第05讲 一次方程（组）及其应用（讲练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（湖南专用）

第二章 方程（组）与不等式（组） 第05讲 一次方程（组）及其应用（3~8分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 一次方程（组）（高频考点） 考点二 一次方程（组）的应用（高频考点） 04题型精研·考向洞悉 命题点一 一次方程（组） ►题型01 判断一元一次方程 ►题型02 解一元一次方程 ►题型03 二元一次方程(组)的概念 ►题型04 解二元一次方程组 ►题型05 一次方程（组）的错解复原问题 ►题型06 己知一次方程（组）的解的情况求参数 ►题型07 方程（组）相同解问题 ►题型08 解三元一次方程组 命题点二 一次方程（组）的应用 ►题型01 配套问题 ►题型02方案选择问题 ►题型03销售问题 ►题型04几何问题 ►题型05行程问题 ►题型06古代问题 ►题型07图表问题 ►题型08工程问题 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 一次方程（组） · 能解一元一次方程； 掌握消元法，能解二元一次方程组； · 能解简单的三元一次方程组[选学] 10年4考 中考中，对于这两个方程的解法及其应用一直都有考察，其中对于两个方程的解法以及注意事项是必须掌握的，而在其应用上也是中考代数部分结合型较强的一类考点. 一次方程（组）的应用 · 利用一次方程求解实际问题 近10年连续考查 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 一次方程（组） （高频考点） 一元一次方程的概念：只含有一个未知数，且未知数的次数都是1，这样的整式方程叫一元一次方程. 一元一次方程标准形式：ax+b=0（x为未知数，a、b是常数且a≠0） 解一元一次方程的基本步骤： 1. 一元一次方程中未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数. 2. 一元一次方程只含有一个未知数,未知数的次数都为1. 3. 解方程的五个步骤有些可能用不到，有些可能重复使用，也不一定有固定的顺序，要根据方程的特点灵活运用． 4. 对于分母中含有小数的一元一次方程．当分母中含有一位小数时，含分母项的分子、分母都乘10，化分母中的小数为整数；当分母中含有两位小数时，含分母项的分子、分母都乘100，化分母中的小数为整数． 5.二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一对数值就是它的解. 6.在二元一次方程中，给定其中一个未知数的值，就可以通过解一元一次方程的方法求出另一个未知数的值. 7.二元一次方程组的“二元”和“一次”都是针对整个方程组而言的，组成方程组的各个方程不必同时含有两个未知数，这两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个一次方程必须只含有两个未知数. 8.解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程． 1．（2023·湖南永州·中考真题）关于x的一元一次方程的解为，则m的值为（    ） A．3 B． C．7 D． 2．（2023·江苏无锡·中考真题）下列4组数中，不是二元一次方程的解是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·湖南常德·中考真题）解方程组： 考点二 二次根式的运算（高频考点） 用方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 1．（2024·湖南长沙·中考真题）为庆祝中国改革开放46周年，某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动，现场参与者均为在校中学生，其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”，该活动项目主持人要求参与者从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取一个数字，先乘以10，再加上4.6，将此时的运算结果再乘以10，然后加上1978，最后减去参与者的出生年份（注：出生年份是一个四位数，比如2010年对应的四位数是2010），得到最终的运算结果．只要参与者报出最终的运算结果，主持人立马就知道参与者的出生年份．若某位参与者报出的最终的运算结果是915，则这位参与者的出生年份是 ． 2．（2023·湖南·中考真题）我国航天事业发展迅速，2023年5月30日9时31分，神舟十六号载人飞船成功发射，某玩具店抓住商机，先购进了1000件相关航天模型玩具进行试销，进价为50元/件． (1)设每件玩具售价为x元，全部售完的利润为y元．求利润y（元）关于售价x（元/件）的函数表达式； (2)当售价定为60元/件时，该玩具销售火爆，该店继续购进一批该种航天模型玩具，并从中拿出这两批玩具销售利润的20%用于支持某航模兴趣小组开展活动，在成功销售完毕后，资助经费恰好10000元，请问该商店继续购进了多少件航天模型玩具？ 3．（2024·海南·中考真题）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商店售卖某品牌瘦肉粽和五花肉粽．请依据以下对话，求促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价． 04题型精研·考向洞悉 命题点一 一次方程（组） ►题型01 判断-元一次方程 1．（2024吉林·模拟预测）关于x的方程是一元一次方程，则m的值是（   ） A．2 B．0 C．1 D．0或2 2．（2024内蒙古·模拟预测）下列方程中，一元一次方程是（   ） A． B． C． D． 3.（2024浙江·模拟预测）若是关于x的一元一次方程，则m等于 ． ►题型02 解一元一次方程 1.（2024·海南·中考真题）若代数式的值为5，则x等于（    ） A．8 B． C．2 D． 2.（2023·海南·中考真题）若代数式的值为7，则x等于（    ） A．9 B． C．5 D． 3.（2024·上海·中考真题）已知，则 ． ►题型03 二元一次方程(组)的概念 1.（2024·河北沧州·一模）已知关于x、y的方程是二元一次方程，则的值为（    ） A．3 B． C．1 D． 2．（2023九年级·全国·专题练习）已知实数x，y满足2x-3y=4，并且x≥-1，y≤2，则x-y的最大值是（　　） A．1 B． C． D．3 ►题型04 解二元一次方程组 1.（2024·山东枣庄·一模）已知x，y满足方程组，则无论m取何值，x，y恒有关系式是（   ） A． B． C． D． 2.（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2024·江苏宿迁·中考真题）若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于x、y的方程组的解是 ． 4.（2024·浙江·中考真题）解方程组： 5.（2024·广西·中考真题）解方程组： 解二元一次方程组的方法选择： 1)当方程组中某一个未知数的系数是1或者-1时，选用代入消元法； 2)当方程组中某一个方程的常数项为0时，选用代入消元法； 3)当方程组中同一个未知数的系数相同或互为相反数时，选用加减消元法； 4)当两个方程中同一个未知数的系数成整数倍关系时，选用加减消元法． ►题型05 一次方程(組)的错解复原问题 1．（2023·陕西西安·模拟）甲、乙两人都解方程组，甲看错a解得，乙看错b解得，则方程组正确的解是 ． 2.（2023·广西柳州·二模）下面是小亮解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步：由①得， ③； 第二步：将③代入②，得 第三步：解得 第四步：将代入③，解得； 第五步：所以原方程组的解为 任务一：小亮解方程组用的方法是________消元法．（填“代入”或“加减”）； 任务二：小亮解方程组的过程，从第________步开始出现错误，错误的原因是________． 任务三：请写出方程组正确的解答过程． ►题型06 己知一次方程(组)的解的情况求参数 1.（2024·河北沧州·模拟预测）若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2.（2024·山东临沂·模拟预测）关于x，y的方程组的解中x与y的和小于5，则k的取值范围为（　　） A． B． C． D． 3.（2023·陕西咸阳·模拟）若关于、的方程组的解满足，则的值为（   ） A． B． C． D．不能确定 4.（2024·四川南充·一模）已知关于的方程组中，与互为相反数，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 5.（2024·广东广州·二模）关于x，y 的方程组 的解满足，求 的值． ►题型07 方程(组)相同解问题 1．（2024·湖南长沙·一模）已知方程组和方程组有相同的解，求，的值． 2．（2024·广东江门·一模）已知方程组与有相同的解． (1)求m和n值， (2)已知的两边，的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，第三边的长为5，求的面积． 3．（2023·湖北荆门·模拟）已知方程组与方程组解相同． (1)求a，b的值 (2)求的值． 4．（2023·吉林·一模）已知关于，的方程组与的解相同． (1)求这个相同的解； (2)求，的值． ►题型08 解三元一次方程组 1．（2024山东威海·模拟预测）方程组的解使代数式的值为，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 2．（2024·上海·模拟预测）已知方程组，则的值为 3.（2024·江苏南京·模拟）已知，则 ． 命题点二 一次方程（组）的应用 ►题型01 配套问题 1.（2023·四川巴中·中考真题）某学校课后兴趣小组在开展手工制作活动中，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为（    ） A．6 B．8 C．12 D．16 2.（2024·山西长治·模拟预测）某木材加工厂制作桌子的车间有14名工人，每名工人每小时可以加工10张桌面或30条桌腿．1张桌面需要配4条桌腿，为使每小时加工的桌面和桌腿刚好配套，该车间应安排 名工人加工桌腿． 3．（2024·贵州贵阳·二模）某车间有20名工人，每人每天可以生产600个螺母或900个螺丝．一个螺丝需要配两个螺母，为使每天生产的螺丝与螺母刚好配套，设安排名工人生产螺母，根据题意可列方程为 ． 4．（2024·江苏连云港·模拟预测）某家具厂有名工人，加工某种由一个桌面和四条桌腿的桌子，工人每天每人可以加工个桌面或个桌腿．怎么分配加工桌面和桌腿的人数，才能使每天生产的桌面和桌腿配套． ►题型02 方案选择问题 1．（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某校为物理兴趣小组的同学购买了一根长度为的导线，将其全部截成和两种长度的导线用于实验操作（每种长度的导线至少一根），则截取方案共有（    ） A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 2．（2024·甘肃兰州·模拟预测）某中学组织学生春游，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满，已知45座客车每日每辆租金为220元，60座客车每日每辆租金为300元．试问： (1)春游学生共多少人？原计划45座客车多少辆？ (2)若租用同一种车，要使每位同学都有座位，应该怎样租用才合算？ 3．（2023·云南临沧·一模）某校为弘扬传统文化，让更多的学生体验诗歌之美，决定为校图书馆购买《唐诗》《宋词》共本已知《唐诗》的售价为元本，《宋词》的售价为元本．设该校购买《唐诗》本，购买两种书所需的总费用为元． (1)求与之间的函数表达式； (2)若购买《唐诗》的数量等于《宋词》的倍，求此时的购买方案及购买总费用． ►题型03 销售问题 1．（2024·广东·模拟预测）为助力环保事业，某企业先将该月销售的A 款产品所有营收的捐给中国环保基金会，后同样再次捐赠该月销售的B款产品所有营收的，已知该月销售A、B两款产品共1000个，A款产品每个售价为100元，B款产品每个售价为120元，设该月销售A款产品x个． (1)该企业第一次捐赠 元，第二次捐赠 元；(用含x的式子表示) (2)该企业两次共捐赠48000元，那么该企业月销售A、B两款产品各多少个？ 2．（2024·广东·模拟预测）每年月份，某商家都会在线上平台开设的网店销售荔枝和龙眼两种水果．下表是5月份某个星期两种水果的销售信息（荔枝箱，龙眼箱）． 商品 荔枝 龙眼 成本/(元/箱) 30 40 售价/(元/箱) 48 60 这个星期网店销售荔枝和龙眼共，获利9600元，求这个星期网店销售荔枝和龙眼各多少箱． 3．（2024·湖北·模拟预测）学校七年级为了开展球类兴趣小组，需要购买一批足球和篮球．若购买4个篮球和3个足球需花费530元，若购买1个篮球和6个足球需花费500元．求篮球和足球的单价各是多少元？ ►题型04 几何问题 1．（2023·山东·中考真题）常言道：失之毫厘，谬以千里．当人们向太空发射火箭或者描述星际位置时，需要非常准确的数据．的角真的很小．把整个圆等分成360份，每份这样的弧所对的圆心角的度数是．．若一个等腰三角形的腰长为1千米，底边长为4.848毫米，则其顶角的度数就是．太阳到地球的平均距离大约为千米．若以太阳到地球的平均距离为腰长，则顶角为的等腰三角形底边长为（　　） A．24.24千米 B．72.72千米 C．242.4千米 D．727.2千米 2.（2024·贵州贵阳·一模）某长方形山水画的周长是，长和宽之差为．这幅山水画的长与宽分别是多少？若设这幅山水画的长为，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·北京·二模）如图，小雯家客厅的电视背景墙是由10块相同的小长方形墙砖砌成的大长方形，已知电视背景墙的高度为，求每块小长方形墙砖的长和宽．    ►题型05 行程问题 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）甲、乙二人都以不变的速度在环形跑道上跑步，如果同时同地出发，相向而行，每隔相遇一次；如果同向而行，每隔相遇一次．则（   ） A．甲每分跑圈，乙每分跑圈 B．甲每分跑圈，乙每分跑圈或甲每分跑圈，乙每分跑圈 C．甲每分跑圈，乙每分跑圈 D．甲每分跑圈，乙每分跑圈或甲每分跑圈，乙每分跑圈 2．（2024·四川成都·模拟预测）从甲地到乙地的路有一段上坡，一段平路，如果保持上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需要，从乙地到甲地需．则从甲到乙地的全程是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏无锡·中考真题）《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题（凫：野鸭），大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要9天．如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相遇？设经过天相遇，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 4.（2024·江苏扬州·中考真题）《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，书中第八章内容“方程”里记载了一个有趣的追及问题，可理解为：速度快的人每分钟走米，速度慢的人每分钟走米，现在速度慢的人先走米，速度快的人去追他．问速度快的人追上他需要 分钟． ►题型06 古代问题 1．（2024·广西·中考真题）《九章算术》是我国古代重要的数学著作，其中记载了一个问题，大致意思为：现有田出租，第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．三年共得100钱．问：出租的田有多少亩？设出租的田有x亩，可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川宜宾·中考真题）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，问快马几天可追上慢马？则快马追上慢马的天数是（    ） A．5天 B．10天 C．15天 D．20天 3．（2024·山东日照·中考真题）我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”设绳长x尺，竿长y尺，根据题意得（    ）（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托尺） A． B． C． D． 4.（2024·江苏徐州·中考真题）中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题；“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？请用二元一次方程组解答上述问题． ►题型07 图表问题 1．（2023·山东德州·一模）幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在的方格中，如果满足每行、每列，每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图2的主格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则的值为（    ） A．0 B．1 C．3 D．6 2．（2024·江苏南通·一模）图1是我国古代传说中的洛书，图2是其数字表示．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．如图3是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，的值等于 ． 3.（2024·河北唐山·二模）如图是九宫格，在每个格子中填上一个数（图中没有全部标出）使得每行、每列及对角线上三个数的和都相等，则 ， ． 4.（2023·河北唐山·模拟预测）某班数学课上采用小组积分制记录同学们回答问题情况，上课前每组有20分的基本分，积分规则如下：①答错一次减x分；②答对一次加y分．下表是某堂课上记录的两个组得分情况： 第一组 第二组 答错次数 1 2 答对次数 7 9 最终分数 40 45 (1)求x，y的值； (2)如果第三组答错3次，最终分数是41，求出第三组答对多少次？ ►题型08 工程问题 1．（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）某工程甲单独完成要25天，乙单独完成要20天．若乙先单独干10天，剩下的由甲单独完成，设甲、乙一共用x天完成，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山西·模拟预测）年月日，“世界水日”、“中国水周”山西省宣传活动在太原启动，本次活动，旨在调动全社会各方力量团结治水兴水，吸引并推动社会公众关心支持水利事业为贯彻落实本次活动精神，太原市现计划修一条水渠便于引水用水．已知，甲工程队活单独修需天完成，乙工程队单独完成需要的天数比甲工程队单独完成天数的少天． (1)乙工程队单独完成需要多少天？ (2)若甲先单独修天，之后甲乙合作修完这条水渠，求甲乙还需合作几天才能修完这条水渠？ 3．（2024·陕西·中考真题）星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除．根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需；若爸爸单独完成，需．当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成剩余的打扫任务．小峰和爸爸这次一共打扫了，求这次小峰打扫了多长时间． 4．（2024·宁夏银川·二模）黄河是母亲河，为打造黄河的风光带，现有一段长为180米的河道整治任务由A、B两工程队先后接力完成．A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用时20天． (1)根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下： 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数x、y表示的意义，然后在方框内补全甲、乙两名同学所列的方程组： 甲：x表示________，y表示________；乙：x表示________，y表示________； (2)求A、B两工程队分别整治河道多少米．（写出完整的解答过程） 5．（2024·重庆·二模）列方程（组）解应用题： 为支持农业现代化建设，甲、乙两机械生产公司接受3600台微耕机的生产任务．已知甲公司每天生产微耕机的台数是乙公司每天生产微耕机台数的． (1)若甲公司生产40天，乙公司生产30天，则恰好完成生产任务．问乙公司每天生产多少台微耕机？ (2)由于时间紧任务重，甲、乙两公司每天生产微耕机的台数均在原来的基础上提高了，甲、乙两公司各完成总生产任务的一半，甲公司完成任务所需要的时间比乙公司完成任务的时间少5天．问乙公司现在每天生产多少台微耕机？ 基础巩固 1．若a，b是有理数，关于x的方程有至少两个不同的解，则另一个关于x的方程的解的情况是（   ） A．有至少两个不同的解 B．有无限多个解 C．只有一个解 D．无解 2．已知是以x为未知数的一元一次方程，且，那么a的值为（　　） A．1 B．或1 C．5 D．或5 3．若方程的解与关于x的方程的解相同，则k的值为（   ） A． B． C． D． 4．学习情境·同解问题如果方程的解也是关于的方程的解，那么的值是（   ） A．7 B．5 C．3 D．1 5．《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中《盈不足》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出钱，会多出钱；每人出钱，又差钱．问人数、物价各多少？”设人数为人，物价为钱，根据题意，下面所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 6．已知与是同类项，则x和y的值分别为（   ） A．5和1 B．1和5 C．和5 D．和1 7．若关于、的方程组的解为，其中的值被盖住了，不过仍能求出，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．在矩形中，放入六个形状、大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，设小长方形长、宽分别为，，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 9．若关于、的二元一次方程组的解是，则关于，的二元一次方程组的解是（   ） A． B． C．． D． 10．已知：方程的解是；方程的解是；方程的解是（由得出）．则方程的解是 ． 11．已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为 ． 12．已知方程是关于x的一元一次方程，若此方程的解为正整数，且m为整数，则 ． 13．在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如在中．“…”代表按规律不断求和，设．则有，解得，故⋯类似地的结果为 ． 14．已知，均为完全平方数，则 15．若方程组的解x、y满足，则a的取值范围为 ． 16．《九章算术》中的“方程”一章中讲述了算筹图，如图1，图2所示，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x、y的系数与相应的常数项，图1表示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来为．类似地，图2所示的算筹图我们用方程组可表述为 ． 17．新趋势·新定义  对于未知数为，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”．若方程组的解与都是正整数且具有“邻好关系”，则正整数的值为 ． 18．根据以下素材，探索未完成的任务． 宁波市居民住宅生活用水阶梯式价格计费探索卡 素材1 生命之花在呵护下绽放，生命之水因节约而永流．为增强公民节水意识，宁波市水费采用“阶梯收费”，另外还需缴纳污水处理费为1元/吨． 素材2 宁波市居民住宅生活用水阶梯式价格计费方式如下： 第一阶梯：用水量不超过17吨的部分，水费为2元/吨． 第二阶梯：用水量超过17吨不超过30吨的部分，水费为4元/吨． 第三阶梯：用水量超过30吨的部分，水费为10元/吨． 问题解决 任务1 确定污水处理费 已知陈老师家9月份所缴水费中，自来水费为66元，求陈老师家9月份需缴污水处理费多少元？ 任务2 确定总费用 （水费+污水处理费） 若陈老师家10月份用水35吨，则应缴费多少元？ 若陈老师家10月份用水吨，应缴费多少元？ 19．解方程：． 20．解方程组： (1)； (2)． 21．某货运电梯限重标志显示，载重总质量禁止超过．现要用此货运电梯装运一批设备，每套设备由1个甲部件和2个乙部件组成．已知2个甲部件和1个乙部件总质量为，3个甲部件和2个乙部件质量相同． (1)求1个甲部件和1个乙部件的质量各是多少？ (2)每次装运都需要两名工人装卸，设备需要成套装运，现已知两名装卸工人质量分别为和，则货运电梯一次最多可装运多少套设备？ 22．已知方程组的解满足为正数，为非负数． (1)求的取值范围； (2)若不等式的解为．求的整数值． 能力提升 1．九宫格是一款数学游戏，起源于河图洛书，河图与洛书是我国古代流传下来的两幅神秘图案，历来被认为是河洛文化的滥觞，中华文明的源头．在如图所示的九宫格中，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，则下列说法（   ）． ①三个空白方格中的数字之和等于； ②n是这九个数字中最小的数． A．①错误，②正确 B．①正确，②错误 C．①正确，②正确 D．①错误，②错误 2．甲、乙、丙、丁、戊五名同学围成一圈在讲台上表演游戏．游戏的规则是：每个同学心中想一个数，并将所想的数报给左右两边和自己相邻的同学，每位同学将其他两个同学报来的数求和后说出结果，最终得到的结果如图所示．请大家猜猜甲同学心中所想的数是多少（   ） A．2 B．1 C． D． 3．关于x的三次三项式（其中a，b，c，d均为常数），关于x的二次三项式（e，f均为非零常数），下列说法有几个正确（   ） ①当的结果为关于x的三次三项式时，则； ②若二次三项式能分解成，则； ③当多项式A与B的乘积中不含项时，则； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．若实数，，满足，则代数式的值可以是（   ） A． B． C． D． 5．已知整式，，其中 为自然数，为正整数，且满足：，记，．则下列说法：①当时，若，则；②当时，满足条件的整式共有10个；③不存在任何一个，使得；其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．王老师购进159个糖果，奖励期末考试最优异的三个小组，期末考试第一名的小组每人获得13颗糖，第二名的小组每人获得12颗糖，第三名的小组每人获得11颗糖，则这三个小组学生的总人数为 ．（每个组人数大于1人） 7．已知关于的方程组，为负数，为非正数．若为整数，则当 时，不等式的解集为． 8．材料一：对于一个三位正整数，若百位数字与个位数字之和减去十位数字的差为6，则称这个三位数为“中顺数”，例如：237，因为，所以237是“中顺数”； 材料二：若（，，，且a，b，c均为整数），记． 已知，是两个不同的“中顺数”，且能被13整除，则 ．满足条件最小的 ． 9．如图，长方形中，，P，Q两动点同时出发，分别沿着长方形的边长运动，P点从B点出发，顺时针旋转一圈，到达B点后停止运动，Q点的运动路线为，P，Q点的运动速度分别为/秒，/秒，当一个动点到达终点时，另一个动点也同时停止运动．设两动点运动的时间为t秒，要使和的面积相等，请写出所有满足条件的t值的 ． 10．如图1，点C在线段上，图中有三条线段，分别为线段和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“智慧点”． (1)线段的中点______这条线段的“智慧点”（填“是”或“不是”）； (2)若线段，点C为线段的“智慧点”，则______； (3)如图2，已知，，动点P从点A出发，以的速度沿AB向点B运动，点Q从点B出发，以的速度沿向点A运动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设运动的时间为t秒，若A、P、Q三点中，一点恰好是以另外两点为线段的“智慧点”，求出所有可能的t值． 11．设三角形三边长为a、b、c，且三边长满足方程组，试求的值． 12．我市计划将一批爱心物资运往灾区，这一批爱心物资为甲种货物吨和乙种货物吨，准备租用A、B两种型号的汽车共辆，现有一汽和二汽两家汽车公司竞争这次运输任务，他们均有足够量的A、B型汽车，收费标准如表： 一汽 二汽 A型每辆费用（元） B型每辆费用（元） (1)已知二汽公司每辆B型汽车的费用比每辆A型汽车的费用多元，且在二汽公司租4辆A型汽车和5辆B型汽车的总费用为元．求表格中，的值； (2)已知每辆A型汽车最多可以装甲种货物7吨和乙种货物4吨，每辆B型汽车最多可装甲种货物5吨和乙种货物8吨，按此要求安排同一家汽车公司的A、B两种型号汽车将这批物质一次性运往灾区，请问共有多少种租车方案？从运费最少的角度考虑，怎选择哪家公司来运输这批货物？请说明理由． $$第二章 方程（组）与不等式（组） 第05讲 一次方程（组）及其应用（3~8分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 一次方程（组）（高频考点） 考点二 一次方程（组）的应用（高频考点） 04题型精研·考向洞悉 命题点一 一次方程（组） ►题型01 判断一元一次方程 ►题型02 解一元一次方程 ►题型03 二元一次方程(组)的概念 ►题型04 解二元一次方程组 ►题型05 一次方程（组）的错解复原问题 ►题型06 己知一次方程（组）的解的情况求参数 ►题型07 方程（组）相同解问题 ►题型08 解三元一次方程组 命题点二 一次方程（组）的应用 ►题型01 配套问题 ►题型02方案选择问题 ►题型03销售问题 ►题型04几何问题 ►题型05行程问题 ►题型06古代问题 ►题型07图表问题 ►题型08工程问题 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 一次方程（组） · 能解一元一次方程； 掌握消元法，能解二元一次方程组； · 能解简单的三元一次方程组[选学] 10年4考 中考中，对于这两个方程的解法及其应用一直都有考察，其中对于两个方程的解法以及注意事项是必须掌握的，而在其应用上也是中考代数部分结合型较强的一类考点. 一次方程（组）的应用 · 利用一次方程求解实际问题 近10年连续考查 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 一次方程（组） （高频考点） 一元一次方程的概念：只含有一个未知数，且未知数的次数都是1，这样的整式方程叫一元一次方程. 一元一次方程标准形式：ax+b=0（x为未知数，a、b是常数且a≠0） 解一元一次方程的基本步骤： 1. 一元一次方程中未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数. 2. 一元一次方程只含有一个未知数,未知数的次数都为1. 3. 解方程的五个步骤有些可能用不到，有些可能重复使用，也不一定有固定的顺序，要根据方程的特点灵活运用． 4. 对于分母中含有小数的一元一次方程．当分母中含有一位小数时，含分母项的分子、分母都乘10，化分母中的小数为整数；当分母中含有两位小数时，含分母项的分子、分母都乘100，化分母中的小数为整数． 5.二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一对数值就是它的解. 6.在二元一次方程中，给定其中一个未知数的值，就可以通过解一元一次方程的方法求出另一个未知数的值. 7.二元一次方程组的“二元”和“一次”都是针对整个方程组而言的，组成方程组的各个方程不必同时含有两个未知数，这两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个一次方程必须只含有两个未知数. 8.解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程． 1．（2023·湖南永州·中考真题）关于x的一元一次方程的解为，则m的值为（    ） A．3 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】把代入再进行求解即可． 【详解】解：把代入得：， 解得：． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，以及解一元一次方程，解题的关键是掌握使一元一次方程左右两边相等的未知数的值是一元一次方程的解，以及解一元一次方程的方法和步骤． 2．（2023·江苏无锡·中考真题）下列4组数中，不是二元一次方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【提示】将选项中的的值分别代入方程的左边，进而即可求解． 【详解】解：A、当时，，则是二元一次方程的解，不合题意；     B、当时，，则是二元一次方程的解    ，不合题意； C、 当时，，则是二元一次方程的解，不合题意； D、当时，，则不是二元一次方程的解，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解的定义，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． 3．（2023·湖南常德·中考真题）解方程组： 【答案】 【分析】方程组利用加减消元法求解即可． 【详解】解：将①得：③ 得： 将代入①得： 所以是原方程组的解． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数． 考点二 二次根式的运算（高频考点） 用方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 1．（2024·湖南长沙·中考真题）为庆祝中国改革开放46周年，某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动，现场参与者均为在校中学生，其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”，该活动项目主持人要求参与者从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取一个数字，先乘以10，再加上4.6，将此时的运算结果再乘以10，然后加上1978，最后减去参与者的出生年份（注：出生年份是一个四位数，比如2010年对应的四位数是2010），得到最终的运算结果．只要参与者报出最终的运算结果，主持人立马就知道参与者的出生年份．若某位参与者报出的最终的运算结果是915，则这位参与者的出生年份是 ． 【答案】2009 【分析】本题考查二元一次方程的解，理解题意是解答的关键．设这位参与者的出生年份是x，从九个数字中任取一个数字为a，根据题意列二元一次方程，整理得，根据a的取值得到x的9种可能，结合实际即可求解． 【详解】解：设这位参与者的出生年份是x，从九个数字中任取一个数字为a， 根据题意，得， 整理，得 ∴， ∵a是从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取一个数字， ∴x的值可能为1209，1309，1409，1509，1609，1709，1809，1909，2009， ∵是为庆祝中国改革开放46周年，且参与者均为在校中学生， ∴x只能是2009， 故答案为：2009． 2．（2023·湖南·中考真题）我国航天事业发展迅速，2023年5月30日9时31分，神舟十六号载人飞船成功发射，某玩具店抓住商机，先购进了1000件相关航天模型玩具进行试销，进价为50元/件． (1)设每件玩具售价为x元，全部售完的利润为y元．求利润y（元）关于售价x（元/件）的函数表达式； (2)当售价定为60元/件时，该玩具销售火爆，该店继续购进一批该种航天模型玩具，并从中拿出这两批玩具销售利润的20%用于支持某航模兴趣小组开展活动，在成功销售完毕后，资助经费恰好10000元，请问该商店继续购进了多少件航天模型玩具？ 【答案】(1)； (2)该商店继续购进了件航天模型玩具． 【分析】（1）根据总利润=单件利润×销售量，可求得利润y（元）关于售价x（元/件）的函数表达式； （2）设商店继续购进了m件航天模型玩具，根据“销售利润的20%恰好10000元”列一元一次方程，解之即可． 【详解】（1）解：因每件玩具售价为x元， 依题意得； （2）解：设商店继续购进了m件航天模型玩具，则总共有件航天模型玩具， 依题意得：， 解得， 答：该商店继续购进了件航天模型玩具． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程或函数解析式是解题的关键． 3．（2024·海南·中考真题）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商店售卖某品牌瘦肉粽和五花肉粽．请依据以下对话，求促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价． 【答案】促销活动前每个瘦肉粽的售价为15元，则促销活动前每个五花肉粽的售价10元． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设促销活动前每个瘦肉粽的售价为元，则促销活动前每个五花肉粽的售价元，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设促销活动前每个瘦肉粽的售价为元，则促销活动前每个五花肉粽的售价元， 依题意得， 解得， ， 答：促销活动前每个瘦肉粽的售价为15元，则促销活动前每个五花肉粽的售价10元． 04题型精研·考向洞悉 命题点一 一次方程（组） ►题型01 判断-元一次方程 1．（2024吉林·模拟预测）关于x的方程是一元一次方程，则m的值是（   ） A．2 B．0 C．1 D．0或2 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，绝对值，正确掌握一元一次方程的定义，绝对值的定义是解题的关键． 根据一元一次方程的定义得到，，进而求解即可． 【详解】∵关于x的方程是一元一次方程， ∴， ∴，或2 ∴． 故选：B． 2．（2024内蒙古·模拟预测）下列方程中，一元一次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的判断，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．由一元一次方程的概念可知：①含有一个未知数，②未知数的次数为1，③整式方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A.方程整理后为，不含未知数，不符合一元一次方程的定义，不符合题意； B. ，方程中含有2个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； C. ，未知数次数为2，不是一元一次方程，不符合题意； D. 是一元一次方程，符合题意； 故选：D． 3.（2024浙江·模拟预测）若是关于x的一元一次方程，则m等于 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了一元一次方程，绝对值，根据题意可得：，再解m即可． 【详解】解：根据题意可知，是关于x的一元一次方程， ∴， ， 或， 解得：或， 又∵， 解得：， 故． 故答案为：1． ►题型02 解一元一次方程 1.（2024·海南·中考真题）若代数式的值为5，则x等于（    ） A．8 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据题意可知，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵代数式的值为5， ∴， 解得， 故选：A． 2.（2023·海南·中考真题）若代数式的值为7，则x等于（    ） A．9 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】根据题意得出，然后解方程即可． 【详解】解：∵代数式的值为7， ∴， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意得出． 3.（2024·上海·中考真题）已知，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．由二次根式被开方数大于0可知，则可得出，求出x即可． 【详解】解：根据题意可知：， ∴， 解得：， 故答案为：1． ►题型03 二元一次方程(组)的概念 1.（2024·河北沧州·一模）已知关于x、y的方程是二元一次方程，则的值为（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义可得，的指数都是，从而可得关于，的值，代入式子即可求解，理解二元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是二元一次方程， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：A． 2．（2023九年级·全国·专题练习）已知实数x，y满足2x-3y=4，并且x≥-1，y≤2，则x-y的最大值是（　　） A．1 B． C． D．3 【答案】D 【详解】∵2x-3y=2x-2y-y=2（x-y）-y=4， ∴2（x-y）=y+4，∴x-y=． ∵y≤2，∴x-y==3， 即x-y的最大值是3． ►题型04 解二元一次方程组 1.（2024·山东枣庄·一模）已知x，y满足方程组，则无论m取何值，x，y恒有关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，能理解二元一次方程组的解的定义是解此题的关键．把②代入①，得：，整理后即可得出答案． 【详解】解：， 把②代入①，得：， 即， 故选：C． 2.（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的特征，解二元一次方程组等知识，联立方程组 ，求出点P的坐标即可判断． 【详解】解∶ 联立方程组， 解得， ∴P的坐标为， ∴点P在第四象限， 故选∶D． 3．（2024·江苏宿迁·中考真题）若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于x、y的方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，把，代入，得到，整体代入中，得到方程组，加减消元法解方程组即可． 【详解】解：把代入，得：， ∵， ∴，即：， ，得：， ∵方程组有解， ∴， ∴， 把代入①，得：，解得：； ∴方程组的解集为：； 故答案为：． 4.（2024·浙江·中考真题）解方程组： 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用①×3＋②得，，解得，再把代入①求出即可. 【详解】解： ①×3＋②得， 解得， 把代入①得， 解得 ∴ 5.（2024·广西·中考真题）解方程组： 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，直接利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：， 得：， 解得：， 把代入①得： ， ∴方程组的解为：. 解二元一次方程组的方法选择： 1)当方程组中某一个未知数的系数是1或者-1时，选用代入消元法； 2)当方程组中某一个方程的常数项为0时，选用代入消元法； 3)当方程组中同一个未知数的系数相同或互为相反数时，选用加减消元法； 4)当两个方程中同一个未知数的系数成整数倍关系时，选用加减消元法． ►题型05 一次方程(組)的错解复原问题 1．（2023·陕西西安·模拟）甲、乙两人都解方程组，甲看错a解得，乙看错b解得，则方程组正确的解是 ． 【答案】 【分析】根据甲看错则求得的解满足，乙看错了则求得的解满足，据此求出、的值进而得到原方程组，再利用代入消元法求解即可． 【详解】解：∵甲、乙两人在解方程组时， 甲看错了方程①中的，解得， ∴，解得， ∵乙看错了方程②中的，解得， ∴，解得， ∴原方程组为， 由①得：， 把③代入②得，解得， 将代入③得， ∴方程组的解为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组错解复原问题，正确理解题意求出、的值是解题的关键． 2.（2023·广西柳州·二模）下面是小亮解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步：由①得， ③； 第二步：将③代入②，得 第三步：解得 第四步：将代入③，解得； 第五步：所以原方程组的解为 任务一：小亮解方程组用的方法是________消元法．（填“代入”或“加减”）； 任务二：小亮解方程组的过程，从第________步开始出现错误，错误的原因是________． 任务三：请写出方程组正确的解答过程． 【答案】任务一：代入；任务二：二，整体代入未添加括号（言之成理即可）；任务三：过程见解析． 【分析】根据二元一次方程的解法分别以各个任务进行判断整理即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得，小亮用的方法是代入消元； 但是从第二步开始错误，错误的原因：整体代入未添加括号； 正确的解答过程：由①得 ③ 将③代入②得 解得，代入③，解得 ∴原方程组的解为： 【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程的解法：一、代入消元；二、加减消元是解题的关键． ►题型06 己知一次方程(组)的解的情况求参数 1.（2024·河北沧州·模拟预测）若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，根据方程组的解满足知道将两方程相减是解题的关键．将方程组中两个方程相减可得，根据可得关于k的不等式，继而知k的范围． 【详解】解：， 得：， ∵， ∴， 解得：， 故选：C． 2.（2024·山东临沂·模拟预测）关于x，y的方程组的解中x与y的和小于5，则k的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据二元一次方程组的解的情况求参数、解一元一次不等式，把两个方程相减，可得，进而可得，再求解即可． 【详解】解：， 由得，， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 3.（2023·陕西咸阳·模拟）若关于、的方程组的解满足，则的值为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，解题关键在于利用等式性质变形．将方程组两方程相减表示出，即可求出的值． 【详解】解：， 得：， 即， ， ， ， 解得：， 故选：A． 4.（2024·四川南充·一模）已知关于的方程组中，与互为相反数，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，解题的关键是熟知解二元一次方程组的步骤．由方程组得解互为相反数可知，代入方程组可求出m的值． 【详解】解： 与互为相反数， ， 代入方程组得，， 由得：， 解得：， 故答案为：B． 5.（2024·广东广州·二模）关于x，y 的方程组 的解满足，求 的值． 【答案】8 【分析】本题考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，同底数幂除法，幂的乘方． 将方程组中两个方程相减，得到，即，由求出，再根据幂的乘方与同底数幂的除法即可求解． 【详解】解：， ，得， ∴， ∵， ∴， ∴． ►题型07 方程(组)相同解问题 1．（2024·湖南长沙·一模）已知方程组和方程组有相同的解，求，的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法和步骤是解题关键．利用加减消元法解方程组得到的值，再把的值代入方程组求解即可得到答案． 【详解】解：根据题意，可有， ①②，可得 ， 解得 ， 把代入①，可得， 解得， ∴该方程组的解为， ∵方程组和方程组有相同的解， ∴，． 2．（2024·广东江门·一模）已知方程组与有相同的解． (1)求m和n值， (2)已知的两边，的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，第三边的长为5，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了同解方程组，解一元二次方程，解二元一次方程组，勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握同解方程组的定义，求出m、n的值． （1）解方程组得，根据同解方程组，得出方程组的解为，代入求出m、n的值即可； （2）把代入得出，解一元二次方程得出的两边长分别为3，4，根据勾股定理逆定理得出为直角三角形，求出结果即可． 【详解】（1）解：由方程组得：， ∵方程组与有相同的解， ∴方程组的解为， ∴， 解得：； （2）解：把代入关于x的一元二次方程得：， 解得：，， ∴的两边长分别为3，4， ∵第三边的长为5， 又∵， ∴为直角三角形， ∴． 3．（2023·湖北荆门·模拟）已知方程组与方程组解相同． (1)求a，b的值 (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】此题考查同解方程组问题，以及代数式求值，解题关键是根据两个方程组的解相同，可列出新的方程组求解．再把x和y的值代入求出a和b的值． （1）因为两个方程组有相同的解，故只需把两个方程组中不含字母系数的方程和含有字母系数的方程分别组成方程组，求出未知数的值，再代入另一组方程组即可； （2）根据（1）的结论代入代数式求值即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 将代入， 得：， 解得：， （2）解： 4．（2023·吉林·一模）已知关于，的方程组与的解相同． (1)求这个相同的解； (2)求，的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查的是同解方程组的含义与解法，熟练的建立新的方程组是解本题的关键； （1）由题意可得方程组，再整理为，再利用加减消元法解方程组即可； （2）将代入方程和中，再建立方程组解题即可； 【详解】（1）解：由题意可得：， 整理得：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的公共解为：； （2）解：将代入方程和中， 得， 得：， 把代入④得：， 解得． ►题型08 解三元一次方程组 1．（2024山东威海·模拟预测）方程组的解使代数式的值为，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，解题的关键是掌握消元的方法并熟练运用． 用加减消元法求解该三元一次方程组，再将方程组的解代入即可求出k． 【详解】解：， 得：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 把代入③得：， 解得：， ∴原方程组的解为， 把代入得：， 解得：． 故选：C． 2．（2024·上海·模拟预测）已知方程组，则的值为 【答案】1 【分析】本题考查了化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 将z看做已知数表示出x与y，代入原式计算即可得到结果． 【详解】解：方程组变形得： ①×2+②得：，即， 将代入①得，， 则． 故答案为：1． 3.（2024·江苏南京·模拟）已知，则 ． 【答案】1 【分析】该题主要考查了三元一次方程组，解题的关键是加减消元． 根据算出，再根据算出，代入即可求解； 【详解】解：， 得：，即， 得：，即， ∴， 故答案为：1． 命题点二 一次方程（组）的应用 ►题型01 配套问题 1.（2023·四川巴中·中考真题）某学校课后兴趣小组在开展手工制作活动中，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为（    ） A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【分析】设用x张卡纸做侧面，用y张卡纸做底面，则做出侧面的数量为2x，底面的数量为3y，然后根据等量关系：底面数量=侧面数量的2倍，列出方程组即可． 【详解】解：设用x张白卡纸做侧面，用y张白卡纸做底面， 由题意得，． 解得． ， 答：这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为12个． 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组．还需注意本题的等量关系是：底面数量=侧面数量的2倍． 2.（2024·山西长治·模拟预测）某木材加工厂制作桌子的车间有14名工人，每名工人每小时可以加工10张桌面或30条桌腿．1张桌面需要配4条桌腿，为使每小时加工的桌面和桌腿刚好配套，该车间应安排 名工人加工桌腿． 【答案】8 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设该车间应安排名工人加工桌腿，则安排名工人加工桌面，根据每小时加工桌腿的总数量等于加工桌面总数量的4倍，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】设该车间应安排名工人加工桌腿，则安排名工人加工桌面， 根据题意得：， 解得：， 该车间应安排8名工人加工桌腿． 故答案为：8． 3．（2024·贵州贵阳·二模）某车间有20名工人，每人每天可以生产600个螺母或900个螺丝．一个螺丝需要配两个螺母，为使每天生产的螺丝与螺母刚好配套，设安排名工人生产螺母，根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列一元一次方程，设安排名工人生产螺母，则名工人生产螺丝，根据题意列方程即可．掌握列方程解应用题的关键是建立等量关系． 【详解】解：设安排名工人生产螺母，则名工人生产螺丝， 由题意得， 故答案为：． 4．（2024·江苏连云港·模拟预测）某家具厂有名工人，加工某种由一个桌面和四条桌腿的桌子，工人每天每人可以加工个桌面或个桌腿．怎么分配加工桌面和桌腿的人数，才能使每天生产的桌面和桌腿配套． 【答案】应分配人生产桌面，人生产桌腿． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设应分配人生产桌面，则人生产桌腿， 根据题意列出方程即可求解，正确列出方程是解题的关键． 【详解】解：设应分配人生产桌面，则人生产桌腿， 由题意得，， 解得， ， 答：应分配人生产桌面，人生产桌腿． ►题型02 方案选择问题 1．（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某校为物理兴趣小组的同学购买了一根长度为的导线，将其全部截成和两种长度的导线用于实验操作（每种长度的导线至少一根），则截取方案共有（    ） A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 【答案】C 【分析】设和两种长度的导线分别为根，根据题意，得出，进而根据为正整数，即可求解． 【详解】解：设和两种长度的导线分别为根，根据题意得， ， 即， ∵为正整数， ∴ 则， 故有7种方案， 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，根据题意列出方程求整数解是解题的关键． 2．（2024·甘肃兰州·模拟预测）某中学组织学生春游，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满，已知45座客车每日每辆租金为220元，60座客车每日每辆租金为300元．试问： (1)春游学生共多少人？原计划45座客车多少辆？ (2)若租用同一种车，要使每位同学都有座位，应该怎样租用才合算？ 【答案】(1)七年级共有240人，计划租45座客车5辆 (2)租4辆60座更合算 【分析】（1）设七年级人数是x人，原计划租45座客车y辆，根据租用45座客车若干辆，但有15人没有座位，用同样数量的60座客车，则多出一辆车列出方程组，解方程组即可； （2）分别算出租用同一种车时，需要的费用，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：设七年级人数是x人，原计划租45座客车y辆， 由题意得：， 解得： 所以七年级共有240人，计划租45座客车5辆； （2）解：只租45座需： (元)， 只租60座需： (元)， ， ∴租4辆60座更合算． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程． 3．（2023·云南临沧·一模）某校为弘扬传统文化，让更多的学生体验诗歌之美，决定为校图书馆购买《唐诗》《宋词》共本已知《唐诗》的售价为元本，《宋词》的售价为元本．设该校购买《唐诗》本，购买两种书所需的总费用为元． (1)求与之间的函数表达式； (2)若购买《唐诗》的数量等于《宋词》的倍，求此时的购买方案及购买总费用． 【答案】(1) (2)购买《唐诗》本，《宋词》本；5100元 【分析】本题考查一次函数及一元一次方程解应用题，读懂题意，准确求出函数关系及列出方程是解决问题的关键． （1）设该校购买《唐诗》本，购买两种书所需的总费用为元，根据题中等量关系列式即可得到答案； （2）由购买《唐诗》的数量等于《宋词》的倍，列方程求解得到，代入（1）长得函数关系式即可得到答案． 【详解】（1）解：设该校购买《唐诗》本，购买两种书所需的总费用为元，则由题意可得，， 与之间的函数表达式为； （2）解：购买《唐诗》的数量等于《宋词》的倍， ，解得， ，则， 答：此时购买方案是购买《唐诗》本，《宋词》本，购买总费用为元． ►题型03 销售问题 1．（2024·广东·模拟预测）为助力环保事业，某企业先将该月销售的A 款产品所有营收的捐给中国环保基金会，后同样再次捐赠该月销售的B款产品所有营收的，已知该月销售A、B两款产品共1000个，A款产品每个售价为100元，B款产品每个售价为120元，设该月销售A款产品x个． (1)该企业第一次捐赠 元，第二次捐赠 元；(用含x的式子表示) (2)该企业两次共捐赠48000元，那么该企业月销售A、B两款产品各多少个？ 【答案】(1)， (2)该企业月销售A、B两款产品各600个，400个． 【分析】此题考查了列代数式，一元一次方程的应用，解题的关键正确分析等量关系． （1）根据题意列式求解即可； （2）根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）（元），（元） ∴该企业第一次捐赠元，第二次捐赠（元）； （2）根据题意得， 解得 （个）． ∴该企业月销售A、B两款产品各600个，400个． 2．（2024·广东·模拟预测）每年月份，某商家都会在线上平台开设的网店销售荔枝和龙眼两种水果．下表是5月份某个星期两种水果的销售信息（荔枝箱，龙眼箱）． 商品 荔枝 龙眼 成本/(元/箱) 30 40 售价/(元/箱) 48 60 这个星期网店销售荔枝和龙眼共，获利9600元，求这个星期网店销售荔枝和龙眼各多少箱． 【答案】荔枝200箱，龙眼300箱 【分析】本题主要考查二元一次方程的实际应用．熟练掌握总利润与每箱利润和数量的关系，列出方程组，是解题的关键． 设这个星期网店销售荔枝x箱，龙眼y箱，根据“这个星期网店销售荔枝和龙眼共，获利9600元”，列出二元一次方程组，即可求解． 【详解】解：设这个星期网店销售荔枝x箱，龙眼y箱，依题意得： ， 解得：． 答：这个星期网店销售荔枝200箱，龙眼300箱． 52．（2024·广东东莞·模拟预测）某品牌新能源汽车店计划购进A，B 两种型号的新能源汽车．已知购进2辆A 种型号的新能源汽车比购进1辆B 种型号的新能源汽车多6万元；购进1辆A种型号和2辆B种型号的新能源汽车共93万元．求A，B 两种型号的新能源汽车各自的单价． 【答案】A，B 两种型号的新能源汽车各自的单价分别为21万元和36万元 【分析】本题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意，列出相应的方程是解题关键．设A种型号的新能源汽车的单价是x万元，B种型号的新能源汽车的单价是y万元，根据购进2辆A 种型号的新能源汽车比购进1辆B 种型号的新能源汽车多6万元；购进1辆A种型号和2辆B种型号的新能源汽车共93万元，列出方程求解即可． 【详解】解：设A种型号的新能源汽车的单价是x万元，根据题意得： ， 解得：， 答：A，B 两种型号的新能源汽车各自的单价分别为21万元和36万元． 3．（2024·湖北·模拟预测）学校七年级为了开展球类兴趣小组，需要购买一批足球和篮球．若购买4个篮球和3个足球需花费530元，若购买1个篮球和6个足球需花费500元．求篮球和足球的单价各是多少元？ 【答案】篮球和足球的单价各是80元，70元． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设篮球和足球的单价各是x元，y元，根据购买4个篮球和3个足球共需530元，购买1个篮球和6个足球共需500元列出方程组求解即可． 【详解】解：设篮球和足球的单价各是x元，y元， 由题意得，， 解得， 答：篮球和足球的单价各是80元，70元． ►题型04 几何问题 1．（2023·山东·中考真题）常言道：失之毫厘，谬以千里．当人们向太空发射火箭或者描述星际位置时，需要非常准确的数据．的角真的很小．把整个圆等分成360份，每份这样的弧所对的圆心角的度数是．．若一个等腰三角形的腰长为1千米，底边长为4.848毫米，则其顶角的度数就是．太阳到地球的平均距离大约为千米．若以太阳到地球的平均距离为腰长，则顶角为的等腰三角形底边长为（　　） A．24.24千米 B．72.72千米 C．242.4千米 D．727.2千米 【答案】D 【分析】设以太阳到地球的平均距离为腰长，则顶角为的等腰三角形底边长为x毫米，根据顶角相等的两等腰三角形相似，相似三角形的对应边成比例，可列出方程，求解即可． 【详解】解：设以太阳到地球的平均距离为腰长，则顶角为的等腰三角形底边长为x毫米，根据题意，得 解得： ∴等腰三角形底边长为毫米千米． 故选：D． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用．根据相似三角形判定与性质列出方程是解题的关键，注意单位换算． 2.（2024·贵州贵阳·一模）某长方形山水画的周长是，长和宽之差为．这幅山水画的长与宽分别是多少？若设这幅山水画的长为，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．根据这幅山水画的长为，可得这幅山水画的宽为，结合这个长方形操场的周长为，即可列出关于的一元一次方程． 【详解】解：这幅山水画的长为， 这幅山水画的宽为， 这幅山水画的周长是， 故选：C． 3．（2024·北京·二模）如图，小雯家客厅的电视背景墙是由10块相同的小长方形墙砖砌成的大长方形，已知电视背景墙的高度为，求每块小长方形墙砖的长和宽．    【答案】长为，宽为 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，由图可知，小长方形墙砖的长是宽的4倍，小长方形墙砖的长加宽为，设每块小长方形墙砖的长为，宽为，列出方程组求解即可． 【详解】解：设每块小长方形墙砖的长为，宽为． 由题意得， 解得 ， 答：小长方形墙砖的长为，宽为． ►题型05 行程问题 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）甲、乙二人都以不变的速度在环形跑道上跑步，如果同时同地出发，相向而行，每隔相遇一次；如果同向而行，每隔相遇一次．则（   ） A．甲每分跑圈，乙每分跑圈 B．甲每分跑圈，乙每分跑圈或甲每分跑圈，乙每分跑圈 C．甲每分跑圈，乙每分跑圈 D．甲每分跑圈，乙每分跑圈或甲每分跑圈，乙每分跑圈 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设甲的速度为，乙的速度为，环形路的长度为单位1，由题意得出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设甲的速度为，乙的速度为，环形路的长度为单位1，当甲比乙跑得快时， 由题意得， 解得， ∴甲每分跑圈，乙每分跑圈， 当乙跑得比甲快时，同理可得：甲每分跑圈，乙每分跑圈； 故选：B． 2．（2024·四川成都·模拟预测）从甲地到乙地的路有一段上坡，一段平路，如果保持上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需要，从乙地到甲地需．则从甲到乙地的全程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设从甲地到乙地的上坡长为，平路长为，根据时间等于路程除以速度建立方程组，解方程组求出的值，由此即可得． 【详解】解：设从甲地到乙地的上坡长为，平路长为，则从乙地到甲地的下坡长为，平路长为， 由题意得：， 解得， 则甲地到乙地全程是， 故选：D． 3．（2024·江苏无锡·中考真题）《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题（凫：野鸭），大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要9天．如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相遇？设经过天相遇，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，根据题意可得野鸭的速度为，大雁的速度为，设经过天相遇，则相遇时野鸭的路程+大雁的路程=总路程，据此即可列出方程． 【详解】解：设经过天相遇， 可列方程为：， 故选：A． 4.（2024·江苏扬州·中考真题）《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，书中第八章内容“方程”里记载了一个有趣的追及问题，可理解为：速度快的人每分钟走米，速度慢的人每分钟走米，现在速度慢的人先走米，速度快的人去追他．问速度快的人追上他需要 分钟． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的运用，理解数量关系，列出方程是解题的关键． 根据题意，设需要分钟追上，则速度快的人的路程等于速度慢的人的路程，由此列式求解即可． 【详解】解：根据题意，设分钟追上， ∴， 解得，， ∴速度快的人追上速度慢的人需要分钟， 故答案为： ． ►题型06 古代问题 1．（2024·广西·中考真题）《九章算术》是我国古代重要的数学著作，其中记载了一个问题，大致意思为：现有田出租，第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．三年共得100钱．问：出租的田有多少亩？设出租的田有x亩，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据“第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．三年共得100钱”列方程即可． 【详解】解：根据题意，得， 故选：B． 2．（2024·四川宜宾·中考真题）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，问快马几天可追上慢马？则快马追上慢马的天数是（    ） A．5天 B．10天 C．15天 D．20天 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设快马x天可以追上慢马，根据快马和慢马所走的路程相等建立方程，解出即可． 【详解】解：设快马x天可以追上慢马， 据题题意：， 解得：． 答：快马20天可以追上慢马． 故选：D． 3．（2024·山东日照·中考真题）我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”设绳长x尺，竿长y尺，根据题意得（    ）（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托尺） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺列方程组即可． 【详解】解：由题意得 故选A． 4.（2024·江苏徐州·中考真题）中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题；“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？请用二元一次方程组解答上述问题． 【答案】甲、乙原来各有38枚、18枚钱币 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找到等量关系列出方程是解决本题的关键． 设甲有钱x枚，乙有钱y枚，根据“甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等”列出方程组，求解即可． 【详解】解：设甲有钱x枚，乙有钱y枚，由题意，得 ， 解这个方程组，得． 答：甲、乙原来各有38枚、18枚钱币． ►题型07 图表问题 1．（2023·山东德州·一模）幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在的方格中，如果满足每行、每列，每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图2的主格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则的值为（    ） A．0 B．1 C．3 D．6 【答案】B 【分析】根据三阶幻方中的数字列方程求解即可． 【详解】解：由题意，可得， 解得， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用以及零指数幂，熟练根据三阶幻方列方程求解是解题的关键． 2．（2024·江苏南通·一模）图1是我国古代传说中的洛书，图2是其数字表示．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．如图3是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字的变化类，根据题意列出等式，即可求得答案，解答本题的关键是理解题意，准确进行计算． 【详解】解：由题可得：， ∴， 故答案为：． 3.（2024·河北唐山·二模）如图是九宫格，在每个格子中填上一个数（图中没有全部标出）使得每行、每列及对角线上三个数的和都相等，则 ， ． 【答案】 7 【分析】本题考查的是二元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，正确列出方程组，根据每行、每列及对角线上三数之和相等，即可列出方程组解答． 【详解】解：由题意可得： ， 整理得：， 解得：， 故答案为：； 4.（2023·河北唐山·模拟预测）某班数学课上采用小组积分制记录同学们回答问题情况，上课前每组有20分的基本分，积分规则如下：①答错一次减x分；②答对一次加y分．下表是某堂课上记录的两个组得分情况： 第一组 第二组 答错次数 1 2 答对次数 7 9 最终分数 40 45 (1)求x，y的值； (2)如果第三组答错3次，最终分数是41，求出第三组答对多少次？ 【答案】(1)， (2)第三组答对8次 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次方程解决实际问题． （1）根据“最终得分＝基本分－答错失分＋答对得分”即可列出二元一次方程组，求解即可； （2）设第三组答对n次，根据根据“最终得分＝基本分－答错失分＋答对得分”即可列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得：， 解得： （2）解：设第三组答对n次，根据题意，得 ， 解得， 答：第三组答对8次． ►题型08 工程问题 1．（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）某工程甲单独完成要25天，乙单独完成要20天．若乙先单独干10天，剩下的由甲单独完成，设甲、乙一共用x天完成，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的应用，明确题意，准确找出等量关系是解题的关键． 设甲、乙一共用天完成，则剩下的甲单独干天，然后根据题意，列出方程即可． 【详解】解：设甲、乙一共用天完成，则剩下的甲单独干天， 由题意可得：． 故选：D． 2．（2024·山西·模拟预测）年月日，“世界水日”、“中国水周”山西省宣传活动在太原启动，本次活动，旨在调动全社会各方力量团结治水兴水，吸引并推动社会公众关心支持水利事业为贯彻落实本次活动精神，太原市现计划修一条水渠便于引水用水．已知，甲工程队活单独修需天完成，乙工程队单独完成需要的天数比甲工程队单独完成天数的少天． (1)乙工程队单独完成需要多少天？ (2)若甲先单独修天，之后甲乙合作修完这条水渠，求甲乙还需合作几天才能修完这条水渠？ 【答案】(1)天 (2)天 【分析】（）根据题意列出算式计算即可求解； （）设甲乙还需合作天才能修完这条水渠，根据题意列出方程即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：， 答：乙工程队单独完成需要天； （2）解：设甲乙还需合作天才能修完这条水渠， 由题意得，， 解得， 答：甲乙还需合作天才能修完这条水渠． 3．（2024·陕西·中考真题）星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除．根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需；若爸爸单独完成，需．当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成剩余的打扫任务．小峰和爸爸这次一共打扫了，求这次小峰打扫了多长时间． 【答案】小峰打扫了． 【分析】本题是一道工程问题的应用题．设小峰打扫了，爸爸打扫了，根据总工作量=各部分的工作量之和列出一元一次方程，然后求解即可． 【详解】解：设总工作量为1，小峰打扫了，爸爸打扫了，则小峰打扫任务的工作效率为，爸爸打扫任务的工作效率为， 由题意，得：， 解得：， 答：小峰打扫了． 4．（2024·宁夏银川·二模）黄河是母亲河，为打造黄河的风光带，现有一段长为180米的河道整治任务由A、B两工程队先后接力完成．A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用时20天． (1)根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下： 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数x、y表示的意义，然后在方框内补全甲、乙两名同学所列的方程组： 甲：x表示________，y表示________；乙：x表示________，y表示________； (2)求A、B两工程队分别整治河道多少米．（写出完整的解答过程） 【答案】(1)A工程队用的时间，B工程队用的时间，A工程队整治河道的米数，B工程队整治河道的米数 (2)A工程队整治河道60米，B工程队整治河道120米 【分析】此题主要考查利用基本数量关系：A工程队用的时间工程队用的时间天，A工程队整治河道的米数工程队整治河道的米数米，运用不同设法列出不同的方程组解决实际问题． （1）此题蕴含两个基本数量关系：A工程队用的时间工程队用的时间天，A工程队整治河道的米数工程队整治河道的米数天，由此进行解答即可； （2）选择其中一个方程组解答解决问题． 【详解】（1）甲同学：设A工程队用的时间为x天，B工程队用的时间为y天，由此列出的方程组为 ； 乙同学：A工程队整治河道的米数为x米，B工程队整治河道的米数为y米，由此列出的方程组为 ； 故答案为： A工程队用的时间，B工程队用的时间，A工程队整治河道的米数，B工程队整治河道的米数； （2）选甲同学所列方程组解答如下： ， 得：， 解得， 把代入①得， 所以方程组的解为， A工程队整治河道的米数为：米， B工程队整治河道的米数为：米； 答：A工程队整治河道60米，B工程队整治河道120米． 5．（2024·重庆·二模）列方程（组）解应用题： 为支持农业现代化建设，甲、乙两机械生产公司接受3600台微耕机的生产任务．已知甲公司每天生产微耕机的台数是乙公司每天生产微耕机台数的． (1)若甲公司生产40天，乙公司生产30天，则恰好完成生产任务．问乙公司每天生产多少台微耕机？ (2)由于时间紧任务重，甲、乙两公司每天生产微耕机的台数均在原来的基础上提高了，甲、乙两公司各完成总生产任务的一半，甲公司完成任务所需要的时间比乙公司完成任务的时间少5天．问乙公司现在每天生产多少台微耕机？ 【答案】(1)40台 (2)120台 【分析】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程组的应用； （1）设甲公司每天生产台微耕机，乙公司每天生产台微耕机，根据甲、乙两机械生产公司接受3600台微耕机的生产任务．已知甲公司每天生产微耕机的台数是乙公司每天生产微耕机台数的．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设乙公司现在每天生产台微耕机，则甲公司现在每天生产台微耕机，根据甲公司完成任务所需要的时间比乙公司完成任务的时间少5天．列出分式方程，解方程即可． 【详解】（1）设甲公司每天生产台微耕机，乙公司每天生产台微耕机， 由题意得：， 解得：， 答：乙公司每天生产40台微耕机； （2）设乙公司现在每天生产台微耕机，则甲公司现在每天生产台微耕机， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程得的解，且符合题意， 答：乙公司现在每天生产120台微耕机． 基础巩固 1．若a，b是有理数，关于x的方程有至少两个不同的解，则另一个关于x的方程的解的情况是（   ） A．有至少两个不同的解 B．有无限多个解 C．只有一个解 D．无解 【答案】D 【分析】此题主要考查了解含字母系数的一元一次方程．首先解方程，可得：，再根据方程有两个解的条件可得到a，b的值，然后代入方程中即可知道其解的情况． 【详解】解：解方程， 可得：， ∵有至少两个不同的解， ∴，， 即，， 把，代入中得： ， ∴方程无解． 故选：D． 2．已知是以x为未知数的一元一次方程，且，那么a的值为（　　） A．1 B．或1 C．5 D．或5 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，绝对值，正确求出m的值是解题的关键． 由题得出，，即可求出m的值，再根据绝对值的性质即可求出a的值． 【详解】解：∵是以x为未知数的一元一次方程， ∴，， 解得， ∵， ∴， ∴或， 故选：D． 3．若方程的解与关于x的方程的解相同，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查方程的解以及解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键． 先解方程，得，代入方程中求出k的值即可． 【详解】解：解方程， 得：， 把代入方程得：． 解得：． 故选：B． 4．学习情境·同解问题如果方程的解也是关于的方程的解，那么的值是（   ） A．7 B．5 C．3 D．1 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次方程、一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解法是解答的关键． 先解一元一次方程求得值，然后将值代入第二个方程得到关于的一元一次方程，然后解方程即可求解． 【详解】解：解方程， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， 化系数为1，得：， ∵也是方程的解， ∴，即， 解得：． 故选：A． 5．《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中《盈不足》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出钱，会多出钱；每人出钱，又差钱．问人数、物价各多少？”设人数为人，物价为钱，根据题意，下面所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．设人数为人，物价为钱，根据每人出钱，会多出钱，可得方程，根据每人出钱，又差钱，可得方程，据此列出方程组即可． 【详解】解：设人数为人，物价为钱， 由题意得：， 故选：C． 6．已知与是同类项，则x和y的值分别为（   ） A．5和1 B．1和5 C．和5 D．和1 【答案】B 【分析】本题考查了同类项、二元一次方程组，熟练掌握同类项的定义，二元一次方程组的解法是解题的关键．结合与是同类项，可列出二元一次方程组，解方程组求x和y的值即可解答． 【详解】解：与是同类项， ， 解得：， 和y的值分别为1和5． 故选：B． 7．若关于、的方程组的解为，其中的值被盖住了，不过仍能求出，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的解，把代入方程组第二个方程求出的值，再将，的值代入中，进而求出的值即可．正确求出的值是解题关键． 【详解】解：把代入得：， 解得：， 把，代入得：， 解得：， 故选：A． 8．在矩形中，放入六个形状、大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，设小长方形长、宽分别为，，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．观察图形得出关于x，y的二元一次方程组即可． 【详解】解：依题意，得：. 故选：A． 9．若关于、的二元一次方程组的解是，则关于，的二元一次方程组的解是（   ） A． B． C．． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，解题关键是根据整体思想及方程组的解法进行求解． 根据方程组的特点可得方程组的解是，再利用加减消元法即可求出a，b． 【详解】解：∵二元一次方程组的解是， ∴方程组的解是， 解， 得， 故选：C． 10．已知：方程的解是；方程的解是；方程的解是（由得出）．则方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了方程的解，读懂解题干中特定形式的方程的方法是解题关键． 参照已知方程的形式，将方程变形为，由此即可求解． 【详解】解：可变形为 ， 由题意可得， 解得． 故答案为：． 11．已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为 ． 【答案】2024 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解、解一元一次方程等知识点，掌握整体换元法成为解题的关键． 将化为，由代入的解，即，据此求得y的值即可． 【详解】解：∵关于y的一元一次方程 ∴， ∵关于x的一元一次方程的解为， ∴，解得：． 故答案为：2024． 12．已知方程是关于x的一元一次方程，若此方程的解为正整数，且m为整数，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查一元一次方程的定义，解一元一次方程．根据一元一次方程的定义：“只含有一个未知数，且含未知数的项的次数为1的整式方程”，列式求出的值，再解方程，根据方程的解为正整数，求出即可． 【详解】解：∵已知方程是关于x的一元一次方程， ∴， ∴， ∴方程化为：， 解得：； 此方程的解为正整数，且m为整数， ∴或， ∴或 故答案为：或． 13．在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如在中．“…”代表按规律不断求和，设．则有，解得，故⋯类似地的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字规律，解一元一次方程的运用，找出规律，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． 根据题意，设，则原式变形得，再根据解一元一次方程的方法求解即可． 【详解】解：设， 则 ∴， 整理得，， 解得，， 故答案为： ． 14．已知，均为完全平方数，则 【答案】或或 【分析】本题考查完全平方数，设①，②（、为整数），得，将所有可能情况列出来即可解答．解题的关键是根据题意列出等式进行试解，同时要知道完全平方数是整数． 【详解】解：设①，②（、为整数）， ②－①得：，即， 可能情况如下： ，，，，，， 解得：（舍去），，，（舍去），（舍去），， 当时，， 当时，， 当时，， ∴或或． 故答案为：或或． 15．若方程组的解x、y满足，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解二元一次方程组及一元一次不等式．先把两式相减求出的值，再代入中得到关于a的不等式，进而求出a的取值范围，即可． 【详解】解：， 由得：， ∵，则， ∴， ∴， 故答案是：． 16．《九章算术》中的“方程”一章中讲述了算筹图，如图1，图2所示，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x、y的系数与相应的常数项，图1表示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来为．类似地，图2所示的算筹图我们用方程组可表述为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组；根据图1和方程组得关系即可确定图2的方程组． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 17．新趋势·新定义  对于未知数为，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”．若方程组的解与都是正整数且具有“邻好关系”，则正整数的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查解二元一次方程组，通过解方程组得到和，根据与都是正整数求出符合条件的正整数的值，最后根据再由验证即可． 【详解】解：， ①+②得，， ∴， 把代入得， ∵方程组的解与都是正整数， ∴或或或， ∴a的值为或0或1或2， ∴正整数的值的值只能是1或2， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 综上所述，， 故答案为：． 18．根据以下素材，探索未完成的任务． 宁波市居民住宅生活用水阶梯式价格计费探索卡 素材1 生命之花在呵护下绽放，生命之水因节约而永流．为增强公民节水意识，宁波市水费采用“阶梯收费”，另外还需缴纳污水处理费为1元/吨． 素材2 宁波市居民住宅生活用水阶梯式价格计费方式如下： 第一阶梯：用水量不超过17吨的部分，水费为2元/吨． 第二阶梯：用水量超过17吨不超过30吨的部分，水费为4元/吨． 第三阶梯：用水量超过30吨的部分，水费为10元/吨． 问题解决 任务1 确定污水处理费 已知陈老师家9月份所缴水费中，自来水费为66元，求陈老师家9月份需缴污水处理费多少元？ 任务2 确定总费用 （水费+污水处理费） 若陈老师家10月份用水35吨，则应缴费多少元？ 若陈老师家10月份用水吨，应缴费多少元？ 【答案】任务1：25元；任务2：171元； 【分析】任务1：设陈老师家9月份用水量为x吨，根据题意列出方程，求出用水量，即可得出污水处理费； 任务2：根据收费标准列出算式求出陈老师家10月份用水35吨，应缴费用即可；分两种情况求出陈老师家10月份用水吨时，应缴费即可． 【详解】解：任务1：设陈老师家9月份用水量为x吨，如图所示： ， 解得：， 陈老师家9月份需缴污水处理费为：元； 答：陈老师家9月份需缴污水处理费25元． 任务2：陈老师家10月份用水35吨，则应缴费为： （元）， 当时，陈老师家应缴费： 元， 当时，陈老师家应缴费： 元， 综上分析：陈老师家10月份应缴费． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程应用，列代数式，有理数混合运算的应用，解题的关键是理解题意，根据收费标准列出方程． 19．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，根据解一元一次方程的步骤解答即可，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，． 20．解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了解二元一次方程组，能选择适当的方法解方程组是解此题的关键，注意：解二元一次方程组的方法有代入消元法和加减消元法． （1）运用加减消元法解出的值，再代入解出的值，即可作答； （2）先去分母，再运用代入消元法解出的值，即可作答． 【详解】（1）解：， ，得， 解得， 把代入①，得， 解得， 所以方程组的解为； （2）解：， 整理①得，即， 所以整理②得， 把代入， 得， 解得， 把代入， 解得， 所以方程组的解为． 21．某货运电梯限重标志显示，载重总质量禁止超过．现要用此货运电梯装运一批设备，每套设备由1个甲部件和2个乙部件组成．已知2个甲部件和1个乙部件总质量为，3个甲部件和2个乙部件质量相同． (1)求1个甲部件和1个乙部件的质量各是多少？ (2)每次装运都需要两名工人装卸，设备需要成套装运，现已知两名装卸工人质量分别为和，则货运电梯一次最多可装运多少套设备？ 【答案】(1)1个甲部件个乙部件 (2)货运电梯一次最多装运11套设备 【分析】本题考查二元一次方程组和不等式的应用，解答该题的关键是根据题意列出方程组和不等式． （1）根据题意找到等量关系式列方程组求解即可得到答案； （2）根据载重总质量禁止超过列不等式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：设1个甲部件质量为，1个乙部件质量为， 则， 解得：， 答：1个甲部件个乙部件； （2）解：设电梯一次装运套设备， 由题意得，， 解得：， ∵为正整数，所以取最大整数为11， ∴货运电梯一次最多装运11套设备． 22．已知方程组的解满足为正数，为非负数． (1)求的取值范围； (2)若不等式的解为．求的整数值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，解一元一次不等式组，不等式的性质．熟练掌握加减消元法解二元一次方程组，解一元一次不等式组，不等式的性质是解题的关键． （1）利用加减消元法解方程组，再解关于的不等式组即可； （2）根据不等式的性质可知，，然后求解作答即可． 【详解】（1）解： 由得： 则， 将代入①得：， 则， ∵为正数，为非负数， ∴， 解得不等式组的解集为：； （2）解： ， ∵不等式的解为， ∴， ∴， ∴， ∴的整数值为． 能力提升 1．九宫格是一款数学游戏，起源于河图洛书，河图与洛书是我国古代流传下来的两幅神秘图案，历来被认为是河洛文化的滥觞，中华文明的源头．在如图所示的九宫格中，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，则下列说法（   ）． ①三个空白方格中的数字之和等于； ②n是这九个数字中最小的数． A．①错误，②正确 B．①正确，②错误 C．①正确，②正确 D．①错误，②错误 【答案】A 【分析】本题考查的是数字推理问题，一元一次方程的应用等知识点，根据每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，则由第1列三个已知数可知每行、每列、每条对角线上三个数字之和为，于是可分别求出未知的各数，从而对两个选项进行判断，抓住条件利用一元一次方程进行逐一求解是解决此题的关键． 【详解】解：∵每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图， 从而可求出三个空格处的数为16、、7， ∴，①错误， ∵， ∴②正确， 故选：A． 2．甲、乙、丙、丁、戊五名同学围成一圈在讲台上表演游戏．游戏的规则是：每个同学心中想一个数，并将所想的数报给左右两边和自己相邻的同学，每位同学将其他两个同学报来的数求和后说出结果，最终得到的结果如图所示．请大家猜猜甲同学心中所想的数是多少（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用——猜数游戏．熟练掌握游戏规则，建立一元一次方程，是解题的关键． 设甲想的数为x，根据每位同学将其他两个同学报来的数求和后说出结果，列式、列一元一次方程解答即可． 【详解】解：设甲想的数为x，则丙想的数为，丁想的数为， ∴乙想的数为，戊想的数为， ∵甲说出了乙、戊报来的数的和为6， ∴ ， 解得． ∴甲同学心中所想的数是． 故选：C． 3．关于x的三次三项式（其中a，b，c，d均为常数），关于x的二次三项式（e，f均为非零常数），下列说法有几个正确（   ） ①当的结果为关于x的三次三项式时，则； ②若二次三项式能分解成，则； ③当多项式A与B的乘积中不含项时，则； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】①计算的值，再根据题意列方程求解；②计算的值，根据题意列方程求，的值，再计算；③先求的值，再根据题意列方程求解；④根据③所求列方程组求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵的结果为关于x的三次三项式，，均为非零常数， ， ，故①正确； ， ，， ，故②正确； ， ∵多项式A与B的乘积中不含项， ∴， ，故③错误； ④ ， ， 解得：， ，故④错误； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了多项式乘法，解三元一次方程组，因式分解，整式的加减计算，正确理解题意列出对应的方程和方程组是解题的关键． 4．若实数，，满足，则代数式的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，解得，的值后代入中整理出是解题的关键，掌握解二元一次方程组的解法是解答本题的关键． 结合已知条件解含参的二元一次方程组，然后代入中确定其取值即可． 【详解】解：由题意可得， 解得：， 则， ， ， ， ， 选项D符合题意， 故选：D． 5．已知整式，，其中 为自然数，为正整数，且满足：，记，．则下列说法：①当时，若，则；②当时，满足条件的整式共有10个；③不存在任何一个，使得；其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查的是整式的规律探究，利用分类讨论思想的应用是解题的关键． ①当时，可得，即可求出，再由当时，，，可判断①；②当时，，取1，2，3，可判断②；假设存在，此时使得，可得，从而得到，再由为自然数，可判断③． 【详解】解：当时，，， ∵，，且， ∴， 解得：， ∵当时，，， ∴，， ∵， ∴，故①正确； ②当时，， ∵ 为自然数，为正整数， ∴取1，2，3， 当时， ∴， ∴， 此时有或或或或或； 当时， ∴， ∴， 此时有或或； 当时， ∴， ∴， 此时有 即当时，满足条件的整式共有10个，故②正确； 假设存在，此时使得， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵为自然数， ∴或或或， 即不存在任何，使得，故③正确； 故选：D 6．王老师购进159个糖果，奖励期末考试最优异的三个小组，期末考试第一名的小组每人获得13颗糖，第二名的小组每人获得12颗糖，第三名的小组每人获得11颗糖，则这三个小组学生的总人数为 ．（每个组人数大于1人） 【答案】13 【分析】本题主要考查了方程的应用，分类讨论思想， 先设第一名得小组有x人，第二名的小组有y人，第三名的小组有z人，可得，再根据已知得，然后从讨论，进而得出答案． 【详解】解：设期末考试第一名得小组有x人，第二名的小组有y人，第三名的小组有z人，则， 即， ∴． ∵为正整数，， ∴． 当时，， 即． ∵，且均为整数， ∴或或， ∴； 当时，， 即． ∵，且均为整数， ∴不符合题意，舍去． 随着的值的减小，的值不断增大，不符合题意． 故答案为：13． 7．已知关于的方程组，为负数，为非正数．若为整数，则当 时，不等式的解集为． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解一元一次不等式，解二元一次方程组，先解方程组可得，再由为负数，为非正数，求得，再由不等式的解集为得到，最后取整数即可． 【详解】解：解方程组， 得， 因为为负数，为非正数， 所以， 解得， 因为， 所以． 要使不等式的解集为， 必须， 解得． 又因为3，且为整数， 所以． 故答案为：． 8．材料一：对于一个三位正整数，若百位数字与个位数字之和减去十位数字的差为6，则称这个三位数为“中顺数”，例如：237，因为，所以237是“中顺数”； 材料二：若（，，，且a，b，c均为整数），记． 已知，是两个不同的“中顺数”，且能被13整除，则 ．满足条件最小的 ． 【答案】 2 138 【分析】本题考查了新定义，解一元一次方程，不等式的性质，数的整除等知识点，正确理解题意是解题的关键． 由新定义得到，则，可求，要使得最小，那么应该最小，而，则，那么，则或，解方程即可． 【详解】解：∵，是两个不同的“中顺数”， ∴， ∴， ∵（，，，且a，b，c均为整数），记， ∴， 要使得最小，那么应该最小，而， ∴ ∴， ∵能被13整除， ∴， ∴， 解得：（舍）， 或， 解得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2；138． 9．如图，长方形中，，P，Q两动点同时出发，分别沿着长方形的边长运动，P点从B点出发，顺时针旋转一圈，到达B点后停止运动，Q点的运动路线为，P，Q点的运动速度分别为/秒，/秒，当一个动点到达终点时，另一个动点也同时停止运动．设两动点运动的时间为t秒，要使和的面积相等，请写出所有满足条件的t值的 ． 【答案】2.4或或8或 【分析】本题考查了旋转的性质和三角形的面积，矩形的性质，读懂题意，找到等量关系，列出方程是解题的关键，注意：需要分类讨论．需分五种情况，根据运动的路径和和的面积相等列出方程，求解即可． 【详解】解：由题意进行分类讨论： ①当P点在上，Q点在上时， ， ∵与面积相等， ∴， 解得：； ②当P点在上，Q点在上时， ， 要使与面积相等，则， 即， 解得：（舍去）； ③当P点在上，Q点在上时， ， ∵与面积相等， ∴， 解得：； ④当P点在上，Q点在上时， ， 要使与面积相等，则， 即， 解得：； ⑤当P点在上，Q点在上时， ， ∵与面积相等， ∴， 解得：； 综上，满足条件的t值为或或8或， 故答案为：或或8或． 10．如图1，点C在线段上，图中有三条线段，分别为线段和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“智慧点”． (1)线段的中点______这条线段的“智慧点”（填“是”或“不是”）； (2)若线段，点C为线段的“智慧点”，则______； (3)如图2，已知，，动点P从点A出发，以的速度沿AB向点B运动，点Q从点B出发，以的速度沿向点A运动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设运动的时间为t秒，若A、P、Q三点中，一点恰好是以另外两点为线段的“智慧点”，求出所有可能的t值． 【答案】(1)是 (2)或或 (3)或或或或 【分析】本题考查了两点间的距离，一元一次方程的应用，准确理解“智慧点”的概念，利用分类讨论思想解题是关键． （1）根据“智慧点”的定义即可求解； （2）分，，，进行讨论求解即可； （3）秒后，， ，然后分当为的“智慧点”时，为的“智慧点”时，列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图， ∵点为的中点， ∴点C是线段的“智慧点”， 故答案为：是； （2）解：∵，点C是线段的“智慧点”， ∴①时，则； ②时，则； ③时，则， 综上所述，点C为线段的“智慧点”，则等于或或， 故答案为：或或； （3）解：秒后，， ， 由题意可知点不可能为的“智慧点”， 则当为的“智慧点”时， ①时，则， ∴， 解得：； ②当时，则， ∴， 解得：； ③当时， ∴， 解得：； 当为的“智慧点”时， ④当时，则， ∴， 解得：（舍）； ⑤当时，则， ∴， 解得：； ⑥当时， ∴， 解得：， 综上所述：t值为或或或或． 11．设三角形三边长为a、b、c，且三边长满足方程组，试求的值． 【答案】3 【分析】本题考查了三角形三边关系，完全平方公式的应用，因式分解的应用，解方程组等知识，有一定的综合性；把方程组中第一个方程分别减去第二个、第三个方程，利用完全平方公式变形得：，左边利用十字相乘法分解因式即可求得的值．关键是由方程组得到． 【详解】解：， 得：， 即， ∴， 分解因式得：， ∴或， ∴或； ∵三角形三边长为a、b、c， ∴， ∴不符合题意， ∴． 12．我市计划将一批爱心物资运往灾区，这一批爱心物资为甲种货物吨和乙种货物吨，准备租用A、B两种型号的汽车共辆，现有一汽和二汽两家汽车公司竞争这次运输任务，他们均有足够量的A、B型汽车，收费标准如表： 一汽 二汽 A型每辆费用（元） B型每辆费用（元） (1)已知二汽公司每辆B型汽车的费用比每辆A型汽车的费用多元，且在二汽公司租4辆A型汽车和5辆B型汽车的总费用为元．求表格中，的值； (2)已知每辆A型汽车最多可以装甲种货物7吨和乙种货物4吨，每辆B型汽车最多可装甲种货物5吨和乙种货物8吨，按此要求安排同一家汽车公司的A、B两种型号汽车将这批物质一次性运往灾区，请问共有多少种租车方案？从运费最少的角度考虑，怎选择哪家公司来运输这批货物？请说明理由． 【答案】(1)表格中的值为，的值为 (2)共有3种租车方案，选择二汽公司来运输这批货物，总费用最少，见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式组和二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题关键. （1）依题意得：，即可求解； （2）设需租用辆A型汽车，则租用辆型汽车，依题意得：，即可求解 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：． 答：表格中的值为，的值为． （2）解：设需租用辆A型汽车，则租用辆型汽车， 依题意得：， 解得：， 取整数， ． 共有3种租车方案． 每辆A型汽车的费用小于每辆B型汽车的费用， 租用30辆A型汽车，10辆B型汽车更省钱． 选择一汽公司所需总费用为：（元）； 选择二汽公司所需总费用为：（元）． ， 选择二汽公司来运输这批货物，安排辆A型汽车，辆B型汽车时，总费用最少． $$