精品解析：辽宁省点石联考2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷

2024—2025学年度上学期高二年级期末考试 数学 本卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置.考试结束后，将答题卡交回. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知空间向量，（其中，），若，则最小值是（ ） A. B. C. 2 D. 2. 国庆期间，中华世纪坛举办“传奇之旅：马可•波罗与丝绸之路上的世界”展览，现有8个同学站成一排进行游览参观，若将甲、乙、丙3个同学新加入排列，且甲、乙、丙互不相邻，保持原来8个同学顺序不变，则不同的方法种数为（ ） A. 84 B. 120 C. 504 D. 720 3. 已知两条直线：和：，若，则与之间的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 4. 在棱长为2的正方体中，M，N分别是棱CD，AD的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线的焦点为，P为抛物线上一点，若，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知离散型随机变量X分布列如下，若，则（ ） X 0 a 2 P b A. B. C. D. 7. 某高中为了解学生的肥胖是否与经常饮用碳酸饮料有关，现对400名高二学生进行了问卷调查，学生饮用碳酸饮料的统计结果如下：学校有的学生每天饮用碳酸饮料不低于500毫升，这些学生的肥胖率为，每天饮用碳酸饮料低于500毫升的学生的肥胖率为.若从该中学高二的学生中任意抽取一名学生，则该学生肥胖的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，平面ABCD，，，，，点M为BQ的中点，若，则N到平面CPM的距离为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 假设A，B是两个事件，且，，，则（ ） A. B. C. D. 10. 现有8名师生站成一排照相，其中老师2人，男学生4人，女学生2人，则下列说法正确的是（ ） A. 4个男学生排在一起，有1440种不同的排法 B. 老师站在最中间，有1440种不同的排法 C. 4名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端，有1728种不同的排法 D. 2名老师之间要有男女学生各1人，有3840种不同排法 11. 已知圆：与直线交于两点，点为线段的中点，为坐标原点，直线的斜率为，圆与轴交于两点，点是圆上异于的任意一点，直线分别交于两点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 线段的长度为 C. 的面积为 D. 当点变化时，以为直径的圆过圆内的一定点 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 的展开式中，的系数是__________.（用数字作答） 13. 已知抛物线C：的焦点为F，过直线l：上的点P作抛物线C的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，则的最小值为__________. 14. 已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，直线l：与C相交于点M，若，则离心率e的取值范围为__________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 现有一堆颜色不同，形状相同的小球在甲、乙两个完全相同的袋中，其中甲袋中有4个红色小球，2个白色小球，乙袋中有3个红色小球，1个白色小球. （1）先从甲、乙两袋中任取一袋，然后在所取袋中任取一球，求取出的是红球的概率； （2）将甲、乙两袋合为一袋，然后在袋中任取3球，设所取3个球中红球的个数为X，求X的分布列及期望值. 16. 已知抛物线C：（）经过点（），F为焦点，且. （1）求C的方程及； （2）设O为原点，过F作斜率不为0的直线l交C于M，N两点，直线分别交直线OM，ON于A，B.证明：以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点. 17. 如图甲，已知正方形ABCD边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，沿EF将长方形EFCD折起，与平面ABFE形成的二面角，如图乙所示，点M在线段AB上且不与点A，B重合. （1）若直线MF与由A，D，E三点所确定的平面相交，交点为N，，求AM的长度及此时点N到平面CDEF的距离； （2）若，求平面MEC与平面CEF所成角的正弦值. 18. 某工厂为了提高精度，采购了一批新型机器，现对这批机器的生产效能进行测试，对其生产的第一批零件的直径进行测量，质检部门随机抽查了100个零件的进行统计整理，得到数据如下表： 零件直径（单位：厘米） 零件个数 10 25 30 25 10 已知零件直径可视为服从正态分布，，分别为这100个零件的直径的平均数及方差（同一组区间的直径尺寸用该组区间的中点值代表）. 参考数据：；若随机变量，则， ，. （1）试估计这批零件直径在的概率； （2）以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为Z，求Z的分布列及数学期望； （3）若此工厂有甲、乙两台机器生产这种零件，且甲机器的生产效率是乙机器的生产效率的3倍，甲机器生产的零件的次品率为0.3，乙机器生产的零件的次品率为0.2，现从这批零件中随机抽取一件.若检测出这个零件是次品，求这个零件是甲机器生产的概率. 19. 已知椭圆：（）的右焦点为，且点在上. （1）求的方程； （2）若，，点为上一点.设直线PM与的另一个交点为点B，直线PN与C的另一个交点为点D.设，，证明：当点P在上运动时，为定值. （3）若经过圆O：上一动点G作两条切线，切点分别记为R，S，直线GR，GS分别与圆O相交于异于点G的两点.求的面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度上学期高二年级期末考试 数学 本卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置.考试结束后，将答题卡交回. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知空间向量，（其中，），若，则最小值是（ ） A B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由得，利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，且，则， 所以，即， 所以， 当且仅当时等号成立. 故选：D. 2. 国庆期间，中华世纪坛举办“传奇之旅：马可•波罗与丝绸之路上的世界”展览，现有8个同学站成一排进行游览参观，若将甲、乙、丙3个同学新加入排列，且甲、乙、丙互不相邻，保持原来8个同学顺序不变，则不同的方法种数为（ ） A. 84 B. 120 C. 504 D. 720 【答案】C 【解析】 【分析】不相邻问题插空法，8个同学一排有9个空，把甲、乙、丙插在9个空即可. 【详解】8个同学站成一排有9个空，甲、乙、丙在9个空中任意排列，则不同的方法种数为. 故选：C. 3. 已知两条直线：和：，若，则与之间的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用两直线平行求得，然后代入两平行线距离公式求解即可. 【详解】：和：， 由可得，解得， 此时：，：即， 所以与之间的距离为. 故选：A 4. 在棱长为2的正方体中，M，N分别是棱CD，AD的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用异面直线夹角的向量方法求解即可. 【详解】根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为在棱长为2的正方体中，M，N分别是棱CD，AD的中点， 可知，，，，，，，， 所以，， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D. 5. 已知抛物线的焦点为，P为抛物线上一点，若，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据焦点求得抛物线方程，由抛物线的定义结合图形即得. 【详解】因为抛物线的焦点为，则，得， 所以抛物线的方程为，令，则， 设过P作抛物线准线的垂线于点B，可得，则. 故点在抛物线内部，过点A作抛物线准线的垂线交抛物线于点P，此时取得最小值，最小值为. 故选：C. 6. 已知离散型随机变量X的分布列如下，若，则（ ） X 0 a 2 P b A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由概率之和为可得，再借助期望的性质计算可得，则可得，最后计算方差即可得. 【详解】由题意知，解得， 因为，则， 则，解得， 则 . 故选：C. 7. 某高中为了解学生的肥胖是否与经常饮用碳酸饮料有关，现对400名高二学生进行了问卷调查，学生饮用碳酸饮料的统计结果如下：学校有的学生每天饮用碳酸饮料不低于500毫升，这些学生的肥胖率为，每天饮用碳酸饮料低于500毫升的学生的肥胖率为.若从该中学高二的学生中任意抽取一名学生，则该学生肥胖的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设相应事件,根据题意利用全概率公式运算求解即可. 【详解】设“学生每天饮用碳酸饮料不低于500毫升”为事件A，则，， 设“学生肥胖”为事件B，则，， 由全概率公式可得， 所以若从该中学高二的学生中任意抽取一名学生，则该学生肥胖的概率为. 故选：A 8. 如图，平面ABCD，，，，，点M为BQ的中点，若，则N到平面CPM的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题设构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求点面距离即可. 【详解】因为平面，，易知AD，CD，PD两两垂直， 以D为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系. 依题意得，，，. 所以，，， 设为平面CPM的法向量，则，即， 不妨设，可得， 由，得， 则N到平面CPM的距离为. 故选：B 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 假设A，B是两个事件，且，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】结合对立事件的概率公式，利用条件概率公式求解判断AC，根据独立事件概率乘法公式求解判断B，利用概率的基本性质求解判断D. 【详解】因为，，所以，， 对于选项A，因为，， 所以，错误； 对于选项B，因为，所以事件A与B相互独立， 所以A与相互独立，所以，正确； 对于选项C，因为，所以，正确； 对于选项D，，D正确. 故选：BCD. 10. 现有8名师生站成一排照相，其中老师2人，男学生4人，女学生2人，则下列说法正确的是（ ） A. 4个男学生排在一起，有1440种不同的排法 B. 老师站在最中间，有1440种不同的排法 C. 4名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端，有1728种不同的排法 D. 2名老师之间要有男女学生各1人，有3840种不同的排法 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用捆绑法排列判断A，特殊元素优先安排（即先安排都是排中间然后再在两边安排学生求解判断B，用插空法（男生插入时需先先安排男生甲）求解判断C，先任选一名男学生和一名女学生站两位老师中间，把这四人捆绑后进行排列求解判断D． 【详解】选项A：4个男学生排在一起共有种站法，则有2880种不同排法，故A错误； 选项B：老师站在最中间共有种站法，则有1440种不同的排法，故B正确； 选项C：先排老师和女学生，共有种站法，再排男学生甲，有种站法，最后排剩余的3名男学生有种站法， 所以共有种不同的站法，故C正确； 选项D：先任选一名男学生和一名女学生站两位老师中间，有种站法，两名老师的站法有种， 再将这一男学生一女学生两位老师进行捆绑，与剩余的4个人进行全排列有种站法， 所以共有种不同的站法.故D正确. 故选：BCD． 11. 已知圆：与直线交于两点，点为线段的中点，为坐标原点，直线的斜率为，圆与轴交于两点，点是圆上异于的任意一点，直线分别交于两点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 线段的长度为 C. 的面积为 D. 当点变化时，以为直径的圆过圆内的一定点 【答案】BD 【解析】 【分析】确定直线的方程，联立直线方程解出点坐标，利用垂径定理及两直线垂直的斜率关系计算判断A；根据点到直线的距离公式、弦长公式判断BC；设方程，含参表示方程，求出坐标，从而求出以为直径的圆的方程，利用待定系数法计算即可. 【详解】如图 选项A：由题知直线的方程为，则由，得，即， 因为点为线段的中点，所以，即，所以，故A错误； 选项B：由，得圆心，所以到直线距离为，所以，故B正确； 选项C：因为到直线的距离为，的长度为，所以，故C错误； 选项D：由圆与轴交于两点，得，， 不妨设直线的方程为，其中，在直线的方程中，令，可得， 因为，则直线的方程为，直线的方程中，令，可得，即点， 设线段的中点为，则，圆的半径的平方为， 所以以线段为直径的圆的方程为，即， 由，解得，因此，当点变化时，以为直径的圆恒过圆C内的定点，故D正确； 故选：BD 【点睛】关键点点睛：选项D解题的关键是设直线的方程为，则直线的方程为，由表示中点，圆的半径的平方为，得以线段为直径的圆的方程，可得以为直径的圆恒过圆C内的定点. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 的展开式中，的系数是__________.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】把式子整理成，根据通项整理后得 ，从而求解. 【详解】由， 而的展开式的通项为， 则在的展开式中，含的项为， 故的系数是. 故答案为：. 13. 已知抛物线C：的焦点为F，过直线l：上的点P作抛物线C的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，则的最小值为__________. 【答案】5 【解析】 【分析】设，，，求出切线的方程，然后求出直线的方程，与抛物线联立，最后运用韦达定理表示出，利用二次函数的性质求出最小值. 【详解】由条件可知，设，，，则，， 再设切线PM的方程为，联立方程组， 整理得，由，且，可得， 则切线PM的方程为，即.由切线PM过点，可得. 同理，切线PN的方程为，由切线PN过点，可得， 则直线MN的方程为，联立方程组，整理得， 可得，， 则，当且仅当时，等号成立，故的最小值为5. 故答案为：. 14. 已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，直线l：与C相交于点M，若，则离心率e的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的定义，渐近线的性质以及余弦定理求出，，在代入到不等式中即可求解. 【详解】如图，双曲线C的焦点为，，渐近线方程为， 因为直线l的斜率，则直线l与双曲线C的一条渐近线平行，且过点， 设直线l与双曲线C的另一条渐近线相交于点N， 可知，，，， 因为，即， 且，即， 解得，，若， 即，解得，所以，又，所以. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 现有一堆颜色不同，形状相同的小球在甲、乙两个完全相同的袋中，其中甲袋中有4个红色小球，2个白色小球，乙袋中有3个红色小球，1个白色小球. （1）先从甲、乙两袋中任取一袋，然后在所取袋中任取一球，求取出的是红球的概率； （2）将甲、乙两袋合为一袋，然后在袋中任取3球，设所取3个球中红球的个数为X，求X的分布列及期望值. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）设事件A为“取出的是红球”，事件为“取到甲袋”，事件为“取到乙袋”,根据条件概率及相互独立事件的概率公式计算可得； （2）依题意可得的可能取值为，求出所对应的概率，列出分布列即可. 【小问1详解】 设事件A为“取出的是红球”，事件为“取到甲袋”，事件为“取到乙袋”，则，，， 则.. 【小问2详解】 合为一袋后，有7个红球和3个白球，则X的取值范围为， ； ； ； . 则分布列为 X 0 1 2 3 P 所以. 16. 已知抛物线C：（）经过点（），F为焦点，且. （1）求C的方程及； （2）设O为原点，过F作斜率不为0的直线l交C于M，N两点，直线分别交直线OM，ON于A，B.证明：以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点. 【答案】（1）， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义可得，代入抛物线方程即可得； （2）设直线l方程为，联立方程利用韦达定理可得圆的方程，令运算求解即可. 【小问1详解】 因为抛物线C：（）经过点，F为抛物线的焦点，且， 所以由抛物线的定义，可得，解得，所以， 又因为P的横坐标为1， 所以，解得， 又，所以. 【小问2详解】 因为直线l的斜率不为0，焦点坐标为， 设直线l的方程为. 与抛物线方程联立可得.故，. 可得，， 设，，则，， 可得直线OM的方程为， 与联立，可得，同理可得. 易知以AB为直径的圆的圆心坐标为，圆的半径为， 则圆的方程为. 令，整理可得，解得， 即以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点，. 17. 如图甲，已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，沿EF将长方形EFCD折起，与平面ABFE形成的二面角，如图乙所示，点M在线段AB上且不与点A，B重合. （1）若直线MF与由A，D，E三点所确定的平面相交，交点为N，，求AM的长度及此时点N到平面CDEF的距离； （2）若，求平面MEC与平面CEF所成角的正弦值. 【答案】（1），距离为. （2）. 【解析】 【分析】（1）取BF中点H，证明得，及，设，求出，过N作于T，所以平面CDEF，即NT的长度为点N到平面CDEF的距离，进而得到答案； （2）建立空间直角坐标系，根据面面角的法向量求法求解即可. 【小问1详解】 由题意可知，，，，CF，平面CFB， 所以平面CFB，同理可得平面DEA， 因为二面角为60°，所以， 所以由题意得DEA与CFB是全等的等边三角形， 如图，取BF中点H，连接CH，则，由平面CFB，又平面CFB，所以， 又，所以平面ABFE，所以， 因为平面，所以平面CEH，所以， 所以，， 设，则，，所以AM的长度为. 过N作于T，则由平面DEA，得，所以平面CDEF，即NT的长度为点N到平面CDEF的距离， 因为，所以，所以，，， 所以点N到平面CDEF的距离为. 【小问2详解】 如图，取AE的中点为O，连接OD，OH， 由（1）得，，，， 因为，，所以，又，AE，平面AED， ， 所以平面AED，因为平面AED，所以，所以直线OH，OD，OE两两垂直， 则以O为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，， 则，，，， 设平面MEC的法向量，则， 令，则，，所以， 设平面CEF的法向量， 则， 令，则，，所以， 所以， 设平面MEC与平面CEF所成的角为， 所以， 综上所述，平面MEC与平面CEF所成角的正弦值为. 18. 某工厂为了提高精度，采购了一批新型机器，现对这批机器的生产效能进行测试，对其生产的第一批零件的直径进行测量，质检部门随机抽查了100个零件的进行统计整理，得到数据如下表： 零件直径（单位：厘米） 零件个数 10 25 30 25 10 已知零件的直径可视为服从正态分布，，分别为这100个零件的直径的平均数及方差（同一组区间的直径尺寸用该组区间的中点值代表）. 参考数据：；若随机变量，则， ，. （1）试估计这批零件直径在的概率； （2）以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为Z，求Z的分布列及数学期望； （3）若此工厂有甲、乙两台机器生产这种零件，且甲机器的生产效率是乙机器的生产效率的3倍，甲机器生产的零件的次品率为0.3，乙机器生产的零件的次品率为0.2，现从这批零件中随机抽取一件.若检测出这个零件是次品，求这个零件是甲机器生产的概率. 【答案】（1）0.47725 （2）分布列见解析，1 （3）. 【解析】 【分析】（1）根据平均数与方差的计算公式计算出，再根据正态分布曲线的对称性计算概率； （2）写出二项分布的分布列，由二项分布的期望公式可得答案； （3）首先利用全概率公式计算出抽取的零件为次品的概率，再根据条件概率公式计算即可. 【小问1详解】 由平均数与方差的计算公式分别得 . . 故，. 设表示零件直径，则，即. 则， ，即. 【小问2详解】 由题意知，这批零件直径在的概率为. Z的取值范围为， 则， ， ， ， ， 因此可得Z的分布列为 Z 0 1 2 3 4 P 因为Z服从二项分布，则Z数学期望. 【小问3详解】 设“抽取的零件为甲机器生产”记为事件，“抽取的零件为乙机器生产”记为事件， “抽取的零件为次品”记为事件B， 则，，，， 则， ， 所以这个零件是甲机器生产的概率为. 19. 已知椭圆：（）的右焦点为，且点在上. （1）求的方程； （2）若，，点为上一点.设直线PM与的另一个交点为点B，直线PN与C的另一个交点为点D.设，，证明：当点P在上运动时，为定值. （3）若经过圆O：上一动点G作的两条切线，切点分别记为R，S，直线GR，GS分别与圆O相交于异于点G的两点.求的面积的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）. 【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标和得到方程组，求出，得到椭圆方程； （2）设，设直线的方程为，直线的方程为，联立椭圆方程，得到两根之积，根据得到，，从而表达出，计算可得出结果； （3）设点，，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立椭圆方程，运用直线和椭圆相切的条件：，求得的方程，检验直线的斜率不存在，也满足的方程；同理可得直线的方程，由两点确定一条直线可得的方程，联立直线和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，结合三角形的面积公式，化简整理，运用换元法和对勾函数的单调性，可得所求范围. 【小问1详解】 由题意知，，则①， 又因为点在上， 所以②，联立①②式可得， 解得，，所以的方程为. 【小问2详解】 证明：设，，，直线PM的方程为， 其中，且， 联立，可得， 则，因为， 所以，所以， ， 设直线的方程为，其中， 同理可得， 所以 ， 所以为定值. 【小问3详解】 设点，， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由， 消去y可得， ， 由题意得，整理可得， 则 ， 所以直线的方程为， 化简可得，即， 经验证，当直线的斜率不存在时，直线的方程为或也满足， 同理可得直线的方程， 因为在直线上，所以， 所以可得直线的方程为， 而在圆上，所以， 联立直线与椭圆的方程，整理可得， 则，， 到直线的距离， . 令，， 则，而， 所以的面积的取值范围是. 【点睛】方法点睛：定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$