（二）证明三角形全等的基本思路 专项训练2024-2025学年人教版数学八年级上册

(二)证明三角形全等的基本思路2025年寒假八年级数学专题训练 类型一 已知两边对应相等 例1如图,在中,点,点分别在边,边上,连接,. (1)求证:. (2)若,求的度数. 例2 如图,已知AB=DC,AB∥CD,E、F是AC上两点,且AE=CF. (1)求证: ABF≌ CDE; (2)若∠BCF=30 ,∠CBF=72 ,求∠CED的度数. 方法归纳:已知两边对应相等基本解题思路: 已知两边对应相等:①找第三边对应相等(SSS); ②找夹角对应相等(SAS) 〖巩固练习1〗 1.把四根木条做成如图所示的四边形ABCD,其中AB=AD,CB=CD,有人说它可以当成一个平分角的仪器,请你说明其中的道理.版权所有 2.如图,AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE. 求证:BC=DE. 3.如图,在中,,D是上的一点,于点E,交的延长线于点F,若,,试判断直线与的位置关系,并说明理由. 、 4.已知:如图, ABC和 DBE均为等腰直角三角形. (1)求证:AD=CE; (2)求证:AD⊥CE 类型二 已知两角对应相等 例1如图所示,在中,于D,于E,与交于点F,且.若,,求的长. 例2如图,∠1=∠2,点P为BN上的一点,∠PCB+∠BAP=180 ,求证:PA=PC. 方法归纳:已知两角对应相等基本解题思路: 已知两角对应相等:①找夹边对应相等(ASA); ②找非夹边的边对应相等(AAS). 〖巩固练习2〗 1.如图,已知点D在 ABC的BC边上,DE∥AC交AB于E,DF∥AB交AC于F. 求证:AE=DF. 2.两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF,按如图所示的方式叠放,阴影部分为重叠部分,点O为边AC和DF的交点,不重叠的两部分 AOF与 DOC是否全等?为什么? 3.如图,在中,平分,,若,,则 . 4.如图①点A、B、C、D在同一直线上,AB=CD,作CE⊥AD,BF⊥AD,且AE=DF. (1)证明:EF平分线段BC; (2)若 BFD沿AD方向平移得到图②时,其他条件不变,(1)中的结论是否仍成立?请说明理由. 类型三 已知一边一角对应相等 例1如图,在 ABC中,∠B=80 ,将AB沿射线BC的方向平移至A′B′,连接AA′,设A′B′与AC的交点为O. (1)若B′为BC的中点,求证: AOA′≌ COB′; (2)若AC平分∠BAA′,求∠C的度数. 例2将两个三角形纸板和按如图所示的方式摆放,连接.已知,,. (1)试说明. (2)若,求的度数. 方法归纳: 已知一边一角对应相等基本解题思路: (1)有一边和该边的对角对应相等:找另一角对应相等(AAS). (2)有一边和改边的领角对应相等:①找夹该角的另一边对应相等(SAS); ②找另一角对应相等(AAS或ASA). 〖巩固练习3〗 1.如图,已知∠B=∠DEF,AB=DE,要证明 ABC≌ DEF. (1)若以“ASA”为依据,还需要添加一个条件为_; (2)若以“AAS”为依据,还需要添加一个条件为_. 2.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=90 ,BD=BC,CE⊥BD于点E. 求证:AD=BE. 3.如图,B、E、F、C四点在同一条直线上,AB=DC,BE=CF,∠B=∠C,求证:OA=OD. 4.(1)如图1,,求的长度. (2)如图2,,探索的数量关系,并证明. (3)如图3,在中,,则_. 类型四 全等基本图形归纳(平移、旋转、翻折) 例1在 ABC中AB=AC,点P在平面内,连接AP并将线段AP绕点A顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度,得到线段AQ,连接BQ. 【发现问题】如图1,如果点P是BC边上任意一点,则线段BQ和线段PC的数量关系是 ; 【探究猜想】如图2,如果点P为平面内任意一点,前面发现的结论是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.请仅以图2所示的位置关系加以证明(或说明); 例2如图, ABC是等边三角形,D,E是BC上的两点,且BD=CE,连接AD、AE,将 AEC沿AC翻折,得到 AMC,连接EM交AC于点N,连接DM.以下判断:①AD=AE,② ABD≌ DCM,③ ADM是等边三角形,④CN=EC中,正确的是_. 方法归纳: 1.平移型:图形沿直线平移,平移前后对应角相等,对应边相等. 2.旋转型:考察确定旋转中心以及旋转后产生等腰三角形的可能性。(含共顶点和不共定点类型). 3.翻折型(三角形):涉及有公共边以及公共定点类型。通常会有多组全等三角形。 〖巩固练习4〗 1.如图,在 ABC中,∠ACB=90 ,∠A=20 ,若将 ABC沿CD折叠,使B点落在AC边上的E处,则∠ADE的度数是( )21m A.30 B.40 C.50 D.55 2.如图,已知点E,C在线段BF上,BE=CF,AB∥DE,∠ACB=∠F.求证: ABC≌ DEF. 3.如图,Rt ABC中,∠C=90 ,将 ABC沿AB向下翻折后,再绕点A按顺时针方向旋转 度( <∠BAC),得到Rt ADE,其中斜边AE交BC于点F,直角边DE分别交AB、BC于点G、H.求证: AFB≌ AGE.21cnjy.com 4.在中,、分别是、的将分线,与相交于点. (1)如图1,如果,,那么_. (2)如图2,如果,不是直角,那么(1)中所得的结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由. (3)小月同学在完成(2)之后,发现、、三者之间存在着一定的数量关系,于是她在边上截取了,连接,把、转换到边上来,请你写出小月同学发现,并完成她的说理过程. 参考答案 类型一 已知两边对应相等 例1(1)证明:如图,连接, 在和中,, , . (2)解:, , 由(1)已证:, , , . 例2(1)证明:∵AB∥CD, ∴∠BAF=∠ECD, ∵AE=CF, ∴AE-EF=CF-EF ∴AF=CE, 又∵AB=CD, ∴ ABF≌ CDE(SAS). (2)解:∵∠BCF=30 ,∠CBF=72 , ∴∠AFB=∠BCF+∠CBF=30 +72 =102 , ∵ ABF≌ CDE, ∴∠CED=∠AFB=102 . 〖巩固练习1〗 1.连接AC,在 ABC与 ADC中, ∴ ABC≌ ADC(SSS). ∴∠BAC=∠DAC.故AC一定是∠BAD的平分线. 2.证明:因为∠BAD=∠CAE, 所以∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC,即∠BAC=∠DAE. 又因为AB=AD,AC=AE, 所以 ABC≌ ADE(SAS).所以BC=DE. 3.解:.理由如下: ,, , ∴, 在和中, , , , , , , , . 4.(1)∵ ABC和 DBE均为等腰直角三角形, ∴AB=BC,BD=BE,∠ABC=∠DBE=90 , ∴∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC, 即∠ABD=∠CBE, ∴ ABD≌ CBE(SAS), ∴AD=CE. (2)延长AD分别交BC和CE于G和F, ∵ ABD≌ CBE, ∴∠BAD=∠BCE, ∵∠BAD+∠ABC+∠BGA=∠BCE+∠AFC+∠CGF=180 , 又∵∠BGA=∠CGF, ∴∠AFC=∠ABC=90 , ∴AD⊥CE. 类型二 已知两角对应相等 例1解:∵,, ∴, ∴, ∴, ∵,, ∴, ∴, 在和中, , ∴. ∴. ∵,, ∴, ∴. 例2证明:过点P作PE⊥BA,PF⊥BC,垂足分别为E,F. ∵ ∠1=∠2,PE⊥BA,PF⊥BC ∴ PE=PF,∠PEA=∠PFC=90 ∵ ∠PCB+∠BAP=180 又 ∠BAP+∠PAE=180 ∴ ∠PAE=∠PCB 在 APE和 CPF中 ∴ APE≌ CPF (AAS) ∴ PA=PC 〖巩固练习2〗 1证明:∵DE∥AC, ∴∠ADE=∠DAF .∵DF∥AB, ∴∠DAE=∠ADF. ∵AD=DA, ∴ ADE≌ DAF(ASA). ∴AE=DF. 2全等.理由如下:因为两三角板纸板完全相同,所以BC=BF,AB=BD,∠A=∠D. 所以AB-BF=BD-BC,即AF=DC. 在 AOF和 DOC中, 所以 AOF≌ DOC(AAS). 3.解:如图,延长交于点E, ∵平分,, ∴ ∵, ∴ ∴,,, ∵,即 ∴ ∴, ∵,, ∴, ∴ 故答案为:20. 4.(1)证明:∵CE⊥AD,BF⊥AD, ∴∠ACE=∠DBF=90 , ∵AB=CD, ∴AB+BC=BC+CD,即AC=DB, 在Rt ACE和Rt DBF中, , ∴Rt ACE≌Rt DBF(HL), ∴CE=FB, 在 CEG和 BFG中, , ∴ CEG≌ BFG(AAS), ∴CG=BG,即EF平分线段BC; (2)(1)中结论成立,理由为: 证明:∵CE⊥AD,BF⊥AD, ∴∠ACE=∠DBF=90 , ∵AB=CD, ∴AB﹣BC=CD﹣BC,即AC=DB, 在Rt ACE和Rt DBF中, , ∴Rt ACE≌Rt DBF(HL), ∴CE=FB, 在 CEG和 BFG中, , ∴ CEG≌ BFG(AAS), ∴CG=BG,即EF平分线段BC. 类型三 已知一边一角对应相等 例1(1)证明:∵A′B′由AB沿射线BC的方向平移所得, ∴AA′∥BB′,AA′=BB′, ∴∠OAA′=∠C, ∵B′为BC的中点, ∴BB′=B′C, ∴AA′=B′C. 在 AOA′和 COB′中, , ∴ AOA′≌ COB′(AAS); (2)解:∵AC平分∠BAA′, ∴∠BAC=∠OAA′, 又∵∠OAA′=∠C, ∴∠BAC=∠C. ∵∠BAC+∠C+∠B=180 ,∠B=80 , ∴∠C=(180 ﹣80 ) 2=50 . 例2(1)解:因为, 所以, 即. 在和中, , 所以. (2)因为, 所以,. 在和中, , 所以, 所以, 所以. 〖巩固练习3〗 1.解:(1),要使,且以“SAS”为依据, ∴还要添加的条件为:; 在和中 ∴(ASA) 故答案为; (2),要使,且以“”为依据, ∴还要添加的条件为:. 在和中 ∴(AAS) 故答案为. 2.证明:因为AD∥BC, 所以∠ADB=∠DBC. 又CE⊥BD, 所以∠BEC=90 . 因为∠A=90 , 所以∠A=∠BEC. 又BD=CB, 所以 ABD≌ ECB(AAS).故AD=BE. 3.证明:因为BE=CF, 所以BE+EF=EF+CF,即BF=CE. 在 ABF与 DCE中, 所以 ABF≌ DCE. 所以AF=DE,∠AFE=∠DEF. 所以OF=OE. 所以AF-OF=DE-OE,即OA=OD. 4.(1)解:∵, ∴, ∵, ∴, 在和中, ∴, ∴, ∴; (2),证明如下: ∵, ∴, ∴∠, ∴, ∴, ∴, ∴; (3)如图:在 ABC内部作交于F, ∴, ∵, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴, ∴. 类型四 全等基本图形归纳(平移、旋转、翻折) 例1解:【发现问题】由旋转知,AQ=AP, ∵∠PAQ=∠BAC, ∴∠PAQ﹣∠BAP=∠BAC﹣∠BAP, ∴∠BAQ=∠CAP, 在 BAQ和 CAP中, , ∴ BAQ≌ CAP(SAS), ∴BQ=CP, 故答案为:BQ=PC; 【探究猜想】前面发现的结论仍然成立;理由如下: 由旋转知,AQ=AP, ∵∠PAQ=∠BAC, ∴∠PAQ﹣∠BAP=∠BAC﹣∠BAP, ∴∠BAQ=∠CAP, 在 BAQ和 CAP中, , ∴ BAQ≌ CAP(SAS), ∴BQ=CP; 例2解:∵ ABC是等边三角形, ∴AB=AC,∠B=∠BAC=∠ACE=60, 在 ABD和 ACE中,, ∴ ABD≌ ACE(SAS), ∴∠BAD=∠CAE,AD=AE,故①正确; 由折叠的性质得:CE=CM=BD,AE=AM=AD,∠CAE=∠CAM=∠BAD, ∴∠DAM=∠BAC=60, ∴ ADM是等边三角形, ∴DM=AD, ∵AB>AD, ∴AB>DM, ∵∠ACD>∠DAC, ∴AD>DC, ∴ ABD与 DCM不全等,故③正确、②错误; 由折叠的性质得:AE=AM,CE=CM, ∴AC垂直平分EM, ∴∠ENC=90, ∵∠ACE=60, ∴∠CEN=30, ∴CN=EC,故④正确, 故答案为:①③④. 〖巩固练习4〗 1.C 2.证明:∵AB∥DE, ∴∠B=∠DEF. ∵BE=CF,∴BC=EF. ∵∠B=∠DEF,BC=EF,∠ACB=∠F, ∴ ABC≌ DEF(ASA). 3.证明:∵将 ABC沿AB向下翻折后,再绕点A按顺时针方向旋转 度( <∠BAC),得到Rt ADE, ∴AE=AB,∠E=∠ABF .在 AFB和 AGE中, ∴ AFB≌ AGE(ASA). 4.(1)解:∵,, ∴, ,分别是,平分线, ,, ∴. (2)结论仍然成立, 理由:,分别是,平分线, ,, , 在中,, , , , 在中,, . (3),理由:如图2, 由(2)知,, , ,在边上截取了,连接, 是的平分线,, 在和中,, , ,, , 是的平分线, , 在和中,, , ∴, . 1 学科网(北京)股份有限公司 $$