复习篇 01 因式分解与分式方程 -2025年八年级寒假数学专题化复习与重点化预习（人教版）

01 因式分解与分式方程 【题型1】 因式分解的方法 【基础知识】 方法1 提公因式法 公因式：多项式的各项都有的一个公共因式； 方法2 公式法 平方差公式：. 完全平方公式：，. 方法3 十字相乘法 对二次三项式进行因式分解的一种方法， 其中. 【经典例题】 情况1 提公因式法与公式法 【例1】（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（2022九年级上·吉林长春·学业考试）多项式分解因式正确的是（   ） A． B． C． D． 2（24-25八年级上·辽宁大连·期末）将分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 3（23-24八年级上·湖南永州·期末）下列因式分解不正确的是（    ） A． B． C． D． 4（24-25八年级上·河南周口·期中）已知，，则多项式的值为（   ） A． B．15 C． D．2 5（2024八年级上·黑龙江·专题练习）已知，，为一个三角形的三边长，则的值（　　） A．一定为负数 B．一定为正数 C．可能为正数，也可能为负数 D．可能为零 情况2 十字相乘法 【例1】（24-25八年级上·山东淄博·期中）将多项式因式分解，正确的是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（24-25八年级上·山东烟台·期中）将分解因式，正确的结果是（    ） A． B． C． D． 2（23-24八年级上·海南海口·期末）下列算式计算结果为的是（   ） A． B． C． D． 3（2024八年级下·全国·专题练习）将多项式分解因式正确的结果为（　　） A． B． C． D． 【题型2】分式的混合运算 【基础知识】 1 分式的乘除法运算 （1）分式乘分式：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母. 式子表示为； （2）分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置，与被除式相乘. 式子表示为. （3）分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子表示为：. 2 分式的加减运算 （1）同分母分式的加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为：； （2）异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，再加减. 式子表示为：。 3 分式混合运算 先乘方，再乘除，后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的.也要注意灵活，提高解题质量. 【经典例题】 【例1】（22-23八年级下·四川眉山·期中）先化简，再求值：，其中． 【巩固练习】 1（24-25八年级上·全国·期末）先化简，再代入求值：，其中． 【题型3】解分式方程 【基础知识】 1 分式方程的概念 含分式，且分母含有未知数的方程； 2 解分式方程的步骤 ① 能化简的先化简； ② 去分母，把方程两边同乘各分母的最简公分母（这里会产生增根）； ③ 解整式方程，得到整式方程的解； ④ 检验，把所得整式的解代入最简公分母中，如果最简公分母为，则元方程无解，这个解是原方程的增根；如果最简公分母不为，则是原方程的解. 【经典例题】 【例1】（24-25八年级上·北京·阶段练习）解分式方程∶ 【巩固练习】 1（24-25七年级上·上海·阶段练习）解方程：． 【题型4】分式方程的实际应用 【基础知识】 1 解分式方程的应用题 ① 审---仔细审题，找出等量关系； ② 设---合理设未知数； ③ 列---根据等量关系列出方程； ④ 解---解方程，注意检验； ⑤ 答---答题. 【经典例题】 【例1】（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）哈密瓜是新疆某地特色时令水果，哈密瓜一上市，水果店老板用2160元购进一批哈密瓜，很快售完；老板又用了3700元购进第二批哈密瓜，所购件数是第一批的倍，但进价比第一批每件多了5元． (1)第一批哈密瓜每件进价是多少元？ (2)老板以每件225元的价格销售第二批哈密瓜，售出80%后，为了尽快售完，剩下的决定打六折促销，请问第二批哈密瓜赚了多少钱． 【巩固练习】 1（22-23八年级下·四川眉山·期中）已知某工程由甲、乙两队合做12天可完成，乙队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成所需时间的2倍少10天．甲、乙两队单独完成这项工程分别需要多少天？设甲队单独完成需x天，根据题意列出的方程正确的是（  ） A． B． C． D． 2（24-25八年级上·山东·期末）甲、乙两个工程队均参与某筑路工程，先由甲队筑路公里，再由乙队完成剩下的筑路工程，已知乙队筑路总公里数是甲队筑路总公里数的倍，甲队比乙队多筑路天． (1)求乙队筑路的总公里数； (2)若甲、乙两队平均每天筑路公里数之比为，求乙队平均每天筑路多少公里． 3（24-25八年级上·广西来宾·期中）党的二十大报告提出：“加快建设高质量教育体系，发展素质教育”．某校为响应二十大报告的育人精神，进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，有效开展“阳光体育”活动，学校准备购买篮球和排球共45个．已知每个篮球的价格是每个排球的价格的1.5倍，用480元单独购买篮球或排球，则购买篮球的数量比购买排球的数量少4个． (1)求篮球和排球的单价分别是多少元？ (2)根据学校实际情况，购买篮球和排球的总资金为2200元，求购买篮球和排球各多少个？ 【A组---基础题】 1（24-25八年级上·广西南宁·期中）将多项式进行因式分解，得到的结果为（   ） A． B． C． D． 2（24-25八年级上·吉林长春·期中）若，则的值为（   ） A．9 B．16 C．20 D．25 3（24-25八年级上·四川眉山·期中）下列因式分解正确的是（　　） A． B． C． D． 4（23-24八年级上·山东威海·期末）代数式因式分解的结果的是（    ） A． B． C． D． 5（24-25八年级上·山东东营·期中）若有理数x、y满足，则的值为（   ） A．2 B． C．1 D． 6（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）2024年12月7日哈尔滨第五届采冰节在松花江北岸启幕，吸引了众多游客，小帅一家从距离哈尔滨180km的地方开车前往，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来的速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40min到达目的地．设前一小时的行驶速度为每小时千米，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 7（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）解分式方程：． 8（24-25八年级上·山东菏泽·期中）先化简，再求值：，其中． 9（24-25九年级上·重庆开州·期中）双“十一”期间，商店纷纷搞促销活动，小亮发现某店有、两种玩具正在参加活动，已知每个款玩具的售价是每个款玩具售价的2倍，顾客用160元购买款玩具的数量比用160元购买款玩具的数量少1个． (1)求每个款玩具的售价为多少元？ (2)经统计，该店每月卖出款玩具100个，每个款玩具的利润为50元．为了尽快减少库存，该店决定采取适当的降价措施．调查发现，每个款玩具的售价每降低5元，那么平均每月可多售出15个，该店想每月销售款玩具的利润达到5200元，则每个款玩具应降价多少元？ 【B组---提高题】 1（24-25八年级上·福建福州·期中）若三边满足，判断的形状是（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 2（2024八年级上·全国·专题练习）关于x的分式方程的解是负数，则a的取值范围是（  ） A． B． C．且 D．且 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 01 因式分解与分式方程 【题型1】 因式分解的方法 【基础知识】 方法1 提公因式法 公因式：多项式的各项都有的一个公共因式； 方法2 公式法 平方差公式：. 完全平方公式：，. 方法3 十字相乘法 对二次三项式进行因式分解的一种方法， 其中. 【经典例题】 情况1 提公因式法与公式法 【例1】（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解，根据因式分解的方法逐一判断即可求解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：A、，该选项分解错误，不合题意； B、，该选项分解正确，符合题意； C、，该选项分解错误，不合题意； D、，该选项分解错误，不合题意； 故选：B． 【巩固练习】 1（2022九年级上·吉林长春·学业考试）多项式分解因式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了提公因式法和公式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．先提公因式，再利用公式法分解即可． 【详解】解： 故选：A． 2（24-25八年级上·辽宁大连·期末）将分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握公式法因式分解是解答此题的关键．利用平方差公式进行因式分解即可得解． 【详解】解：， 故选：D． 3（23-24八年级上·湖南永州·期末）下列因式分解不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解，用提公因式法，综合提公因式以及公式法，公式法等方法一一分析判断即可． 【详解】解：．，因式分解正确，故该选项不符合题意； ．，因式分解正确，故该选项不符合题意； ．，原因式分解错误，故该选项符合题意； ．，因式分解正确，故该选项不符合题意； 故选：C． 4（24-25八年级上·河南周口·期中）已知，，则多项式的值为（   ） A． B．15 C． D．2 【答案】C 【分析】由题意利用提取公因式的分解方法把因式分解，再利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵ ， 又∵，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查因式分解的应用以及用因式分解解决求值问题，本题的关键是把所求代数式分解因式． 5（2024八年级上·黑龙江·专题练习）已知，，为一个三角形的三边长，则的值（　　） A．一定为负数 B．一定为正数 C．可能为正数，也可能为负数 D．可能为零 【答案】A 【分析】本题考查了利用平方差公式因式分解，三角形的三边关系，利用平方差公式因式分解成两个因式乘积的形式是解题的关键．先利用平方差公式因式分解成两个因式乘积的形式，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行判断． 【详解】解：， ，，为一个三角形的三边长， 即． 故选：A． 情况2 十字相乘法 【例1】（24-25八年级上·山东淄博·期中）将多项式因式分解，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分解因式，直接利用十字相乘法分解因式即可得到答案． 【详解】解：， 故选：A． 【巩固练习】 1（24-25八年级上·山东烟台·期中）将分解因式，正确的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解，利用十字相乘法求解即可． 【详解】解： 故选：D． 2（23-24八年级上·海南海口·期末）下列算式计算结果为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了因式分解．利用十字相乘法分解因式即可得到结果． 【详解】解：， 故选：C． 3（2024八年级下·全国·专题练习）将多项式分解因式正确的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的因式分解，掌握十字相乘法是解决本题的关键．找到满足条件的两个数，积是，和是4，利用十字相乘法分解即可． 【详解】解： ． 故选：． 【题型2】分式的混合运算 【基础知识】 1 分式的乘除法运算 （1）分式乘分式：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母. 式子表示为； （2）分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置，与被除式相乘. 式子表示为. （3）分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子表示为：. 2 分式的加减运算 （1）同分母分式的加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为：； （2）异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，再加减. 式子表示为：。 3 分式混合运算 先乘方，再乘除，后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的.也要注意灵活，提高解题质量. 【经典例题】 【例1】（22-23八年级下·四川眉山·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】此题考查分式的混合运算，分式的化简求值，正确掌握分式的运算顺序运算是解题的关键． 根据分式乘除混合运算法则先计算括号内的异分母分式减法，再化除为乘，然后约分，代入求值即可． 【详解】解：原式 =， 当时，原式． 【巩固练习】 1（24-25八年级上·全国·期末）先化简，再代入求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，先算括号内的式子，再算括号外的除法，然后将的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【题型3】解分式方程 【基础知识】 1 分式方程的概念 含分式，且分母含有未知数的方程； 2 解分式方程的步骤 ① 能化简的先化简； ② 去分母，把方程两边同乘各分母的最简公分母（这里会产生增根）； ③ 解整式方程，得到整式方程的解； ④ 检验，把所得整式的解代入最简公分母中，如果最简公分母为，则元方程无解，这个解是原方程的增根；如果最简公分母不为，则是原方程的解. 【经典例题】 【例1】（24-25八年级上·北京·阶段练习）解分式方程∶ 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，去分母，将分式方程化为整式方程，求解后进行检验即可． 【详解】解：去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并，得：， 系数化1，得：， 检验，经检验，是原方程的解． 【巩固练习】 1（24-25七年级上·上海·阶段练习）解方程：． 【答案】无解 【分析】本题考查了解分式方程；方程两边同乘，化为整式方程，解整式方程即可，注意检验． 【详解】解：方程两边同乘，得：， 解得：， 当时，， ∴不是原方程的根； 故原方程无解． 【题型4】分式方程的实际应用 【基础知识】 1 解分式方程的应用题 ① 审---仔细审题，找出等量关系； ② 设---合理设未知数； ③ 列---根据等量关系列出方程； ④ 解---解方程，注意检验； ⑤ 答---答题. 【经典例题】 【例1】（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）哈密瓜是新疆某地特色时令水果，哈密瓜一上市，水果店老板用2160元购进一批哈密瓜，很快售完；老板又用了3700元购进第二批哈密瓜，所购件数是第一批的倍，但进价比第一批每件多了5元． (1)第一批哈密瓜每件进价是多少元？ (2)老板以每件225元的价格销售第二批哈密瓜，售出80%后，为了尽快售完，剩下的决定打六折促销，请问第二批哈密瓜赚了多少钱． 【答案】(1)180元 (2)440元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是根据件数作为等量关系列出方程， （1）设第一批哈密瓜每件进价是x元，则第二批哈密瓜的进价是元，分别计算出第一批和第二批哈密瓜的件数，根据件数建立方程，解方程即可得到答案； （2）先计算出第二批哈密瓜的进价和件数，再分别计算两次销售的利润即可得到答案． 【详解】（1）解：设第一批哈密瓜每件进价是x元，则第二批哈密瓜的进价是元， 根据题意得：第一批哈密瓜的件数为，第二批哈密瓜的件数为， ∴， 解方程得：， 经检验是原方程的根， ∴第一批哈密瓜每件进价是180元； （2）解：根据（1）得第二批哈密瓜的售价为元， 则第二批哈密瓜的件数为：件， ∴第二批哈密瓜的利润为：元． 【巩固练习】 1（22-23八年级下·四川眉山·期中）已知某工程由甲、乙两队合做12天可完成，乙队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成所需时间的2倍少10天．甲、乙两队单独完成这项工程分别需要多少天？设甲队单独完成需x天，根据题意列出的方程正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是列出等量关系． 设甲单独完成这项工程需要天，则乙单独完成需要天，根据两队合作12天完成，可得出方程，解出即可． 【详解】解：设甲单独完成这项工程需要天，则乙单独完成需要天， 依题意得， 故选：A． 2（24-25八年级上·山东·期末）甲、乙两个工程队均参与某筑路工程，先由甲队筑路公里，再由乙队完成剩下的筑路工程，已知乙队筑路总公里数是甲队筑路总公里数的倍，甲队比乙队多筑路天． (1)求乙队筑路的总公里数； (2)若甲、乙两队平均每天筑路公里数之比为，求乙队平均每天筑路多少公里． 【答案】(1)乙队筑路的总千米数为80千米； (2)乙队平均每天筑路千米． 【分析】本题考查了分式方程的应用，有理数的乘法的应用，关键是弄懂题意，找出题中的数量关系，根据数量关系确定等量关系． （1）根据乙队筑路总千米数是甲队筑路总千米数的倍列式计算即可得； （2）设甲队平均每天筑路千米，则乙队平均每天筑路千米，根据题意可得等量关系：甲队筑路用的天数乙队筑路用的天数，列出方程解方程即可． 【详解】（1）解：（千米）， ∴乙队筑路的总千米数为80千米； （2）解：设甲队平均每天筑路千米，则乙队平均每天筑路千米， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解且符合题意， ， 答：乙队平均每天筑路千米． 3（24-25八年级上·广西来宾·期中）党的二十大报告提出：“加快建设高质量教育体系，发展素质教育”．某校为响应二十大报告的育人精神，进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，有效开展“阳光体育”活动，学校准备购买篮球和排球共45个．已知每个篮球的价格是每个排球的价格的1.5倍，用480元单独购买篮球或排球，则购买篮球的数量比购买排球的数量少4个． (1)求篮球和排球的单价分别是多少元？ (2)根据学校实际情况，购买篮球和排球的总资金为2200元，求购买篮球和排球各多少个？ 【答案】(1)篮球的单价是60元，排球的单价是40元 (2)购买篮球20个，购买排球25个 【分析】本题考查了分式方程及一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． （1）根据“每个篮球的价格是每个排球的价格的1.5倍，用480元单独购买篮球或排球，则购买篮球的数量比购买排球的数量少4个”列分式方程求解即可； （2）设购买个篮球，则购买个排球，把篮球和排球的总价相加即可得一元一次方程，求解即可． 【详解】（1）解：设排球的单价为元，则篮球的单价为元． 由题意得， 解得， 检验，当时，， 是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：篮球的单价是60元，排球的单价是40元． （2）解：设购买个篮球，则购买个排球，由题意得 ， 解得， ， 答：购买篮球20个，购买排球25个． 【A组---基础题】 1（24-25八年级上·广西南宁·期中）将多项式进行因式分解，得到的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解决本题的关键． 利用提取公因式法分解即可． 【详解】解：， 故选：A． 2（24-25八年级上·吉林长春·期中）若，则的值为（   ） A．9 B．16 C．20 D．25 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，代数式求值，将变形为，再将整体代入计算即可． 【详解】解： ， ∴， 故选：C． 3（24-25八年级上·四川眉山·期中）下列因式分解正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法以及注意事项是解题的关键；利用提公因式法、公式法、十字相乘法等对各选项进行分解因式即可判断正误 【详解】解：A、，故本选项错误； B、，故本选项错误； C、，故本选项错误； D、，故本选项正确； 故选：D 4（23-24八年级上·山东威海·期末）代数式因式分解的结果的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查因式分解，运用十字相乘法进行因式分解即可解答． 【详解】． 故选：A 5（24-25八年级上·山东东营·期中）若有理数x、y满足，则的值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了绝对值和平方的非负性，利用完全平方公式化简是解题的关键． 利用完全平方公式化简后再根据绝对值和平方的非负性即可得出结果． 【详解】解：， 化简得，， ， ． 故选：A． 6（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）2024年12月7日哈尔滨第五届采冰节在松花江北岸启幕，吸引了众多游客，小帅一家从距离哈尔滨180km的地方开车前往，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来的速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40min到达目的地．设前一小时的行驶速度为每小时千米，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列分式方程，熟练地根据题意找到等量关系是解题的关键．根据实际用时列出相应的分式方程． 【详解】解：设前一小时的行驶速度为，则一小时后的速度为， 由题意得：， 故选：B． 7（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）解分式方程：． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题关键．将分式方程化为整式方程求解，再检验即可． 【详解】解： 方程两边同时乘，得：， 整理，得：， 解得：， 经检验是原方程的解， ∴原方程的解为． 8（24-25八年级上·山东菏泽·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的加减运算法则是解答本题的关键．先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简，最后把所给数值代入计算． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 9（24-25九年级上·重庆开州·期中）双“十一”期间，商店纷纷搞促销活动，小亮发现某店有、两种玩具正在参加活动，已知每个款玩具的售价是每个款玩具售价的2倍，顾客用160元购买款玩具的数量比用160元购买款玩具的数量少1个． (1)求每个款玩具的售价为多少元？ (2)经统计，该店每月卖出款玩具100个，每个款玩具的利润为50元．为了尽快减少库存，该店决定采取适当的降价措施．调查发现，每个款玩具的售价每降低5元，那么平均每月可多售出15个，该店想每月销售款玩具的利润达到5200元，则每个款玩具应降价多少元？ 【答案】(1)每个款玩具的售价为80元 (2)每个款玩具应降价10元 【分析】（1）设每个款玩具的售价为元．由题意得，，解方程即可． （2）设每个款玩具应降价元．由题意得，，解方程，合理对方程根进行取舍． 本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，正确理解题意，列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设每个款玩具的售价为元． 由题意得， 解得 经检验：是原分式方程的解，且符合题意 答：每个款玩具的售价为80元． （2）解：设每个款玩具应降价元． 由题意得，， 解得，， 为了尽快减少库存， ， 答：每个款玩具应降价10元． 【B组---提高题】 1（24-25八年级上·福建福州·期中）若三边满足，判断的形状是（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的应用，三角形三边关系，等腰三角形的判定，由已知等式可得，根据三角形的三边关系可得，据此即可判断求解，正确对等式左边进行因式分解是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵为三边， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， 故选：． 2（2024八年级上·全国·专题练习）关于x的分式方程的解是负数，则a的取值范围是（  ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的解．去分母，方程两边同时乘以，得，则，再根据该方程的解是负数得，然后根据是该方程的增根得出，，据此可得a的取值范围． 【详解】解：， 去分母，方程两边同时乘以，得：， 解得：， ∵该方程的解是负数， ∴， 解得：， ∵是该方程的增根， ∴时，，解得：， 当时，，解得：， 综上所述：a的取值范围是：且． 故选：C． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$