精品解析：天津市河西区2024-2025学年高三上学期期末质量调查试卷

河西区2024-2025学年度第一学期高三年级期末质量调查 数学试卷 本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第I卷1至3页，第Ⅱ卷4至8页. 答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 祝各位考生考试顺利! 第I卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2.本卷共9小题，每小题5分，共45分. 参考公式： 锥体的体积公式，其中表示锥体的底面面积，表示锥体的高. 一､选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知曲线，则“”是“曲线表示椭圆”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，则大小关系为（ ） A B. C. D. 4. 某中学组织高中学生参加数学知识竞赛，现从中随机抽取100名学生成绩的频率分布直方图如图所示，则这组样本数据的分位数为（ ） A. 85 B. 86 C. 87 D. 88 5. 已知函数为奇函数，一个周期为，则的解析式可能为（ ） A. B. C D. 6. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 已知函数的定义域为是偶函数，是奇函数，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 8. 已知双曲线的虚轴长为为上一点，过点向的两条渐近线作垂线，垂足分别为，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在体积为的三棱锥中，分别为棱上的点，且，记为平面的交点，记三棱锥的体积为，则（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2.本卷共11小题，共105分. 二､填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分. 10. 是虚数单位，复数满足，则__________. 11. 在的展开式中，常数项为__________. 12. 已知点在抛物线上，过点作圆的切线，若切线长为，则点到的准线的距离为__________. 13. 甲袋中有2个白球4个黑球，乙袋中有4个白球2个黑球.若从两个袋中分别随机各取出一个球，则取出是两个白球的概率是__________；若先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球，则取出的是白球的概率是__________. 14. 在中，为的中点，是以为圆心，为半径的圆上的两个动点，线段过点，则可用表示为__________；的最小值为__________. 15. 若函数在上恰有3个零点，则符合条件的的个数为__________. 三､解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在中，内角所对的边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）设. （i）求的值； （ii）求的值. 17. 如图所示，在四棱锥中，底面四边形是直角梯形，，点在平面上的投影为线段的中点分别是线段的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 18. 已知椭圆的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且. （1）求椭圆方程； （2）设斜率不为0的直线过点，与椭圆交于两点，点分别为直线与轴的交点，记的面积分别为，求的值. 19. 已知公差不为零的等差数列的前项和为成等比数列，. （1）求数列的通项公式及； （2）设，求的最小值，并求取得最小值时的值； （3）设其中，求. 20. 已知函数的导函数为，（为自然对数的底数）. （1）当时，求函数在点处的切线的斜率； （2）若且函数在上是单调递增函数，求的取值范围； （3）若满足，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河西区2024-2025学年度第一学期高三年级期末质量调查 数学试卷 本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第I卷1至3页，第Ⅱ卷4至8页. 答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 祝各位考生考试顺利! 第I卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2.本卷共9小题，每小题5分，共45分. 参考公式： 锥体的体积公式，其中表示锥体的底面面积，表示锥体的高. 一､选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据并集和补集的定义即可得出答案. 【详解】因为， 所以. 故选：C 2. 已知曲线，则“”是“曲线表示椭圆”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由曲线表示椭圆得到，即可得到结果. 【详解】曲线表示椭圆，则，解得， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由对数函数的单调性可得，，且，即可得到结果. 【详解】，即， ，即， ，所以. 故选：D 4. 某中学组织高中学生参加数学知识竞赛，现从中随机抽取100名学生成绩的频率分布直方图如图所示，则这组样本数据的分位数为（ ） A. 85 B. 86 C. 87 D. 88 【答案】C 【解析】 【分析】由频率分布直方图的性质求出，再由百分位数的方法求解即可. 【详解】由题意可得，解得， 所以前两组的频率和为，前三组的频率和为， 设这组样本数据的分位数为，则， 解得 故选：C. 5. 已知函数为奇函数，一个周期为，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇函数的定义，结合诱导公式，周期的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，，， 此时函数是奇函数，又最小正周期，故A正确； 对于B，因为，所以不是的周期，故B不正确； 对于C，，， 此时函数是偶函数，故C不正确； 对于D，因为函数的最小正周期，所以不是的周期，故D不正确； 故选：A. 6. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据各项给定的线面、面面的位置关系，结合平面的的基本性质及空间想象判断正误即可. 【详解】A：若，则、可能平行或相交，故A错； B：若，则或，故B错； C：若，则或，故C错； D：若，则存在直线，使得， 又，所以，所以.故D对. 故选：D 7. 已知函数的定义域为是偶函数，是奇函数，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据是偶函数和是奇函数，分别得到，，联立求得即可. 【详解】解：因为函数的定义域为是偶函数， 所以， 又因为是奇函数， 所以， 两式联立，解得， 所以， 故选：C 8. 已知双曲线虚轴长为为上一点，过点向的两条渐近线作垂线，垂足分别为，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先得到和渐近线方程，并设点，则，由点到直线距离公式得到方程，求出，得到双曲线方程. 【详解】由题意得，解得， 双曲线渐近线方程为，即， 设点，则，即， 则到两渐近线方程的距离分别为， 所以， 解得， 故双曲线方程为. 故选：A 9. 如图，在体积为的三棱锥中，分别为棱上的点，且，记为平面的交点，记三棱锥的体积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先画出图形确定点的位置，设，，根据平面向量基本定理，分别确定、的位置，结合已知条件，分别求出值，将三棱锥的体积之比，转化为即可得到结果． 【详解】 设，，连接，， 易知平面平面，平面平面， 显然， ， ， 在中，设，， ， ， 由平面向量基本定理得：，解得， 即，； 在中，设，， ， ， 由平面向量基本定理得：，解得， 即，； 则在中，，，则， 设点到底面的距离分别为， 则，，， 则， 故选：C. 第Ⅱ卷 注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2.本卷共11小题，共105分. 二､填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分. 10. 是虚数单位，复数满足，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】应用复数的除法运算求复数即可. 【详解】由，则. 故答案为： 11. 在的展开式中，常数项为__________. 【答案】 【解析】 【分析】写出通项公式，令，得到，从而求出常数项. 【详解】的展开式通项公式为， 令，得， 故. 故答案为： 12. 已知点在抛物线上，过点作圆的切线，若切线长为，则点到的准线的距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，结合圆的切线的性质可得，解出即可得点横坐标，再利用抛物线定义即可得解. 【详解】设，由切线定义可得， 化简得，即，则， 抛物线焦点坐标，， 由抛物线定义可得点到的准线的距离等于， 即点到的准线的距离为. 故答案为：. 13. 甲袋中有2个白球4个黑球，乙袋中有4个白球2个黑球.若从两个袋中分别随机各取出一个球，则取出的是两个白球的概率是__________；若先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球，则取出的是白球的概率是__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意可知应用古典概型及独立事件的概率乘积公式，利用全概率公式即可求解. 【详解】设从甲袋取出白球为事件A，再从乙袋取出白球为事件B， 若从两个袋中分别随机各取出一个球，则取出的是两个白球为事件 则，. ； 设“从甲袋中取出的一个球为白球”， “从甲袋中取出的一个球为黑球”， “从乙袋中取出的一个球为白球”， 根据全概率公式则有 . 故答案为：；. 14. 在中，为的中点，是以为圆心，为半径的圆上的两个动点，线段过点，则可用表示为__________；的最小值为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由题意可得、，即，，又，即可用表示；利用、，结合数量积公式可得，结合的范围计算即可得解. 【详解】由，则， 由线段过点，则，且， 又，，则， 即，， 则； ， 由，故. 故答案为：；. 15. 若函数在上恰有3个零点，则符合条件的的个数为__________. 【答案】5 【解析】 【分析】该函数零点可以转化为一个二次函数零点与正弦型函数零点的个数之和，再对、、分类讨论，即可得取其取值范围. 【详解】令，则或， 由， 当时，在上没有零点， 则在上应有3个零点， 因为，所以，即， 与联立得，因为，所以m的值依次为9，10； 当时，在上有1个零点， 而在上有3个零点，不满足题意； 当时，在上有2个零点， 故上应有1个零点， 因为，所以该零点与的零点不相同， 所以，即，与联立得， 因为，所以的取值依次为2，3，4， 综上得符合条件的的个数是5． 故答案是：5． 三､解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在中，内角所对的边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）设. （i）求的值； （ii）求的值. 【答案】（1）； （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理及和角的正弦公式化简求解. （2）（i）由（1）的结论，利用余弦定理求出；（ii）利用正弦定理求出，再利用同角公式、二倍角的正切及差角的正切公式计算得解. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 即，则， 由，得，又， 所以. 【小问2详解】 （i）由（1）及余弦定理，得， 整理得，而，解得， 所以 （ii）由正弦定理，得， 由，得，则， 因此， 所以. 17. 如图所示，在四棱锥中，底面四边形是直角梯形，，点在平面上的投影为线段的中点分别是线段的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）以为坐标原点建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，根据已知求得，计算即可证； （2）求向量和平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）先求平面的一个法向量，再利用距离的向量法公式即可求解. 【小问1详解】 证明：点在平面上的投影为线段的中点平面， 四边形是直角梯形，， ，且， 如图，以为原点，分别以方向为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系， 由题意可得，， 所以，， 设平面的一个法向量， 则，则， 令，故， ， 平面， 平面. 【小问2详解】 由（1），， 设平面的一个法向量， 则，则， 令，则，所以， 设直线与平面所成角为， ， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 设点到平面的距离为，由（1）， 则， 所以点到平面的距离为. 18. 已知椭圆的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且. （1）求椭圆的方程； （2）设斜率不为0的直线过点，与椭圆交于两点，点分别为直线与轴的交点，记的面积分别为，求的值. 【答案】（1）； （2）1. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，结合椭圆的定义列方程求出即可. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，再用的坐标表示坐标，列出三角形面积的比值关系，结合韦达定理求解. 【小问1详解】 由点在椭圆上，且， 得，即，于是，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，设直线， 由消去得，， 直线的方程为，令，得点的纵坐标， 同理得点的纵坐标，又， 所以 . 19. 已知公差不为零的等差数列的前项和为成等比数列，. （1）求数列的通项公式及； （2）设，求的最小值，并求取得最小值时的值； （3）设其中，求. 【答案】（1） （2）当时，取得最小值 （3） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前项和公式建立方程组，解之即可求解； （2）由（1）得，结合基本不等式的应用和即可求解； （3）当时，则数列是等差数列，进而，进而，结合等比数列前项和公式计算即可求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由题意得，解得， 故数列的通项公式，. 【小问2详解】 由（1）得， 当且仅当，即时，等号成立， ，当时，；当时，， 所以当时，A取得最小值. 【小问3详解】 当时，， 当时，，可知数列是等差数列， ， . 20. 已知函数的导函数为，（为自然对数的底数）. （1）当时，求函数在点处的切线的斜率； （2）若且函数在上是单调递增函数，求的取值范围； （3）若满足，证明：. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导数值，即可得切线斜率； （2）利用含参讨论来判断函数单调性求解； （3）利用齐次把双变量合并化为单变量，再利用函数求导进行证明即可. 【小问1详解】 当时，， ， 所以函数在点处的切线的斜率为. 【小问2详解】 当时，， 因为在上是单调递增函数，所以在上恒成立， 令，则， 当时，， 令，所以在上递增， 即，所以在上恒成立，符合题意； 当时，，且在为单调递增函数， 所以存在唯一使得， 所以当时，在递减， 即，不符合题意； 综上所述. 【小问3详解】 证明：， 当时，由（2）可知是增函数，所以， 设， 移项得， 由（2）知，即， 所以，即，① 设， 所以当时，，即， 所以当时，，即， 所以， 代入①式中得到 即，所以， 即命题得证. 【点睛】方法点睛：双变量不等式的证明，利用齐次思想，把双变量不等式转化为不等式，再构造函数求导进行证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $