预习篇 13 矩形的性质与判定 - 2025年八年级寒假数学专题化复习与重点化预习（人教版）

13 矩形的性质与判定 【题型1】矩形性质的证明 【基础知识】 1 矩形的概念 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 平行四边形中，若，则四边形是矩形. 2 矩形的性质 （1）矩形的四个内角都是直角； （2）矩形的对角线相等。 在矩形中，， . 【经典例题】 【例1】若四边形是矩形，证明对角线相等，即. 解析 证明 因为四边形是矩形， 所以，， 在和中， 所以， 所以. 【巩固练习】 1若四边形是矩形，证明四个内角都是直角. 解析 证明 因为四边形是矩形， 所以有一个内角是直角，假设， 因为，所以， 所以， 同理可得， 即矩形四个内角都是直角. 【题型2】矩形性质的运用 【经典例题】 【例1】（24-25九年级上·福建三明·阶段练习）如图，矩形的对角线相交于点，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，由题意得，结合可得是等边三角形，据此即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴ ， ∴是等边三角形， ∴， ∴ 故选：C 【例2】（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知，，则的值是（    ）    A．0.5 B．2 C． D．2.5 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形，矩形的性质，勾股定理等，利用矩形的性质得出，，，利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， 故选：B． 【巩固练习】 1（23-24九年级上·河北保定·阶段练习）如图，在矩形中，对角线，相交于点，如果，那么的度数为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：A 【点睛】本题考查矩形的性质．熟记相关结论即可． 2（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，在矩形中，的平分线交于点．若，则的长为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，根据题意可得是等腰直角三角形，则，根据，即可求解． 【详解】解：∵在矩形中，的平分线交于点． ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴， 故选：C． 3（21-22八年级下·重庆·期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，交BD于点E，，则的度数为（    ） A．40° B．35° C．30° D．25° 【答案】B 【分析】根据矩形的性质可得OA=OD，从而得到∠ADO=55°，再由，即可求解． 【详解】解：在矩形ABCD中，OA=OD， ∴∠ADO=∠DAO， ∵∠AOB=∠ADO+∠DAO，， ∴∠ADO=55°， ∵，即∠AED=90°， ∴∠DAE=35°． 故选：B 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的对角线相等且互相平分是解题的关键． 4（24-25九年级上·广东清远·期中）如图，矩形的边，分别落在直角坐标系y轴和x轴上，且，，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标平面内的点的坐标特征，同时也考查了矩形的性质，勾股定理，熟练掌握平面直角坐标系各个象限的点的坐标特征是解答本题的关键．先由勾股定理得到，结合矩形的性质及点所在象限即可得解； 【详解】∵四边形是矩形， ∴， ∵，，在直角三角形中，由勾股定理得： ， 又点到y轴的距离为的长度4，到x轴的距离为的长度3． 又因为点在第一象限，所以点的坐标为． 故选择：B 5（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，矩形的对角线，相交于点，，，则的长为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的对角线相等且互相平分是解题的关键．由矩形得，，再结合可得是等边三角形，得出即可解答． 【详解】解：矩形， ，， ， ， 是等边三角形， ， ． 故选：B． 6（23-24八年级下·全国·单元测试）如图所示，O是矩形的对角线的中点，E为的中点，若，，则的周长为（　　） A．10 B． C． D．14 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、三角形中位线定理，根据题意可得是的中位线，则，在中，利用勾股定理求得，再根据矩形的性质可求得，从而求出的周长． 【详解】解：＝，＝， ， 点是矩形对角线的中点，点为中点， ，，，， 在中，， 则的周长为：． 故选：C． 7（24-25九年级上·广东深圳·开学考试） 如图，在矩形中，，对角线与相交于点，于点E，当E为中点时，则的长为（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质可推出，然后根据矩形的性质即可求出． 【详解】解：四边形是矩形 ， ∵于点E，当E为中点， ∴垂直平分， ， ． 故选：D． 【题型3】矩形判定方法的证明 【基础知识】 矩形的判定 （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形； （2）有三个角是直角的四边形是矩形； （3）对角线相等的平行四边形是矩形。 【经典例题】 【例1】在平行四边形中，对角线，证明平行四边形是矩形. 解析 证明 因为四边形是平行四边形，所以， 在和中， 所以， 所以， 又， 所以， 由矩形的概念可知平行四边形是矩形. 【巩固练习】 1在四边形中，，证明四边形是矩形. 解析 证明 因为，所以，， 所以四边形是平行四边形， 又， 由矩形的概念可知平行四边形是矩形. 2（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，对角线与相交于点，添加下列条件不能判定为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定定理，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法．根据矩形的判定方法即可一一判断． 【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形．故正确， B、∵， ， 平行四边形为矩形．故正确． C、， ， ∵平行四边形， ， 平行四边形是矩形，故正确， D、错误．对角线垂直的平行四边形是菱形． 故选：D 【题型4】 矩形判定方法的运用 【经典例题】 【例1】（24-25九年级上·全国·期中）如图，在中，，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交于的延长线于点，且，连接． (1)求证：是的中点； (2)求证：四边形为矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）可证，得出，进而根据，得出是中点的结论； （2）若，则是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质知；而与平行且相等，故四边形是平行四边形，又，则四边形是矩形． 【详解】（1）证明：是的中点， ∵， ， ， 又， ，即是的中点； （2）证明：，， 四边形是平行四边形 ，， 即 四边形是矩形． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质、矩形的判定等知识综合运用，熟记特殊平行四边形的判定方法是解题的关键． 【巩固练习】 1（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，，延长至点E，使，连接，交于点F，连接，，．求证：四边形是矩形． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定，等角对等边等等，先证四边形是平行四边形，得，，再证，即可得证． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 2（24-25八年级下·海南海口·阶段练习）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，，，且∠ABC=90°．    （1）求证：四边形ABCD是矩形． （2）若∠ACB=30°，AB=1，求①∠AOB的度数；②四边形ABCD的面积． 【答案】（1）见解析；（2）①60°，②. 【分析】（1）根据AO=CO，BO=DO可知四边形ABCD是平行四边形，又∠ABC=90°，可证四边形ABCD是矩形 （2）利用直角△ABC中∠ABC=90°，∠ACB=300，可得∠BAC=60°，AC=2，BC=，即可求得四边形ABCD的面积，同时利用矩形的性质，对角线相等且互相平分，可得∠AOB=180°-2∠BAC 【详解】解：（1）证明：∵AO=CO，BO=DO ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC=∠ADC， ∵∠ABC=90°， ∴四边形ABCD是矩形； （2）∵∠ABC=90°，∠ACB=300，AB=1 ∴∠BAC=60°，AC=2，BC= 又∵矩形ABCD中，OA=OB ∴∠AOB=180°-2∠BAC=60° S□ABCD=1×= 【点睛】本题考查了矩形的判定及性质定理的应用，会灵活运用是解题的关键. 【题型5】 直角三角形斜边中线 【基础知识】 直角三角形斜边中线 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 如下图，在直角三角形中，点是斜边的中点，则. 推广：（1）结论可得, （2）若三角形中，则. 【经典例题】 【例1】（24-25九年级上·全国·期末）如图，，E为的中点，与相交于点F．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质：斜边上中线等于斜边一半，等边对等角，三角形内角和等知识，掌握直角三角形斜边上中线的性质是关键；由直角三角形斜边上中线的性质得，从而得，由三角形内角和即可求解． 【详解】解：∵，E为的中点， ∴和均为直角三角形，且点E是公共斜边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【巩固练习】 1（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）如图，在中，，是边的中点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质，熟练掌握性质是解题的关键．根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半计算选择即可． 【详解】∵，是边的中点，， ∴， ∴， 故选C． 2（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，中，D为中点，E在上，且．若，则的长度是（   ） A． B．8 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了斜边上的中线：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，据此即可求解； 【详解】解：∵．D为中点， ∴， 故选：C 3（22-23九年级上·四川绵阳·开学考试）如图，，分别是的边，的中点，点是线段上的一点，且，若，，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线的性质求出，进而求出，根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：在中，，是的中点，， ， ， ，分别是的边，的中点， 是的中位线， ， 故选：B． 【A组---基础题】 1（22-23八年级下·黑龙江绥化·期末）矩形中，对角线相交于点O，如果，那么的度数是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质证得，根据三角形的内角和定理即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查矩形的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的内角和定理等知识，掌握矩形的性质是解题的关键． 2（23-24八年级下·广东汕尾·期末）如图，做一个长、宽的矩形木框，需在对角的顶点间钉一根木条用来加固，则木条的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，由于长方形木框的宽和高与所加固的木板正好构成直角三角形，利用勾股定理计算是解题的关键． 【详解】解：木条的长为， 故选A． 3（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，在中，添加下列条件后，仍不能使它成为矩形的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定和平行四边形的性质，根据矩形的判定方法逐一判断即可，熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴是矩形，不符合题意； 、∵， ∴是矩形，不符合题意； 、∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是矩形，不符合题意； 、， ∴是菱形，符合题意； 故选：． 4（24-25九年级上·广东清远·期中）如图，公路、互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开，若测得的长为，则M、C两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查直角三角形斜边上中线的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半，根据直角三角形斜边上中线的性质可直接求解． 【详解】解：由题意得，点是的中点，， ， 即，两点间的距离为， 故选：C． 5（24-25九年级上·广东佛山·期中）如图所示，矩形的两条对角线相交于点，，，则对角线的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．根据矩形的对角线相等且互相平分可得是等边三角形，即可求解． 【详解】解：矩形的两条对角线相交于点， ， ， 是等边三角形， ， ， 故选：B． 6（24-25九年级上·河南焦作·期中）如图，矩形的对角线，交与点O，于E，点F为中点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质，，利用等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理解答即可． 【详解】解：∵ 矩形的对角线，交与点O， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，点F为中点， ∴，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 7（2024八年级上·北京·专题练习）如图，在中，，分别以B，C为圆心，大于的一半为半径作弧，两弧相交于D，E，作直线交，于点F，G，连接，若，则的长为（ ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线的尺规作图以及垂直平分线的性质以及勾股定理，掌握垂直平分线的性质，是解题的关键． 尺规作图，可得直线垂直平分，然后根据勾股定理算出，再通过角度计算可知，进而得到即可求出答案． 【详解】根据尺规作图，可得直线垂直平分， ∴，即得，，， ∴根据勾股定理可知， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 8（22-23八年级下·广西桂林·期中）已知：如图，在中，，为的中点，，，求证：四边形矩形． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、矩形的判定等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先证明四边形是平行四边形，再根据等腰三角形“三线合一”的性质可得，即可证明结论． 【详解】证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，为中点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 9（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，在平行四边形中，是边的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，．求证：    (1)四边形是平行四边形； (2)若，，，求证四边形是矩形． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理的逆定理，矩形的判定，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键． （1）根据四边形是平行四边形，得到，，证明，得到，即可得证； （2）根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形，且，进而得到，由此根据一个角是直角的平行四边形是矩形，即得证； 【详解】（1）证明： 四边形是平行四边形， ， ， ， 又，， ， ， 又， 四边形是平行四边形． （2）证明： ， ， 是直角三角形，且， ， ∵四边形是平行四边形， 四边形是矩形． 【B组---提高题】 1（24-25九年级上·海南·阶段练习）如图，在矩形中，，，点，分别在，上，，，若点是的中点，是的中点，连接，则的长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接并延长交与，连接，由矩形的性质得出，，证明得，，由勾股定理求出的长，再由三角形中位线定理即可得解． 【详解】解：如图，连接并延长交与，连接，    ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是的中点，， ∴是的中位线， ∴， ∴的长为． 故选：C． 【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线定理．熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解题的关键． 2（2024·湖北武汉·模拟预测）如图所示，在中，对角线与相交于点O，过点O任作一条直线分别交于点E，F． (1)求证：； (2)连接，请添加一个条件，使四边形是矩形．（不需要说明理由） 【答案】(1)见解析 (2) （答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由平行四边形的性质得，再运用证明，即可作答． （2）先由平行四边形的性质得，由，证明四边形是平行四边形，最后因为，即可证明四边形是矩形进行作答． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：（答案不唯一）．过程如下： 如图：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是矩形． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 13 矩形的性质与判定 【题型1】矩形性质的证明 【基础知识】 1 矩形的概念 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 平行四边形中，若，则四边形是矩形. 2 矩形的性质 （1）矩形的四个内角都是直角； （2）矩形的对角线相等。 在矩形中，， . 【经典例题】 【例1】若四边形是矩形，证明对角线相等，即. 【巩固练习】 1若四边形是矩形，证明四个内角都是直角. 【题型2】矩形性质的运用 【经典例题】 【例1】（24-25九年级上·福建三明·阶段练习）如图，矩形的对角线相交于点，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知，，则的值是（    ）    A．0.5 B．2 C． D．2.5 【巩固练习】 1（23-24九年级上·河北保定·阶段练习）如图，在矩形中，对角线，相交于点，如果，那么的度数为（    ）      A． B． C． D． 2（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，在矩形中，的平分线交于点．若，则的长为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 3（21-22八年级下·重庆·期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，交BD于点E，，则的度数为（    ） A．40° B．35° C．30° D．25° 4（24-25九年级上·广东清远·期中）如图，矩形的边，分别落在直角坐标系y轴和x轴上，且，，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 5（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，矩形的对角线，相交于点，，，则的长为（   ） A． B．2 C． D．4 6（23-24八年级下·全国·单元测试）如图所示，O是矩形的对角线的中点，E为的中点，若，，则的周长为（　　） A．10 B． C． D．14 7（24-25九年级上·广东深圳·开学考试） 如图，在矩形中，，对角线与相交于点，于点E，当E为中点时，则的长为（   ） A． B．4 C． D．8 【题型3】矩形判定方法的证明 【基础知识】 矩形的判定 （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形； （2）有三个角是直角的四边形是矩形； （3）对角线相等的平行四边形是矩形。 【经典例题】 【例1】在平行四边形中，对角线，证明平行四边形是矩形. 【巩固练习】 1在四边形中，，证明四边形是矩形. 2（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，对角线与相交于点，添加下列条件不能判定为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【题型4】 矩形判定方法的运用 【经典例题】 【例1】（24-25九年级上·全国·期中）如图，在中，，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交于的延长线于点，且，连接． (1)求证：是的中点； (2)求证：四边形为矩形． 【巩固练习】 1（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，，延长至点E，使，连接，交于点F，连接，，．求证：四边形是矩形． 2（24-25八年级下·海南海口·阶段练习）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，，，且∠ABC=90°．    （1）求证：四边形ABCD是矩形． （2）若∠ACB=30°，AB=1，求①∠AOB的度数；②四边形ABCD的面积． 【题型5】 直角三角形斜边中线 【基础知识】 直角三角形斜边中线 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 如下图，在直角三角形中，点是斜边的中点，则. 推广：（1）结论可得, （2）若三角形中，则. 【经典例题】 【例1】（24-25九年级上·全国·期末）如图，，E为的中点，与相交于点F．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）如图，在中，，是边的中点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 2（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，中，D为中点，E在上，且．若，则的长度是（   ） A． B．8 C． D． 3（22-23九年级上·四川绵阳·开学考试）如图，，分别是的边，的中点，点是线段上的一点，且，若，，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【A组---基础题】 1（22-23八年级下·黑龙江绥化·期末）矩形中，对角线相交于点O，如果，那么的度数是（　　）    A． B． C． D． 2（23-24八年级下·广东汕尾·期末）如图，做一个长、宽的矩形木框，需在对角的顶点间钉一根木条用来加固，则木条的长为（    ） A． B． C． D． 3（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，在中，添加下列条件后，仍不能使它成为矩形的是（   ）    A． B． C． D． 4（24-25九年级上·广东清远·期中）如图，公路、互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开，若测得的长为，则M、C两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 5（24-25九年级上·广东佛山·期中）如图所示，矩形的两条对角线相交于点，，，则对角线的长是（   ） A． B． C． D． 6（24-25九年级上·河南焦作·期中）如图，矩形的对角线，交与点O，于E，点F为中点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7（2024八年级上·北京·专题练习）如图，在中，，分别以B，C为圆心，大于的一半为半径作弧，两弧相交于D，E，作直线交，于点F，G，连接，若，则的长为（ ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 8（22-23八年级下·广西桂林·期中）已知：如图，在中，，为的中点，，，求证：四边形矩形． 9（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，在平行四边形中，是边的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，．求证：    (1)四边形是平行四边形； (2)若，，，求证四边形是矩形． 【B组---提高题】 1（24-25九年级上·海南·阶段练习）如图，在矩形中，，，点，分别在，上，，，若点是的中点，是的中点，连接，则的长为（   ）    A． B． C． D． 2（2024·湖北武汉·模拟预测）如图所示，在中，对角线与相交于点O，过点O任作一条直线分别交于点E，F． (1)求证：； (2)连接，请添加一个条件，使四边形是矩形．（不需要说明理由） 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$