压轴题04 相似三角形（4大题型）-2025年中考数学压轴题专项训练（全国通用）

压轴题04 相似三角形 相似三角形是中考数学中难度跨度大、与其他考点结合性比较强、重要性比较高的一个考点，所以全国各地很多压轴题基本都会有相似三角形的参与。对与这类压轴题，相似三角形常用考点有： 1、相似三角形的性质：相似三角形对应角相等，对应边成比例； 而相似三角形对应边成比例是几何问题求长度时列方程最常用的等量关系。 2、相似三角形的判定： ①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； ②有两个角对应相等的两个三角形相似； ③两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似； ④三边对应成比例的两个三角形相似。 3、相似三角形的其他应用： ①两相似三角形的周长比=相似比；对应边上的高线、中线之比=相似比；对应角的角平分线之比=相似比； ②两相似三角形的面积比=相似比的平方； ③三角形的重心：三角形三边中线的交点叫做重心；三角形的重心分每一条中线成1:2的两条线段； 4、相似三角形常见模型： ①平行类相似——A字图、8字图，如图：当DE∥BC时，△ADE∽△ABC ②K型图，如图：当∠A=∠D=∠BCE时，△ABC∽△DCE ； ③手拉手相似，如图：当△ABC∽△ADE时，△ABD∽△ACE ； ④母子三角形：如图，当∠ACD=∠B时，△ACD∽△ABC ； ⑤射影定理：如图，则△ADC∽△CDB∽△ACB ； 压轴题型一：相似三角形选择题 1．（2024•巴中）如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若OA＝1，则OG＝（　　） A． B． C． D． 2．（2024•德州）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为D，AE平分∠BAC，分别交BD，BC于点F，E．若AB：BC＝3：4，则BF：FD为（　　） A．5：3 B．5：4 C．4：3 D．2：1 3．（2024•温州三模）如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形拼接而成，连结HF交DE于点M．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 4．（2024•南通）在△ABC中，∠B＝∠C＝α（0°＜α＜45°），AH⊥BC，垂足为H，D是线段HC上的动点（不与点H，C重合），将线段DH绕点D顺时针旋转2α得到线段DE．两位同学经过深入研究，小明发现：当点E落在边AC上时，点D为HC的中点；小丽发现：连接AE，当AE的长最小时，AH2＝AB•AE请对两位同学的发现作出评判（　　） A．小明正确，小丽错误 B．小明错误，小丽正确 C．小明、小丽都正确 D．小明、小丽都错误 5．（2024•东营）如图，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，H为AB延长线上的一点，且BH＝BD，连接DH，分别交AC，BC于点E，F，连接BE，则下列结论： ①； ②tan∠H1； ③BE平分∠CBD； ④2AB2＝DE•DH． 其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 压轴题型二：相似三角形填空题 1．（2024•苏州）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝5，CA＝10，点D，E分别在AC，AB边上，AEAD，连接DE，将△ADE沿DE翻折，得到△FDE，连接CE，CF．若△CEF的面积是△BEC面积的2倍，则AD＝ 　 　． 2．（2024•成都）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的一条角平分线，E为AD中点，连接BE．若BE＝BC，CD＝2，则BD＝　 　． 3．（2024•无锡）如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝3，直线CM∥AB，E是BC上的动点（端点除外），射线AE交CM于点D．在射线AE上取一点P，使得AP＝2ED，作PQ∥AB，交射线AC于点Q．设AQ＝x，PQ＝y．当x＝y时，CD＝　 　；在点E运动的过程中，y关于x的函数表达式为 　 　． 4．（2024•重庆）如图，在△ABC中，延长AC至点D，使CD＝CA，过点D作DE∥CB，且DE＝DC，连接AE交BC于点F．若∠CAB＝∠CFA，CF＝1，则BF＝　 　． 5．（2024•东阿县模拟）如图，正方形ABCD的边长为12，⊙B的半径为6，点P是⊙B上一个动点，则PDPC的最小值为 　 　． 6．（2024•济宁）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分线． （1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点E，F． （2）以点A为圆心，BE长为半径画弧，交AC于点G． （3）以点G为圆心，EF长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点H． （4）画射线AH． （5）以点B为圆心，BC长为半径画弧，交射线AH于点M． （6）连接MC，MB．MB分别交AC，AD于点N，P． 根据以上信息，下面五个结论中正确的是 　 　.（只填序号） ①BD＝CD；②∠ABM＝15°③∠APN＝∠ANP；④；⑤MC2＝MN•MB． 压轴题型三：相似三角形常见模型 1．（2024•西宁）【感知特例】 （1）如图1，点A，B在直线l上，AC⊥l，DB⊥l，垂足分别为A，B，点P在线段AB上，且PC⊥PD，垂足为P． 结论：AC•BD＝AP•BP （请将下列证明过程补充完整） 证明：∵AC⊥l，BD⊥l，PC⊥PD ∴∠CAP＝∠DBP＝∠CPD＝90°， ∴∠C+∠APC＝90°， 　 　.+∠APC＝90°， ∴　 　＝ 　 　，（同角的余角相等） ∴△APC∽　 　，（两角分别相等的两个三角形相似） ∴　 　＝ 　 　，（相似三角形的对应边成比例） 即AC•BD＝AP•BP． 【建构模型】 （2）如图2，点A，B在直线l上，点P在线段AB上，且∠CAP＝∠DBP＝∠CPD．结论AC•BD＝AP•BP仍成立吗？请说明理由． 【解决问题】 （3）如图3，在△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝8，点P和点D分别是线段AB，BC上的动点，始终满足∠CPD＝∠A．设AP长为x（0＜x＜8），当x＝ 　 　时，BD有最大值是 　 　． 2．（2024•江西）综合与实践 如图，在Rt△ABC中，点D是斜边AB上的动点（点D与点A不重合），连接CD，以CD为直角边在CD的右侧构造Rt△CDE，∠DCE＝90°，连接BE，m． 特例感知 （1）如图1，当m＝1时，BE与AD之间的位置关系是 　 　，数量关系是 　 　． 类比迁移 （2）如图2，当m≠1时，猜想BE与AD之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 拓展应用 （3）在（1）的条件下，点F与点C关于DE对称，连接DF，EF，BF，如图3．已知AC＝6，设AD＝x，四边形CDFE的面积为y． ①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值； ②当BF＝2时，请直接写出AD的长度． 3．（2024•资阳）（1）【观察发现】如图1，在△ABC中，点D在边BC上．若∠BAD＝∠C，则AB2＝BD•BC，请证明； （2）【灵活运用】如图2，在△ABC中，∠BAC＝60°，点D为边BC的中点，CA＝CD＝2，点E在AB上，连接AD，DE．若∠AED＝∠CAD，求BE的长； （3）【拓展延伸】如图3，在菱形ABCD中，AB＝5，点E，F分别在边AD，CD上，∠ABC＝2∠EBF，延长AD，BF相交于点G．若BE＝4，DG＝6，求FG的长． 4．（2024•齐齐哈尔）综合与实践 如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在△ABC中，∠A＝90°，将线段BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，作DE⊥AB交AB的延长线于点E． （1）【观察感知】如图2，通过观察，线段AB与DE的数量关系是 　 　； （2）【问题解决】如图3，连接CD并延长交AB的延长线于点F，若AB＝2，AC＝6，求△BDF的面积； （3）【类比迁移】在（2）的条件下，连接CE交BD于点N，则　 　； （4）【拓展延伸】在（2）的条件下，在直线AB上找点P，使tan∠BCP，请直接写出线段AP的长度． 压轴题型四：相似三角形综合题 1．（2024•上海）如图所示，在矩形ABCD中，E为边CD上一点，且AE⊥BD． （1）求证：AD2＝DE•DC； （2）F为线段AE延长线上一点，且满足，求证：CE＝AD． 2．（2024•船山区校级模拟）如图，在菱形ABCD中，点M是BC上一点，连接AM并延长分别交BD和DC的延长线于点Q和点N，连接CQ． （1）求证：； （2）连接AC，若AM⊥BC，且 QN＝8，MN＝6，求BD的长． 3．（2024•临夏州）如图1，在矩形ABCD中，点E为AD边上不与端点重合的一动点，点F是对角线BD上一点，连接BE，AF交于点O，且∠ABE＝∠DAF． 【模型建立】 （1）求证：AF⊥BE； 【模型应用】 （2）若AB＝2，AD＝3，DFBF，求DE的长； 【模型迁移】 （3）如图2，若矩形ABCD是正方形，DFBF，求的值． 4．（2024•赤峰）数学课上，老师给出以下条件，请同学们经过小组讨论，提出探究问题．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是AC上的一个动点，过点D作DE⊥BC于点E，延长ED交BA延长线于点F． 请你解决下面各组提出的问题： （1）求证：AD＝AF； （2）探究与的关系； 某小组探究发现，当时，；当时，． 请你继续探究： ①当时，直接写出的值； ②当时，猜想的值（用含m，n的式子表示），并证明； （3）拓展应用：在图1中，过点F作FP⊥AC，垂足为点P，连接CF，得到图2，当点D运动到使∠ACF＝∠ACB时，若，直接写出的值（用含m，n的式子表示）． 5．（2024•甘南州）某学校数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： （1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，且DE⊥CF，猜想并计算的值； （2）如图2，在矩形ABCD中，∠DBC＝30°，点E是AD上的一点，连接CE，BD，且CE⊥BD，求的值； （3）如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DE•AB＝CF•AD． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 压轴题04 相似三角形 相似三角形是中考数学中难度跨度大、与其他考点结合性比较强、重要性比较高的一个考点，所以全国各地很多压轴题基本都会有相似三角形的参与。对与这类压轴题，相似三角形常用考点有： 1、相似三角形的性质：相似三角形对应角相等，对应边成比例； 而相似三角形对应边成比例是几何问题求长度时列方程最常用的等量关系。 2、相似三角形的判定： ①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； ②有两个角对应相等的两个三角形相似； ③两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似； ④三边对应成比例的两个三角形相似。 3、相似三角形的其他应用： ①两相似三角形的周长比=相似比；对应边上的高线、中线之比=相似比；对应角的角平分线之比=相似比； ②两相似三角形的面积比=相似比的平方； ③三角形的重心：三角形三边中线的交点叫做重心；三角形的重心分每一条中线成1:2的两条线段； 4、相似三角形常见模型： ①平行类相似——A字图、8字图，如图：当DE∥BC时，△ADE∽△ABC ②K型图，如图：当∠A=∠D=∠BCE时，△ABC∽△DCE ； ③手拉手相似，如图：当△ABC∽△ADE时，△ABD∽△ACE ； ④母子三角形：如图，当∠ACD=∠B时，△ACD∽△ABC ； ⑤射影定理：如图，则△ADC∽△CDB∽△ACB ； 压轴题型一：相似三角形选择题 1．（2024•巴中）如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若OA＝1，则OG＝（　　） A． B． C． D． 【分析】先根据相似三角形的性质得出图中直角三角形的一个锐角为30°，再利用特殊角的三角函数值结合相似三角形的性质即可解决问题． 【解答】解：因为图中12个直角三角形都相似， 所以360°÷12＝30°， 即直角三角形中较小的锐角为30°． 在Rt△OAB中， cos∠AOB， 因为∠AOB＝30°， 所以， 同理可得， ，，，， 所以． 又因为OA＝1， 所以OG． 故选：C． 【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的性质是解题的关键． 2．（2024•德州）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为D，AE平分∠BAC，分别交BD，BC于点F，E．若AB：BC＝3：4，则BF：FD为（　　） A．5：3 B．5：4 C．4：3 D．2：1 【分析】设AB＝3x，BC＝4x，根据勾股定理得到AC5x，根据相似三角形的性质得到ADx，根据等腰三角形的性质得到BE＝BF，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：∵AB：BC＝3：4， ∴设AB＝3x，BC＝4x， ∵∠ABC＝90°， ∴AC5x， ∵BD⊥AC， ∴∠ADB＝∠ABC＝90°， ∵∠BAD＝∠CAB， ∴△ABD∽△ACB， ∴， ∴， ∴ADx， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAF＝∠DAF， ∴∠AEB＝∠AFD， ∵∠AFD＝∠BFE， ∴∠BEF＝∠BFE， ∴BE＝BF， ∵∠ABE＝∠ADF＝90°， ∠BAE＝∠DAF， ∴△ABE∽△ADF， ∴， ∴， 方法二：∵AB：BC＝3：4， ∴设AB＝3x，BC＝4x， ∵∠ABC＝90°， ∴AC5x， ∵BD⊥AC， ∴∠ADB＝∠ABC＝90°， ∵∠BAD＝∠CAB， ∴△ABD∽△ACB， ∴， ∴， ∴ADx，过FH⊥AB于H， ∵AE是∠BAC的平分线，FD⊥AC， ∴FH＝FD， ∵sin∠ABD， ∴． 故选：A． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 3．（2024•温州三模）如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形拼接而成，连结HF交DE于点M．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】延长CB，DE，交于点N，设AH＝1，AE＝2，依据△ADE∽△BNE，即可得出BN＝1.5；再根据△DHM∽△NFM，即可得到的值． 【解答】解：如图所示，延长CB，DE，交于点N，设AH＝1，AE＝2， ∵正方形ABCD由四个全等的直角三角形拼接而成， ∴BE＝1，DH＝BF＝2， ∵AD∥BN， ∴△ADE∽△BNE， ∴，即， ∴BN＝1.5， ∵DH∥NF， ∴△DHM∽△NFM， ∴， 故选：C． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解决问题的关键是延长CB，DE，构造两对“8”字模型相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例进行计算． 4．（2024•南通）在△ABC中，∠B＝∠C＝α（0°＜α＜45°），AH⊥BC，垂足为H，D是线段HC上的动点（不与点H，C重合），将线段DH绕点D顺时针旋转2α得到线段DE．两位同学经过深入研究，小明发现：当点E落在边AC上时，点D为HC的中点；小丽发现：连接AE，当AE的长最小时，AH2＝AB•AE请对两位同学的发现作出评判（　　） A．小明正确，小丽错误 B．小明错误，小丽正确 C．小明、小丽都正确 D．小明、小丽都错误 【分析】旋转得到DH＝DE，∠HDE＝2α，当点E落在边 AC上时，利用三角形的外角推出∠CED＝α＝∠C，进而得到DE＝CD，推出 DH＝CD，判断小明的说法，连接AE，HE，等边对等角，求出，进而求出∠AHE＝∠AHD﹣∠DHE＝α，推出点E在射线HE上运动，根据垂线段最短，得到AE⊥HE时，AE的长最小，进而推出△AEH∽△AHB，判断小丽的说法即可． 【解答】解：∵将线段DH绕点D顺时针旋转2α得到线段DE， ∴DH＝DE，∠HDE＝2α， 当点E落在边AC上时，如图： ∵∠HDE＝∠C+∠CED，∠C＝α， ∴∠CED＝α＝∠C， ∴DE＝CD， ∴DH＝CD， ∴D为CH的中点， 故小明的说法是正确的； 连接AE，HE， ∵DH＝DE，∠HDE＝2α， ∴， ∵AH⊥BC， ∴∠AHB＝∠AHD＝90°， ∴∠AHE＝∠AHD﹣∠DHE＝α， ∴点E在射线HE上运动， ∴当AE⊥HE时，AE的长最小， ∴当AE的长最小时，∠AEH＝∠AHB＝90°， 又∵∠B＝∠C＝α＝∠AHE， ∴△AEH∽△AHB，， ∴AH2＝AB•AE， 故小丽的说法正确； 故选：C． 【点评】本题考查旋转的性质，三角形的外角，等腰三角形的判定和性质，垂线段最短，相似三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质，根据题意，正确的作图，确定点E的轨迹，是解题的关键． 5．（2024•东营）如图，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，H为AB延长线上的一点，且BH＝BD，连接DH，分别交AC，BC于点E，F，连接BE，则下列结论： ①； ②tan∠H1； ③BE平分∠CBD； ④2AB2＝DE•DH． 其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】通过证明△DCF∽△HBF，可得，故①错误；由tanH1，故②错误；由正方形的性质可得AC垂直平分BD，∠CDB＝∠CBD，可得DE＝BE，由角的数量关系可求∠CBE＝∠DBE，即BE平分∠CBD，故③正确；通过证明△DEB∽△DBH，可得2AB2＝DE•DH，故④正确；即可求解． 【解答】解：设AB＝BC＝CD＝AD＝a， ∵四边形ABCD是正方形， ∴CD∥AB，BDa＝BH， ∴△DCF∽△HBF， ∴，故①错误； ∵tanH， ∴tanH1，故②错误； ∵BD＝BH， ∴∠H＝∠BDH， ∵CD∥AB， ∴∠CDE＝∠H， ∴∠CDE＝∠BDE＝∠H， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC垂直平分BD，∠CDB＝∠CBD， ∴DE＝BE， ∴∠EDB＝∠EBD， ∴∠CDE＝∠CBE， ∴∠CBE＝∠DBE， ∴BE平分∠CBD，故③正确； ∵∠BDE＝∠BDE，∠EDB＝∠H＝∠DBE， ∴△DEB∽△DBH， ∴， ∴DB2＝DE•DH， ∴2AB2＝DE•DH，故④正确； 故选：B． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，解直角三角形等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 压轴题型二：相似三角形填空题 1．（2024•苏州）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝5，CA＝10，点D，E分别在AC，AB边上，AEAD，连接DE，将△ADE沿DE翻折，得到△FDE，连接CE，CF．若△CEF的面积是△BEC面积的2倍，则AD＝ 　　． 【分析】设AD＝x，，根据折叠性质得DF＝AD＝x，∠ADE＝∠FDE，过E作EH⊥AC于H，设EF与AC相交于M，证明△AHE∽△ACB，得到，进而得到EH＝x，AH＝2x，证明Rt△EHD是等腰直角三角形，得到∠HDE＝∠HED＝45°，可得∠FDM＝90°，证明△FDM≌△EHM（AAS），得到，则，根据三角形的面积公式结合已知可得，然后解一元二次方程求解x的值即可． 【解答】解：∵， ∴设AD＝x，， ∵△ADE沿DE翻折，得到△FDE， ∴DF＝AD＝x，∠ADE＝∠FDE， 过E作EH⊥AC于H，设EF与AC相交于M， 则∠AHE＝∠ACB＝90°， 又∵∠A＝∠A， ∴△AHE∽△ACB， ∴， ∵CB＝5，CA＝10，， ∴， ∴EH＝x，，则DH＝AH﹣AD＝x＝EH， ∴Rt△EHD是等腰直角三角形， ∴∠HDE＝∠HED＝45°，则∠ADE＝∠EDF＝135°， ∴∠FDM＝135°﹣45°＝90°， 在△FDM和△EHM中， ， ∴△FDM≌△EHM（AAS）， ∴，， ∴， 25﹣5x， ∵△CEF的面积是△BEC的面积的2倍， ∴， 则3x2﹣40x+100＝0， 解得，x2＝10（舍去）， 则， 故答案为：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、折叠性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，是综合性强的填空压轴题，熟练掌握相关知识的联系与运用是解 答的关键． 2．（2024•成都）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的一条角平分线，E为AD中点，连接BE．若BE＝BC，CD＝2，则BD＝　　． 【分析】连接CE，过E作EF⊥BC于F，设BD＝x，则BC＝x+2，由∠ACB＝90°，E为AD中点，可得CE＝AE＝DEAD，有∠CAE＝∠ACE，∠ECD＝∠EDC，证明△ECD∽△BCE，可得，∠CED＝∠CBE，故CE2＝CD•BC＝2（x+2）＝2x+4，再证△ABC∽△BEF，得，而AC＝2EF，即得2EF2＝（x+1）（x+2），从而（2x+4）﹣12，即可解得答案． 【解答】解：连接CE，过E作EF⊥BC于F，如图： 设BD＝x，则BC＝BD+CD＝x+2， ∵∠ACB＝90°，E为AD中点， ∴CE＝AE＝DEAD， ∴∠CAE＝∠ACE，∠ECD＝∠EDC， ∴∠CED＝2∠CAD， ∵BE＝BC， ∴∠ECD＝∠BEC， ∴∠BEC＝∠EDC， ∵∠ECD＝∠BCE， ∴△ECD∽△BCE， ∴，∠CED＝∠CBE， ∴CE2＝CD•BC＝2（x+2）＝2x+4， ∵AD平分∠CAB， ∴∠CAB＝2∠CAD， ∴∠CAB＝∠CED， ∴∠CAB＝∠CBE， ∵∠ACB＝90°＝∠BFE， ∴△ABC∽△BEF， ∴， ∵CE＝DE，EF⊥BC， ∴CF＝DFCD＝1， ∵E为AD中点， ∴AC＝2EF， ∴， ∴2EF2＝（x+1）（x+2）， ∵EF2＝CE2﹣CF2， ∴（2x+4）﹣12， 解得x或x（小于0，舍去）， ∴BD． 故答案为：． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，涉及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质、三角形的中位线性质、三角形的外角性质、解一元二次方程等知识，有一定的难度，熟练掌握三角形相关知识是解答的关键． 3．（2024•无锡）如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝3，直线CM∥AB，E是BC上的动点（端点除外），射线AE交CM于点D．在射线AE上取一点P，使得AP＝2ED，作PQ∥AB，交射线AC于点Q．设AQ＝x，PQ＝y．当x＝y时，CD＝　2　；在点E运动的过程中，y关于x的函数表达式为 　　． 【分析】易得CD∥PQ，则△APQ∽△ADC，得出，代入数据即可求出CD＝2；根据△APQ∽△ADC，得出，设DE＝t，则AP＝2t，通过证明△CDE∽△BAE，得出，则，进而得出，结合△APQ∽△ADC，可得，代入各个数据，即可得出 y关于x的函数表达式． 【解答】解：∵CM∥AB，PQ∥AB， ∴CD∥PQ， ∴△APQ∽△ADC， ∴，即， ∵x＝y， ∴CD＝2； ∵△APQ∽△ADC， ∴，即， 整理得：， 设DE＝t， ∵AP＝2ED， ∴AP＝2t， ∵CM∥AB， ∴△CDE∽△BAE， ∴，即， 整理得：， ∴， ∵△APQ∽△ADC， ∴，即， 整理得：， 故答案为：2，． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例． 4．（2024•重庆）如图，在△ABC中，延长AC至点D，使CD＝CA，过点D作DE∥CB，且DE＝DC，连接AE交BC于点F．若∠CAB＝∠CFA，CF＝1，则BF＝　3　． 【分析】由平行线的等分线段定理推出AF＝EF，由三角形中位线定理推出DE＝2CF＝2，得到AC＝2CF＝2，由△CAF∽△CBA，推出AC：BC＝CF：AC，求出BC＝4，即可得到BF的长． 【解答】解：∵CD＝CA，DE∥CB， ∴AF＝EF， ∴CF是△ADE的中位线， ∴DE＝2CF＝2， ∵DE＝DC， ∴AC＝2CF＝2， ∵∠CAB＝∠CFA，∠ACF＝∠ACB， ∴△CAF∽△CBA， ∴AC：BC＝CF：AC， ∴2：BC＝1：2， ∴BC＝4， ∴BF＝BC﹣FC＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，平行线等分线段定理，关键是由三角形中位线定理得到AC＝2CF＝2，由△CAF∽△CBA，推出AC：BC＝CF：AC． 5．（2024•东阿县模拟）如图，正方形ABCD的边长为12，⊙B的半径为6，点P是⊙B上一个动点，则PDPC的最小值为 　15　． 【分析】连接PB，在BC上截取BE＝3，可证得△BPE∽△BCP，从而PE． 【解答】解：如图， 连接PB，在BC上截取BE＝3，则CE＝BC﹣BE＝12﹣3＝9， ∴， ∵∠PBE＝∠CBP， ∴△BPE∽△BCP， ∴， ∴PE， ∴PD， ∴当点D、P、E共线时，PD+PE最小， ∵DE15， ∴PD的最小值为15， 故答案为15． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是丛辅助线，构造相似三角形． 6．（2024•济宁）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分线． （1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点E，F． （2）以点A为圆心，BE长为半径画弧，交AC于点G． （3）以点G为圆心，EF长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点H． （4）画射线AH． （5）以点B为圆心，BC长为半径画弧，交射线AH于点M． （6）连接MC，MB．MB分别交AC，AD于点N，P． 根据以上信息，下面五个结论中正确的是 　①②⑤　.（只填序号） ①BD＝CD；②∠ABM＝15°③∠APN＝∠ANP；④；⑤MC2＝MN•MB． 【分析】根据等腰三角形的性质即可判断出①；过M作MK⊥BC于点K，证出四边形ADKM为矩形，即可通过边的比值关系求出∠MBK＝30°，即可求出∠ABM判断②；利用三角形外角和分别求出两个角的值进行 比较即可判断③；设AP＝x，则PD＝AD﹣x，用含x的式子分别表达出AM和AD的长度后即可判断④；判定出△BMC∽△CMN即可判断⑤． 【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴三角形ABC为等腰直角三角形，∠ABD＝∠ACD＝45°， 又∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAD＝∠CAD∠BAC90°＝45°， ∴∠ABD＝∠ACD＝∠BAD＝∠CAD＝45°， ∴BD＝AD＝DC，故①正确； 根据题意作图可得：∠MAC＝∠ABD＝45°，BM＝BC， 过M作MK⊥BC于点K，则∠MKB＝90°，如图： ∵AD是△ABC的角平分线，由三线合一可得：AD⊥BC，即∠ADC＝90°， ∵∠DAM＝∠DAC+∠MAC＝45°+45°＝90°， ∴∠DAM＝∠MKB＝∠ADC＝90°， ∴四边形ADKM为矩形， ∴MK＝ADBCBM， ∴∠MBK＝30°， ∴∠ABM＝∠ABD﹣∠MBK＝45°﹣30°＝15°，故②正确； ∵∠APN＝∠ABM+∠BAD＝15°+45°＝60°，∠ANP＝∠MBK+∠DAC＝30°+45°＝75°， ∴∠APN≠∠ANP，故③错误； 设AP＝x，则PD＝AD﹣x， ∵AM∥BC， ∴∠AMB＝∠MBC＝30°， ∴tan∠AMB＝tan30°，即AMx， tan∠MBC＝tan30°，即AD， ∴1，故④错误； 添加解法：在Rt△MBC中，tan∠MBC， ∴（3）ADAM， ∴1，故④错误； ∵∠BMC＝∠BCM75°， ∵∠MNC＝∠ANP＝75°， ∴∠MNC＝∠BCM， 又∵∠BMC＝∠CMN， ∴△BMC∽△CMN， ∴MC：MN＝MB：MC， ∴MC2＝MN•MB，故⑤正确； 综上所述，正确的有：①②⑤； 故答案为：①②⑤． 【点评】本题为尺规作图几何综合题，涉及到了等腰三角形的性质即判定，矩形的判定，含30度角的直角三角形的定义，锐角三角函数的比值关系，相似三角形的判定及性质等知识点，灵活运用角的等量代换是解题的关键． 压轴题型三：相似三角形常见模型 1．（2024•西宁）【感知特例】 （1）如图1，点A，B在直线l上，AC⊥l，DB⊥l，垂足分别为A，B，点P在线段AB上，且PC⊥PD，垂足为P． 结论：AC•BD＝AP•BP （请将下列证明过程补充完整） 证明：∵AC⊥l，BD⊥l，PC⊥PD ∴∠CAP＝∠DBP＝∠CPD＝90°， ∴∠C+∠APC＝90°， 　∠DPB　.+∠APC＝90°， ∴　∠C　＝ 　∠DPB　，（同角的余角相等） ∴△APC∽　△BDP　，（两角分别相等的两个三角形相似） ∴　　＝ 　　，（相似三角形的对应边成比例） 即AC•BD＝AP•BP． 【建构模型】 （2）如图2，点A，B在直线l上，点P在线段AB上，且∠CAP＝∠DBP＝∠CPD．结论AC•BD＝AP•BP仍成立吗？请说明理由． 【解决问题】 （3）如图3，在△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝8，点P和点D分别是线段AB，BC上的动点，始终满足∠CPD＝∠A．设AP长为x（0＜x＜8），当x＝ 　4　时，BD有最大值是 　　． 【分析】（1）根据相似三角形的判定与性质填空即可； （2）证明△APC∽△BDP，即可解决问题； （3）证明△BPD∽△ACP，得，所以AC•BD＝AP•BP，得BD（x﹣4）2，然后根据二次函数的性质即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵AC⊥l，BD⊥l，PC⊥PD， ∴∠CAP＝∠DBP＝∠CPD＝90°， ∴∠C+∠APC＝90°， ∠DPB+∠APC＝90°， ∴∠C＝∠DPB（同角的余角相等）， ∴△APC∽△BDP（两角分别相等的两个三角形相似）， ∴（相似三角形的对应边成比例）， 即AC•BD＝AP•BP． 故答案为：∠DPB，∠C＝∠DPB，△BDP，； （2）解：成立，理由如下： ∵∠C+∠CPA＝180’﹣∠CAP，∠CPA+∠BPD＝180°﹣∠CPD， ∵∠CAP＝∠CPD， ∴∠C＝∠BPD， ∵∠CAP＝∠DBP， ∴△APC∽△BDP（两角分别相等的两个三角形相似）， ∴（相似三角形的对应边成比例）， ∴AC•BD＝AP•BP； （3）解：∵AB＝8，AP＝x， ∴BP＝AB﹣AP＝8﹣x， ∵AC＝BC＝5， ∴∠A＝∠B， ∵∠CPD+∠BPD＝∠A+∠ACP， ∴∠BPD＝∠ACP， ∴△BPD∽△ACP， ∴， ∴AC•BD＝AP•BP， ∴5BD＝x（8﹣x）＝8x﹣x2， ∴BD（x﹣4）2， 当x＝4时，BD的最大值为． 故答案为：4，． 【点评】本题考查了相似形综合题，考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数最值的求法等知识点，理解并掌握图1中提供的等式是解题的关键． 2．（2024•江西）综合与实践 如图，在Rt△ABC中，点D是斜边AB上的动点（点D与点A不重合），连接CD，以CD为直角边在CD的右侧构造Rt△CDE，∠DCE＝90°，连接BE，m． 特例感知 （1）如图1，当m＝1时，BE与AD之间的位置关系是 　AD⊥BE　，数量关系是 　AD＝BE　． 类比迁移 （2）如图2，当m≠1时，猜想BE与AD之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 拓展应用 （3）在（1）的条件下，点F与点C关于DE对称，连接DF，EF，BF，如图3．已知AC＝6，设AD＝x，四边形CDFE的面积为y． ①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值； ②当BF＝2时，请直接写出AD的长度． 【分析】（1）由1，得到CE＝CD，CB＝CA，根据等腰直角三角形的性质得到∠A＝∠ABC＝45°，∠ACD＝∠BAE，根据全等三角形的性质得到AD＝BE，∠A＝∠CBE＝45°，根据垂直的定义得到AD⊥BE； （2）根据相似三角形的判定定理得到△ADC∽△BEC，求得m，∠CBE＝∠A，得到BE＝mAD，根据垂直的定义得到AD⊥BE； （3）①连接CF交DE于O，由（1）知，AC＝BC＝6，∠ACB＝90°，求得AB＝6，得到BD＝6x，根据勾股定理得到DE2＝BD2+BE2＝（6x）2+x2，根据线段垂直平分线的性质得到CE＝EF，CD＝DF，推出四边形CDFE是正方形，根据正方形的面积公式即可得到yDE2[（6x）2+x2]，根据二次函数的性质即可得到结论； ②过D作DH⊥AC于H，根据等腰直角三角形 到现在得到AH＝DHADx，求得CH＝6x，连接OB，推出OB，得到∠CBF＝90°，根据勾股定理得到结论． 【解答】解：（1）AD⊥BE，AD＝BE， 理由：∵1， ∴CE＝CD，CB＝CA， ∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠A＝∠ABC＝45°，∠ACD＝∠BAE， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE，∠A＝∠CBE＝45°， ∴∠ABE＝90°， ∴AD⊥BE； 故答案为：AD⊥BE，AD＝BE； （2）BE＝mAD，AD⊥BE， 证明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACD＝∠BCE， ∵m， ∴△ADC∽△BEC， ∴m，∠CBE＝∠A， ∴BE＝mAD， ∵∠A+∠ABC＝90°， ∴∠CBE+∠ABC＝90°， ∴∠ABE＝90°， ∴AD⊥BE； （3）①连接CF交DE于O， 由（1）知，AC＝BC＝6，∠ACB＝90°， ∴AB＝6， ∴BD＝6x， ∵AD＝BE＝x，∠DBE＝90°， ∴DE2＝BD2+BE2＝（6x）2+x2， ∵点F与点C关于DE对称， ∴DE垂直平分CF， ∴CE＝EF，CD＝DF， ∵CD＝CE， ∴CD＝DF＝EF＝CE， ∵∠DCE＝90°， ∴四边形CDFE是正方形， ∴yDE2[（6x）2+x2]， ∴y与x的函数表达式为y＝x2﹣636（0＜x≤6）， ∵y＝x2﹣636＝（x﹣3）2+18， ∴y的最小值为18； ②过D作DH⊥AC于H， 则△ADH是等腰直角三角形， ∴AH＝DHADx， ∴CH＝6x， 连接OB， ∴OB＝OE＝OD＝OC＝OF， ∴OB， ∴∠CBF＝90°， ∵BC＝6，BF＝2， ∴CF2 ∴CDCF＝2， ∵CH2+DH2＝CD2， ∴（6x）2+（x）2＝（2）2， 解得x＝4或x＝2， ∴AD＝4或2． 【点评】本题是相似形的综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的判定和性质．勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 3．（2024•资阳）（1）【观察发现】如图1，在△ABC中，点D在边BC上．若∠BAD＝∠C，则AB2＝BD•BC，请证明； （2）【灵活运用】如图2，在△ABC中，∠BAC＝60°，点D为边BC的中点，CA＝CD＝2，点E在AB上，连接AD，DE．若∠AED＝∠CAD，求BE的长； （3）【拓展延伸】如图3，在菱形ABCD中，AB＝5，点E，F分别在边AD，CD上，∠ABC＝2∠EBF，延长AD，BF相交于点G．若BE＝4，DG＝6，求FG的长． 【分析】（1）证明△ABD∽△CBA，得到，得出AB2＝BD•BC； （2）过点C作CF⊥AB于点F，过点D作DG⊥AB于点G，证明△BED∽△BAD，得出，即，解得：； （3）连接BD，证明△DFG∽△CFB，得出，即，解得：． 【解答】（1）证明：∵∠BAD＝∠C，∠ABD＝∠CBA， ∴△ABD∽△CBA， ∴， ∴AB2＝BD•BC； （2）解：过点C作CF⊥AB于点F，过点D作DG⊥AB于点G， 则∠AFC＝∠AGD＝90°， ∴DF∥DG，∠BAC＝60°， ∴，， ∵D为BC的中点， ∴， ∵DF∥DG， ∴△BDG∽△BCF， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵AC＝CD， ∴∠CAD＝∠CDA， ∵∠AED＝∠CAD， ∴∠AED＝∠CDA， ∴∠AED+∠BED＝∠ADC+∠ADB＝180°， ∴∠BED＝∠ADB， ∵∠DBE＝∠ABD， ∴△BED∽△BAD， ∴，即， 解得：； （3）解：连接BD， ∵四边形ABCD为菱形， ∴，AD＝AB＝BC＝5，AD∥BC， ∵∠ABC＝2∠EBF， ∴∠ABD＝∠CBD＝∠EBF， ∴∠EBF﹣∠DBF＝∠CBD﹣∠DBF，即∠DBE＝∠CBF， ∵AD∥BC， ∴∠CBF＝∠G， ∴∠DBE＝∠G， ∵∠DEB＝∠BEG， ∴△BED∽△GEB， ∴， ∵DG＝6， ∴EG＝DE+6， ∴， 解得：DE＝2，负值舍去， ∴EG＝2+6＝8， ∴AE＝AD﹣DE＝3， ∵AE2+BE2＝32+42＝52＝AB2， ∴△ABE为直角三角形，∠AEB＝90°， ∴∠BEG＝180°﹣90°＝90°， ∴在Rt△BEG中根据勾股定理得：， ∴， ∵AD∥BC， ∴△DFG∽△CFB， ∴， 即， 解得：． 【点评】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理及其逆定理，三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法． 4．（2024•齐齐哈尔）综合与实践 如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在△ABC中，∠A＝90°，将线段BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，作DE⊥AB交AB的延长线于点E． （1）【观察感知】如图2，通过观察，线段AB与DE的数量关系是 　AB＝DE　； （2）【问题解决】如图3，连接CD并延长交AB的延长线于点F，若AB＝2，AC＝6，求△BDF的面积； （3）【类比迁移】在（2）的条件下，连接CE交BD于点N，则　　； （4）【拓展延伸】在（2）的条件下，在直线AB上找点P，使tan∠BCP，请直接写出线段AP的长度． 【分析】（1）利用“一线三垂直“证△ABC≌△EBD（AAS）即可得证； （2）证△DEF∽△CAF可求EF长度，然后即可求出△BDF的面积； （3）要求的值，有两个方向，①把BN和BC的值求出来，这题BC很好求，但是BN不好求，可以建立坐标系求解析式，再求交点N坐标，最后利用两点距离公式求BN的长度；②根据题干给我们的思路建立一线三直角得相似进行转化即可，利用△EMN∽△EAC和△BMN∽△BED建立关于MN的方程，求出MN的长度，最后利用△BMN∽△CAB求值即可． （4）由已知条件过P作BC垂线段，可得两个直角三角形，然后解这两个直角三角形即可求解．另外方法二的正切和差角公式可以作为课外拓展知识，在这种直接写答案的题型中可以用下，快速找出答案． 【解答】解：（1）∵线段BC绕点B逆时针旋转90°得到线段BD， ∴BC＝BD，∠CBD＝90°， ∴∠BCA＝∠DBE＝90°﹣∠ABC， ∵∠A＝∠E＝90°， ∴△ABC≌△EBD（AAS）， ∴AB＝DE； 故答案为：AB＝DE． （2）∵线段BC绕点B逆时针旋转90°得到线段BD， ∴BC＝BD，∠CBD＝90°， ∴∠BCA＝∠DBE＝90°﹣∠ABC， ∵∠A＝∠E＝90°， ∴△ABC≌△EBD（AAS）， ∴DE＝AB，BE＝AC， ∵AB＝2，AC＝6， ∴DE＝2，BE＝6， ∴AE＝AB+BE＝8， ∵∠DEB+∠A＝180°， ∴DE∥AC， ∴△DEF∽△CAF， ∴，即， ∴EF＝4， ∴BF＝BE+EF＝10， ∴S△BDFBF•DE＝10． （3）方法一：如图，以AE所在直线为x轴，以AC所在直线为y轴建立坐标系， 由AC＝6，AE＝8，DE＝2，BD＝2， ∴C（0，6），B（2，0），E（8，0），D（8，2）， 设直线BD解析式为y＝kx+b，将B、D代入得， ，解得：， ∴直线BD解析式为yx， 同理可求直线CE解析式为：yx+6， 令xx+6，解得x， ∴y，即N（，）， ∴利用两点距离公式可得BN， ∵BC2， ∴． 故答案为：． 方法二：如图，过N作NM⊥AE于点M， 由△EMN∽△EAC得，，即， ∴EMMN， 由△BMN∽△BED得，，即， 解得MN， 由△BMN∽△CAB得，． 故答案为：． （4）方法一：①当点P在点B左侧时，如图所示，过P作PQ⊥BC于点Q， ∵tan∠BCP，tan∠ABC3， ∴PQCQ，PQ＝3BQ， 设BQ＝2a，则PQ＝6a，CQ＝9a， ∴BC＝BQ+CQ＝11a， ∵BC211a， ∴a， ∴BP2a， ∴AP＝BP﹣AB； ②当点P在点B右侧时，如图所示，作PG⊥BC交BC延长线于点G， tan∠BCP，tan∠PBG＝tan∠ABC，即， 剩下思路与第一种情况方法一致，求得AP． 综上，AP的长度为或． 方法二：补充知识：正切和差角公式：tan（α+β），tan（α﹣β）． ①当点P在点B左侧时，因为tan∠BCA，tan∠BCP，所以此时点P在A的左侧，如图所示， tan∠BCP＝tan（∠BCA+∠ACP）， 解得tan∠ACP，即， ∵AC＝6， ∴AP． ②当点P在点B右侧时，如图所示， tan∠ACP＝tan（∠BCA+∠BCP）， 即， ∵AC＝6， ∴AP． 综上，AP的长度为或． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的性质和判定、解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握以上基础知识和添加合适的辅助线是解题关键． 压轴题型四：相似三角形综合题 1．（2024•上海）如图所示，在矩形ABCD中，E为边CD上一点，且AE⊥BD． （1）求证：AD2＝DE•DC； （2）F为线段AE延长线上一点，且满足，求证：CE＝AD． 【分析】（1）由矩形性质得到∠BAD＝90°，∠ADE＝90°，AB＝DC，由角的互余得到∠ABD＝∠DAE，从而确定△ADE∽△BAD，利用相似三角形性质得到AD2＝DE•DC； （2）由矩形性质，结合题中条件，利用等腰三角形的判定与性质得到 OA＝OD＝EF＝CF，∠ODA＝∠OAD，∠FEC＝∠FCE，进而由三角形全等的判定与性质即可得到． 【解答】证明：（1）∵矩形ABCD， ∴∠BAD＝90°，∠ADE＝90°，AB＝DC， ∴∠ABD+∠ADB＝90°， ∵AE⊥BD， ∴∠DAE+∠ADB＝90°， ∴∠ABD＝∠DAE， ∵∠BAD＝∠ADE＝90°， ∴△ADE∽△BAD， ∴， ∴AD2＝DE•BA， ∵AB＝DC， ∴AD2＝DE•DC； （2）连接AC，交BD于点O， ∵矩形ABCD， ∴∠ADE＝90°， ∴∠DAE+∠AED＝90°， ∵AE⊥BD， ∴∠DAE+∠ADB＝90°， ∴∠ADB＝∠AED， ∵∠FEC＝∠AED， ∴∠ADO＝∠FEC， ∵矩形ABCD， ∴， ∴， ∴OA＝OD＝EF＝CF， ∴∠ADO＝∠OAD，∠FEC＝∠FCE， ∵∠ADO＝∠FEC， ∴∠ADO＝∠OAD＝∠FEC＝∠FCE， 在△ODA和△FEC中， ， ∴△ODA≌△FEC（AAS）， ∴CE＝AD． 【点评】本题考查了矩形综合，涉及矩形性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关几何性质与判定是解决问题的关键． 2．（2024•船山区校级模拟）如图，在菱形ABCD中，点M是BC上一点，连接AM并延长分别交BD和DC的延长线于点Q和点N，连接CQ． （1）求证：； （2）连接AC，若AM⊥BC，且 QN＝8，MN＝6，求BD的长． 【分析】（1）先证明△ABQ≌△CBQ，得出∠BAQ＝∠BCQ，再证明出BCQ＝∠N，由三角形相似的判定定理证明△CQM∽△NQB，再由相似三角形的性质得出结论； （2）先求出AQ＝CQ＝4，再由勾股定理求出CM＝2，设BM＝x，则AB＝BC＝BM+CM＝2x，再由勾股定理得出（x+2）2＝62+x2，求出x＝2，从而得到△ABC是等边三角形，然后求出BD． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC，AB∥CD， 在△ABQ和△CBQ中， ， ∴△ABQ≌△CBQ（SAS）， ∴∠BAQ＝∠BCQ， ∵AB∥CD， ∴∠BAQ＝∠N， ∴BCQ＝∠N， ∵∠CQM＝∠NQB， ∴△CQM∽△NQC， ∴； （2）解∵QN＝8，MN＝6， ∴QM＝2， 由（1）知，， ∴， ∴CQ＝4， 由（1）知，△ABQ≌△CBQ， ∴AQ＝CQ＝4， ∴AM＝AQ+QM＝4+2＝6， 在Rt△CQM中， CM2， 设BM＝x，则AB＝BC＝BM+CM＝2x， 在Rt△ABM中，AB2＝AM2+BM2， 即（x+2）2＝62+x2， 解得x＝2， 即BM＝2， ∴BM＝CM， ∵AM⊥BC， ∴△ABC是等边三角形， 又∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴BD＝2AM＝12． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，角平分线的性质等知识，关键是证明三角形相似． 3．（2024•临夏州）如图1，在矩形ABCD中，点E为AD边上不与端点重合的一动点，点F是对角线BD上一点，连接BE，AF交于点O，且∠ABE＝∠DAF． 【模型建立】 （1）求证：AF⊥BE； 【模型应用】 （2）若AB＝2，AD＝3，DFBF，求DE的长； 【模型迁移】 （3）如图2，若矩形ABCD是正方形，DFBF，求的值． 【分析】（1）由矩形的性质得∠BAD＝90°，而∠ABE＝∠DAF，所以∠AOE＝∠BAF+∠ABE＝∠BAF+∠DAF＝90°，则AF⊥BE； （2）延长AF交CD于点G，由GD∥AB，证明△GDF∽△ABF，则，求得GDAB＝1，由tan∠ABE＝tan∠DAG，求得AEAB，则DE＝AD﹣AE； （3）延长AF交CD于点H，由正方形的性质得AB＝AD，∠ADH＝90°，设AB＝AD＝2m，可证明△HDF∽△ABF，得，则HDAB＝m，求得AHm，则AFAHm，求得． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°， ∵∠ABE＝∠DAF， ∴∠AOE＝∠BAF+∠ABE＝∠BAF+∠DAF＝∠BAD＝90°， ∴AF⊥BE． （2）解：如图1，延长AF交CD于点G， ∵GD∥AB， ∴△GDF∽△ABF， ∵DFBF，AB＝2，AD＝3， ∴， ∴GDAB2＝1， ∵∠BAE＝∠ADG＝90°，∠ABE＝∠DAG， ∴tan∠ABE＝tan∠DAG， ∴AEAB2， ∴DE＝AD﹣AE＝3， ∴DE的长是． （3）解：如图2，延长AF交CD于点H， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠ADH＝90°， 设AB＝AD＝2m， ∵HD∥AB， ∴△HDF∽△ABF， ∵DFBF， ∴， ∴HDAB2m＝m， ∴AHm， ∴AFAHAHmm， ∴， ∴的值为． 【点评】此题重点考查矩形的性质，正方形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数与解直角三角形，勾股定理等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键． 4．（2024•赤峰）数学课上，老师给出以下条件，请同学们经过小组讨论，提出探究问题．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是AC上的一个动点，过点D作DE⊥BC于点E，延长ED交BA延长线于点F． 请你解决下面各组提出的问题： （1）求证：AD＝AF； （2）探究与的关系； 某小组探究发现，当时，；当时，． 请你继续探究： ①当时，直接写出的值； ②当时，猜想的值（用含m，n的式子表示），并证明； （3）拓展应用：在图1中，过点F作FP⊥AC，垂足为点P，连接CF，得到图2，当点D运动到使∠ACF＝∠ACB时，若，直接写出的值（用含m，n的式子表示）． 【分析】（1）利用等角的余角相等即可得证； （2）①过点A作AG∥CE，利用平行线分线段成比例+等腰三角形等线段转化即可得解；②与第①问思路一样； （3）利用等线段转化得，在作平行线，利用平行线分线段成比例求解即可． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵DE⊥BC， ∴∠BED＝∠CED＝90°， ∴∠B+∠F＝∠C+∠EDC＝90°， ∴∠F＝∠EDC， ∵∠ADF＝∠EDC， ∴∠F＝∠ADF， ∴AD＝AF． （2）解：①如图，过点A作AG∥CE，则AG⊥DF， ∴△AGD∽△CED， ∴， ∵AF＝AD， ∴GF＝GD， ∴2•． ②如图，过点A作AG∥CE，则AG⊥DF， ∴△AGD∽△CED， ∴， ∵AF＝AD， ∴GF＝GD， ∴2•． （3）解：设∠ABC＝∠ACB＝∠ACF＝α， 在Rt△FAP中和Rt△FCE中，∠FAP＝∠FCE＝2α， ∴cos∠FAP＝cos∠FCE， ∴， ∵AD＝AF， ∴． 则我们求出的值即可． 方法一：如图，过点F作FM∥BC交CA的延长线于点M， ∵∠ACB＝∠ACF＝∠M， ∴CF＝MF， 同理AM＝AF＝AD， ∴． ∴． 方法二：如图，过点E作EN∥AC交FC延长线于点N， 同方法一CE＝CN， ∴， 由（2）②得， ∴， ∴． 方法三：如图，过D作DE'⊥CF于点E'， 根据角平分线性质可得DE＝DE'， △CED和△CDF可以看作等高三角形，同时也是等高三角形， ∴， ∴． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关知识和添加合适的辅助线是解题关键． 5．（2024•甘南州）某学校数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： （1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，且DE⊥CF，猜想并计算的值； （2）如图2，在矩形ABCD中，∠DBC＝30°，点E是AD上的一点，连接CE，BD，且CE⊥BD，求的值； （3）如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DE•AB＝CF•AD． 【分析】（1）如图1，设DE与CF交于点G，根据正方形的性质得到∠A＝∠FDC＝90°，AD＝CD，根据余角的性质得到∠CFD＝∠AED，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）如图2，设DB与CE交于点G，根据矩形的性质得到∠A＝∠EDC＝∠BCD＝90°，求得∠CDG＝60°，得到CECD，BD＝2CD，于是得到； （3）如图3，过点C作CH⊥AF交AF的延长线于点H，根据矩形的判定定理得到四边形ABCH为矩形，根据矩形的性质得到AB＝CH，∠FCH+∠CFH＝∠DFG+∠FDG＝90°，根据相似三角形的判定和性质定理得到结论． 【解答】（1）解：如图1，设DE与CF交于点G， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠FDC＝90°，AD＝CD， ∵DE⊥CF， ∴∠DGF＝90°， ∴∠ADE+∠CFD＝90°，∠ADE+∠AED＝90°， ∴∠CFD＝∠AED， 在△AED和△DFC中， ， ∴△AED≌△DFC（AAS）， ∴DE＝CF， ∴1； （2）解：如图2，设DB与CE交于点G， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠EDC＝∠BCD＝90°， ∵∠DBC＝30°， ∴∠CDG＝60°， ∵CE⊥BD， ∴∠DGC＝90°， ∴∠DCE＝30°， ∴CECD，BD＝2CD， ∴； （3）证明：如图3，过点C作CH⊥AF交AF的延长线于点H， ∵CG⊥EG， ∴∠G＝∠H＝∠A＝∠B＝90°， ∴四边形ABCH为矩形， ∴AB＝CH，∠FCH+∠CFH＝∠DFG+∠FDG＝90°， ∴∠FCH＝∠FDG＝∠ADE，∠A＝∠H＝90°， ∴△DEA∽△CFH， ∴， ∴， ∴DE•AB＝CF•AD． 【点评】本题是相似综合题，考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及正方形的性质、矩形的性质，灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理及作出合理的辅助线是解题的关键． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$