）． 【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 2．（2024•宜宾）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣4），其顶点为D． （1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标； （2）在y轴上是否存在一点M，使得△BDM的周长最小．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点E在以点P（3，0）为圆心，1为半径的⊙P上，连结AE，以AE为边在AE的下方作等边三角形AEF，连结BF．求BF的取值范围． 【分析】（1）用待定系数法得抛物线的表达式为y＝x2﹣3x﹣4；即可得抛物线顶点D的坐标为（，）； （2）作D（，）关于y轴的对称点D'（，），连接BD'交y轴于M，求出B（4，0），BD，可知△BDM的周长最小，只需DM+BM最小，而DM＝D'M，有DM+BM＝D'M+BM，故B，M，D'共线时，DM+BM最小，最小值为BD'的长，此时△BDM的周长也最小；由B（4，0），D'（，）得直线BD'解析式为yx，从而M的坐标为（0，）； （3）以APA为边，在AP下方作等边三角形APQ，连接PE，QF，BQ，由A（﹣1，0），P（3，0），△APQ是等边三角形，可得Q的坐标为（1，﹣2），证明△EAP≌△FAQ（SAS），有PE＝QF＝1，可知F的轨迹是以Q（1，﹣2）为圆心，1为半径的圆，因BQ，当F在线段QB上时，BF最小，此时BF＝BQ﹣QF1；当Q在线段BF上时，BF最大，此时BF＝BQ+QF1；所以BF的范围时1≤BF1． 【解答】解：（1）把A（﹣1，0），C（0，﹣4）代入y＝x2+bx+c得： ， 解得， ∴抛物线的表达式为y＝x2﹣3x﹣4； ∵y＝x2﹣3x﹣4＝（x）2， ∴抛物线顶点D的坐标为（，）； （2）在y轴上存在一点M，使得△BDM的周长最小，理由如下： 作D（，）关于y轴的对称点D'（，），连接BD'交y轴于M，如图： 在y＝x2﹣3x﹣4中，令y＝0得0＝x2﹣3x﹣4， 解得x＝4或x＝﹣1， ∴B（4，0）， ∴BD， ∴△BDM的周长最小，只需DM+BM最小， ∵DM＝D'M， ∴DM+BM＝D'M+BM， ∴B，M，D'共线时，DM+BM最小，最小值为BD'的长，此时△BDM的周长也最小； 由B（4，0），D'（，）得直线BD'解析式为yx， 令x＝0得y， ∴M的坐标为（0，）； （3）以APA为边，在AP下方作等边三角形APQ，连接PE，QF，BQ，如图： 由A（﹣1，0），P（3，0），△APQ是等边三角形，可得Q的坐标为（1，﹣2）， ∵△AEF，△APQ是等边三角形， ∴AE＝AF，AP＝AQ，∠EAF＝∠PAQ＝60°， ∴∠EAP＝∠FAQ， ∴△EAP≌△FAQ（SAS）， ∴PE＝QF＝1， ∴F的轨迹是以Q（1，﹣2）为圆心，1为半径的圆， ∵B（4，0）， ∴BQ， 当F在线段QB上时，BF最小，此时BF＝BQ﹣QF1； 当Q在线段BF上时，BF最大，此时BF＝BQ+QF1； ∴BF的范围时1≤BF1． 【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，轴对称求最短距离，全等三角形判定与性质等知识，解题的关键是掌握“将军饮马问题“解决策略和求出F的轨迹． 3．（2024•雅安）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C． （1）求二次函数的表达式； （2）如图①，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段PQ的长度最大时，求点Q的坐标； （3）如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且∠CQD＝2∠OCQ．在y轴上是否存在点E，使得△BDE为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由PQ＝x﹣3﹣（x2﹣4x+3）＝﹣x2+3x，即可求解； （3）当DE＝BD时，则68＝25+（y﹣8）2，解得：y＝8±，即点E（0，8±）；当DE＝BE或BD＝BE时，同理可解． 【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3）＝ax2+bx+3， 则a＝1， 则抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3； （2）由抛物线的表达式知，点C（0，3）， 由点B、C的坐标得，直线CB的表达式为：y＝﹣x+3， 设点Q（x，x2﹣4x+3），则点P（x，﹣x+3）， 则PQ＝﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）＝﹣x2+3x， ∵﹣1＜0， 故PQ有最大值， 此时x，则y＝x2﹣4x+3， 即点Q（，）； （3）存在，理由： 由点C、Q的坐标得，直线CQ的表达式为：yx+3， 过点Q作TQ∥y轴交x轴于点T，则∠TQA＝∠QCO， ∵∠CQD＝2∠OCQ，∠TQC＝∠QCO， 则∠CQT＝∠DQT， 即直线CQ和DQ关于直线QT对称， 则直线DQ的表达式为：y（x）， 联立上式和抛物线的表达式得：x2﹣4x+3（x）， 解得：x（舍去）或5， 即点D（5，8）； 设点E（0，y），由B、D、E的坐标得，BD2＝68，DE2＝25+（y﹣8）2，BE2＝9+y2， 当DE＝BD时， 则68＝25+（y﹣8）2， 解得：y＝8±，即点E（0，8±）； 当DE＝BE或BD＝BE时， 同理可得：25+（y﹣8）2＝9+y2或9+y2＝68， 解得：y＝5或±， 即点E（0，5）或（0，±）； 综上，点E（0，8±）或（0，5）或（0，±）． 【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 压轴题型四：抛物线与特殊四边形的存在性问题 1．（2024•甘南州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣5（a≠0）交x轴于A，C两点，交y轴于点B，5OA＝OB＝OC． （1）求此抛物线的表达式； （2）已知抛物线的对称轴上存在一点M，使得△ABM的周长最小，请求出点M的坐标； （3）连接BC，点P是线段BC上一点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求当四边形OBQP为平行四边形时点P的坐标． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）点A关于抛物线对称轴得对称点为点C，则BC交抛物线的对称轴于点M，此时△ABM的周长最小，即可求解； （3）由PQ＝OB，即可求解． 【解答】解：（1）由抛物线的表达式知，c＝﹣5＝yB， 则OB＝5＝OA＝OC， 则点A、C、B的坐标分别为：（1，0）、（﹣5，0）、（0，﹣5）， 设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）（x+5）＝a（x2+4x﹣5）＝ax2+bx﹣5， 则a＝1， 故抛物线的表达式为：y＝x2+4x﹣5； （2）点A关于抛物线对称轴得对称点为点C，则BC交抛物线的对称轴于点M，此时△ABM的周长最小，理由： △ABM的周长＝AB+AM+BM＝AB+CM+BM＝AB+BC为最小， 由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x﹣5， 由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝﹣2， 当x＝﹣2时，y＝﹣x﹣5＝﹣3， 则点M（﹣2，﹣3）； （3）设点P（x，﹣x﹣5），则点Q（x，x2+4x﹣5）， 则PQ＝（﹣x﹣5）﹣（x2+4x﹣5）＝﹣x2﹣5x， ∵PQ∥OB， 故当PQ＝OB时，满足题设条件， 即PQ＝﹣x2﹣5x＝OB＝5， 解得：x， 则点P的坐标为：（，）或（，）． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行四边形的性质、线段长度的表示方法、线段和的最值等，综合性强，难度适中． 2．（2024•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（3，0），与y轴交于点B，且关于直线x＝1对称． （1）求该抛物线的解析式； （2）当﹣1≤x≤t时，y的取值范围是0≤y≤2t﹣1，求t的值； （3）点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线AB于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）当﹣1≤x≤t时，x＝﹣1时，y取得最小值，则x＝t时，y取得最大值，即可求解； （3）由抛物线的表达式知，点B（0，3），如图，B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，存在点E在点B上方和下方两种情况，分别求解即可． 【解答】解：（1）A（3，0），抛物线的对称轴为直线x＝1，则抛物线和x轴的另外一个交点为：（﹣1，0）， 则抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝ax2+bx+3， 解得：a＝﹣1， 则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3； （2）由题意得﹣1≤x≤t， 当﹣1＜t＜1时，则﹣1≤x≤t， x＝﹣1时，y＝﹣x2+2x+3＝0，取得最小值， 则x＝t时，2t﹣1＝﹣t2+2t+3， 解得：t＝﹣2或2，均不符合题意； 当1≤t＜3时， 则抛物线的顶点处取得最大值， 抛物线的顶点坐标为：（1，4）， 即2t﹣1＝4， 解得：t＝2.5； （3）存在，理由： 由抛物线的表达式知，点B（0，3）， ①当BC为菱形对角线时，对应菱形为BDCE′， 则BD＝CD， 由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y＝﹣x+3， 设点C（x，﹣x2+2x+3），点D（x，﹣x+3）， 则CD＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x，BDx，BC， ∴﹣x2+3xx， 解得：x＝3或x＝0（舍去）， 则BDx＝32， 即菱形的边长为：32． ②当BD为菱形的对角线时对应菱形为菱形BCDE， 则CD＝BC， ∴﹣x2+3x， 解得：x＝2或x＝0（舍去）， 则CD＝﹣x2+3x＝﹣22+3×2＝2， 即菱形的边长为：2． 综上，菱形的边长为：32或2． 【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． 3．（2024•宁夏）抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，点P是第四象限内抛物线上的一点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，过P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．设点D的横坐标为m，当时，求m的值； （3）如图2点F（1，0），连接CF并延长交直线PD于点M，点N是x轴上方抛物线上的一点，在（2）的条件下，x轴上是否存在一点H，使得以F，M，N，H为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将点A（﹣1，0）代入抛物线解析式，解之即可得出结论； （2）令y＝0，可得B（4，0）；令x＝0可得点C的坐标（0，﹣2）；则BC2；BC的解析式为：yx﹣2；根据题意，点D的坐标为（m，0），把x＝m分别代入抛物线和直线BC的解析式，可得P（m，m2m﹣2）；E（m，m﹣2）；所以DE＝2m，EP＝2mm2；由PD⊥x轴，可得PD∥y轴，所以△BDE∽△BOC，则BD：BO＝BE：BC，即BE•BO＝BC•BD，可得BE（4﹣m），所以PEBE（4﹣m），由此可建立关于m的方程，解之即可； （3）由C、F的坐标可得，直线CF的解析式为：y＝2x﹣2，所以M（，3）；当y＝3时，x2x﹣2＝3，解得x＝﹣2或x＝5；当N（﹣2，3）时，FH＝MN；当N（5，3）时，FH＝MN；分别求解即可得出结论． 【解答】解：（1）把点A（﹣1，0）代入 得； 解得a； ∴抛物线的解析式为：yx2x﹣2． （2）把y＝0代入yx2x﹣2得，x2x﹣2＝0， 解得x＝﹣1或x＝4， ∴B（4，0）； 当x＝0是，y＝﹣2， ∴点C的坐标（0，﹣2）； ∴BC2；BC的解析式为：yx﹣2； 根据题意，点D的坐标为（m，0）， 把x＝m代入yx2x﹣2得，ym2m﹣2． 把x＝m代入yx﹣2，得ym﹣2， ∴P（m，m2m﹣2）；E（m，m﹣2）； ∴DE＝2m，EP＝2mm2； ∵PD⊥x轴， ∴PD∥y轴， ∴△BDE∽△BOC， ∴BD：BO＝BE：BC，即BE•BO＝BC•BD， ∴BE（4﹣m）， ∵PEBE（4﹣m）， ∴2mm2（4﹣m）， 解得m或m＝4（舍）； （3）存在，点H的坐标为（，0）或（，0）或（，0）或（，0）．理由如下： ∵C（0，﹣2），F（1，0）， ∴直线CF的解析式为：y＝2x﹣2， 当x时，y＝22＝3； ∴M（，3）； ∵点N是x轴上方抛物线上的一点， ∴当y＝3时，x2x﹣2＝3， 解得x＝﹣2或x＝5； 当N（﹣2，3）时，FH＝MN； ∴H的坐标为：（，0）或（，0）； 当N（5，3）时，FH＝MN； ∴H的坐标为：（，0）或（，0）． 综上，点H的坐标为（，0）或（，0）或（，0）或（，0）． 【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数与一次函数的交点，平行四边形的判定和性质，中点坐标公式等知识点，本题运用了分类讨论的思想．掌握函数的性质、相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质是解题的关键． 压轴题型五：二次函数新定义问题 1．（2024•乐山）在平面直角坐标系xOy中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线y＝ax2﹣2ax+2a（a为常数且a＞0）与y轴交于点A． （1）若a＝1，求抛物线的顶点坐标； （2）若线段OA（含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围； （3）若抛物线与直线y＝x交于M、N两点，线段MN与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，求a的取值范围． 【分析】（1）将a代入求抛物线解析式即可得出顶点坐标； （2）根据“完美点“定义可得二次函数与抛物线交点得范围，依据题意列出不等式即可； （3）易知抛物线的顶点坐标为（1，a），过点P（2，2a），Q（3，5a），R（4，10a），显然，“完美点”（1，1），（2，2），（3，3）符合题意，再将（2，1）和（3，2）代入即可． 【解答】解：（1）当a＝1时，抛物线y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1， ∴抛物线的顶点坐标（1，1）； （2）当x＝0时，y＝2a，即抛物线与y轴的交点A坐标为（0，2a）， ∵线段OA上的“完美点”的个数大于3个且小于6个，即“完美点”的个数为4个或5个，而a＞0， ∴当“完美点”个数为4个时，这4个“完美点”的坐标分别为（0，0），（0，1），（0，2），（0，3）， 当“完美点”个数为5个时，这5个“完美点”的坐标分别为（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（0，4）， ∴3≤2a＜5， ∴a的取值范围是a； （3）易知抛物线的顶点坐标为（1，a），过点P（2，2a），Q（3，5a），R（4，10a）． 显然，“完美点”（1，1），（2，2），（3，3）符合题意． 下面讨论抛物线经过（2，1），（3，2）的两种情况： ①当抛物线经过（2，1）时，解得．此时，P（2，1），，R（4，5）． 如图所示，满足题意的“完美点”有（1，1），（2，1），（2，2），（3，3），共4个． ②当抛物线经过（3，2）时，解得．此时，，Q（3，2），R（4，4）． 如图所示，满足题意的“完美点”有（1，1），（2，1），（2，2），（3，2），（3，3），（4，4），共6个． ∴a的取值范围是． 【点评】本题主要考查了二次函数综合，灵活运用二次函数顶点式、图象和性质是解题DE的关键． 2．（2024•深圳）在综合实践课上，数学探究小组用两个互相垂直的直尺制作了一个“T”形尺，并用它对二次函数图象的相关性质进行研究． 把“T”形尺按图1摆放，水平宽AB的中点为C，图象的顶点为D，测得AB为m厘米时，CD为n厘米． 【猜想】 （1）探究小组先对y＝x2的图象进行多次测量，测得m与n的部分数据如表： m 0 2 3 4 5 6 … n 0 1 2.25 4 6.25 9 … 描点：以表中各组对应值为点的坐标，在图2的直角坐标系内描出相应的点． 连线：用光滑的曲线顺次连接各点． 猜想：n与m的关系式是 　nm2　 【验证】 （2）探究小组又对多个二次函数的图象进行了测量研究，发现测得的n与m也存在类似的关系式，并针对二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）的情况进行了推理验证．请从下表中任选一种方法（在“□”内打“√”）并补全其推理过程；（根据需要，选用字母a，m，n，h，k表示答案） □方法1 □方法2 如图3，平移二次函数图象，使得顶点D移到原点O的位置，则： A'B'＝AB＝m，C'O＝CD＝n， C'B， 所以点B′坐标为 　（m，n）　； 将点B′坐标代入y＝ax2， 得到n与m的关系式是 　nam2　． 如图4，顶点D的横坐标加个单位，纵坐标加n个单位得到点B的坐标，所以点B坐标为 　（hm，k+n）　； 将点B坐标代入y＝a（x﹣h）2+k， 得到n与m的关系式是 　nam2　． 【应用】 （3）已知AB∥x轴且AB＝4，两个二次函数y＝2（x﹣h）2+k和y＝a（x﹣h）2+d的图象都经过A，B两点．当两个函数图象的顶点之间的距离为10时，求a的值． 【分析】（1）描点连线绘制函数图象即可，再用待定系数法即可求函数表达式； （2）方案一：B′（m，n）；将点B′的坐标代入抛物线表达式即可求解；方案二：同方案一； （3）对于第一个二次函数：m＝4，由nam2，得n2×42＝8，则第二个二次函数距线段AB的距离的n＝2，进而求解． 【解答】解：（1）描点连线绘制函数图象如下： 由题意得，点B（m，n）， 将点B的坐标代入函数表达式得：n＝（m）2m2； 故答案为：nm2； （2）方案一： 点B′（m，n）， 将点B′的坐标代入抛物线表达式得：na×m2， 故答案为：（m，n），nam2； 方案二： 点B（hm，k+n） 将点B的坐标代入抛物线表达式得：k+n＝a（h+m﹣h）2+k， 解得：nam2， 故答案为：（hm，k+n），nam2； （3）①当a＞0时，此时抛物线开口方向向上， 由（2）知a，n， ∵y＝2（x﹣n）2+k， ∴n18， ∵两个函数图象的顶点之间的距离为10， ∴n2＝18， ∴a； ②当a＜0时，同理可得：n2＝﹣2，此时a 综上，a或． 【点评】本题考查了二次函数综合运用，涉及到函数作图、方案探究等，理解题意，逐次求解是解题的关键． 3．（2024•甘孜州）【定义与性质】 如图，记二次函数y＝a（x﹣b）2+c和y＝﹣a（x﹣p）2+q（a≠0）的图象分别为抛物线C和C1． 定义：若抛物线C1的顶点Q（p，q）在抛物线C上，则称C1是C的伴随抛物线． 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若C1是C的伴随抛物线，则C也是C1的伴随抛物线，即C的顶点P（b，c）在C1上． 【理解与运用】 （1）若二次函数y（x﹣2）2+m和y（x﹣n）2的图象都是抛物线yx2的伴随抛物线，则m＝　2　，n＝　±1　． 【思考与探究】 （2）设函数y＝x2﹣2kx+4k+5的图象为抛物线C2． ①若函数y＝﹣x2+dx+e的图象为抛物线C0，且C2始终是C0的伴随抛物线，求d，e的值； ②在①的条件下，若抛物线C2与x轴有两个不同的交点（x1，0），（x2，0）（x1＜x2），请直接写出x1的取值范围． 【分析】（1）根据二次函数y（x﹣2）2+m和y（x﹣n）2的图象都是抛物线yx2的伴随抛物线，得出22＝m，n2，求得m＝2，n＝±1； （2）①抛物线C2的顶点为（k，﹣k2+4k+5），令k＝0，顶点为（0，5）；k＝1，顶点为（1，8），得出d＝4，e＝5； ②当顶点在（﹣1，0）下方时，抛物线有两个交点，x1＜﹣1；当顶点在（5，0）下方时，2＜x1＜5． 【解答】解：（1）由题意，∵二次函数y（x﹣2）2+m和y（x﹣n）2的图象都是抛物线yx2的伴随抛物线， ∴22＝m，n2， ∴m＝2，n＝±1， 故答案为：2；±1； （2）①由题意，∵y＝x2﹣2kx+4k+5＝（x﹣k）2﹣k2+4k+5， ∴抛物线C2的顶点为（k，﹣k2+4k+5）， 又C2始终是C0的伴随抛物线， ∴可令k＝0，顶点为（0，5）；k＝1，顶点为（1，8）， ∴， ∴d＝4，e＝5； ②∵C2与x轴有两个不同的交点（x1，0），（x2，0）， 由①得：函数y＝﹣x2+4x+5的图象为抛物线C0，且C2始终是C0的伴随抛物线， ∴顶点坐标（k，﹣k2+4k+5）在y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9图象上滑动，顶点为（2，9）， 当﹣x2+4x+5＝0时，解得：x＝﹣1或x＝5， 抛物线与x轴交于（﹣1，0）（5，0）两个点， 当顶点在（﹣1，0）下方时，抛物线有两个交点，x1＜﹣1； ∵若C2是C0的伴随抛物线，则C0也是C2的伴随抛物线，即C0的顶点P（b，c）在C2上， ∴（2，9）在C2上， 当顶点在（5，0）下方时，2＜x1＜5； 综上可得：2＜x1＜5或x1＜﹣1． 【点评】本题考查二次函数综合题，主要考查二次函数的性质与应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． 压轴题型六：二次函数与几何最值问题 √满分技法 ①求PA+PB类线段和最小值：立刻想将军饮马模型； ②其他可结合几何最值模型——胡不归； 1．（2024•镇江）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y（x﹣1）2+4的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为C． （1）求A、B、C三点的坐标； （2）一个二次函数的图象经过B、C、M（t，4）三点，其中t≠1，该函数图象与x轴交于另一点D，点D在线段OB上（与点O、B不重合）． ①若D点的坐标为（3，0），则t＝　6　； ②求t的取值范围； ③求OD•DB的最大值． 【分析】（1）根据顶点式可直接得出点C的坐标；令y＝0，解方程，可得出点A，B的坐标； （2）①根据函数的对称性，可得出对称轴为直线x，再根据点C，M的坐标可得出C，M关于对称轴对称，由此可得出t的值； ②由对称轴的性质可知，二次函数图象的对称轴与x轴的交点坐标为（，0），再由对称性可知，D（t﹣3，0），由点D在线段OB上，且与端点不重合，可得，即3＜t＜7，而当t＝4时，过点B，C，M三点的二次函数不存在，由此可得3＜t＜7且t≠4； ③OD•DB＝（t﹣3）•（7﹣t）＝﹣t2+10t﹣21＝﹣（t﹣5）2+4，根据二次函数的性质可得结论． 【解答】解：（1）∵二次函数y（x﹣1）2+4的图象的顶点为C， ∴C（1，4）； 令y（x﹣1）2+4＝0，解得x＝﹣2或x＝4， ∴A（﹣2，0），B（4，0）； （2）①由题知，该函数过点B（4，0），C（1，4），D（3，0）， ∴函数的解析式为：y′＝a（x﹣4）（x﹣3）， ∴函数的对称轴为直线x， ∵C（1，4），M（t，4）， ∴点C，M关于对称轴对称， ∴， ∴t＝6， 故答案为：6； ②设二次函数的解析式为：y＝ax2+bx+c， 将M（t，4），C（1，4）两点代入，得， ∴a（t2﹣1）+b（t﹣1）＝0， ∵t≠1， ∴， ∴二次函数图象的对称轴与x轴的交点坐标为（，0）， ∵B，D两点关于对称轴对称，点B（4，0）， ∴D（t﹣3，0）， ∵点D在线段OB上，且与端点不重合， ∴，即3＜t＜7， ∵t＝4时，过点B，C，M三点的二次函数不存在， ∴3＜t＜7且t≠4； ③∵OD＝t﹣3，DB＝7﹣t， ∴OD•DB＝（t﹣3）•（7﹣t）． ∴OD•DB＝﹣t2+10t﹣21＝﹣（t﹣5）2+4， ∵3＜t＜7且t≠4， ∴t＝5时，OD•DB有最大值，最大值为4． 【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的对称性，二次函数的最值问题等相关知识，熟练掌握相关知识是解题基础． 2．（2024•德阳）如图，抛物线y＝x2﹣x+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）当0＜x≤2时，求y＝x2﹣x+c的函数值的取值范围； （3）将抛物线的顶点向下平移个单位长度得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，求PAPM的最小值． 【分析】（1）把A（﹣1，0）代入y＝x2﹣x+c得c＝﹣2，故抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2； （2）求出抛物线y＝x2﹣x﹣2开口向上，顶点坐标为（，），对称轴为直线x；由|0|＜|2|，知在0＜x≤2时，当x＝2，y取最大值22﹣2﹣2＝0；当x时，y取最小值，从而函数值的取值范围是y≤0； （3）连接BM，过A作AH⊥BM于H，交抛物线对称轴直线x于P'，设直线x交x轴于N，求出B（2，0），BN＝2，M（，﹣3），MN＝3，可得BM，sin∠BMN，即得P'HP'M，从而P'AP'M＝P'A+P'H＝AH，由垂线段最短可知，当P与P'重合时，PAPM最小，最小值为AH的长度，根据面积法求出AH，故PAPM的最小值为． 【解答】解：（1）把A（﹣1，0）代入y＝x2﹣x+c得：0＝1+1+c， 解得c＝﹣2， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2； （2）∵y＝x2﹣x﹣2＝（x）2， ∴抛物线y＝x2﹣x﹣2开口向上，顶点坐标为（，），对称轴为直线x； ∵|0|＜|2|， ∴在0＜x≤2时，当x＝2，y取最大值22﹣2﹣2＝0；当x时，y取最小值； ∴当0＜x≤2时，函数值的取值范围是y≤0； （3）连接BM，过A作AH⊥BM于H，交抛物线对称轴直线x于P'，设直线x交x轴于N，如图： 在y＝x2﹣x﹣2中，令y＝0得0＝x2﹣x﹣2， 解得x＝﹣1或x＝2， ∴B（2，0）， ∴BN＝2， ∵将抛物线的顶点（，）向下平移个单位长度得到点M， ∴M（，﹣3），MN＝3， ∴BM， ∴sin∠BMN， ∴， ∴P'HP'M， ∴P'AP'M＝P'A+P'H＝AH， 由垂线段最短可知，当P与P'重合时，PAPM最小，最小值为AH的长度， ∵2S△ABM＝AB•MN＝BM•AH， ∴AH， ∴PAPM的最小值为． 【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，锐角三角函数，胡不归问题等，解题的关键掌握胡不归问题的解决方法． 3．（2024•甘肃）如图1，抛物线y＝a（x﹣h）2+k交x轴于O，A（4，0）两点，顶点为B（2，2），点C为OB的中点． （1）求抛物线y＝a（x﹣h）2+k的表达式； （2）过点C作CH⊥OA，垂足为H，交抛物线于点E．求线段CE的长． （3）点D为线段OA上一动点（O点除外），在OC右侧作平行四边形OCFD． ①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标； ②如图3，连接BD，BF，求BD+BF的最小值． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由中点坐标公式得点C（1，），即可求解； （3）①当y时，y（x﹣2）2+2，则x＝2（不合题意的值已舍去），即可求解； ②过点B作直线l⊥y轴，作点F关于直线l的对称点F′（m+1，3），连接DF′，则BD+BF＝BD+BF′≥DF′，当D、B、F′共线时，BD+BF＝DF′为最小，即可求解． 【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x﹣2）2+2， 将点A的坐标代入上式得：0＝a×（4﹣2）2+2， 解得：a， 抛物线y＝a（x﹣h）2+k的表达式为yx2+2x； （2）由（1）知，y（x﹣2）2+2， 由中点坐标公式得点C（1，）， 当x＝1时，y（x﹣2）2+2， 则CE； （3）①由（2）知，C（1，）， 当y时，y（x﹣2）2+2， 则x＝2（不合题意的值已舍去）， 即点F（2，）； ②方法一： 设点D（m，0），则点F（m+1，）， 过点B作直线l⊥y轴，作点F关于直线l的对称点F′（m+1，3），连接DF′， 则BD+BF＝BD+BF′≥DF′，当D、B、F′共线时，BD+BF＝DF′为最小， 由定点F′、D的坐标得，直线DF′的表达式为：y＝3（x﹣m）， 将点B的坐标代入上式得：23（2﹣m）， 解得：m， 则点F′（，3），点D（，0）， 则BD+BF最小值为：DF′2； 方法二：作点C关于x轴的对称点E（1，）， 则△CBF≌△OED（SAS）， 则BF＝DE， 则BD+BF＝BD+DE≥BE，当D、B、E共线时，BD+BF＝BE为最小， 则BE2； 【点评】本题为二次函数综合运用，涉及到点的对称性、平行四边形的性质等，确定BD+BF＝DF′为最小是解题的关键． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$