精品解析：天津市第一中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷

天津一中2024-2025-1高一年级期末数学考试试卷 一. 选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列函数中，不能用二分法求零点的是（ ） A. B. C. D. 4. 关于x的不等式 的解集中整数有且只有3个，则正数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 函数图象的大致形状是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数 有一条对称轴为 当ω分别取最小正数和最大负数时，得到函数为与，则两个函数最小正周期的差为（ ） A. B. π C. D. 2π 9. 定义行列式运算 ，函数若对于任意的，都有，则满足条件的的最小值为（ ） A. B. C. D. 10. 若函数恰有3个零点，则的取值范围为（     ） A. B. C. D. 二. 填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 11 计算____________ 12 已知，则______． 13. 已知幂函数在上单调递减，则的值为______. 14. 已知扇形的圆心角为，扇形的周长为，则扇形的面积为_____. 15. 设函数，若[x]表示不超过x的最大整数，则函数 的值域是___________. 16. 已知函数的图像如图所示，其中 是这两个函数共同的零点，是其中一个函数的零点，则 =_____________. 三. 解答题：本大题共4小题，共46分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 定义为的最大值，函数的最小值为c. （1）求c的值： （2）若方程有两个实根， （i）试判断的正负 (无需说明理由)； （ii）求值. 18. 若， （1）求的值； （2）求 的值. 19. 函数（，）的部分图象如图所示， （1）求函数的解析式; （2）将该函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来2倍，得到函数的图象， （i）求函数在区间的值域； （ii）求满足不等式的解集. 20. 已知 （1）若函数，求函数在上的最值； （2）若函数有三个零点，求实数a取值范围； （3），不等式 成立，求实数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津一中2024-2025-1高一年级期末数学考试试卷 一. 选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据补集、交集的定义计算可得. 【详解】因为， 所以，则. 故选：C 2. 若，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数、充分和必要条件的知识确定正确答案. 【详解】当时，； 当时，可能， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3. 下列函数中，不能用二分法求零点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二分法求零点的要求，逐一分析各选项即可得解. 【详解】对于A，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于B，，可得：，但恒成立，即在每个零点左右两侧函数值同号,故不可用二分法求零点； 对于C，有两个不同零点，且在每个零点左右两侧函数值异号，故可用二分法求零点； 对于D，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点. 故选：B 4. 关于x的不等式 的解集中整数有且只有3个，则正数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解出原不等式的解集，然后根据条件确定解集的端点值所满足的条件，从而解出的取值范围. 【详解】原不等式可化为， 则方程的两个根为和， 当时，原不等式的解集为空集，不满足题意； 当时，原不等式的解集为：， 则a不能取到正数值； 当时，原不等式的解集为：， 要使不等式的解集中整数有且只有3个，则， 则正数a的取值范围为. 故选：A. 5. 下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】用作差法即可判断A,B，取特殊值即可判断C,D. 【详解】对于A，因为，所以， 所以，所以，故A错误； 对于B，因为，所以，， 所以，故B正确； 对于C，若，，排除C； 对于D，若，，排除D 故选：B 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助中间值“0”、“”，结合对数的单调性即可比较大小. 【详解】因为，， 所以， 又因为，， 而，在上单调递增， 所以，故， 又因为，， 所以. 故选：B 7. 函数的图象的大致形状是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数奇偶性排除B，D，先证明特殊点在在上最靠近原点的零点的左侧，再利用特殊点处的函数值排除C即可. 【详解】因为， 所以， 所以 ，故， 则奇函数，故B，D错误， 令， 令，所以函数化为， 令，由反比例函数性质得在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以在上单调递增，且， 则在上恒成立，故在上不存在零点， 而在上的零点只能由决定， 又，由余弦函数性质得是在上最靠近原点的零点， 即是在上最靠近原点的零点， 而一定在左侧，且，故A正确，C错误. 故选：A 8. 已知函数 有一条对称轴为 当ω分别取最小正数和最大负数时，得到函数为与，则两个函数最小正周期的差为（ ） A. B. π C. D. 2π 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件函数的一条对称轴为，求得的值，解得，分别得出最小正周期即可求解. 【详解】根据已知条件函数的一条对称轴为，又由正弦函数的对称轴可知： ，，又因为， 当分别取最小正数和最大负数时，， 所以两个函数最小正周期的差为. 故选：D. 9. 定义行列式运算 ，函数若对于任意的，都有，则满足条件的的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由定义行列式运算可得，又对于任意的，都有，即，可得时求得最小值，即可得到的最小值. 【详解】因为行列式运算 ， 则函数，得， 即， 因为， 所以，即， 即，即时，求得最小值， 此时对于任意的，都有， 则的最小值为. 故选：A. 10. 若函数恰有3个零点，则的取值范围为（     ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数零点的意义分离参数可得，再构造函数将问题转化为直线与函数图象有3个交点求解. 详解】由，当时，，则， 函数在上单调递减，值域为R， 当时，要使有意义，则对恒成立， 于是，由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，有最小值为， 于是，令函数， 在同一坐标系内作出函数的图象及直线， 观察图象知，当时，直线与函数的图象有个交点，即函数有个零点. 综上，的取值范围为. 故选：C 二. 填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 11. 计算____________ 【答案】## 【解析】 【分析】根据对数的运算性质计算即可. 【详解】 . 故答案为： 12. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】将拆成，利用诱导公式求解即得. 【详解】因， 故. 故答案为：. 13. 已知幂函数在上单调递减，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据幂函数定义确定的可取值，再根据单调性确定出的值. 【详解】因为为幂函数，所以，所以， 当时，，在上单调递增，不符合； 当时，，在上单调递减，符合； 故答案为：. 14. 已知扇形的圆心角为，扇形的周长为，则扇形的面积为_____. 【答案】4 【解析】 【分析】设扇形的半径为r，弧长为l，根据扇形周长和弧长公式列式，解之得r＝2，l＝4，再由扇形面积公式可得扇形的面积S． 【详解】设扇形的半径为r，弧长为l， 则解得r＝2，l＝4 由扇形面积公式可得扇形面积Slr2×4＝4 故答案为4 【点睛】本题给出扇形的周长和圆心角的大小，求扇形的面积，着重考查了扇形的面积公式和弧长公式等知识，属于基础题． 15. 设函数，若[x]表示不超过x的最大整数，则函数 的值域是___________. 【答案】 【解析】 【分析】先将分式化简变形，再根据正弦函数的值域来确定的取值范围，最后根据取整函数得到结果. 【详解】， 因为，所以， 则，即， 所以，则， 根据取整函数的定义可得函数 的值域是， 故答案为：. 16. 已知函数的图像如图所示，其中 是这两个函数共同的零点，是其中一个函数的零点，则 =_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据零点的概念，结合三角函数的周期性解题. 【详解】由，可知，， 由图可知是函数正半轴的第一个零点，得，解得； 若是函数正半轴的第四个零点，是函数正半轴的第五个零点， 则且，此时无解， 所以不是函数的零点，是函数正半轴的第四个零点，得， 所以，. 故答案为：. 三. 解答题：本大题共4小题，共46分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 定义为的最大值，函数的最小值为c. （1）求c的值： （2）若方程有两个实根， （i）试判断的正负 (无需说明理由)； （ii）求的值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据函数是增函数，是减函数，得出且得出其单调性，从而易得最小值； （2）由（1）的单调性知时，方程有两个实根，从而得且，由此可得出（i）（ii）的结论． 【小问1详解】 易知是增函数，是减函数，且， 当时，，当时，， 所以，且知在上单调递减，在上单调递增， 所以. 【小问2详解】 （i）由（1）可知当时，有两个实根，， ，即，所以，即， 所以； （ii）． 18. 若， （1）求的值； （2）求 的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由诱导公式可得，再由同角三角函数的关系化简，代入计算，即可得到结果； （2）由诱导公式化简，得到正余弦的齐次式，即可得到结果. 【小问1详解】 由可得， 则，即， 其中，则， 整理可得，又，即， 所以， 由可得，即， 即， 代入上式可得， 化简可得，即，解得. 【小问2详解】 原式. 19. 函数（，）的部分图象如图所示， （1）求函数的解析式; （2）将该函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来2倍，得到函数的图象， （i）求函数在区间的值域； （ii）求满足不等式的解集. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）， 【解析】 【分析】（1）根据最大最小值，确定的值；再根据函数的周期求出，代入点，结合的取值范围确定的值，即可得函数的解析式. （2）（i）先根据函数的图象变换确定的解析式，再结合正弦函数图象求在给定区间上的值域. （ii）数形结合，解三角不等式. 【小问1详解】 由题意：， ，所以. 由. 由，且，得. 所以. 【小问2详解】 （i）将函数的图象向左平移个单位长度，可得， 再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来2倍，可得. 当时，，所以. 所以函数在区间的值域为. （ii）由，所以，. 所以不等式的解集为：， 20. 已知 （1）若函数，求函数在上的最值； （2）若函数有三个零点，求实数a的取值范围； （3），不等式 成立，求实数的最小值. 【答案】（1）最小值为，最大值为11 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）易得，再利用二次函数的性质求解； （2）易得，作出其大致图象，利用数形结合法求解； （3）根据是奇函数，也是R上的增函数，先转化为，不等式成立，求得的最小值，然后转化为，成立，可得，，进而结合对勾函数的性质求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 因为，所以， 当，即时，函数取得最小值； 当，即时，函数取得最大值11. 【小问2详解】 由题意得：， 作出其大致图象，如图所示： 因为函数有三个零点， 所以， 故实数a的取值范围是. 【小问3详解】 易知是奇函数，也是R上的增函数， 因为不等式成立， 所以，不等式成立， 所以，不等式成立， 令， 又，则当时，函数取得最小值， 所以，成立， 即，， 令，由对勾函数的性质得，函数在上单调递增， 所以当时，函数取得最小值， 所以，即， 所以实数的最小值是. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $