复习篇 02 全等三角形中常见的几何模型1 -2025年八年级寒假数学专题化复习与重点化预习（人教版）

02 全等三角形中常见的几何模型1 【题型1】 全等三角形的性质 【基础知识】 1 全等三角形 （1）概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形；能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形; 一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有变化，即平移、翻折、旋转前后的图形全等; （2）把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角. 如下图，三角形和全等，记作，读作全等于，点和点，点B和点，点和点是对应顶点；和，和，和是对应边；和，和，和是对应角. 2 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等. 【经典例题】 【例1】（24-25八年级上·山西吕梁·期中）如图，已知，点在边上，与相交于点，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，熟知全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键． 根据全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴，即B选项正确； ∵， ∴，故C正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴，故D正确， 无法证明，故A错误，符合题意． 故选：A． 【巩固练习】 1（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，能灵活运用全等三角形的性质进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等．根据三角形内角和定理求出，根据全等三角形的性质得出，求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 2（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据三角形内角和定理得到，然后求出，然后根据全等三角形的性质得到，进而求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴． 故选：C． 【题型2】全等三角形的判定 【基础知识】 全等三角形的判定 ① 三边对应相等的两个三角形确全等（简称“边边边”或“”）； ② 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形确全等（简称“边角边”或“”）； ③ 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形确全等（简称“边角边”或“”）； ④ 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形确全等（简称“角角边”或“”）； ⑤ 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简称“斜边直角边”或“”）. 【经典例题】 【例1】（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）根据图中作图痕迹进行判断，下列说法一定正确的是（   ） A． B．平分 C．垂直平分线段 D．构造的依据是 【答案】B 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，全等三角形的判定和性质，根据作图得到，结合，推出，进而得到，得到平分，进行判断即可． 【详解】解：由作图可知：， ∵， ∴， ∴， ∴平分； 无法得到，垂直平分线段； 故只有选项B正确； 故选B． 【例2】（24-25八年级上·江苏·期末）如图，在中，于点，于点，，相交于点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．首先推导出，然后利用证得． 【详解】证明：，， ， ， ，即， 在和中， ， ． 【巩固练习】 1（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，已知，若再添加下列条件中的某一个，仍不能判定，则这个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．直接利用直角三角形全等的判定定理（定理）即可判断选项；直接利用直角三角形全等的判定定理（定理）即可判断选项B；直接利用三角形全等的判定定理（定理）即可判断选项C，由此即可得出答案． 【详解】解：当添加条件是时， 在和中，， ，则选项不符合题意； 当添加条件是时， 在和中，， ，则选项B不符合题意； 当添加条件是时， 在和中，， ，则选项C不符合题意； 当添加条件是时，不一定能使，则选项D符合题意； 故选：D． 2（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，为边上一点，过作，分别与，相交于点和点． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟悉掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）根据三角形的内角和定理和平角的定义即可得到结论； （2）根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴； （2）解：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 【题型3】常见几何模型---一线三垂直模型 【基础知识】 1 三垂直模型的基本图象 ① 由，推出; ② 由，推出 ③ 由，推出. 2 拓展模型 若三点在一条直线上，，则 【经典例题】 【例1】（23-24八年级上·江苏南通·期中）如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意过A和B分别作AD⊥OC于D，BE⊥OC于E，利用已知条件可证明△ADC≌△CEB，再由全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标． 【详解】解：过A和B分别作AD⊥OC于D，BE⊥OC于E， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠CAD=90°∠ACD+∠BCE=90°， ∴∠CAD=∠BCE， 在△ADC和△CEB中， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴DC=BE，AD=CE， ∵点C的坐标为（-2，0），点A的坐标为（-6，3）， ∴OC=2，AD=CE=3，OD=6， ∴CD=OD-OC=4，OE=CE-OC=3-2=1， ∴BE=4， ∴则B点的坐标是（1，4）． 故选：D. 【例2】（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）如图，在△ABC中，，，直线经过点，且于，于. (1)当直线绕点旋转到图1的位置时， ①求证：△ADC≌△CEB． ②求证：DE=AD+BE. (2)当直线绕点旋转到图2的位置时，判断和的关系，并说明理由. 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）△ADC≌△CEB；理由见解析 【分析】（1）①要证△ADC≌△CEB，已知一直角∠ADC=∠CEB=90°和一边AC=CB对应相等，由题意根据同角的余角相等，可得另一内角∠ECB=∠DAC，再由AAS即可判定； ②由①得出AD=CE，BE=CD，而DE=CD+CE，故DE=AD+BE； （2）同理，根据上一小题的解题思路，易得△ADC≌△CEB. 【详解】（1）①∵∠ACB=90° ∴∠DCA+∠ECB=90° 又∵AD⊥MN ∴∠DCA+∠DAC=90° ∴∠ECB=∠DAC 又∵AD⊥MN，BE⊥MN ∴∠ADC=∠CEB=90° 在△ADC和△CEB中 ∴△ADC≌△CEB（AAS） ②∵△ADC≌△CEB ∴AD=CE，BE=CD 又∵DE=CD+CE ∴DE=AD+BE （2）△ADC≌△CEB； ∵∠ACB=90° ∴∠DCA+∠ECB=90° 又∵AD⊥MN ∴∠DCA+∠DAC=90° ∴∠ECB=∠DAC 又∵AD⊥MN，BE⊥MN ∴∠ADC=∠CEB=90° 在△ADC和△CEB中 ∴△ADC≌△CEB（AAS） 【点睛】此题主要考查三角形全等的判定，熟练掌握，即可解题. 【巩固练习】 1（23-24八年级上·重庆开州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，．点，点．则点A坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．过C作直线轴，过B作于E，过A作于D，于是得到，得到，根据全等三角形的性质得到，根据点，点，得到，于是得到结论． 【详解】解：过C作直线轴，过B作于E，过A作于D， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵点，点， ∴， ∴． 故选：D． 2（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，，，于点E，于点D，，，则的长是（    ） A．8 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据已知条件，观察图形得，，然后证后求解． 【详解】解：，，于，于， ， ， 又，， ． ，， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定方法；题目利用全等三角形的判定和性质求解，发现并利用，，是解题的关键． 3（21-22八年级上·天津和平·期中）在中，，，是过A的一条直线，于点D，于E， （1）如图（1）所示，若B，C在的异侧，易得与，的关系是____________； （2）若直线绕点A旋转到图（2）位置时，（），其余条件不变，问与，的关系如何？请予以证明； （3）若直绕点A旋转到图（3）的位置，（），问与，的关系如何？请直接写出结果，不需证明． 【答案】（1）；（2），证明过程见解析；（3） 【分析】（1）根据已知条件证明即可得解； （2）根据已知条件证明即可得解； （3）根据已知条件证明即可得解； 【详解】（1）在和中， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 又， ∴， 即； 故答案是：； （2）答：； 证明：∵于D，于E， ∴． ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴； （3）∵于D，于E， ∴． ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴； 【点睛】本题主要考查了全等三角形的综合应用，准确分析证明是解题的关键． 【题型4】 常见几何模型---手拉手模型 【基础知识】 1 手拉手模型特点 手拉手模型特：两个等腰三角形；共顶点；顶角相等。 因为顶点相连的四条边，形象的可以看作两双手，所以通常称为手拉手模型。 该模型可从“旋转”的角度进行思考，常见的模型如下图 旋转后对应边间的夹角相等. 2 常见的解题技巧 1 遇旋，造等边三角形 2 遇旋，造等腰直角三角形 3 遇等腰旋顶角，造旋转全等 4 遇中点旋，造中心对称. 【经典例题】 【例1】（23-24八年级上·贵州遵义·期末）在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．    (1)【观察发现】 如图①，与的数量关系是 ； (2)【尝试探究】 点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数； (3)【深入思考】 如图②，若E为中点，探索与的数量关系． 【答案】(1) (2)的大小不变， (3) 【分析】此题考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识． （1）由，得，而，所以，于是得到问题的答案； （2）作交于点F，则，而，即可证明，得，则，所以的大小不改变，； （3）作交于点G，作于点H，可证明，得，由，得，则，由，得，则，所以，即可推导出． 【详解】（1）∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）的大小不改变， 如图①，作交于点F，则，    ∴， 由（1）得， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴的大小不改变，． （3）， 理由：如图②，作交于点G，作于点H，则    ∴， ∵E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【巩固练习】 1（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，在正方形中，点，分别在，上，连接，，，．若，则一定等于（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，涉及旋转的性质，添加合适的辅助线是解题的关键．根据正方形的性质可得，，将绕点顺时针旋转，得，易证，根据全等三角形的性质可得，进一步根据求解即可． 【详解】解：在正方形中，，， 将绕点顺时针旋转，得，、、三点共线，如图所示： 则，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 2（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，，，． （1）求证：； （2）若，试判断与的数量及位置关系并证明； （3）若，求的度数． 【答案】（1）见详解；（2）BD=CE，BD⊥CE；（3） 【分析】（1）根据三角形全等的证明方法SAS证明两三角形全等即可； （2）由（1）△AEC≌△ADB可知CE=BD且CE⊥BD；利用角度的等量代换证明即可； （3）过A分别做AM⊥CE，AN⊥BD，易知AF平分∠DFC，进而可知∠CFA 【详解】（1）∵∠CAB=∠EAD ∴∠CAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE， ∴ ∠CAE=∠BAD， ∵AB=AC，AE=AD 在△AEC和△ADB中 ∴ △AEC≌△ADB（SAS） （2）CE=BD且CE⊥BD，证明如下： 将直线CE与AB的交点记为点O， 由（1）可知△AEC≌△ADB， ∴ CE=BD， ∠ACE=∠ABD， ∵∠BOF=∠AOC，∠=90°， ∴ ∠BFO=∠CAB=∠=90°， ∴ CE⊥BD． （3）过A分别做AM⊥CE，AN⊥BD 由（1）知△AEC≌△ADB， ∴两个三角形面积相等 故AM·CE=AN·BD ∴AM=AN ∴AF平分∠DFC 由（2）可知∠BFC=∠BAC= ∴∠DFC=180°- ∴∠CFA=∠DFC= 3（2022八年级上·全国·专题练习）问题发现：如图1，已知为线段上一点，分别以线段，为直角边作等腰直角三角形，，，，连接，，线段，之间的数量关系为______；位置关系为_______． 拓展探究：如图2，把绕点逆时针旋转，线段，交于点，则与之间的关系是否仍然成立？请说明理由． 【答案】问题发现：，；拓展探究：成立，理由见解析 【分析】问题发现：根据题目条件证△ACE≌△DCB，再根据全等三角形的性质即可得出答案； 拓展探究：用SAS证，根据全等三角形的性质即可证得． 【详解】解：问题发现：延长BD，交AE于点F，如图所示： ∵， ∴， 又∵, ∴（SAS）， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 故答案为：，； 拓展探究：成立． 理由如下：设与相交于点，如图1所示： ∵， ∴， 又∵，， ∴（SAS）， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即，依然成立． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，手拉手模型，熟练掌握全等三角形的判定和手拉手模型是解决本题的关键． 【A组---基础题】 1（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，，相交于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质． 根据可得，从而得到，即可求解． 【详解】解： ， ，， ． 故选：B． 2（24-25八年级上·河北张家口·期中）如图，已知的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和全等的图形是（    ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理求解即可，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：甲：不能判断两个三角形全等，故不符合题意； 乙：由能判断两个三角形全等，故符合题意； 丙：由能判断两个三角形全等，故符合题意； 综上分析可知：和全等的图形是乙和丙． 故选：． 3（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）．在图中要测量工件内槽宽，只要测量（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的应用，根据已知条件可用边角边定理判断出全等，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 根据测量两点之间的距离，利用证明出，得到只需要测量边，进而得出答案． 【详解】解：连接，，如图， ∵点O分别是、的中点， ∴， 在和中， ， ∴． ∴． 故选：A． 4（23-24八年级下·安徽蚌埠·开学考试）如图所示，在中，，，于点，于点，，，则的长是(    　)    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查直角三角形的全等判定与性质，首先证明，又由，，得出，，进而得出答案． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴ 又∵，， ∴，， ∴． 故选B 5（23-24八年级上·浙江温州·期中）已知：如图，中，，，，已知，则（    ） A．50° B．55° C．60° D．40° 【答案】B 【分析】由等腰三角形的性质可得∠B=∠C=55°，由“SAS”可证△BED≌△CDF，由三角形外角的性质可得∠FDE=∠C=55°． 【详解】解：∵AB=AC，∠A=70°， ∴∠B=∠C=55°， 在△BED和△CDF中， ， ∴△BED≌△CDF（SAS） ∴∠DFC=∠BDE ∵∠BDE+∠FDE=∠C+∠DFC ∴∠FDE=∠C=55°. 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，熟练运用全等三角形的性质是本题的关键． 6（2019·广东广州·一模）如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠B+∠AEC＝180°，∠BAC＝∠D，BC＝CE．求证：AC＝DC． 【答案】见解析 【分析】通过等量代换得到∠B＝∠DEC，证明△ABC≌△DEC（AAS），三角形全等对应边相等即可证明： 【详解】证明：∵∠B+∠AEC＝180° ∠CED+∠AEC＝180° ∴∠B＝∠DEC， 在△ABC和△DEC中， , ∴△ABC≌△DEC（AAS） ∴AC＝DC； 【点睛】本题考查三角形全等的证明；掌握三角形全等的证明方法是解题的关键． 7（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，为等腰直角三角形，，． (1)求证：； (2)求证： 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（1）利用边角边证明三角形全等即可． （2）利用（1）中的全等及互余关系证明直角即可． 【详解】（1）证明：是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴ （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定及性质的运用，能够熟练运用判定定理及性质是解题关键． 8（21-22八年级上·贵州铜仁·阶段练习）（1）如图1，已知中，90°，，直线经过点直线，直线，垂足分别为点．求证：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有．请写出三条线段的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析 【分析】（1）利用已知得出∠CAE=∠ABD，进而利用AAS得出则△ABD≌△CAE，即可得出DE=BD+CE； （2）根据∠BDA=∠AEC=∠BAC，得出∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，根据AAS证出△ADB≌△CEA，从而得出AE=BD，AD=CE，即可证出DE=BD+CE； 【详解】（1）DE=BD+CE．理由如下： ∵BD⊥，CE⊥， ∴∠BDA=∠AEC=90° 又∵∠BAC=90°， ∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°， ∴∠CAE=∠ABD 在△ABD和△CAE中， ， ∴△ABD≌△CAE（AAS） ∴BD=AE，AD=CE， ∵DE=AD+AE， ∴DE=CE+BD； （2），理由如下： ∵∠BDA=∠AEC=∠BAC， ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE， ∴∠CAE=∠ABD， 在△ADB和△CEA中， ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE=BD，AD=CE， ∴BD+CE=AE+AD=DE； 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质综合中的“一线三等角”模型：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质． 9（20-21八年级上·河南周口·期中）如图，，，三点在一条直线上，和均为等边三角形，与交于点，与交于点． （1）求证：； （2）若把绕点任意旋转一个角度，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． 【答案】（1）见解析（2）成立，理由见解析． 【分析】（1）根据等边三角形边长相等的性质和各内角为的性质可求得，根据全等三角形对应边相等的性质即可求得． （2）根据题意画出图形，证明方法与（1）相同． 【详解】解：（1）证明：如图1中，与都是等边三角形， ，，， ， ，， 即． 在和中， ， (SAS)． ． 即AE=BD， （2）成立；理由如下： 如图2中，、均为等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质的运用及全等三角形的判定和性质的运用．解决本题的关键是证明三角形全等，属于中考常考题型． 【B组---提高题】 1（23-24八年级上·河南郑州·期中）如图中，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，若点E、B、D到直线AC的距离分别为6、3、2，则图中实线所围成的阴影部分面积S是(   )    A．50 B．44 C．38 D．32 【答案】D 【分析】由已知和图形根据“K”字形全等，用AAS可证△FEA≌△MAB，△DHC≌△CMB，推出AM=EF=6，AF=BM=3， CM=DH=2，BM=CH=3，从而得出FH=14，根据阴影部分的面积=S梯形EFHD-S△EFA-S△ABC-S△DHC和面积公式代入求出即可． 【详解】∵AE⊥AB，EF⊥AF，BM⊥AM，    ∴∠F=∠AMB=∠EAB=90°， ∴∠FEA+∠EAF=90°，∠EAF+∠BAM=90°， ∴∠FEA=∠BAM， 在△FEA和△MAB中 ， ∴△FEA≌△MAB（AAS）， ∴AM=EF=6，AF=BM=3， 同理CM=DH=2，BM=CH=3， ∴FH=3+6+2+3=14， ∴梯形EFHD的面积===56， ∴阴影部分的面积=S梯形EFHD-S△EFA-S△ABC-S△DHC = =32． 故选D． 【点睛】本题考查了三角形的面积，梯形的面积，全等三角形的性质和判定等知识点，关键是把不规则图形的面积转化成规则图形的面积． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 02 全等三角形中常见的几何模型1 【题型1】 全等三角形的性质 【基础知识】 1 全等三角形 （1）概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形；能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形; 一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有变化，即平移、翻折、旋转前后的图形全等; （2）把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角. 如下图，三角形和全等，记作，读作全等于，点和点，点B和点，点和点是对应顶点；和，和，和是对应边；和，和，和是对应角. 2 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等. 【经典例题】 【例1】（24-25八年级上·山西吕梁·期中）如图，已知，点在边上，与相交于点，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型2】全等三角形的判定 【基础知识】 全等三角形的判定 ① 三边对应相等的两个三角形确全等（简称“边边边”或“”）； ② 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形确全等（简称“边角边”或“”）； ③ 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形确全等（简称“边角边”或“”）； ④ 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形确全等（简称“角角边”或“”）； ⑤ 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简称“斜边直角边”或“”）. 【经典例题】 【例1】（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）根据图中作图痕迹进行判断，下列说法一定正确的是（   ） A． B．平分 C．垂直平分线段 D．构造的依据是 【例2】（24-25八年级上·江苏·期末）如图，在中，于点，于点，，相交于点，且．求证：． 【巩固练习】 1（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，已知，若再添加下列条件中的某一个，仍不能判定，则这个条件是（    ） A． B． C． D． 2（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，为边上一点，过作，分别与，相交于点和点． (1)求证：； (2)若，求证：． 【题型3】常见几何模型---一线三垂直模型 【基础知识】 1 三垂直模型的基本图象 ① 由，推出; ② 由，推出 ③ 由，推出. 2 拓展模型 若三点在一条直线上，，则 【经典例题】 【例1】（23-24八年级上·江苏南通·期中）如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）如图，在△ABC中，，，直线经过点，且于，于. (1)当直线绕点旋转到图1的位置时， ①求证：△ADC≌△CEB． ②求证：DE=AD+BE. (2)当直线绕点旋转到图2的位置时，判断和的关系，并说明理由. 【巩固练习】 1（23-24八年级上·重庆开州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，．点，点．则点A坐标为（　　） A． B． C． D． 2（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，，，于点E，于点D，，，则的长是（    ） A．8 B．4 C．3 D．2 3（21-22八年级上·天津和平·期中）在中，，，是过A的一条直线，于点D，于E， （1）如图（1）所示，若B，C在的异侧，易得与，的关系是____________； （2）若直线绕点A旋转到图（2）位置时，（），其余条件不变，问与，的关系如何？请予以证明； （3）若直绕点A旋转到图（3）的位置，（），问与，的关系如何？请直接写出结果，不需证明． 【题型4】 常见几何模型---手拉手模型 【基础知识】 1 手拉手模型特点 手拉手模型特：两个等腰三角形；共顶点；顶角相等。 因为顶点相连的四条边，形象的可以看作两双手，所以通常称为手拉手模型。 该模型可从“旋转”的角度进行思考，常见的模型如下图 旋转后对应边间的夹角相等. 2 常见的解题技巧 1 遇旋，造等边三角形 2 遇旋，造等腰直角三角形 3 遇等腰旋顶角，造旋转全等 4 遇中点旋，造中心对称. 【经典例题】 【例1】（23-24八年级上·贵州遵义·期末）在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．    (1)【观察发现】 如图①，与的数量关系是 ； (2)【尝试探究】 点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数； (3)【深入思考】 如图②，若E为中点，探索与的数量关系． 【巩固练习】 1（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，在正方形中，点，分别在，上，连接，，，．若，则一定等于（） A． B． C． D． 2（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，，，． （1）求证：； （2）若，试判断与的数量及位置关系并证明； （3）若，求的度数． 3（2022八年级上·全国·专题练习）问题发现：如图1，已知为线段上一点，分别以线段，为直角边作等腰直角三角形，，，，连接，，线段，之间的数量关系为______；位置关系为_______． 拓展探究：如图2，把绕点逆时针旋转，线段，交于点，则与之间的关系是否仍然成立？请说明理由． 【A组---基础题】 1（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，，相交于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2（24-25八年级上·河北张家口·期中）如图，已知的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和全等的图形是（    ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 3（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）．在图中要测量工件内槽宽，只要测量（     ） A． B． C． D． 4（23-24八年级下·安徽蚌埠·开学考试）如图所示，在中，，，于点，于点，，，则的长是(    　)    A． B． C． D． 5（23-24八年级上·浙江温州·期中）已知：如图，中，，，，已知，则（    ） A．50° B．55° C．60° D．40° 6（2019·广东广州·一模）如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠B+∠AEC＝180°，∠BAC＝∠D，BC＝CE．求证：AC＝DC． 7（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，为等腰直角三角形，，． (1)求证：； (2)求证： 8（21-22八年级上·贵州铜仁·阶段练习）（1）如图1，已知中，90°，，直线经过点直线，直线，垂足分别为点．求证：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有．请写出三条线段的数量关系，并说明理由． 9（20-21八年级上·河南周口·期中）如图，，，三点在一条直线上，和均为等边三角形，与交于点，与交于点． （1）求证：； （2）若把绕点任意旋转一个角度，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． 【B组---提高题】 1（23-24八年级上·河南郑州·期中）如图中，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，若点E、B、D到直线AC的距离分别为6、3、2，则图中实线所围成的阴影部分面积S是(   )    A．50 B．44 C．38 D．32 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $