复习篇 03 全等三角形中常见的几何模型2 - 2025年八年级寒假数学专题化复习与重点化预习（人教版）

03 全等三角形中常见的几何模型2 【题型1】倍长中线模型 【基础知识】 1定义 即延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的两倍． 其目的是构造一对对顶的全等三角形；其本质是转移边和角． 2 示例剖析 其中，延长使得，则． 其模型也属于“字型或成字型”. 【经典例题】 【例1】（21-22八年级上·河北保定·期末）佳佳同学遇到这样一个问题：如图，中，，，是中线，求的取值范围．她的做法是：延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．请回答： (1)为什么？写出推理过程； (2)求出的取值范围； (3)如图，是的中线，在上取一点，连结并延长交于点，若，求证：． 【巩固练习】 1（24-25八年级上·山东临沂·期中）一个三角形的两边长分别为5和7，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，AD是的中线，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，若EF=AF， BE=7.5， CF=6，则EF=(      ).    A．2.5 B．2 C．1.5 D．1 3（24-25八年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，平分，E为的中点，，求证：．    【题型2】 角平分线模型 【基础知识】 1 角平分线上的点向两边作垂线 如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM于点A,PB⊥ON于点B,则PB=PA. 模型分析：利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。 2 如图，P是∠MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB=OA，连接PB， 则△OPB△OPA. 模型分析：利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等、利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。 3 角平分线+垂线构造等腰三角形 如图， P是∠MON的平分线上一点，AP⊥OP于P点，延长AP交ON于点B,则△AOB是等腰三角形。 模型分析：构造次模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。这个模型敲门地把角平分线和三线合一联系在一起。 【经典例题】 【例1】（22-23八年级上·重庆綦江·期末）如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为  边上一动点，当的值最小时，的度数是（    ） A．118° B．125° C．136° D．124° 【巩固练习】 1（2022·北京海淀·一模）如图，点E是△ABC内一点，∠AEB=90°，AE平分∠BAC，D是边AB的中点，延长线段DE交边BC于点F，若AB=6，EF=1，则线段AC的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 2（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，平分，于点P，已知的面积为2，则阴影部分的面积为 ． 3（24-25八年级·全国·课后作业）如图，在中，，，是上的一点，且的延长线交于，又平分，求证：． 【题型3】 截长补短模型 【基础知识】 截长补短 定义 示例剖析 截长 在一条较长的线段上截取一段较短的线段 在线段上截取 补短 在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等 延长，使得。 【经典例题】 【例1】（2020九年级·全国·专题练习）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，且AE、BE交CD于点E．试说明AD＝AB﹣BC的理由． 【例2】（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，四边形ABCD中，,,,对角线BD平分交AC于点P.CE是的角平分线,交BD于点O. （1）请求出的度数; （2）试用等式表示线段BE、BC、CP之间的数量关系，并说明理由; 【巩固练习】 1（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，平分交于点D．求证：． 2（24-25八年级上·江西赣州·期中）如图，四边形中，平分于． (1)求证：； (2)若，求和的长． 3（24-25七年级上·黑龙江大庆·期末）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD．求证：EF=BE+FD． 【A组---基础题】 1（24-25七年级上·重庆开州·期中）如图，在中，，，D为中点，则线段的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2（20-21八年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，在四边形中，是的平分线，且．若，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 3（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，已知中，，D为上一点，且，则的度数是 ． 4（20-21八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图， 是的角平分线，延长至点，使，若，， 则 ． 5（24-25八年级上·江西新余·阶段练习）如图，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB=∠ABC．求证：CD=2CE． 6（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图中，分别平分相交于点． （1）求的度数； （2）求证： 7（20-21七年级下·广东佛山·阶段练习）如图，、分别平分、，交于E点． (1)如图1，求的度数．      (2)如图2，过点E的直线分别交、于B、C，猜想、、之间的存在的数量关系：_______．    (3)试证明（2）中的猜想． 【B组---提高题】 1（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，为中线，在延长线上取一点E，连接，使．过点C作于点F．下列结论中正确的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤．    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2（24-25八年级上·湖北·期中）如图，△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,AE平分∠BAC交BC于E,BD⊥AE于D,连CD,下列结论:①AB-AC=CE；②∠CDB=135°；③S△ACE=2 S△CDB；④AB=3CD,其中正确的有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 03 全等三角形中常见的几何模型2 【题型1】倍长中线模型 【基础知识】 1定义 即延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的两倍． 其目的是构造一对对顶的全等三角形；其本质是转移边和角． 2 示例剖析 其中，延长使得，则． 其模型也属于“字型或成字型”. 【经典例题】 【例1】（21-22八年级上·河北保定·期末）佳佳同学遇到这样一个问题：如图，中，，，是中线，求的取值范围．她的做法是：延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．请回答： (1)为什么？写出推理过程； (2)求出的取值范围； (3)如图，是的中线，在上取一点，连结并延长交于点，若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，由三角形的三边关系可求解； （3）延长至，使，连接，由“”可证，可得，，由等腰三角形的性质可得，可得． 【详解】（1）解：∵是中线， ∴， 延长到，使，且， ∴． （2）解：由（1）可知，，， 在中，，， ∴，即， ∴． （3）证明：如图，延长至，使，连接， ∵是的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，中线的性质，等腰三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 【巩固练习】 1（24-25八年级上·山东临沂·期中）一个三角形的两边长分别为5和7，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的中线、三角形的三边关系等知识，构造全等三角形是解题的关键． 如图所示，，，是边上的中线，设，延长至E，使，则，证明，则，根据三角形的三边关系得到，即可得到x的取值范围． 【详解】解：如图所示 ：，，是边上的中线，则，    延长至E，使，则， 在与中， ∵， ∴， ∴， 在中，，即， ∴． 故选：A． 2（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，AD是的中线，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，若EF=AF， BE=7.5， CF=6，则EF=(      ).    A．2.5 B．2 C．1.5 D．1 【答案】C 【分析】延长AD，使DG=AD，连接BG，由“SAS”可证△ADC≌△GDB，可得AC=DG=CF+AF=6+AF，∠DAC=∠G，由等腰三角形的性质可得BE=BG=7.5，即可求EF的长． 【详解】解：如图，延长AD，使DG=AD，连接BG，    ∵AD是△ABC的中线， ∴BD=CD，且DG=AD，∠ADC=∠BDG， ∴△ADC≌△GDB（SAS）， ∴AC=DG=CF+AF=6+AF，∠DAC=∠G， ∵EF=AF， ∴∠DAC=∠AEF， ∴∠G=∠AEF=∠BEG， ∴BE=BG=7.5， ∴6+AF=BG=7.5， ∴AF=1.5=EF， 故选择：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 3（24-25八年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，平分，E为的中点，，求证：．    【答案】见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，线段中点的定义，三角形外角的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．延长到，使，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，证出，根据全等三角形的性质得出，证得，由三角形外角的性质即可得到结论． 【详解】证明：延长到，使，连接，   点是的中点， ， 在与中， ， ∴， ， ，， ， 平分， ， 在与中， ， ∴， ， ， ，， ． 【题型2】 角平分线模型 【基础知识】 1 角平分线上的点向两边作垂线 如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM于点A,PB⊥ON于点B,则PB=PA. 模型分析：利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。 2 如图，P是∠MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB=OA，连接PB， 则△OPB△OPA. 模型分析：利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等、利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。 3 角平分线+垂线构造等腰三角形 如图， P是∠MON的平分线上一点，AP⊥OP于P点，延长AP交ON于点B,则△AOB是等腰三角形。 模型分析：构造次模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。这个模型敲门地把角平分线和三线合一联系在一起。 【经典例题】 【例1】（22-23八年级上·重庆綦江·期末）如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为  边上一动点，当的值最小时，的度数是（    ） A．118° B．125° C．136° D．124° 【答案】D 【分析】先在上截取，连接，证明，得出，说明，找出当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，根据三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：在上截取，连接，如图： ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，如图： ∵，， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，三角形内角和定理与三角形的外角的性质，解题的关键是找出使最小时点P的位置． 【巩固练习】 1（2022·北京海淀·一模）如图，点E是△ABC内一点，∠AEB=90°，AE平分∠BAC，D是边AB的中点，延长线段DE交边BC于点F，若AB=6，EF=1，则线段AC的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】延长交于，证明，根据全等三角形的性质求出，根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：延长交于， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 2（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，平分，于点P，已知的面积为2，则阴影部分的面积为 ． 【答案】1 【分析】延长交于，证明，利用三角形的中线的性质即可得解． 【详解】解：延长交于， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ， ∴阴影部分的面积； 故答案为：1． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，以及三角形中线的性质．遇到角平分线和垂线，构造全等三角形是解题的关键． 3（24-25八年级·全国·课后作业）如图，在中，，，是上的一点，且的延长线交于，又平分，求证：． 【答案】详见解析 【分析】延长，交于点，根据在Rt△BEF中，∠EBF+∠F=90°，在Rt△ACF中∠FAC+∠F=90°，可得∠EBF=∠FAC，进而可证≌，可得，易证≌，可得，即，所以. 【详解】解：延长，交于点， ∵，，， ∴． ∵在和中，， ∴≌（ASA）．∴． ∵在和中，， ∴≌（ASA）．∴，即． ∴． 【点睛】本题考查全等三角形证明中与等腰三角形三线合一相关的辅助线，如果一个题目中一条线段既是高线又是角平分线，那么我们可以将这个高线和角平分线所在的三角形补全，即可证得等腰三角形，就可以利用这些条件构造全等. 【题型3】 截长补短模型 【基础知识】 截长补短 定义 示例剖析 截长 在一条较长的线段上截取一段较短的线段 在线段上截取 补短 在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等 延长，使得。 【经典例题】 【例1】（2020九年级·全国·专题练习）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，且AE、BE交CD于点E．试说明AD＝AB﹣BC的理由． 【答案】见解析 【分析】在AB上找到F使得AF＝AD，易证△AEF≌△AED，可得AF＝AD，∠AFE＝∠D，根据平行线性质可证∠C＝∠BFE，即可证明△BEC≌△BEF，可得BF＝BC，即可解题． 【详解】证明：在AB上找到F使得AF＝AD， ∵AE平分∠BAD， ∴∠EAD＝∠EAF， ∵在△AEF和△AED中， ， ∴△AEF≌△AED，（SAS） ∴AF＝AD，∠AFE＝∠D， ∵AD∥BC， ∴∠D＋∠C＝180°， ∵∠AFE＋∠BFE＝180° ∴∠C＝∠BFE， ∵BE平分∠BAD， ∴∠FBE＝∠C， ∵在△BEC和△BEF中， ， ∴△BEC≌△BEF，（AAS） ∴BF＝BC， ∵AB＝AF＋BF， ∴AB＝AD＋BC， 即AD＝AB﹣BC． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△AEF≌△AED和△BEC≌△BEF是解题的关键． 【例2】（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，四边形ABCD中，,,,对角线BD平分交AC于点P.CE是的角平分线,交BD于点O. （1）请求出的度数; （2）试用等式表示线段BE、BC、CP之间的数量关系，并说明理由; 【答案】（1）；（2）BE+CP=BC，理由见解析． 【分析】（1）先证得为等边三角形，再利用平行线的性质可求得结论； （2）由BP、CE是△ABC的两条角平分线，结合BE=BM，依据“SAS”即可证得△BEO≌△BMO；利用三角形内角和求出∠BOC=120°，利用角平分线得出∠BOE=∠BOM=60，求出∠BOM，即可判断出∠COM=∠COP，即可判断出△OCM≌△OCP，即可得出结论； 【详解】（1）∵，， ∴为等边三角形， ∴∠ACD=， ∵， ∴∠BAC=∠ACD=； （2）BE+CP=BC，理由如下： 在BC上取一点M，使BM=BE，连接OM，如图所示： ∵BP、CE是△ABC的两条角平分线， ∴∠OBE=∠OBM=∠ABC， 在△BEO和△BMO中，， ∴△BEO△BMO(SAS)， ∴∠BOE=∠BOM=60， ∵BP、CE是△ABC的两条角平分线， ∴∠OBC+∠OCB= 在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180， ∵∠BAC =60， ∴∠ABC+∠ACB=180-∠A=180-60=120， ∴∠BOC=180-(∠OBC+∠OCB)=180=180-×120=120， ∴∠BOE=60， ∴∠COP=∠BOE=60 ∵△BEO≌△BMO， ∴∠BOE=∠BOM=60， ∴∠COM=∠BOC-∠BOM=120-60=60， ∴∠COM=∠COP=60， ∵CE是∠ACB的平分线， ∴∠OCM=∠OCP， 在△OCM和△OCP中， ∴△OCM≌△OCP（ASA）， ∴CM=CP， ∴BC=CM+BM=CP+BE， ∴BE+CP=BC． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了角平分线的定义、三角形内角和定理、全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形内角和定理、全等三角形的判定和性质，证明∠CFM=∠CFD是解题的关键． 【巩固练习】 1（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，平分交于点D．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，在上截取，连接，利用已知条件求证，然后可得，，再利用三角形外角的性质求证，然后问题可解． 【详解】证明：如图，在上截取，连接． 的平分线交边于点， ， 在与中， ， ∴， ，， ，， ， ， ， ， ∵， ． 2（24-25八年级上·江西赣州·期中）如图，四边形中，平分于． (1)求证：； (2)若，求和的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键： （1）过点作，交的延长线于，先证明，得出，再证明，进而得出答案； （2）根据全等三角形的性质得出，求出，进而可得出答案 【详解】（1）证明：如图，过点作，交的延长线于， 平分， ，， 在和中， ， ， ， ，即， 在和中， ， ． （2）， ， 由（1）知， ， ， ， ． 3（24-25七年级上·黑龙江大庆·期末）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD．求证：EF=BE+FD． 【答案】证明见解析． 【分析】延长EB到G，使BG=DF，连接AG．先说明△ABG≌△ADF，然后利用全等三角形的性质和已知条件证得△AEG≌△AEF，最后再运用全等三角形的性质和线段的和差即可解答． 【详解】延长EB到G，使BG=DF，连接AG． ∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD， ∴△ABG≌△ADF． ∴AG=AF，∠1=∠2．   ∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD． ∴∠GAE=∠EAF． 又∵AE=AE， ∴△AEG≌△AEF． ∴EG=EF． ∵EG=BE+BG． ∴EF=BE+FD 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，做出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 【A组---基础题】 1（24-25七年级上·重庆开州·期中）如图，在中，，，D为中点，则线段的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的中线、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系等知识，熟悉三角形的三边关系，利用中线构造全等三角形是解答的关键． 延长到点E，使，连接，可证，再根据三角形的三边关系可求得的取值范围，进而可得的取值范围． 【详解】解：延长到点E，使，连接，则， ∵D为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 2（20-21八年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，在四边形中，是的平分线，且．若，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在线段AC上作AF=AB，证明△AEF≌△AEB可得∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB，再证明△CEF≌△CED可得CD=CF，即可求得四边形的周长． 【详解】解：在线段AC上作AF=AB， ∵AE是的平分线， ∴∠CAE=∠BAE， 又∵AE=AE， ∴△AEF≌△AEB（SAS）， ∴∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB， ∵AB∥CD， ∴∠D+∠B=180°， ∵∠AFE+∠CFE=180°， ∴∠D=∠CFE， ∵， ∴∠AEF+∠CEF=90°，∠AEB+∠CED=90°， ∴∠CEF=∠CED， 在△CEF和△CED中 ∵, ∴△CEF≌△CED（AAS） ∴CD=CF， ∴四边形的周长=AC+AB+BD+CD=AC+AF+CF+BD=2AC+BD=， 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的性质和判断．能正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键． 3（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，已知中，，D为上一点，且，则的度数是 ． 【答案】20° 【分析】延长至点E使，连接，证明是等边三角形，设，则，再证明，即可得到结果． 【详解】解：如图，延长至点E使，连接． ∴， ∵， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴设，则．在与中， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案是． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，准确分析计算是解题的关键． 4（20-21八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图， 是的角平分线，延长至点，使，若，， 则 ． 【答案】102° 【分析】在BC上截取BF＝AB，连DF，如图，先根据SAS证明△ABD≌△FBD，得出DF＝DA＝DE，∠ADB＝∠BDF＝60°，∠A=∠BFD，进而可得∠EDC＝∠FDC，然后可根据SAS证明△CDE≌△CDF，再根据全等三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：在BC上截取BF＝AB，连接DF，如图， ∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABD＝∠FBD， ∵BA=BF，∠ABD＝∠FBD，BD=BD， ∴△ABD≌△FBD（SAS）， ∴DF＝DA＝DE，∠ADB＝∠BDF＝60°，∠A=∠BFD=78°， ∴∠FDC＝60°，∠DFC=102°， 又∵∠EDC＝∠ADB＝60°， ∴∠EDC＝∠FDC， ∵DE＝DF，∠EDC＝∠FDC，DC＝DC， ∴△CDE≌△CDF（SAS）， ∴∠E=∠DFC=102°； 故答案为：102°． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的定义以及对顶角相等的性质等知识，正确添加辅助线、构造全等三角形是解题的关键． 5（24-25八年级上·江西新余·阶段练习）如图，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB=∠ABC．求证：CD=2CE． 【答案】见解析 【分析】如图，考虑到CE是△ABC的中线，我们延长CE到F，使EF=CE，这样CF=2CE，结合已知条件可证△AEC≌△BEF，并可进一步证得△CFB≌△CDB，得到CF=CD，从而可得结论CD=2CE． 【详解】解：如图，延长CE到点F，使EF=CE，则CF=2CE， 、 ∵CE是△ABC的中线， ∴  AE=BE， 在△ACE和△BFE中， ∴ △ ACE≌ △ BFE（AAS）， ∴ AC=BF，∠A=∠ABF， 又∵∠ACB=∠ABC，CB是△ADC的中线， ∴ AC=AB=BD=BF，∠DBC=∠A+∠ACB=∠ABF+∠ABC，即∠DBC=∠FBC， 在△DBC和△FBC中， ， ∴△DBC≌△FBC（SAS）， ∴DC=CF=2CE． 【点睛】在这类有关三角形中线的问题中，延长中线一倍，构造全等三角形是我们在解题中常用的一种辅助线作法，需认真去体会． 6（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图中，分别平分相交于点． （1）求的度数； （2）求证： 【答案】（1）∠CPD=60°；（2）详见解析 【分析】（1）根据三角形的内角和定理及角平分线的定义，三角形的外角性质即可求出； （2）在AC上截取AF=AE，先证明△APE≌△APF（SAS），再证明△CFP≌△CDP（ASA），根据全等三角形的性质证明即可． 【详解】解：（1）∵∠ABC=60°， ∴∠BAC+∠ACB=180°-60°=120°， 又∵AD、CE分别平分， ∴， ∴， 又∵∠CPD是△ACP的外角， ∴∠CPD=∠CAD+∠ACE=60°， ∴∠CPD=60°． （2）如图，在AC上截取AF=AE，连接PF， ∵∠CPD=60°， ∴∠APC=120°，∠APE=60° ∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB， ∴∠BAD=∠CAD，∠ACE=∠BCE 在△APE与△APF中 ， ∴△APE≌△APF（SAS） ∴∠APF=∠APE=60°， ∴∠CPF=∠AOC-∠APF=60°， 在△CFP与△CDP中， ∴△CFP≌△CDP（ASA） ∴CD=CF ∴AC=AF+CF=AE+CD， 即． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、三角形内角和定理与角平分线的角度计算问题，解题的关键是通过在AC上截取AF=AE构造全等三角形． 7（20-21七年级下·广东佛山·阶段练习）如图，、分别平分、，交于E点． (1)如图1，求的度数．      (2)如图2，过点E的直线分别交、于B、C，猜想、、之间的存在的数量关系：_______．    (3)试证明（2）中的猜想． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）根据平行线的性质得到，再根据角平分线的定义得到，，利用三角形内角和定理整体计算即可； （2）根据图形猜想即可； （3）在上截取，连接，证明得到，进一步推出，再证明，可得，进而证明． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵、分别平分、， ∴，， ∴ ； （2）猜想：； （3） 证明：在上截取，连接．    平分， ． 在和中， ，，， ， ． ， ， 又， ． 平分， ． 在和中， ，，， ， ， ．即． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、角平分线的定义、平行线的性质，关键是添加辅助线，构建对应全等三角形，使问题得以解决． 【B组---提高题】 1（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，为中线，在延长线上取一点E，连接，使．过点C作于点F．下列结论中正确的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤．    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】作，证、即可求解． 【详解】解：作，如图：    ∵ ∵， ①无法推出，故①错误； ②正确； ③∵ 且 ∴ 故③正确； ④∵为中线 ∴ 故④正确； ⑤ 故⑤正确； 故选：D 【点睛】本题考查了全等三角形的综合问题，作出辅助线进行几何推理是解题关键． 2（24-25八年级上·湖北·期中）如图，△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,AE平分∠BAC交BC于E,BD⊥AE于D,连CD,下列结论:①AB-AC=CE；②∠CDB=135°；③S△ACE=2 S△CDB；④AB=3CD,其中正确的有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】①作高线EH，先根据角平分线定理得：CE=EH，再证明△ACE≌△AHE(AAS)可得：AH=AC，根据线段的和可得结论； ②先证明点A，B，D，C在以AB为直径的圆上，得∠ADC=∠ABC=45°，所以可得∠BDC=135°； ③作辅助线，构建全等三角形，证明△ACE≌△BCG，根据等腰三角形三线合一得BD=DG，知道：△BDC和△CDG的面积相等，由此可得：； ④根据③知：AB=AG=AC+CG，在△CDG中，可知CD>CG，从而得结论． 【详解】①过点E作EH⊥AB于H，如图1， ∵∠ABC=45°， ∴△BHE是等腰直角三角形， ∴EH=BH， ∵AE平分∠CAB， ∴EH=CE， ∴CE=BH， 在△ACE和△AHE中， ∵ ， ∴△ACE≌△AHE(AAS)， ∴AH=AC， ∴AB−AC=AB−AH=BH=CE， 故①正确； ②∵∠ACB=90°，BD⊥AE于D， ∴∠ACB=∠ADB=90°， ∴点A，B，D，C在以AB为直径的圆上， ∴∠ADC=∠ABC=45°， ∴∠BDC=∠ADB+∠ADC=90°+45°=135° 故②正确； ③如图2，延长BD、AC交于点G， ∵AD平分∠BAG，AD⊥BG， ∴BD=DG， ∴CD是Rt△BCG的斜边的中线， ∴CD=BD， ， ∴∠DBC=∠DCB=22.5°， ∴∠CBG=∠CAE=22.5°， ∵AC=BC，∠ACE=∠BCG， ∴△ACE≌△BCG， ∴ ， 故③正确； ④∵AB=AG=AC+CG， ∵BG=2CD>AC，CD>CG， ∴AB≠3CD， 故④错误， 故选B． 【点睛】本题考查了全等三角形的形判定和性质，以及直角三角形斜边上的中线，掌握辅助线的做法证明三角形全等是解题的关键. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$