预习篇 14 菱形的性质和判定 -2025年八年级寒假数学专题化复习与重点化预习（人教版）

14 菱形的性质和判定 【题型1】菱形性质的证明 【基础知识】 1 菱形的概念 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 平行四边形中，若，则四边形是菱形. 2 菱形的性质 （1）菱形的四条边都相等，即； （2）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角， 即，，. 【经典例题】 【例1】若四边形是菱形，证明每条边都相等，即. 【巩固练习】 1若四边形是菱形，证明对角线相互垂直，即. 2（23-24八年级上·福建福州·期末）要使成为菱形，则可添加一个条件是（    ） A． B． C． D． 【题型2】菱形性质的运用 【经典例题】 【例1】（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点，垂足为，若，则的大小为（   ） A．度 B．度 C．度 D．度 【例2】（21-22八年级下·山东聊城·期末）如图，在菱形中，P为对角线上一点．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（23-24八年级下·广东汕头·期末）如图，在菱形中，，则的度数是（     ）    A． B． C． D． 2（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）在菱形中如图，，，则（   ） A． B． C． D． 3（24-25九年级上·江西九江·阶段练习）在菱形中，，菱形的周长为（   ） A．8 B．12 C．16 D．20 4（24-25九年级上·江西吉安·阶段练习）如图，菱形中，过顶点作交对角线于点，已知，则的大小为（　　） A． B． C． D． 5（24-25九年级上·江西九江·期中）如图，菱形中，，交于点，若是边的中点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在菱形中，点C的坐标是，点A的纵坐标是1，则点B的坐标是（　　）    A． B． C． D． 7（21-22八年级下·山东济宁·阶段练习）如图，菱形的边长为2，，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【题型3】菱形判定方法的证明 【基础知识】 菱形的判定 （1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形； （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）四条边相等的四边形是菱形。 【经典例题】 【例1】在平行四边形中，对角线交于点，且相互垂直，即，证明平行四边形是菱形. 【巩固练习】 1.在四边形中，四边相等，即，证明四边形是菱形. 2（22-23八年级·全国·假期作业）已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的（　　） A．当时，它是菱形 B．当时，它是菱形 C．当时，它是矩形 D．当时，它是矩形 【题型4】 菱形判定方法的运用 【经典例题】 【例1】（22-23九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平行四边形中，、分别是、上的点，，且．求证：四边形是菱形． 【巩固练习】 1（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在△中，平分交于点，点在线段上，点在的延长线上，且，求证：四边形是菱形． 2（2024·湖南·二模）如图，是的对角线，在和中，，分别是边，的中线，． (1)求证：四边形是菱形； (2)求证：是直角三角形． 【题型5】 菱形的性质与判定的综合应用 【经典例题】 【例1】（23-24八年级下·湖南怀化·期末）如图，在中，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 【巩固练习】 1（23-24九年级上·北京丰台·期末）如图，在中，，是中点，连接分别过点，点作，，交点为． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 2（2024·北京东城·一模）如图，在等腰中，，平分，过点A作交的延长线于D，连接，过点D作交的延长线于E． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，求的长． 3（23-24八年级下·北京平谷·期末）如图，，延长到，使，连接，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，与交于点．若，，求的长． 【A组---基础题】 1（22-23八年级下·河北廊坊·期中）如图，菱形中，，则（    ）    A．20° B．25° C．30° D．40° 2（23-24九年级上·山东德州·开学考试）如图，在菱形中，O为和的交点，．则的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3（22-23九年级上·四川成都·期中）如图，在菱形中，对角线、交于点，已知，，则菱形的面积是（    ） A．9 B．18 C．36 D．72 4（22-23八年级下·广东江门·期中）如图，在菱形中，对角线、相交于点O，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5（21-22八年级下·湖南长沙·期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且E为BC中点，AD=8cm，则OE的长为（    ）． A．8cm B．6cm C．4cm D．3cm 6（20-21八年级下·河北廊坊·期中）菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点的坐标是，点的纵坐标是，则点的坐标是(        ) A． B． C． D． 7（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）如图，四边形是矩形，，交的延长线于点，，交的延长线于点，连接． 求证：四边形是菱形． 8（2024九年级上·全国·专题练习）如图，平行四边形的对角线，相交于点，平分，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【B组---提高题】 1（24-25九年级上·四川达州·期中）如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，，若菱形的面积为16，则的长为（   ） A．4 B． C．8 D． 2（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）在矩形中，，、分别是、上两点，并且垂直平分，垂足为． (1)连接、．说明四边形为菱形； (2)求的长． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 14 菱形的性质和判定 【题型1】菱形性质的证明 【基础知识】 1 菱形的概念 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 平行四边形中，若，则四边形是菱形. 2 菱形的性质 （1）菱形的四条边都相等，即； （2）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角， 即，，. 【经典例题】 【例1】若四边形是菱形，证明每条边都相等，即. 解析 证明 因为四边形是菱形， 所以有一组邻边相等，设， 由平行四边形的性质可得，， 所以， 即菱形的四条边都相等. 【巩固练习】 1若四边形是菱形，证明对角线相互垂直，即. 解析 证明 因为四边形是菱形，所以邻边相等， 所以， 又， 所以， 所以， 又， 所以，即. 2（23-24八年级上·福建福州·期末）要使成为菱形，则可添加一个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的判定．熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． 根据菱形的判定对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：如图， 当，则为菱形，故A符合要求； 当，则不一定为菱形，故B不符合要求； 当，则不一定为菱形，故C不符合要求； 当，则不一定为菱形，故D不符合要求； 故选：A． 【题型2】菱形性质的运用 【经典例题】 【例1】（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点，垂足为，若，则的大小为（   ） A．度 B．度 C．度 D．度 【答案】B 【分析】本题查了菱形的性质，直角三角形的两个锐角互余．根据菱形的性质，可得，，再根据，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，对角线与相交于点， ∴， ∵ ∴ ∴， ∵，即， ∴． 故选：B 【例2】（21-22八年级下·山东聊城·期末）如图，在菱形中，P为对角线上一点．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形对角线互相垂直平分得到直角三角形和线段长，再利用勾股定理求解． 【详解】如图所示，连接BD，交AC于点O， 易得BD垂直平分AC ，， 在中， 在中， 故选B． 【点睛】本题考查菱形对角线的性质，通过对角线互相垂直平分构造直角三角形是解决本题的关键． 【巩固练习】 1（23-24八年级下·广东汕头·期末）如图，在菱形中，，则的度数是（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的对角线平分一组对角．根据菱形的对角线平分一组对角即可求解． 【详解】解：在菱形中，， ， 故选：D． 2（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）在菱形中如图，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，等边对等角的性质，三角形内角和定理，掌握菱形的性质是解题的关键． 根据菱形的性质可得，由等边对等角可得，由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 在中， ∴， 故选：B ． 3（24-25九年级上·江西九江·阶段练习）在菱形中，，菱形的周长为（   ） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质，根据菱形的四边相等，得到周长为即可． 【详解】解：∵菱形，， ∴菱形的周长为：； 故选C． 4（24-25九年级上·江西吉安·阶段练习）如图，菱形中，过顶点作交对角线于点，已知，则的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的对角线平分菱形内角，直角三角形两个锐角互余．根据菱形的性质得出，从而得出，则，再根据直角三角形两个锐角互余，即可求解． 【详解】解：四边形为菱形， ， ，则， ， ， 故选：D 5（24-25九年级上·江西九江·期中）如图，菱形中，，交于点，若是边的中点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，证明出是的中位线是本题的关键．根据菱形的性质得出， ，，根据三角形中位线定理得出，得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∵是边的中点，， ∴是的中位线， ， ∴， ， 故选：C． 6（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在菱形中，点C的坐标是，点A的纵坐标是1，则点B的坐标是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接交轴于点，由即可求解． 【详解】解：连接交轴于点    由菱形的性质可得： ∵点C的坐标是，点A的纵坐标是1 ∴ ∴点B的坐标是： 故选：A 【点睛】本题考查菱形的性质．熟记相关结论即可． 7（21-22八年级下·山东济宁·阶段练习）如图，菱形的边长为2，，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据坐标意义，点A坐标与垂线段有关，过点A向x轴垂线段AE，求得OE、AE的长即可知点A坐标． 【详解】过点A作AE⊥x轴，垂足为E，则∠AEO=90°， ∵，∠AEO=90° ∴， ∴ ∵菱形的边长为2即AO=2，∠AEO=90°， ∴，即 解得：． ∴点A坐标为， 故选：D． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质、菱形的性质，等角对等边，勾股定理等，正确添加辅助线是解题的关键． 【题型3】菱形判定方法的证明 【基础知识】 菱形的判定 （1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形； （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）四条边相等的四边形是菱形。 【经典例题】 【例1】在平行四边形中，对角线交于点，且相互垂直，即，证明平行四边形是菱形. 解析 证明 因为四边形是平行四边形，所以， 因为，所以， 在和中， 所以， 所以， 由菱形的概念可知平行四边形是菱形. 【巩固练习】 1.在四边形中，四边相等，即，证明四边形是菱形. 解析 证明 因为，， 所以四边形是平行四边形， 又因为即， 由菱形的概念可知四边形是菱形. 2（22-23八年级·全国·假期作业）已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的（　　） A．当时，它是菱形 B．当时，它是菱形 C．当时，它是矩形 D．当时，它是矩形 【答案】B 【分析】根据矩形、菱形的判定逐个判断即可． 【详解】解：A、∵四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形，故本选项不符合题意； B、∵四边形是平行四边形， 又∵ ， ∴四边形是矩形，故本选项符合题意； C、∵四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形，故本选项不符合题意； D、∵四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是矩形，菱形的判定，熟记矩形，菱形的判定方法是解本题的关键． 【题型4】 菱形判定方法的运用 【经典例题】 【例1】（22-23九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平行四边形中，、分别是、上的点，，且．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定．先根据平行四边形的性质可得，进而证明得出，即可得证． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在中， ∴ ∴， ∴平行四边形是菱形． 【巩固练习】 1（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在△中，平分交于点，点在线段上，点在的延长线上，且，求证：四边形是菱形． 【答案】见解析． 【分析】本题主要考查了菱形的判定．菱形的判定定理有：一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形． 首先根据等腰三角形的三线合一定理可证且，再根据可证四边形是菱形． 【详解】证明：在中，平分， ，， 又， 故四边形是菱形． 2（2024·湖南·二模）如图，是的对角线，在和中，，分别是边，的中线，． (1)求证：四边形是菱形； (2)求证：是直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行四边形，菱形的知识，解题的关键是掌握平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，直角三角形的判定，即可． （1）根据平行四边形的性质，得，，根据中点的性质，则，，根据菱形的判定和性质，即可； （2）根据平行四边形的性质，则，，再根据平行线的性质，直角三角形的判定，即可． 【详解】（1）证明，如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵和中，，分别是边，的中线， ∴点，分别是，的中点， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． （2）证明，如下： ∵四边形是菱形， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形． 【题型5】 菱形的性质与判定的综合应用 【经典例题】 【例1】（23-24八年级下·湖南怀化·期末）如图，在中，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先证明，则，再结合四边形是平行四边形，即可作答． （2）先得出然后，根据勾股定理列式，代入数值进行计算，得出，运用菱形的面积公式计算，即可作答． 【详解】（1）证明：， ， 在和中 ∴ , 又四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形 （2）解：， 在中，，， ∴菱形的面积 【巩固练习】 1（23-24九年级上·北京丰台·期末）如图，在中，，是中点，连接分别过点，点作，，交点为． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得，即可得出结论； （2）过点作于点，解直角三角形求出 结果即可； 本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明四边形为菱形是解题的关键． 【详解】（1）解：证明：，， 四边形是平行四边形， 在中，，是中点， ， 四边形是菱形； （2）过点作于点，则，如图： ， ， ， 在中，， 根据勾股定理可得，， 在中，，，，， ， 是的中点， ， ． 2（2024·北京东城·一模）如图，在等腰中，，平分，过点A作交的延长线于D，连接，过点D作交的延长线于E． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，求的长． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2)的长为 【分析】本题考查了菱形的证明、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟记定理内容是解题关键． （1）证得，可得四边形是平行四边形，即可进一步求证； （2）由题意得是等边三角形，根据 即可求解. 【详解】（1）解：四边形是菱形， 理由：∵，平分， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵平分， ∴ ， ∵四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 4， 3（23-24八年级下·北京平谷·期末）如图，，延长到，使，连接，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，与交于点．若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】对于（1），先结合平行四边形的性质及已知条件说明四边形是平行四边形，再说明，可得结论； 对于（2），先求出，再设，表示，然后根据勾股定理求出答案． 【详解】（1）∵四边形是平行四边形， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形. ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）∵四边形是菱形， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴. ∵， 设，则， 在中，， 解得（舍负）， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理等，勾股定理是求线段长的常用方法． 【A组---基础题】 1（22-23八年级下·河北廊坊·期中）如图，菱形中，，则（    ）    A．20° B．25° C．30° D．40° 【答案】A 【分析】根据菱形的对边平行，对角线平分一组对角，进行求解即可． 【详解】解：∵菱形中，， ∴， ∴， ∴； 故选A． 【点睛】本题考查菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的对边平行，对角线平分一组对角． 2（23-24九年级上·山东德州·开学考试）如图，在菱形中，O为和的交点，．则的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】此题考查了菱形的性质，根据菱形的对角线互相平分进行解答即可． 【详解】解：∵在菱形ABCD中，O为和的交点，， ∴． 故选：D． 3（22-23九年级上·四川成都·期中）如图，在菱形中，对角线、交于点，已知，，则菱形的面积是（    ） A．9 B．18 C．36 D．72 【答案】C 【分析】根据菱形的性质，得到，，再利用菱形面积公式即可得到结果． 【详解】四边形是菱形， ，， 则， 故选C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的面积公式是解题关键． 4（22-23八年级下·广东江门·期中）如图，在菱形中，对角线、相交于点O，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用等边对等角计算出的度数，再由两直线平行内错角相等计算出的度数，即可计算出的度数. 【详解】四边形是菱形， ， 又由，则， 四边形是菱形， ， 则， 故， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，菱形四边都相等，即可得到等腰三角形，再运用等腰三角形等边对等角，可计算出角的度数，菱形对边相等且平行，运用两直线平行内错角相等也可计算出角的度数，本题较为简单. 5（21-22八年级下·湖南长沙·期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且E为BC中点，AD=8cm，则OE的长为（    ）． A．8cm B．6cm C．4cm D．3cm 【答案】C 【分析】首先根据菱形的性质可得AO＝CO，AB＝AD＝8cm，再根据三角形中位线定义和性质可得BA＝2OE，进而得到答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AO＝CO，AB＝AD＝8cm， ∵E为CB的中点， ∴OE是△ABC的中位线， ∴BA＝2OE， ∴OE＝4cm． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，以及三角形中位线性质，关键是掌握菱形的四边相等． 6（20-21八年级下·河北廊坊·期中）菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点的坐标是，点的纵坐标是，则点的坐标是(        ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先连接AB交OC于点D，根据菱形的性质可得AB⊥OC，OD＝CD＝4，AD＝BD＝2，即可求得点B的坐标． 【详解】解：如图，连接AB，交OC于点D， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB⊥OC，OD＝CD，AD＝BD， ∵点C的坐标是（8，0），点A的纵坐标是2， ∴OC＝8，BD＝AD＝2， ∴OD＝4， ∴点B的坐标为：（4，﹣2）． 故选：D． 【点睛】此题考查了菱形的性质与点与坐标的关系，此题难度不大，注意数形结合思想的应用． 7（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）如图，四边形是矩形，，交的延长线于点，，交的延长线于点，连接． 求证：四边形是菱形． 【答案】见详解 【分析】本题考查菱形的判定，矩形的性质，平行四边形的判定与性质．根据题意先证四边形是平行四边形，再由即可． 【详解】证明：四边形是矩形 , 四边形，四边形都是平行四边形 四边形是平行四边形 四边形是菱形． 8（2024九年级上·全国·专题练习）如图，平行四边形的对角线，相交于点，平分，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）首先通过角平分线的定义和平行四边形的性质，平行线的性质得出，则有，再利用一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明； （2）首先根据题意和菱形的性质证明四边形是矩形，然后利用矩形的性质和勾股定理即可得出答案． 本题主要考查四边形，掌握矩形，菱形的判定及性质和勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：平分， ． 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 平行四边形是菱形； （2）解：平行四边形是菱形， ， ． ，， 四边形是平行四边形． ， 四边形是矩形， ． 【B组---提高题】 1（24-25九年级上·四川达州·期中）如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，，若菱形的面积为16，则的长为（   ） A．4 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质、勾股定理，掌握直角三角形斜边上的中线是斜边的一半是解题的关键．根据直角三角形的性质可得，结合菱形的面积为16可得，进而得到和的长，最后利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：菱形的对角线，相交于点O， ，，， ， ， 在中，点O是的中点， ， ， ， ， 菱形的面积为16， ， ， ， 在中，， 的长为． 故选：B． 2（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）在矩形中，，、分别是、上两点，并且垂直平分，垂足为． (1)连接、．说明四边形为菱形； (2)求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先证明，再证明四边形是平行四边形，根据对角线垂直即可证明； （2），则，在中运用勾股定理建立方程即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形矩形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是菱形， ∴设，则 在中， ， ∴ 解得：， ∴的长为． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$