第05讲 一次方程（组）及其应用（3考点+25题型）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（广东专用）

第二章 方程（组）与不等式（组） 第05讲 一次方程（组）及其应用（6~8分） ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 等式的基本性质 考点二 一元一次方程 考点三 二元一次方程（组） 考点四 一次方程（组）的应用 04题型精研·考向洞悉 命题点一 等式的基础性质 ►题型01 利用等式的性质判断变形正误 ►题型02 利用等式的性质求解 命题点二 一元一次方程 ►题型01 判断一元一次方程及其解 ►题型02 解一元一次方程 ►题型03 一元一次方程解的综合问题 命题点三 二元一次方程（组） ►题型01 二元一次方程（组）的概念 ►题型02 解二元一次方程组 ►题型03 二元一次方程组特殊解法 ►题型04 构造二元一次方程组求解 ►题型05 已知二元一次方程组的解的情况求参数 命题点三 一次方程的应用 ►题型01 配套问题 ►题型02 工程问题 ►题型03 销售盈亏问题 ►题型04 比赛积分问题 ►题型05 方案选择问题 ►题型06 数字问题 ►题型07 和差倍分问题 ►题型08日历问题 ►题型09几何问题 ►题型10 行程问题 命题点四 利用二元一次方程解决实际问题 ►题型01 方案问题 ►题型02 行程问题 ►题型03 利润问题 ►题型04 和差倍问题 ►题型05 几何问题 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 等式的基本性质 理解等式的基本性质 10年7考 一元一次方程与二元一次方程（组）在初中数学中因为未知数的最高次数都是一次，且都是整式方程,所以统称为“一次方程”. 中考中，对于这两个方程的解法及其应用一直都有考察，其中对于两个方程的解法以及注意事项是必须掌握的，而在其应用上也是中考代数部分结合型较强的一类考点. 预计2025年各地中考还将继续考查一次方程的解法和应用题，为避免丢分，学生应扎实掌握． 一元一次方程 能解一元一次方程 近10年连续考查 二元一次方程（组） 掌握消元法，能解二元一次方程组 能解简单的三元一次方程组[选学] 10年8考 一次方程（组） 的应用 利用一次方程求解实际问题 10年9考 考点一 等式的基本性质 ( 1. 利用等式的性质进行变形时，等式两边都要参加运算，而且是同一种运算 . 2 . 运用等式的性质 2 时，等式两边不能同时除以 0 ，因为 0 不能作除数或分母 . ) 考点二 一元一次方程 一元一次方程的概念：只含有一个未知数，且未知数的次数都是1，这样的整式方程叫一元一次方程. 一元一次方程标准形式：ax+b=0（x为未知数，a、b是常数且a≠0） 解一元一次方程的基本步骤： ( 1. 一元一次方程中未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数 . 2 . 一元一次方程只含有一个未知数 , 未知数的次数都为 1 . 3 . 解方程的五个步骤有些可能用不到，有些可能重复使用，也不一定有固定的顺序，要根据方程的特点灵活运用． 4 . 对于分母中含有小数的一元一次方程．当分母中含有一位小数时，含分母项的分子、分母都乘 10 ，化分母中的小数为整数；当分母中含有两位小数时，含分母项的分子、分母都乘 100 ，化分母中的小数为整数． ) 04题型精研·考向洞悉 考点三 二元一次方程（组） 考点四 一次方程（组）的应用 用方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 与一次方程（组）有关应用题的常见类型： 命题点一 等式的基础性质 ►题型01 利用等式的性质判断变形正误 1．（2023·广东佛山·模拟预测）下面各式的变形正确（   ） A．由5，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】C 【分析】本题主要考查了等式的性质．解题的关键是掌握等式的性质：、等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，等式仍成立；、等式的两边同时乘以或除以同一个不为的数或字母，等式仍成立． 根据等式的性质对各选项进行分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：解：A、由5，得，原变形正确，故此选项符合题意； B、由，得，原变形错误，故此选项不符合题意； C、由，得，原变形正确，故此选项符合题意； D、由，得，原变形错误，故此选项不符合题意． 故选：C 2．（2024·山东潍坊·模拟预测）已知等式，则下列等式中成立的是（      ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据等式的性质逐个判断即可．本题考查了等式的性质，能熟记等式的性质是解此题的关键，注意：等式的性质1：等式的两边都加（或减）同一个数或式子，等式仍成立；等式的性质2：等式的两边都乘同一个数或式子，等式仍成立，等式的两边都除以同一个不等于0的数或式子，等式仍成立． 【详解】解：A．， 等式两边都乘，得，故本选项不符合题意； B．， 等式两边都减去5，得，故本选项符合题意； C．， 等式两边都除以3，得，故本选项不符合题意； D．， 等式两边都加1，得，故本选项符合题意 故选：BD． 3．（2024·贵州·模拟预测）如图，在两台天平的左右两边分别放入“□”“ ”“”三种物体．若图①所示的天平保持平衡，要使图②的天平也保持平衡，则需在右盘放入“”的个数是（    ） A． B． C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，代数式的求值．设□表示的数为，表示的数为，表示的数为，由图①可知，，由图②中，可得，即可解答． 【详解】解：设□表示的数为，表示的数为，表示的数为， 由图①知，， ∴， ∴图②中， ∴图②中需在右盘放入“”的个数是， 故选：B． 4．（2024·贵州贵阳·一模）用“□”“△”“○”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示．设a，b，c均为正数，则能正确表示天平从左到右变化过程的等式变形为（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】A 【分析】本题考查等式的性质，根据天平两端相等即可求得答案． 【详解】解：由图形可得如果，那么， 故选：A． ►题型02 利用等式的性质求解 5．（2024·安徽蚌埠·三模）若实数满足，则代数式的值为（    ）． A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式求值、等式的性质等知识点，根据等式的性质对等式进行变形成为解题的关键． 由可得，然后对进行变形并将代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选D． 6．（2022·安徽·模拟预测）已知三个互不相等的非零实数，，满足，则的值是（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了等式性质、平方差公式的应用及代数式求值，根据等式性质进行变形得，，进而得出，由题意求出，再整体代入计算即可． 【详解】解：， ， ，， ， ． 为互不相等的非零实数， ， ， ． 故选：D． 7．（2024·安徽·模拟预测）已知实数a、b、c满足，则下列命题为假命题的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查了真假命题的判断，完全平方公式的应用，等式的性质． 根据得出，结合等式的性质，即可判断A；结合完全平方公式，即可判断B、D；根据等式的性质，即可判断C． 【详解】解：A、∵，， ∴， ∴，即，故A为真命题，不符合题意； B、∵， ∴， ∵， ∴，则，故B为真命题，不符合题意； C、当时， ∵， ∴，则， 当时，b为任意实数， 当时，，解得，故C为假命题，符合题意； D、∵，， ∴， 整理得：， ∴，解得：，故D为真命题，不符合题意； 故选：C． 8．（2022·安徽合肥·三模）已知a≠b，且a＋＝b＋则下列结论正确的是（      ） A．a＋b＝0 B．ab＝1 C．若a＋b＝0，则a－b＝2 D．若a－b＝2，则a＋b＝0 【答案】D 【分析】利用等式的性质将代数式的变形计算即可 【详解】∵a＋＝b＋， ∴a－b＋－＝0， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴选项A、B错误； 当a＋b＝0时，与联立，解得 或， 可得a－b＝－2或a－b＝2， 故选项C错误； 当a－b＝2时，与联立，解得， 可得a＋b＝0， 故选项D正确； 故选D 【点睛】本题考查了等式的性质、代数式的化简问题，根据已知条件逐项求解即可． 命题点二 一元一次方程 ►题型01 判断一元一次方程及其解 9．（2024·广西河池·三模）关于x的方程的解是，则a的值为（   ） A． B．0 C．2 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义，根据题意将代入，即可求解． 【详解】解：依题意，解得：， 故选：C． 10．（2024·山东济南·二模）若是关于的方程的解，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一元一次方程的解，将代入方程，再解方程即可，解题的关键是正确理解方程的解的概念及应用． 【详解】把代入方程得，， 解得：， 故选：． 11．（2024·海南·一模）已知是方程的解，则m的值为（   ） A．2 B．8 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，熟练掌握使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键．根据是方程的解，得到关于的方程，解出即可求解． 【详解】解：∵是方程的解， ∴ ， 解得： ． 故选：A 12．（2023·湖南永州·中考真题）关于x的一元一次方程的解为，则m的值为（    ） A．3 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】把代入再进行求解即可． 【详解】解：把代入得：， 解得：． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，以及解一元一次方程，解题的关键是掌握使一元一次方程左右两边相等的未知数的值是一元一次方程的解，以及解一元一次方程的方法和步骤． ►题型02 解一元一次方程 13．（2024·甘肃兰州·模拟预测）下列等式是四位同学解方程过程中去分母的一步，其中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解一元一次方程，把等式两边分别乘以即可求解． 【详解】解：， 去分母得，， 故选：C． 14．（2024·广东深圳·二模）下列变形，正确的是（     ） A．由，移项，得 B．由，去括号，得 C．由，合并同类项，得 D．由，去分母得 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，注意移项变号、去分母每一项要同时乘以分母的最小公倍数、括号前是“”号，去括号时括号内各项要变号，熟知一元一次方程解题步骤是关键． 【详解】解： A、原式移项得，移项时未变号； B、原式去括号得，括号前是“”号，去括号时括号内各项要变号； C、原式合并同类项正确； D、原式去分母得，去分母时，每一项要同时乘以分母的最小公倍数． 故选：C ． 15．（2023·内蒙古包头·模拟预测）解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的不步骤是解题的关键． （1）按照去括号、移项合并同类项、系数化1得步骤解方程即可； （2）按照去分母、去括号、移项合并同类项、系数化1得步骤解方程即可； 【详解】（1）解： 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为1得， （2） 去分母得， 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为1得， 16．（2023·河北沧州·一模）对于任意四个有理数a，b，c，d，我们规定：，例如：，根据上述规定解决下列问题： (1)计算； (2)若，求x的值． 【答案】(1)38 (2) 【分析】（1）根据所给的新定义进行求解即可； （2）根据所给的新定义建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： ； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得． 【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，解一元一次方程，正确理解题意是解题的关键． ►题型03 一元一次方程解的综合问题 17．（2024·江苏盐城·一模）关于x的方程的解是，现给出另一个关于x的方程，则它的解是 ． 【答案】2025 【分析】此题考查解一元一次方程，根据两个方程的特点得到所解方程的解为，由此求出x的值． 【详解】∵关于x的方程的解是， ∴方程的解是, ∴, 故答案为2025． 18．（2022·广东广州·一模）若关于x的方程的解为负数，则点（m，m+2）在第 象限． 【答案】三 【分析】把m看作常数，根据一元一次方程的解法求出x的表达式，再根据方程的解是负数列不等式并求解即可． 【详解】由，得 x=2+m． ∵关于x的方程的解是负数， ∴2+m＜0， 解得m<-2 ∴(m，m+2)在第三象限 故答案是：三． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解与解不等式，把m看作常数求出x的表达式是解题的关键． 19．（2021·浙江温州·一模）关于的方程的解是，现给出另一个关于的方程，则它的解是 ． 【答案】2 【分析】根据方程的解是，求得a，把a的值代入，转化为新的一元一次方程，求解即可 【详解】∵方程的解是， ∴2a=a+1+6， 解得a=7， ∴方程变形为：14（x-1）=8（x-1）+6， ∴6（x-1）=6， ∴x-1=1， ∴x=2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解及其解法，灵活运用方程的解代入求值，转化为新方程求解是解题的关键． 20．（2023·四川成都·二模）若实数a，b，c满足，且，则 ． 【答案】2 【分析】先根据等式的性质得：，，，再代入到等式中，得到关于k的一元一次方程，解这个方程即可． 【详解】解：由得：，，， 代入到等式中，得： ， 解得：． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了等式的基本性质、代入消元法及一元一次方程的解法，熟练掌握等式的基本性质是本题的关键． 命题点三 二元一次方程（组） ►题型01 二元一次方程（组）的概念 21．（2022·云南曲靖·一模）若方程是关于x、y的二元一次方程，则ab的值为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】根据二元一次方程的定义得出关于、的二元一次方程组，解出、的值即可求出的值． 【详解】解：∵方程是关于x、y的二元一次方程 ∴ 解得： ∴ 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的定义和解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组是解答本题的关键． 22．（2024·贵州毕节·三模）已知关于x，y的二元一次方程组的解也是方程的解，则k的值为（   ） A． B． C．2 D．无法计算 【答案】C 【分析】此题考查了解二元一次方程组，二元一次方程的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．把k看作已知数求出x与y，代入已知方程计算即可求出k的值． 【详解】解： 由①②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 把，代入， 得：， 解得：， 故选：C 23．（2023·云南临沧·三模）若是二元一次方程组的解，则为（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程组的求解，掌握加减消元法解二元一次方程组的方法是解题的关键． 根据题意，把的代入二元一次方程组，再根据加减消元法即可求解． 【详解】解：根据题意，把的值代入得， ①②得，， 把的值代入②得，， ∴， 故选：． 24．（2024·广东汕头·一模）若关于x，y的方程组的解满足，则的值为（    ） A．8 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查二次一次方程组含参问题，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键，利用得：，即可得到，再将，代入即可得到答案． 【详解】解： 得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． ►题型02 解二元一次方程组 25．（2023·天津东丽·二模）方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据代入法解二元一次方程组即可求解． 【详解】解： 将代入得，， 解得：， 将代入，得， ∴方程组的解为， 故选：B． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 26．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知关于x，y的二元一次方程组 ，则的值为（      ） A．12 B．9 C．6 D．4 【答案】C 【分析】本题考查解二元一次方程组，将两个方程进行相减后，即可得出结果． 【详解】解：， ，得：； 故选C． 27．（2024·广东深圳·二模）解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，先整理原式得，再运用加减法进行解方程，即可作答． 【详解】解：∵， ∴化简得，， 将，得 将，得， ∴， 原方程组的解为：． 28．（2024·广东·模拟预测）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组． （1）利用加减消元法进行计算即可； （2）先将方程组整理成一般式，再利用加减消元法求解可得． 【详解】（1）解：， ，， 解得， 把代入①，， 解得， ∴原方程组的解是； （2）解：， 化简方程组可得，， 得，， 解得， 将代入②，得， ∴方程组的解为． ►题型03 二元一次方程组特殊解法 29．（2024·山东·一模）已知，则的值分别为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 本题考查了分式的加减和二元一次方程组的解法，先对等号右边的分式进行加减，根据等号左右两边相等，得到关于的二元一次方程组，求解即可，根据分式方程的左右两边相等，得到关于的方程组是解题的关键． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴， 解得：， 故选：A． 30．（2023·甘肃平凉·三模）对于x，y定义一种新运算“*”： ，其中a，b为常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知：，，那么1*2运算的结果为（    ） A．2 B． C．13 D．1 【答案】C 【分析】由题意知，，解得，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，解得， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了新定义运算，解二元一次方程组的应用，有理数的混合运算．解题的关键在于正确的解二元一次方程组． 31．（2021·山东淄博·一模）若点与点是正比例函数图象上关于原点的对称点，则的值为（    ） A． B． C．1 D．－1 【答案】B 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征，列出方程组求得m、n的值后，再利用函数解析式即可求得k的值． 【详解】解：∵点A(1，m)与点 B(m−n，n) 关于原点对称， ∴． 解得，． ∴． ∵点在正比例函数的图象上， ∴． 故选：B 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征和正比例函数、二元一次方程组的解法等知识点，熟知关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键． 32．（2019·北京丰台·一模）已知关于x，y的方程组的解．则关于x，y的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】仿照已知方程组的解确定出所求方程组的解即可． 【详解】解：∵变形为 又∵关于x，y的方程组的解． ∴方程组的解满足 ∴ 故选A． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值，熟练掌握换元思想是解本题的关键． ►题型04 构造二元一次方程组求解 33．（2022·广东广州·模拟预测）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的解法： 解：由①得 将③代入②得：，即 把代入③得， ∴方程组的解为 请你模仿小军的“整体代入”法解方程组，解方程． 【答案】 【分析】按照阅读材料提供的“整体代入”法把方程①代入方程②，得到，解得再将代入①得：，即可得出答案． 【详解】解：， 将①代入②得：，即， 将代入①得：， ∴原方程组的解为：． 【点睛】本题主要考查了特殊法解二元一次方程组，解决问题的关键是熟练掌握“整体代入”法，将一个代数式作为一个整体代入另一个方程． 34．（2024·浙江温州·二模）观察以下二元一次方程组与对应的解： 二元一次方程组                解                (1)通过归纳未知数系数与解的关系，直接写出的解． (2)已知关于x，y的二元一次方程组（，）． ①猜想该方程组的解； ②将你猜想的解代入方程组检验并写出过程． 【答案】(1) (2)①；②见解析 【分析】本题考查的是二元一次方程组的特殊解法，分式的加减运算，理解题干信息是解本题的关键． （1）根据题干信息归纳：当两个未知数的系数的和相等，右边的常数也相等时，方程组的解为右边的常数除以系数和，从而可得答案； （2）①根据规律猜想即可；②把猜想的解分别代入方程组中的每个方程进行检验即可． 【详解】（1）解：由题意可得：的解是： ； （2）解：①关于x，y的二元一次方程组的解是： ； ②把代入①的左边可得： 右边， 把代入②的左边可得： 右边， ∴是方程组的解． 35．（2022·河北沧州·二模）解方程组． (1)下面给出了部分解答过程： 将方程②变形：，即 把方程①代入③得：… 请完成解方程组的过程； (2)若方程的解满足，求整数a的值． 【答案】(1) (2)2或3 【分析】（1）把方程①整体代入③得到关于y的方程，求得，再把代入①得到，从而得到方程组的解； （2）把方程组的解代入得到关于a的不等式组，解不等式组求出整数解即可． 【详解】（1）下面给出了部分解答过程： 将方程②变形：，即 把方程①代入③得：， 解得：， 把代入①得：， ∴原方程组的解是； （2）由（1）可知方程的解为， ∵方程的解满足， ∴， 解得． ∴整数a为2或3． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解法，一元一次不等式组的整数解等知识，读懂题意，熟练掌握方程组和不等式组的解法是解题的关键． 36．（22-23七年级下·河南安阳·期末）［阅读理解]在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简． （1）解方程组， 解：把②代入①得，， 解得， 把代入②得， 所以方程组的解为， （2）已知求的值． 解：，得，③ ，得． ［类比迁移] （1）求方程组的解． （2）若求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据题干给出的方法解二元一次方程组即可； （2）利用整体的思想求出即可． 【详解】（1）把②代入①， 得， 解得． 把代入②，得， ∴方程组的解为； （2）， 得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解方程组的方法，准确计算，注意整体思想． ►题型05 已知二元一次方程组的解的情况求参数 37．（2024·河北沧州·模拟预测）若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，根据方程组的解满足知道将两方程相减是解题的关键．将方程组中两个方程相减可得，根据可得关于k的不等式，继而知k的范围． 【详解】解：， 得：， ∵， ∴， 解得：， 故选：C． 38．（2024·山东临沂·模拟预测）关于x，y的方程组的解中x与y的和小于5，则k的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据二元一次方程组的解的情况求参数、解一元一次不等式，把两个方程相减，可得，进而可得，再求解即可． 【详解】解：， 由得，， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 39．（2024·山东济宁·一模）已知为整数，关于，的二元一次方程组的解满足，则整数值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，求不等式组的解集．先利用加减消元法推出，再由推出，据此可得答案． 【详解】解：， ①②得：， ， ， ， ， 整数值为2025， 故选：D． 40．（2023·山东聊城·一模）若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为（　　） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】C 【分析】用整体思想①②，得，等式两边都除以6，得，再根据，从而计算出的值． 【详解】解：， ①②，得， ， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解、二元一次方程组的解，掌握用加减消元法解二元一次方程组是解题关键． 命题点三 一次方程的应用 ►题型01 配套问题 41．（2024·广东深圳·三模）粽子作为中国历史文化积淀最深厚的传统食品之一，传播甚远，最初是用来是祭祀祖先神灵的贡品．某家庭制作的粽子礼盒每份由6个蛋黄肉粽和4个碱水粽组成．用1千克糯米可做24个蛋黄肉粽或16个碱水粽，现要用6千克糯米制作粽子，设用x千克糯米制作蛋黄肉粽，恰好使制作的蛋黄肉粽和碱水粽配套，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列一元一次方程，审清题意、找准等量关系成为解题的关键． 设用x千克糯米制作蛋黄肉粽，则用千克糯米制作碱水粽，然后根据“粽子礼盒每份由6个蛋黄肉粽和4个碱水粽组成．用1千克糯米可做24个蛋黄肉粽或16个碱水粽”列方程即可． 【详解】解：设用x千克糯米制作蛋黄肉粽，则用千克糯米制作碱水粽， 根据题意得． 故选：B． 42．（2024·广东深圳·二模）龙泉窑是中国历史上的一个名窑，宋代六大窑系，某龙泉窑瓷器工厂烧制龙泉青瓷茶具，每套茶具由1个茶壶和6只茶杯组成，用1千克瓷泥可做3个茶壶或9只茶杯，现要用6千克瓷泥制作这些茶具，设用x千克瓷泥做茶壶时，恰好使制作的茶壶和茶杯配套，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程解决实际问题．设用x千克瓷泥做茶壶，则可制作个茶壶，个茶杯，根据“每套茶具由1个茶壶和6只茶杯组成”即可列出方程． 【详解】解：设用x千克瓷泥做茶壶，则用千克瓷泥做茶杯， 根据题意得：． 故选：A 43．（2023·广东汕头·一模）某车间有84名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知1个大齿轮和2个小齿轮配成一套．为使每天加工的大、小齿轮刚好配套，设每天加工大齿轮的有x人，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设加工大齿轮的有x人，则加工小齿轮的有人，根据1个大齿轮和2个小齿轮配成一套，列出方程即可． 【详解】解：设加工大齿轮的有x人，则加工小齿轮的有人， 根据题意得：． 故选：A． ►题型02 工程问题 44．（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）某工程甲单独完成要25天，乙单独完成要20天．若乙先单独干10天，剩下的由甲单独完成，设甲、乙一共用x天完成，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的应用，明确题意，准确找出等量关系是解题的关键． 设甲、乙一共用天完成，则剩下的甲单独干天，然后根据题意，列出方程即可． 【详解】解：设甲、乙一共用天完成，则剩下的甲单独干天， 由题意可得：． 故选：D． 45．（2024·浙江·模拟预测）学校要制作一块广告牌，请来两名工人，已知甲单独完成需4天，乙单独完成需6天，若先由乙做1天，再两人合作，完成任务后共得到报酬900元，若按各人的工作量计算报酬，则分配方案为（    ） A．甲360元，乙540元 B．甲450元，乙450元 C．甲300元，乙600元 D．甲540元，乙360元 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，熟悉掌握工程问题中的数量关系是解题的关键． 设两人合作了天，根据甲的工作量乙的工作量剩余工作总量列出方程求解即可． 【详解】解：设两人合作了天， ∴由题意可得： 解得： ∴甲的工作量为 ∴甲的报酬为：元， ∴乙的报酬为：元， 故选：B． 46．（2024·浙江绍兴·一模）某市为缓解交通拥堵，决定修建高架快速路，原计划用20个月完成这项工程，实际提前2个月完成该工程，求实际每月的工作效率比原计划提高的百分比．若设实际每月的工作效率比原计划提高的百分比是，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据结果比原计划提前2个月完成交货，列方程即可． 【详解】解：设实际每月的工作效率比原计划提高的百分比是，根据题意，得 故选：A． ►题型03 销售盈亏问题 47．（2024·山西大同·二模）2023年12月22日，第78届联合国大会协商一致通过决议，将春节（农历新年）确定联合国假日，“中国年”升格为“世界年”．某商场购进一批“国潮”年货礼盒，每盒进价为200元，为庆祝这一好消息，商场决定在12月22日，将这批“国潮”年货礼盒按标价的8折销售．若打8折后仍能获利，则这批“国潮”年货礼盒每盒的标价应为（    ） A．220元 B．260元 C．300元 D．320元 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用之打折问题，熟练掌握打折问题的解法是解题的关键． 设该服装每件标价是x元，根据题意，得，求解即可． 【详解】解：设该服装每件标价是x元，根据题意，得 ， 解得， 故选C． 48．（2024·云南楚雄·二模）云南蒙自石榴是全国特色水果之一，是全国农产品地理标志．它的果实呈浅红色，果肉挺实，丰厚鲜美，甜酸娇嫩，口感宜人，有清热解毒、良性收敛肌肤等功效，深受群众喜爱，成为人们日常生活中不可缺少的美食．小红到水果批发市场购买石榴，店里标注石榴每千克20元，她与老板经过议价，老板同意在购买很多的情况下，按原价打九折卖给小红．称完质量后，老板告诉小红：“你比上一位顾客多买了5千克，打折后你比他按原价购买还少花10元．”则小红购买石榴的质量是（    ） A．45千克 B．50千克 C．55千克 D．60千克 【答案】C 【分析】本题考查实际问题与一元一次方程，设小红购买石榴的质量是千克，则上一位顾客购买石榴的质量是千克，根据小红花的钱比上一位顾客少花10元，列式求解即可． 【详解】解：设小红购买石榴的质量是千克，则上一位顾客购买石榴的质量是千克， 根据题意得：， 整理得，解得， 答：小红购买石榴的质量是55千克， 故选：C． 49．（23-24八年级上·山东临沂·期末）老师上课提出问题：“某超市的一种瓶装饮料每箱售价为36元，五一期间对该瓶装饮料进行促销活动，买一箱送两瓶，这相当于每瓶按原价九折销售，求这家超市销售这种饮料的原价每瓶是多少元及每箱多少瓶？”以下为四位同学列出的方程，正确的是（    ） 甲：设该品牌的饮料每瓶是元，则 乙：设该品牌饮料每箱瓶，则 丙：设该品牌的饮料每瓶是元，则 丁：设该品牌饮料每箱瓶，则 A．甲、乙 B．乙、丙 C．乙、丁 D．只有乙 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系是解题的关键．根据题意可设这种饮料的原价每瓶是元，则根据等量关系“九折购买的饮料数量比元购买的一箱饮料的数量多2瓶”，或“一箱加2瓶的饮料九折后的价格是元”；若设每箱有瓶，则根据“购买一箱加2瓶时，每瓶的价格和每瓶九折后的价格相等”分别列出方程即可． 【详解】解：设这种饮料的原价每瓶是元，则有； 设该种饮料每箱有瓶，则有， 因此四位同学列出的方程中，乙、丙两个同学是正确的，故B正确． 故选：B． ►题型04 比赛积分问题 50．（2022·河北石家庄·模拟预测）在全国足球甲级A组的前轮比赛中，某队保持不败，共积累分．按比赛规则，胜一场得分，平一场得分，那么该队胜的场数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设该队胜的场数是x，根据“某队保持不败，共积累分．按比赛规则，胜一场得分，平一场得分”列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设该队胜的场数是x， 则 解得， 即该队胜的场数是6， 故选：C 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，正确列出方程是解题的关键． 51．（2022·贵州铜仁·中考真题）为了增强学生的安全防范意识，某校初三（1）班班委举行了一次安全知识抢答赛，抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分．小红一共得70分，则小红答对的个数为（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】B 【分析】设小红答对的个数为x个，根据抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分，列出方程求解即可． 【详解】解：设小红答对的个数为x个， 由题意得， 解得， 故选B． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是列出方程求解是解题的关键． 52．（2019·广东深圳·一模）在2018﹣2019赛季英超足球联赛中，截止到3月12号止，蓝月亮曼城队在联赛前30场比赛中只输4场，其它场次全部保持不败．共取得了74个积分暂列积分榜第一位．已知胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，设曼城队一共胜了x场，则可列方程为（　　） A．3x+（30﹣x）＝74 B．x+3 （30﹣x）＝74 C．3x+（26﹣x）＝74 D．x+3 （26﹣x）＝74 【答案】C 【分析】根据题意分析，可以设曼城队一共胜了x场，则平了（30-x-4）场，找出等量关系：总积分=3×获胜场数+1×踢平场数，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】设曼城队一共胜了x场，则平了（30﹣x﹣4）场， 依题意，得：3x+（30﹣x﹣4）＝74， 即3x+（26﹣x）＝74． 故选C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． ►题型05 方案选择问题 53．（2023·湖南岳阳·二模）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题：今有共买物，人出八，盈三：人出七，不足四．问物价几何？意思是：几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱：如果每人出7钱，则少了4钱，问该物品的价值多少钱？在这个问题中，该物品价值的钱数为（    ） A．53 B．56 C．59 D．62 【答案】A 【分析】设人数为x，再根据两种付费的总钱数一样即可求解． 【详解】解：设人数为x， 由题意得： 解得：， ∴该物品价值的钱数为， 故答案选：A． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，难度不大，属于基础题型．解题的关键是找准等量关系并准确表示． 54．（2022·湖北十堰·一模）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数，羊价各是多少？如果我们设合伙人数为x，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，可以列出相应的一元一次方程，本题得以解决． 【详解】解：设合伙人数为x，则可列方程为 ； 故选：A 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 55．（2020·北京朝阳·二模）某便利店的咖啡单价为10元/杯，为了吸引顾客，该店共推出了三种会员卡，如下表： 例如，购买A类会员卡，1年内购买50次咖啡，每次购买2杯，则消费40+2×50×（0.9×10）=940元. 若小玲1年内在该便利店购买咖啡的次数介于75~85次之间，且每次购买2杯，则最省钱的方式为 A．购买A类会员卡 B．购买B类会员卡 C．购买C类会员卡 D．不购买会员卡 【答案】C 【分析】设一年内在便利店购买咖啡x次，用x表示出购买各类会员年卡的消费费用，把x＝75、85代入计算，比较大小得到答案． 【详解】解：设一年内在便利店购买咖啡x次， 购买A类会员年卡，消费费用为40＋2×(0.9×10)x＝(40＋18x)元； 购买B类会员年卡，消费费用为80＋2×(0.8×10)x＝(80＋16x)元； 购买C类会员年卡，消费费用为130＋(10＋5)x＝(130＋15x)元； 把x＝75代入得A：1390元；B：1280元；C：1255元， 把x＝85代入得A：1570元；B：1440元；C：1405元， 则小玲1年内在该便利店购买咖啡的次数介于75～85次之间，且每次购买2杯，则最省钱的方式为购买C类会员年卡． 故选：C． 【点睛】本题考查的是一元一次方程的实际应用，根据题意正确列出函数式解题的关键． 56．（2019·山西大同·二模）寒假期间，小刚组织同学一起去看科幻电影《流浪地球》，票价每张45元，20张以上（不含20张）打八折，他们一共花了900元，则他们买到的电影票的张数是（　　） A．20 B．22 C．25 D．20或25 【答案】D 【分析】本题分票价每张45元和票价每张45元的八折两种情况讨论，根据数量＝总价÷单价，列式计算即可求解． 【详解】①若购买的电影票不超过20张，则其数量为900÷45＝20（张）； ②若购买的电影票超过20张， 设购买了x张电影票， 根据题意，得：45×x×80%＝900， 解得：x＝25； 综上，共购买了20张或25张电影票； 故选D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，注意分类思想的实际运用，同时熟练掌握数量，总价和单价之间的关系． ►题型06 数字问题 57．（2024·福建福州·模拟预测）把9个数填入的方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛书”（图1），是世界上最早的“幻方”．图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中的值为（    ） A．7 B．4 C．1 D．6 【答案】C 【分析】此题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意得到方程求解．根据题意设左边中间位置为c，左上为b．求出“九宫格”中的b、c，再求出a即可求解． 【详解】如图， 依题意可得， 解得． ∴， 解得． ， 解得． 故选：C． 58．（2023·福建宁德·模拟预测）九宫格起源于中国古代的神秘图案河图和洛书如图，将，，，，，，，，，填入九宫格内，使每行、每列、每条对角线上三个数的和都相等，则的值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据第三横行和第三竖行的和相等，可得出关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 的值为． 故选：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 59．（2023·山东滨州·一模）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图2的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】A 【分析】根据三阶幻方中的数字列方程求解即可． 【详解】解：由题意知，， 解得， ， 即， 解得， ∴ 故选：A． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的知识以及零指数幂，熟练根据三阶幻方列方程求解是解题的关键． 60．（2022·广东佛山·三模）我国古代的洛书中记载了最早的三阶幻方九宫图．在如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幻方中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等列出方程，即可求解． 【详解】解：设幻方正中间的数字为， 依题意得：， 解得：． 故选A． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． ►题型07 和差倍分问题 61．（2024·辽宁·模拟预测）学校组织植树活动，已知在甲处植树的有人，在乙处植树的有人现调人去支援，使在甲处植树的人数是乙处植树人数的倍，问应调往甲、乙两处各多少人？设应调往甲处人，则所列方程正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设应调往甲处人，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设应调往甲处人， 由题意可得，， 故选：． 62．（2024·广东广州·中考真题）某新能源车企今年5月交付新车35060辆，且今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆．设该车企去年5月交付新车辆，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出题目中的数量关系是解题关键．设该车企去年5月交付新车辆，根据“今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆”列出方程即可． 【详解】解：设该车企去年5月交付新车辆， 根据题意得：， 故选：A． 63．（2024·浙江台州·二模）在一次学农活动中，在甲处劳动的有27人，在乙处劳动的有19人．现在另调20人去支援，使得在甲处的人数为在乙处人数的2倍，设调往甲处人，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设应调往甲处人，那么调往乙处的人数是人，调动后甲处的人数是人，乙处的人数是人，根据在甲处劳动的人数为乙处人数的2倍，就可以列出方程即可． 【详解】解：设应调往甲处人，那么调往乙处的人数是人， 根据题意得：． 故选：D． ►题型08日历问题 64．（2024·浙江·模拟预测）从某个月的月历表中取一个方块．已知这个方块所围成的4个方格的日期之和为44，求这4个方格中的日期．若设左上角的日期为x，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．左上角的日期为x，则其余三个数分别为，，，根据和为44，列出方程即可． 【详解】解：设左上角的日期为x， 依题意得， 故选：C 65．（2024·湖北武汉·一模）如图所示的是某年2月份的月历，其中“U型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字（“U型”、“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动），设“U型”覆盖的五个数字之和为，“十字型”覆盖的五个数字之和为．若，则的最大值为（    ） A．201 B．211 C．221 D．236 【答案】B 【分析】此题重点考查列代数式、一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题等知识与方法，正确地用代数式表示“U型”覆盖的每个数及“十字型”覆盖的每个数是解题的关键．设U型阴影覆盖的最小数字为a，十字形阴影覆盖的中间数字为b，分别求出的代数式，根据得到a，b的关系，代入即可求解． 【详解】解：设U型阴影覆盖的最小数字为a，则其他的数字分别是， ， 设十字形阴影覆盖的中间数字为b，则其他数字分别是， ， ， ， 整理得：，即， ， ， 随a的增大而增大， 在符合题意得情况下，当时，a有最大值16， 此时，的最大值为：， 故选：B． 66．（2022·重庆渝中·二模）正整数1至300按一定的规律排列如表所示，若将表中三个涂黑的方框同时移动到表中其它的位置，使它们重新框出三个数，那么方框中三个数的和可能是（    ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 … A．315 B．416 C．530 D．644 【答案】C 【分析】设带阴影的方框中，最小的数是则其他两个是可得三个数的和是根据各选项列方程，解为正整数的符合题意．因为有7列，所以也要考虑在表格中的位置． 【详解】解：设带阴影的方框中，最小的数是则其他两个是 ∴三个数的和是 A   若三个数的和是315，则 解得 ∵x是正整数， ∴A不符合题意． B   若三个数的和是416，则 解得 ∵x是正整数， ∴B不符合题意． C   若三个数的和是530，则 解得 则这三个数是172，178，180，故C符合题意． D   若三个数的和是644，则 解得 ∵在第30行第7列， ∴644不符合题意， ∴D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是找到三个数的规律，根据题意列方程． ►题型09几何问题 67．（2024·河北保定·二模）如图，直线，直线于点A，直线于点B，点P从点A出发，沿着箭头方向前进，速度为；同时点Q从点B出发，沿着箭头方向前进，速度为．两点的运动时间为，直线a与b之间的距离为，则当点P与点Q距离最近时，t的值为（    ） A．5 B．6 C．10 D．15 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定与性质、平行线的距离、解一元一次方程等知识，关键是找到点P与点Q距离最近时的位置是解答的关键．先证明，进而得到当与直线c垂直时点P与点Q距离最近，此时直线，则，进而由已知列方程求解即可． 【详解】解：如图，设直线d与直线a交于点C， ∵直线，直线于点A，直线于点B，直线a与b之间的距离为， ∴，， 故当与直线d垂直时点P与点Q距离最近，此时直线 ∴， ∴，解得， 故选：B． 68．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，点A，C分别表示数与5，点B在线段上，且，则点B对应的数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，一元一次方程的应用，设点B对应的数为，则，据此建立方程，解方程即可． 【详解】解：设点B对应的数为， 由题意得，， ∵， ∴， 解得， ∴点B对应的数为3， 故选：C． 69．（2023·浙江金华·模拟预测）一条数轴上有点、，点在线段上，其中点、表示的数分别是，，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在射线上，并且，则点表示的数是（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，在数轴上表示有理数，一元一次方程的应用．分类讨论，根据对折得到是解题的关键． 设点表示的数为，由题意知，分当在线段的延长线上和线段上，两种情况分别求解即可． 【详解】解：设点表示的数为，分点在线段的延长线上，点在线段上两种情况求解； ①当在线段的延长线上时， ， 点表示的数为， ， ， 解得：； ②当在线段上时， ， 点表示的数为， ， ， 解得：； ∴点表示的数是或． 故选：D． ►题型10 行程问题 70．（2024·江苏无锡·中考真题）《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题（凫：野鸭），大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要9天．如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相遇？设经过天相遇，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，根据题意可得野鸭的速度为，大雁的速度为，设经过天相遇，则相遇时野鸭的路程+大雁的路程=总路程，据此即可列出方程． 【详解】解：设经过天相遇， 可列方程为：， 故选：A． 71．（2024·四川乐山·模拟预测）《九章算术》中有这样一道题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步．若走路慢的人先走 100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注步为长度单位）．设走路快的人要走x步才能追上，则正确的是（   ） A．依题意 B．依题意 C．走路快的人要走200步才能追上 D．走路快的人要走300 步才能追上 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设走路快的人要走x步才能追上，由走路快的人走x步所用时间内比走路慢的人多行100步，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设走路快的人要走x步才能追上，则走路慢的人走， 依题意，得：． 故选：B． 72．（2024·辽宁·模拟预测）我国古代名著《算学启蒙》中有这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则由题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设快马天可以追上慢马，根据路程速度时间，即可得出关于的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：依题意，得：． 故选：A． 命题点四 利用二元一次方程解决实际问题 ►题型01 方案问题 73．（2024·浙江金华·二模）一工坊用铁皮制作糖果盒，每张铁皮可制作盒身20个，或制作盒底30个，一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒．现有35张铁皮，设用x 张制作盒身，y张制作盒底，恰好配套制成糖果盒，则下列方程组中符合题意的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设用x 张制作盒身，y张制作盒底，根据题意列出方程组即可． 【详解】解：设用x 张制作盒身，y张制作盒底， 根据题意得：， 故选：B． 74．（2024·浙江宁波·模拟预测）2024年元旦期间，小华和家人到汾河公园景区游玩，湖边有大小两种游船，小华发现：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．则1艘大船可以满载游客的人数为（    ）    A．15 B．16 C．17 D．19 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：根据题意列出等量关系式．设1艘大船可以满载游客人，1艘小船可以满载游客人，由题意：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人，列出二元一次方程组，解方程组，即可求解， 【详解】解：设1艘大船可以满载游客人，1艘小船可以满载游客人， 依题意得：， 解得：， 即1艘大船可以满载游客的人数为人， 故选:． 75．（2022·北京大兴·二模）根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500克）和小瓶装（250克）两种产品的销售数量（按瓶计算）比为2∶5．某厂每天生产这种消毒液22500000克，这些清毒液应该分装大，小瓶两种产品各多少瓶?设这些消毒液应该分装大瓶x瓶，小瓶y瓶．依题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，找出等量关系，列方程组． 【详解】解：， ， 方程组为， 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是从题目中找到等量关系，列出方程组． ►题型02 行程问题 76．（2024·湖北武汉·模拟预测）甲、乙二人都以不变的速度在环形跑道上跑步，如果同时同地出发，相向而行，每隔相遇一次；如果同向而行，每隔相遇一次．则（   ） A．甲每分跑圈，乙每分跑圈 B．甲每分跑圈，乙每分跑圈或甲每分跑圈，乙每分跑圈 C．甲每分跑圈，乙每分跑圈 D．甲每分跑圈，乙每分跑圈或甲每分跑圈，乙每分跑圈 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设甲的速度为，乙的速度为，环形路的长度为单位1，由题意得出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设甲的速度为，乙的速度为，环形路的长度为单位1，当甲比乙跑得快时， 由题意得， 解得， ∴甲每分跑圈，乙每分跑圈， 当乙跑得比甲快时，同理可得：甲每分跑圈，乙每分跑圈； 故选：B． 77．（2024·浙江宁波·一模）甲乙两人练习跑步，如果乙先跑10米，甲跑5秒就可追上乙；如果乙先跑2秒，甲跑4秒就可追上乙．设甲的速度为x米/秒，乙的速度为y米/秒，则可列出的方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，确定等量关系即甲跑的路程等于乙的两次跑的路程的和，列出方程即可，本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意是解题的关键． 【详解】根据题意，得， 故选B． 78．（2023·浙江台州·一模）作业本中有这样一道题：“小明去郊游上午9时从家中出发，先走平路，然后登山，中午12时到达山顶，原地休息1h后沿原路返回，正好下午3时到家．若他平路每小时走，登山每小时走，下山每小时走，求小明家到山顶的路程．”小李查看解答时发现答案中的方程组中有污损，，则答案中另一个方程应为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可知a表示上山所用时间，b表示下山所用时间，分别求出从家到山顶、从山顶到家所用的时间，两者之差等于上山与下山所用时间之差，由此可列等式． 【详解】解：由题意知，表示上山的路程等于下山的路程， a表示上山用的时间，b表示下山用的时间， 由题意知，小明从家到山顶所用时间为， 从山顶回到家所用时间为， 上山比下山多用时间为：， ， 故选：C． 【点睛】本题考查列二元一次方程组，解题的关键是理解方程中a，b的含义． ►题型03 利润问题 79．（2024·安徽·一模）某学校为了打造“书香校园”，丰富师生的业余文化生活，计划采购，两种图书，已知采购2本种图书和3本种图书共需110元，采购1本种图书和5本种图书共需160元，则，两种图书的单价分别为（    ） A．10元、30元 B．30元、10元 C．25元、20元 D．60元、20元 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设，两种图书的单价分别为元，元，根据题意列出方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：设，两种图书的单价分别为元，元，根据题意得， 解得： 即，两种图书的单价分别为10元、30元， 故选：A． 80．（2023·云南曲靖·一模）英语吴老师准备购买清华纪念徽章和北大纪念书签奖励英语口语考试满分的同学，据了解，购买5枚徽章和2枚书签共需元，购买3枚徽章和2枚书签共需元，则徽章和书签的单价分别是（    ） A．元，元 B．元，元 C．元，元 D．元，元 【答案】D 【分析】设徽章和书签的单价分别是x元，y元，根据费用列方程组直接求解即可得到答案； 【详解】解：设徽章和书签的单价分别是x元，y元，由题意可得， ， 解得：， 故选D； 【点睛】本题考查二元一次方程组解决实际应用题，解题的关键是找到等量关系式． 81．（2022·浙江金华·模拟预测）某商场按定价销售某种商品时，每件可获利45元；按定价的8.5折销售该商品8件与将定价降低35元销售该商品12件所获利润相等．该商品的进价、定价分别是（    ） A．95元，140元 B．155元，200元 C．100元，145元 D．150元，195元 【答案】B 【分析】设每件商品定价x元，进价y元，由题意表示出销售8件和销售12件的利润，进而列出方程组，求出方程组的解即可． 【详解】解：设每件商品定价x元，进价y元，根据题意得： ， 解得：， 即该商品每件进价155元，定价每件200元， 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找出正确等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键． ►题型04 和差倍问题 82．（2019·湖南永州·三模）古代 “绳索量竿”问题：“一条竿子一条索．索比竿子长一托，折回索却量竿，却比竿子短一托．” 其大意为：现有一根竿和一条绳索．用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．则绳索和竿长分别为（   ） A．30尺和15尺 B．25尺和20尺 C．20尺和15尺 D．15尺和10尺 【答案】C 【分析】设绳索长y尺，竿长x尺，根据“用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设绳索长y尺，竿长x尺， 根据题意得：，解得：， ∴绳索和竿长分别为20尺和15尺， 故选C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 83．（2019·山西太原·二模）据国家统计局山西调查总队抽样调查结果，2018年山西省粮食总产量为138.04亿千克，比上年增加2.53亿千克．其中，夏粮产量比上年减产1.65%，秋粮产量比上年增产2.6%，若设2017年山西省夏粮产量为x亿千克，秋粮产量为y亿千克，则根据题意列出的方程组为(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设2017年山西省夏粮产量为x亿千克，秋粮产量为y亿千克，根据关键描述语“2018年山西省粮食总产量为138.04亿千克，比上年增加2.53亿千克”、“夏粮产量比上年减产1.65%，秋粮产量比上年增产2.6%”列出方程组． 【详解】解：设2017年山西省夏粮产量为x亿千克，秋粮产量为y亿千克， 由题意知，． 故选C． 【点睛】考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组． 84．（2019·浙江宁波·一模）某加工厂有工人50名，生产某种一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天平均生产螺栓14个或螺母20个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，能使生产出的螺栓和螺母刚好配套？设应安排x人生产螺栓，y人生产螺母，则所列方程组为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题的等量关系为：生产螺栓的工人人数+生产螺母的工人人数＝50；生产的螺栓的数量×2＝生产的螺母的数量．由此可列出方程组 【详解】设生产螺栓的有x人，生产螺母的有y人． 由题意，得， 故选B． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组． ►题型05 几何问题 85．（2023·新疆乌鲁木齐·二模）如图，在长为15，宽为12的矩形中，有形状、大小完全相同的5个小矩形，若求阴影部分的面积，应先求一个小矩形的面积，设小矩形的长为x，宽为y，则列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形体现的小矩形的长的2倍与宽的两倍的和是15，长是宽的3倍，即可得到方程组． 【详解】解：设小矩形的长为x，宽为y，则可得 故选：C 【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，找对等量关系是列方程组的关键． 86．（2023·河北保定·二模）张师傅要制作一个无盖长方体玻璃鱼缸，切割出来的几块玻璃的尺寸如图所示（单位：dm），则其体积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设长方体底面的长和宽分别，，根据其平面展开图的相关数据可得关于x、y的二元一次方程组，然后根据长方体的体积公式求解即可. 【详解】解：设长方体底面的长和宽分别，， 由平面图可知，，解得； 故鱼缸的体积为. 故选A. 【点睛】本题考查了长方体的平面展开图以及二元一次方程组等知识，弄清长方体的展开图与圆长方体中长、宽、高的关系是解题的关键. 87．（2022·河北石家庄·三模）如图所示的是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中三块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低，两块竖放的墙砖比两块横放的墙砖高，则每块墙砖的截面面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设每块墙砖的长为，宽为，观察图形，根据长方形墙砖长宽之间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可求出x，y的值，再利用长方形的面积计算公式，即可求出每块墙砖的截面面积． 【详解】解：设每块墙砖的长为，宽为， 由题意得：， 解得：， ∴， ∴每块墙砖的截面面积是． 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 基础巩固 一、单选题 1．（2024·广东佛山·三模）小明做作业时发现方程已被墨水污染：电话询问老师后知道：方程的解且被墨水遮盖的是一个常数．则该常数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一元一次方程的解．设被污染的常数■是a，把代入计算即可求出a的值． 【详解】解：设被污染的常数■是a， 把代入，得：， 解得， 故选A． 2．（2024·广东河源·二模）若是关于x的方程的解，则的值是（    ） A． B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的解，将代入方程，求出的值，从而求出的值．掌握其解法是本题的关键． 【详解】解：将代入方程， 得， 解得， 则． 故选：D． 3．（2024·广东肇庆·一模）当时，与互为相反数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程，代数式求值，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：当时，， 依题意， 解得：， 故选：A． 4．（2024·广东江门·模拟预测）二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，运用加减消元法求解即可 【详解】解： 得，， 解得，， 把代入②得，， 解得，， ∴方程组的解为， 故选：D 5．（2023·四川成都·模拟预测）成语“朝三暮四”讲述了一位老翁喂养猴子的故事，老翁为了限定猴子的食量分早晚两次投喂，早上的粮食是晚上的，猴子们对于这个安排很不满意，于是老翁进行调整，从晚上的粮食中取千克放在早上投喂，这样早上的粮食是晚上的，猴子们对这样的安排非常满意．设调整前早上的粮食是千克，晚上的粮食是千克，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据调整前和调整后分别列式，可列二元一次方程组，即可选出答案． 【详解】解：∵调整前早上的粮食是千克，晚上的粮食是千克，且早上的粮食是晚上的， ∴． ∵老翁从晚上的粮食中取千克放在早上投喂后， ∴早上粮食为千克，晚上粮食为千克， ∵调整后早上的粮食是晚上的， ∴， ∴可列方程组， 故选B． 6．（2024·辽宁辽阳·一模）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子去量竿，却比竿子短一托．”题目大意是：现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短了5尺．设竿长为尺，绳索长为尺，则符合题意的方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查古代问题与二元一次方程组，根据用绳索去量竿，绳索比竿长5尺，如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短了5尺，列方程即可． 【详解】解：设竿长为x尺，绳索长为y尺， 用绳索去量竿，绳索比竿长5尺， ， 将绳索对半折后再去量竿，就比竿短了5尺， ， ， 故选：B． 7．（2024·广东广州·一模）若关于的一个一元一次不等式组的解集为(为常数且)，则称 为这个不等式组的“解集中点”．若关于的不等式组 的解集中点大于方程 的解且小于方程的解， 则 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次不等式组，解一元一次方程，先求出不等式组的解集、方程的解和方程的解，再根据关于的不等式组 的解集中点大于方程的解且小于方程的解，即可得到的取值范围，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的方法和解一元一次方程的方法． 【详解】由可得：， 方程的解为， 方程的解为， ∵关于的不等式组的解集中点大于方程的解且小于方程 的解， ∴， 解得， 故选：． 8．（2024·广东深圳·二模）下图是明代数学家程大位所著的《算法统宗》中的一个问题，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两：如果每人分九两，则还差八两．设共有银子x两，共有y人，则所列方程（组）错误的是（    ） 隔壁听得客分银， 不知人数不知银， 七两分之多四两， 九两分之少半斤. 《算法统宗》 注：明代时1斤=16两，故有“半斤八两”这个成语 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 根据“如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九，则还差八两”，即可列出关于x或y的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：∵如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九，则还差八两． ∴或或． 故选：D． 二、填空题 9．（2024·贵州贵阳·二模）已知关于的方程的解是，则的值为 ． 【答案】 【分析】把方程的解代入原方程，方程左右两边相等得到关于的方程，解方程即可．本题考查了一元一次方程的解，解题的关键是知道使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 【详解】解：把代入方程中得： ， ， 故答案为：． 10．（2024·湖南·二模）古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两，今有干丝一十二斤，问生丝几何？”现有一类似问题：今有新鲜冬笋30斤，干燥后会损耗24斤，若干燥后得到的干冬笋是12斤，则原有新鲜冬笋 斤． 【答案】60 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确找到等量关系是解题关键．可设原有生丝为斤，根据比值是一定的，列出方程计算即可求解． 【详解】解：设新鲜冬笋为斤， ， 解得． 故新鲜冬笋为斤． 故答案为：． 11．（2024·河北秦皇岛·二模）七（1）班的学生分成三个小组，利用星期日的时间去参加公益活动，第一组有学生名，第二组的学生人数比第一组学生人数的2倍少10人，第三组的学生人数是第二组学生人数的一半． （1）七（1）班共有 名学生； （2）若七（1）班共有45名学生，则的值为 ． 【答案】 15 【分析】本题考查列代数式、整式加减运算等知识，根据第一组有学生名，得到第二组的学生人数和第三组的学生人数，三组人数求和即可得到七（1）班学生总数；再由七（1）班共有45名学生，列方程求解即可得到答案，读懂题意，列出代数式及一元一次方程求解是解决问题的关键． 【详解】解：（1）第一组有学生名，第二组的学生人数比第一组学生人数的2倍少10人，第三组的学生人数是第二组学生人数的一半， 第二组的学生人数是人；第三组的学生人数是人， 七（1）班共有名学生； （2）七（1）班共有45名学生， ， 解得； 故答案为：（1）；（2）15． 三、解答题 12．（2024·安徽合肥·模拟预测）某商场销售A，B两种品牌的营养早餐牛奶，其中A品牌牛奶原售价为60元/箱，B品牌牛奶原售价为80元/箱．某校决定在该商场购进A，B两种品牌牛奶共100箱，恰逢商场对两种品牌牛奶的售价进行调整，A品牌牛奶每箱售价比原售价降低了，B品牌牛奶每箱按原售价的8折出售． (1)设学校购进A品牌牛奶x箱，请直接在表格中填写结果； 品牌 购买单价（元/箱） 购买量（箱） 购买总价（元） A x ____________ B ____________ (2)如果该校此次购买A，B两种品牌牛奶的总费用为5800元，那么该校此次购买多少箱B品牌牛奶？ 【答案】(1)见解析 (2)40箱 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，理解题意是关键． （1）由单价乘以数量可得答案； （2）由购买A，B两种品牌牛奶的总费用为5800元，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：填表如下： 品牌 购买单价（元/箱） 购买量（箱） 购买总价（元） A x B （2）解：由题意得， 解得， ∴（箱）， 答：该校此次购买40箱B品牌牛奶． 13．（2024·山东临沂·模拟预测）某商超采购员李伯伯到临沂皇山蔬菜水果批发市场批发甲、乙两种蔬菜，已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示： 品名 甲蔬菜 乙蔬菜 批发价/（元/kg） 零售价/（元/kg） (1)若他批发甲、乙两种蔬菜共花90元．求批发甲乙两种蔬菜各多少千克？（列方程或方程组求解） (2)若他批发甲、乙两种蔬菜共花m元，设批发甲种蔬菜，求m与n的函数关系式； (3)在（2）的条件下，全部卖完蔬菜后要保证利润不低于元，至少批发甲种蔬菜多少千克？ 【答案】(1)批发甲蔬菜，乙蔬菜； (2)； (3)至少批发甲种蔬菜． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用、列函数关系式等知识点，弄清量之间的关系成为解题的关键． （1）设批发甲蔬菜，乙蔬菜，然后根据等量关系“批发甲、乙两种蔬菜共花90元”列一元一次方程求解即可； （2）设批发甲种蔬菜，乙蔬菜，然后根据销售金额等于单价乘数量列出关系式即可； （3）设批发甲种蔬菜，乙蔬菜，然后根据“全部卖完蔬菜后要保证利润不低于元”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设批发甲蔬菜，乙蔬菜， 由题意得：， 解得：， 乙蔬菜为：． 答：故批发甲蔬菜，乙蔬菜． （2）解：设批发甲种蔬菜，乙蔬菜， 由题意得：． 答：m与n的函数关系为：． （3）解:设批发甲种蔬菜，乙蔬菜， 由题意得， 解得． 答：至少批发甲种蔬菜． 14．（2024·贵州·模拟预测）北京时间2024年4月26日5时04分，神舟十八号航天员乘组顺利进驻中国空间站与神舟十七号航天员乘组太空会师，载人飞船发射取得了圆满成功！小星和小红都是航天爱好者，他们计划购买甲、乙两种飞船模型收藏．下面是两位同学的对话： (1)求甲、乙两种飞船模型每件的售价分别为多少元？ (2)若小星计划正好用200元零花钱购买以上两种飞船模型，且每种都有购买，请通过计算说明有多少种购买方案． 【答案】(1)甲种飞船模型每件进价25元，乙种飞船模型每件进价15元 (2)有2种购买方案：①购进5件甲种飞船模型和5件乙种飞船模型；②购进2件甲种飞船模型和10件乙种飞船模型 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用及二元一次方程的正整数解的应用，找准等量关系列出二元一次方程（组）是解题关键． （1）设甲种飞船模型每件进价x元，乙种飞船模型每件进价y元，根据1件甲种飞船模型和1件乙种飞船模型的售价共计40元，2件甲种飞船模型和3件乙种飞船模型的售价共计95元，建立二元一次方程组，解之即可； （2）设购进a件甲种飞船模型和b件乙种飞船模型，根据总价单价数量，得到关于a、b的二元一次方程，结合a、b是正整数即可得所有购买方案． 【详解】（1）解：设甲种飞船模型每件的售价为元，乙种飞船模型每件的售价为元， 根据题意得， 解得， 答：甲种飞船模型每件的售价为25元，乙种飞船模型每件售价为15元； （2）解：设购买件甲种飞船模型和件乙种飞船模型， 根据题意得， ， ，均为正整数， 当时，； 当时，， 有2种购买方案如下： ①购买5件甲种飞船模型和5件乙种飞船模型； ②购买2件甲种飞船模型和10件乙种飞船模型． 能力提升 一：单选题 1．（2024·辽宁·模拟预测）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了这样一个有趣的问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何.”这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94 只脚，问笼中各有多少只鸡和兔.设鸡有x 只，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，熟练掌握每只鸡脚数与每只兔脚数列出方程，是解题的关键． 本题可设鸡有x只，则兔有只，根据“今有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．”即可得出等量关系，根据等量关系列出方程即可， 【详解】设有x只鸡，则有只兔子， 可列方程为：． 故选：A． 2．（2024·河北邯郸·三模）已知实数a，b，c满足，甲、乙、丙、丁四名同学有如下结论 甲：若，则；乙：若，则； 丙：若，则；丁：若，则． 这四位同学的结论正确的是（  ） A．甲乙 B．甲丙 C．乙丙 D．丙丁 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质和不等式的性质，熟练掌握等式的性质和不等式的性质是解题的关键．等式的性质和不等式的性质进行推理，即可判断答案． 【详解】若，则， 解得， 所以甲的结论正确； 若，则， ， 解得， 所以乙的结论错误； 若，则， 则， ， 解得， 即， 所以丙的结论正确； 若时， 则， ， 解得， 所以丁的结论错误． 故选B． 3．（2024·河北·模拟预测）如图和图，天平两边托盘中相同形状的物体质量相同，且两架天平均保持平衡，若个“□”与个“○”的质量相等，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三元一次方程组，解题的关键是正确找出等量关系．设个“□”的质量为，个“△”的质量为，个“○”的质量为，再根据题意列出方程组即可求解． 【详解】解：设个“□”的质量为，个“△”的质量为，个“○”的质量为， 根据题意可得：， 整理得：， 得：， 即个“□”与个“○”的质量相等， 故选：B． 4．（2024·河北·模拟预测）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？大意：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行，问：人与车各多少？小青根据题意列出方程组小云根据题意列出一元一次方程，则下列说法正确的是（    ） A．小青正确，小云错误 B．小青错误，小云正确 C．小青、小云都正确 D．小青、小云都错误 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程和二元一次方程组，找准等量关系，正确列出一元一次和二元一次方程组是解题的关键，根据“若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行”，即可得出关于，的二元一次方程组，和关于的一元一次方程． 【详解】解：设人数量为个，车的辆数为辆， 若3人坐一辆车，则两辆车是空的， ∴； 若2人坐一辆车，则9人需要步行， ∴， ∴， 根据意可列出方程组为， 即小青错误，小云正确， 故选：B． 5．（2024·辽宁·模拟预测）幻方是一种中国传统数学游戏，将9个数填在（三行三列）的方格中，每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，这个相等的和就叫作幻和．如图1就是一个幻方，图2是一个未完成的幻方，请你推算出的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的应用和幻方，幻方是数学中的趣味性问题，关键是求出每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和． 根据幻方的性质，找到每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和，列出方程求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， ． 故选：A． 6．（2024·山东聊城·模拟预测）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．如图1，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，图2是一个未完成的幻方，则的值为（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、数学常识，解答本题的关键是明确题意，求出，的值． 根据题意可知：第一列的数字之和等于第一行的数字之和，从而可以计算出右上角的数字；根据第一列的数字之和等于对角线的三个数字之和，即可用含的代数式表示出最中间的数字；再根据第二列的数字之和等于第一列的数字之和，对角线的三个数字之和等于第三行的数字之和，可以列出方程组，然后求解得到和，再计算出即可． 【详解】解：由题意可得： 右上角的数字为， 最中间的数字为， ， 解得， ∴， 故选：D． 7．（2024·甘肃兰州·中考真题）数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了周果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果，苦果各买了多少个？设买了甜果x个，苦果y个，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，根据999文钱买了周果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，列出方程组即可． 【详解】解：设买了甜果x个，苦果y个，由题意，得： ； 故选A． 8．（2024·江苏扬州·三模）设是从，0，3这三个数中取值的一列数，若，，则（    ） A．154 B．155 C．156 D．157 【答案】D 【分析】本题考查的是数字的变化规律和二元一次方程组的应用，熟练掌握上述知识点是解题的关键． 根据题意，设这一列数中有个，个3，可列，即可求出与的值，再将其代入中计算即可． 【详解】解：设这一列数中有个，个3， 可列， 解得：， ， 故选：D． 二、填空题 9．（2024·山西·模拟预测）如图，块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，设每块小长方形地砖的长为，宽为，可列方程组： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设每块小长方形地砖的长为，宽为，由图示可得等量关系：①个长个长个宽，②一个长一个宽，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设每块小长方形地砖的长为，宽为，由题意得： ， 故答案为：． 10．（2024·湖北·模拟预测）我国古代对于利用二元一次方程组解决实际问题早有研究，《九章算术》中记载：“今有上禾三秉，益实六斗，当下禾十秉；下禾五秉，益实一斗，当上禾二秉．问上、下禾实一秉各几何？”其大意是：今有上等稻子三捆，若打出来的谷子再加六斗，则相当于十捆下等稻子打出来的谷子；有下等稻子五捆，若打出来的谷子再加一斗，则相当于两捆上等稻子打出来的谷子．问上等、下等稻子每捆能打多少斗谷子？ 答：（1）上等稻子每捆能打 斗谷子；（2）下等稻子每捆能打 斗谷子． 【答案】 8 3 【分析】设上等稻子每捆打斗谷子，下等稻子每捆打斗谷子，分别得出等量关系列出二元一次方程组，再进行求解即可求出答案； 此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系列出二元一次方程组是解题关键． 【详解】解：设上等稻子每捆打斗谷子，下等稻子每捆打斗谷子 根据题意： 解得： 答：上等稻子每捆打8斗谷子，下等稻子每捆打3斗谷子， 故答案为：8；3． 11．（2024·四川绵阳·三模）如果方程组的解也是方程的一个解，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程．先求出二次一次方程组的解，再代入，解一元一次方程即可得到的值． 【详解】解： 把②代入①得，， 解得，， 把代入②得，， ∴， 把代入得， ， 解得， 故答案为： 12．（2024·广东·模拟预测）关于x，y的方程组的解满足，则n的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程组与一元一次不等式的应用，掌握整体求未知数的方法是解本题的关键．得，根据得出关于n的不等式求解． 【详解】解：， ，得， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 13．（2024·贵州·模拟预测）2024年是甲辰龙年，小红记录了她的妈妈连续两天购买，两种龙年饰品账目：（，两种龙年饰品单价不变） 第一天购买3个种饰品和2个种饰品共84元； 第二天购买4个种饰品和1个种饰品共32元． (1)妈妈说她的记录错误，请帮她说明错误理由； (2)结果小红发现第一天错把34元写成84元，改正后求出每个种饰品单价6元，每个种饰品单价8元，妈妈决定再次购买种饰品和种饰品共20个，总费用不超过150元，那么最少可以购买多少个种饰品？ 【答案】(1)见解析 (2)妈妈最少可以购买种饰品5个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用； （1）设种饰品单价为元，种饰品单价为元，由题意可得，解方程组即可求解； （2）设购买种饰品个，则购买种饰品个，由题意可得，解不等式求不等式的最小整数解，即可求解． 【详解】（1）解：设种饰品单价为元，种饰品单价为元， 由题意可得， 解得 种饰品单价不能为负数， 她记录错误． （2）设购买种饰品个，则购买种饰品个， 由题意可得， 解得． 答：妈妈最少可以购买种饰品5个． 14．（2024·湖南怀化·模拟预测）某校运动会需购买，两种奖品，若购买种奖品件和种奖品件，共需元；若购买种奖品件和种奖品件，共需元． (1)求、两种奖品的单价各是多少元？ (2)学校计划购买，两种奖品共件，购买费用不超过元，且种奖品的数量不大于种奖品数量的倍，设购买种奖品件，购买费用为元，写出元与件之间的函数关系式求出自变量的取值范围，并确定最少费用的值． 【答案】(1)种奖品的单价为元，种奖品的单价为元； (2)元与件之间的函数关系式是，最少费用的值为 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程和不等式组，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值． （1）根据题意可以写出相应的二元一次方程组，然后求解即可； （2）根据题意和题目中的数据，可以写出（元与（件之间的函数关系式． 【详解】（1）解：设种奖品的单价为元，种奖品的单价为元， 由题意可得：， 解得， 答：种奖品的单价为元，种奖品的单价为元； （2）解：由题意可得， ， 随的增大而减小， 购买费用不超过元，且种奖品的数量不大于种奖品数量的倍， ， 解得， 当时，取得最小值，此时， 答：元与件之间的函数关系式是，最少费用的值为． 15．（2024·广东深圳·模拟预测）宝安公明腊肠是深受当地民众喜爱的一种美食，其制作技艺至今已有百余年历史，该项目2017年被列入宝安区区级非物质文化遗产保护名录．某腊肠制作坊计划购买A，B两种香料制作腊肠．已知购买1千克A种香料和1千克B种香料共需60元，购买3千克A种香料和4千克B种香料共需220元． (1)求A，B两种香料的单价； (2)该小吃店计划购买两种香料共20千克，其中购买A种香料的重量不超过B种香料重量的3倍，当A，B两种香料分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用． 【答案】(1)A种香料的单价为20元，B种香料的单价为40元 (2)购买A种香料15千克，购买B种香料5千克，总费用最小，为500元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用等知识点，根据题意正确列出方程组、不等式以及一次函数的解析式成为解题的关键． （1）设A，B两种香料的单价分别为x元，y元，然后根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设购买A种香料a千克，则购买B种香料千克，总费用为w元．根据题意列不等式可求得，再列出函数关系式，然后根据一次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：设A，B两种香料的单价分别为x元，y元， 根据题意得：，解得：． 答：A种香料的单价为20元，B种香料的单价为40元． （2）解：设购买A种香料a千克，则购买B种香料千克，总费用为w元． 由题意可得:， , 由题意可得, , ，． 答：购买A种香料15千克，购买B种香料5千克，总费用最小，为500元． 16．（2024·湖南·模拟预测）“电梯安全系万家，正确使用靠大家”．某小区的货运电梯限重标志显示，载重总质量禁止超过．现需用此货运电梯装运一批设备，每套设备由2个A部件和1个B部件组成，且体积较小．已知1个A部件和2个B部件总质量为，2个A部件和1个B部件的质量相等． (1)求1个A部件和1个B部件的质量各是多少千克； (2)由于设备需要成套装运，且每次装运都需要两名工人装卸，已知两名装卸工人的质量分别为和，问货运电梯一次最多可装运多少套设备? 【答案】(1)1个A部件的质量是30千克，1个B部件的质量是60千克 (2)货运电梯一次最多可装运套设备 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设1个A部件的质量是x千克，1个B部件的质量是y千克，根据“1个A部件和2个B部件总质量为，2个A部件和1个B部件的质量相等”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设货运电梯一次可装运m套设备，根据货运电梯的载重总质量禁止超过，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设1个A部件的质量是x千克，1个B部件的质量是y千克，根据题意得： ， 解得，， 答：1个A部件的质量是30千克，1个B部件的质量是60千克； （2）解：设货运电梯一次可装运m套设备，根据题意得： 解得： 又∵m为正整数， ∴m的最大值为7 $$ 第二章 方程（组）与不等式（组） 第05讲 一次方程（组）及其应用（6~8分） ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 等式的基本性质 考点二 一元一次方程 考点三 二元一次方程（组） 考点四 一次方程（组）的应用 04题型精研·考向洞悉 命题点一 等式的基础性质 ►题型01 利用等式的性质判断变形正误 ►题型02 利用等式的性质求解 命题点二 一元一次方程 ►题型01 判断一元一次方程及其解 ►题型02 解一元一次方程 ►题型03 一元一次方程解的综合问题 命题点三 二元一次方程（组） ►题型01 二元一次方程（组）的概念 ►题型02 解二元一次方程组 ►题型03 二元一次方程组特殊解法 ►题型04 构造二元一次方程组求解 ►题型05 已知二元一次方程组的解的情况求参数 命题点三 一次方程的应用 ►题型01 配套问题 ►题型02 工程问题 ►题型03 销售盈亏问题 ►题型04 比赛积分问题 ►题型05 方案选择问题 ►题型06 数字问题 ►题型07 和差倍分问题 ►题型08日历问题 ►题型09几何问题 ►题型10 行程问题 命题点四 利用二元一次方程解决实际问题 ►题型01 方案问题 ►题型02 行程问题 ►题型03 利润问题 ►题型04 和差倍问题 ►题型05 几何问题 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 等式的基本性质 理解等式的基本性质 10年7考 一元一次方程与二元一次方程（组）在初中数学中因为未知数的最高次数都是一次，且都是整式方程,所以统称为“一次方程”. 中考中，对于这两个方程的解法及其应用一直都有考察，其中对于两个方程的解法以及注意事项是必须掌握的，而在其应用上也是中考代数部分结合型较强的一类考点. 预计2025年各地中考还将继续考查一次方程的解法和应用题，为避免丢分，学生应扎实掌握． 一元一次方程 能解一元一次方程 近10年连续考查 二元一次方程（组） 掌握消元法，能解二元一次方程组 能解简单的三元一次方程组[选学] 10年8考 一次方程（组） 的应用 利用一次方程求解实际问题 10年9考 考点一 等式的基本性质 ( 1. 利用等式的性质进行变形时，等式两边都要参加运算，而且是同一种运算 . 2 . 运用等式的性质 2 时，等式两边不能同时除以 0 ，因为 0 不能作除数或分母 . ) 考点二 一元一次方程 一元一次方程的概念：只含有一个未知数，且未知数的次数都是1，这样的整式方程叫一元一次方程. 一元一次方程标准形式：ax+b=0（x为未知数，a、b是常数且a≠0） 解一元一次方程的基本步骤： ( 1. 一元一次方程中未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数 . 2 . 一元一次方程只含有一个未知数 , 未知数的次数都为 1 . 3 . 解方程的五个步骤有些可能用不到，有些可能重复使用，也不一定有固定的顺序，要根据方程的特点灵活运用． 4 . 对于分母中含有小数的一元一次方程．当分母中含有一位小数时，含分母项的分子、分母都乘 10 ，化分母中的小数为整数；当分母中含有两位小数时，含分母项的分子、分母都乘 100 ，化分母中的小数为整数． ) 04题型精研·考向洞悉 考点三 二元一次方程（组） 考点四 一次方程（组）的应用 用方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 与一次方程（组）有关应用题的常见类型： 命题点一 等式的基础性质 ►题型01 利用等式的性质判断变形正误 1．（2023·广东佛山·模拟预测）下面各式的变形正确（   ） A．由5，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 2．（2024·山东潍坊·模拟预测）已知等式，则下列等式中成立的是（      ） A． B． C． D． 3．（2024·贵州·模拟预测）如图，在两台天平的左右两边分别放入“□”“ ”“”三种物体．若图①所示的天平保持平衡，要使图②的天平也保持平衡，则需在右盘放入“”的个数是（    ） A． B． C．7 D．8 4．（2024·贵州贵阳·一模）用“□”“△”“○”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示．设a，b，c均为正数，则能正确表示天平从左到右变化过程的等式变形为（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 ►题型02 利用等式的性质求解 5．（2024·安徽蚌埠·三模）若实数满足，则代数式的值为（    ）． A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 6．（2022·安徽·模拟预测）已知三个互不相等的非零实数，，满足，则的值是（    ） A． B．1 C． D．2 7．（2024·安徽·模拟预测）已知实数a、b、c满足，则下列命题为假命题的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 8．（2022·安徽合肥·三模）已知a≠b，且a＋＝b＋则下列结论正确的是（      ） A．a＋b＝0 B．ab＝1 C．若a＋b＝0，则a－b＝2 D．若a－b＝2，则a＋b＝0 命题点二 一元一次方程 ►题型01 判断一元一次方程及其解 9．（2024·广西河池·三模）关于x的方程的解是，则a的值为（   ） A． B．0 C．2 D．8 10．（2024·山东济南·二模）若是关于的方程的解，则的值是（    ） A． B． C． D． 11．（2024·海南·一模）已知是方程的解，则m的值为（   ） A．2 B．8 C．0 D． 12．（2023·湖南永州·中考真题）关于x的一元一次方程的解为，则m的值为（    ） A．3 B． C．7 D． ►题型02 解一元一次方程 13．（2024·甘肃兰州·模拟预测）下列等式是四位同学解方程过程中去分母的一步，其中正确的是（     ） A． B． C． D． 14．（2024·广东深圳·二模）下列变形，正确的是（     ） A．由，移项，得 B．由，去括号，得 C．由，合并同类项，得 D．由，去分母得 15．（2023·内蒙古包头·模拟预测）解方程： (1)； (2) 16．（2023·河北沧州·一模）对于任意四个有理数a，b，c，d，我们规定：，例如：，根据上述规定解决下列问题： (1)计算； (2)若，求x的值． ►题型03 一元一次方程解的综合问题 17．（2024·江苏盐城·一模）关于x的方程的解是，现给出另一个关于x的方程，则它的解是 ． 18．（2022·广东广州·一模）若关于x的方程的解为负数，则点（m，m+2）在第 象限． 19．（2021·浙江温州·一模）关于的方程的解是，现给出另一个关于的方程，则它的解是 ． 20．（2023·四川成都·二模）若实数a，b，c满足，且，则 ． 命题点三 二元一次方程（组） ►题型01 二元一次方程（组）的概念 21．（2022·云南曲靖·一模）若方程是关于x、y的二元一次方程，则ab的值为（    ） A． B．2 C． D．1 22．（2024·贵州毕节·三模）已知关于x，y的二元一次方程组的解也是方程的解，则k的值为（   ） A． B． C．2 D．无法计算 23．（2023·云南临沧·三模）若是二元一次方程组的解，则为（　　） A．2 B． C．3 D． 24．（2024·广东汕头·一模）若关于x，y的方程组的解满足，则的值为（    ） A．8 B． C．6 D． ►题型02 解二元一次方程组 25．（2023·天津东丽·二模）方程组的解是（    ） A． B． C． D． 26．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知关于x，y的二元一次方程组 ，则的值为（      ） A．12 B．9 C．6 D．4 27．（2024·广东深圳·二模）解方程组： 28．（2024·广东·模拟预测）解方程组： (1) (2) ►题型03 二元一次方程组特殊解法 29．（2024·山东·一模）已知，则的值分别为（　　） A． B． C． D． 30．（2023·甘肃平凉·三模）对于x，y定义一种新运算“*”： ，其中a，b为常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知：，，那么1*2运算的结果为（    ） A．2 B． C．13 D．1 31．（2021·山东淄博·一模）若点与点是正比例函数图象上关于原点的对称点，则的值为（    ） A． B． C．1 D．－1 32．（2019·北京丰台·一模）已知关于x，y的方程组的解．则关于x，y的方程组的解是（　　） A． B． C． D． ►题型04 构造二元一次方程组求解 33．（2022·广东广州·模拟预测）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的解法： 解：由①得将③代入②得：，即 把代入③得， ∴方程组的解为，请你模仿小军的“整体代入”法解方程组，解方程． 34．（2024·浙江温州·二模）观察以下二元一次方程组与对应的解： 二元一次方程组                解                (1)通过归纳未知数系数与解的关系，直接写出的解． (2)已知关于x，y的二元一次方程组（，）． ①猜想该方程组的解； ②将你猜想的解代入方程组检验并写出过程． 35．（2022·河北沧州·二模）解方程组． (1)下面给出了部分解答过程： 将方程②变形：，即 把方程①代入③得：… 请完成解方程组的过程； (2)若方程的解满足，求整数a的值． 36．（22-23七年级下·河南安阳·期末）［阅读理解]在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简． （1）解方程组， 解：把②代入①得，， 解得， 把代入②得， 所以方程组的解为， （2）已知求的值． 解：，得，③ ，得． ［类比迁移] （1）求方程组的解． （2）若求的值． ►题型05 已知二元一次方程组的解的情况求参数 37．（2024·河北沧州·模拟预测）若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 38．（2024·山东临沂·模拟预测）关于x，y的方程组的解中x与y的和小于5，则k的取值范围为（　　） A． B． C． D． 39．（2024·山东济宁·一模）已知为整数，关于，的二元一次方程组的解满足，则整数值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 40．（2023·山东聊城·一模）若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为（　　） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 命题点三 一次方程的应用 ►题型01 配套问题 41．（2024·广东深圳·三模）粽子作为中国历史文化积淀最深厚的传统食品之一，传播甚远，最初是用来是祭祀祖先神灵的贡品．某家庭制作的粽子礼盒每份由6个蛋黄肉粽和4个碱水粽组成．用1千克糯米可做24个蛋黄肉粽或16个碱水粽，现要用6千克糯米制作粽子，设用x千克糯米制作蛋黄肉粽，恰好使制作的蛋黄肉粽和碱水粽配套，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 42．（2024·广东深圳·二模）龙泉窑是中国历史上的一个名窑，宋代六大窑系，某龙泉窑瓷器工厂烧制龙泉青瓷茶具，每套茶具由1个茶壶和6只茶杯组成，用1千克瓷泥可做3个茶壶或9只茶杯，现要用6千克瓷泥制作这些茶具，设用x千克瓷泥做茶壶时，恰好使制作的茶壶和茶杯配套，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 43．（2023·广东汕头·一模）某车间有84名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知1个大齿轮和2个小齿轮配成一套．为使每天加工的大、小齿轮刚好配套，设每天加工大齿轮的有x人，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． ►题型02 工程问题 44．（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）某工程甲单独完成要25天，乙单独完成要20天．若乙先单独干10天，剩下的由甲单独完成，设甲、乙一共用x天完成，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 45．（2024·浙江·模拟预测）学校要制作一块广告牌，请来两名工人，已知甲单独完成需4天，乙单独完成需6天，若先由乙做1天，再两人合作，完成任务后共得到报酬900元，若按各人的工作量计算报酬，则分配方案为（    ） A．甲360元，乙540元 B．甲450元，乙450元 C．甲300元，乙600元 D．甲540元，乙360元 46．（2024·浙江绍兴·一模）某市为缓解交通拥堵，决定修建高架快速路，原计划用20个月完成这项工程，实际提前2个月完成该工程，求实际每月的工作效率比原计划提高的百分比．若设实际每月的工作效率比原计划提高的百分比是，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． ►题型03 销售盈亏问题 47．（2024·山西大同·二模）2023年12月22日，第78届联合国大会协商一致通过决议，将春节（农历新年）确定联合国假日，“中国年”升格为“世界年”．某商场购进一批“国潮”年货礼盒，每盒进价为200元，为庆祝这一好消息，商场决定在12月22日，将这批“国潮”年货礼盒按标价的8折销售．若打8折后仍能获利，则这批“国潮”年货礼盒每盒的标价应为（    ） A．220元 B．260元 C．300元 D．320元 48．（2024·云南楚雄·二模）云南蒙自石榴是全国特色水果之一，是全国农产品地理标志．它的果实呈浅红色，果肉挺实，丰厚鲜美，甜酸娇嫩，口感宜人，有清热解毒、良性收敛肌肤等功效，深受群众喜爱，成为人们日常生活中不可缺少的美食．小红到水果批发市场购买石榴，店里标注石榴每千克20元，她与老板经过议价，老板同意在购买很多的情况下，按原价打九折卖给小红．称完质量后，老板告诉小红：“你比上一位顾客多买了5千克，打折后你比他按原价购买还少花10元．”则小红购买石榴的质量是（    ） A．45千克 B．50千克 C．55千克 D．60千克 49．（23-24八年级上·山东临沂·期末）老师上课提出问题：“某超市的一种瓶装饮料每箱售价为36元，五一期间对该瓶装饮料进行促销活动，买一箱送两瓶，这相当于每瓶按原价九折销售，求这家超市销售这种饮料的原价每瓶是多少元及每箱多少瓶？”以下为四位同学列出的方程，正确的是（    ） 甲：设该品牌的饮料每瓶是元，则 乙：设该品牌饮料每箱瓶，则 丙：设该品牌的饮料每瓶是元，则 丁：设该品牌饮料每箱瓶，则 A．甲、乙 B．乙、丙 C．乙、丁 D．只有乙 ►题型04 比赛积分问题 50．（2022·河北石家庄·模拟预测）在全国足球甲级A组的前轮比赛中，某队保持不败，共积累分．按比赛规则，胜一场得分，平一场得分，那么该队胜的场数是（    ） A． B． C． D． 51．（2022·贵州铜仁·中考真题）为了增强学生的安全防范意识，某校初三（1）班班委举行了一次安全知识抢答赛，抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分．小红一共得70分，则小红答对的个数为（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 52．（2019·广东深圳·一模）在2018﹣2019赛季英超足球联赛中，截止到3月12号止，蓝月亮曼城队在联赛前30场比赛中只输4场，其它场次全部保持不败．共取得了74个积分暂列积分榜第一位．已知胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，设曼城队一共胜了x场，则可列方程为（　　） A．3x+（30﹣x）＝74 B．x+3 （30﹣x）＝74 C．3x+（26﹣x）＝74 D．x+3 （26﹣x）＝74 ►题型05 方案选择问题 53．（2023·湖南岳阳·二模）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题：今有共买物，人出八，盈三：人出七，不足四．问物价几何？意思是：几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱：如果每人出7钱，则少了4钱，问该物品的价值多少钱？在这个问题中，该物品价值的钱数为（    ） A．53 B．56 C．59 D．62 54．（2022·湖北十堰·一模）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数，羊价各是多少？如果我们设合伙人数为x，则可列方程（    ） A． B． C． D． 55．（2020·北京朝阳·二模）某便利店的咖啡单价为10元/杯，为了吸引顾客，该店共推出了三种会员卡，如下表： 例如，购买A类会员卡，1年内购买50次咖啡，每次购买2杯，则消费40+2×50×（0.9×10）=940元. 若小玲1年内在该便利店购买咖啡的次数介于75~85次之间，且每次购买2杯，则最省钱的方式为 A．购买A类会员卡 B．购买B类会员卡 C．购买C类会员卡 D．不购买会员卡 56．（2019·山西大同·二模）寒假期间，小刚组织同学一起去看科幻电影《流浪地球》，票价每张45元，20张以上（不含20张）打八折，他们一共花了900元，则他们买到的电影票的张数是（　　） A．20 B．22 C．25 D．20或25 ►题型06 数字问题 57．（2024·福建福州·模拟预测）把9个数填入的方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛书”（图1），是世界上最早的“幻方”．图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中的值为（    ） A．7 B．4 C．1 D．6 58．（2023·福建宁德·模拟预测）九宫格起源于中国古代的神秘图案河图和洛书如图，将，，，，，，，，，填入九宫格内，使每行、每列、每条对角线上三个数的和都相等，则的值为（   ）    A． B． C． D． 59．（2023·山东滨州·一模）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图2的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 60．（2022·广东佛山·三模）我国古代的洛书中记载了最早的三阶幻方九宫图．在如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等，则的值是（　　） A． B． C． D． ►题型07 和差倍分问题 61．（2024·辽宁·模拟预测）学校组织植树活动，已知在甲处植树的有人，在乙处植树的有人现调人去支援，使在甲处植树的人数是乙处植树人数的倍，问应调往甲、乙两处各多少人？设应调往甲处人，则所列方程正确的是（   ）． A． B． C． D． 62．（2024·广东广州·中考真题）某新能源车企今年5月交付新车35060辆，且今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆．设该车企去年5月交付新车辆，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 63．（2024·浙江台州·二模）在一次学农活动中，在甲处劳动的有27人，在乙处劳动的有19人．现在另调20人去支援，使得在甲处的人数为在乙处人数的2倍，设调往甲处人，则（    ） A． B． C． D． ►题型08日历问题 64．（2024·浙江·模拟预测）从某个月的月历表中取一个方块．已知这个方块所围成的4个方格的日期之和为44，求这4个方格中的日期．若设左上角的日期为x，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 65．（2024·湖北武汉·一模）如图所示的是某年2月份的月历，其中“U型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字（“U型”、“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动），设“U型”覆盖的五个数字之和为，“十字型”覆盖的五个数字之和为．若，则的最大值为（    ） A．201 B．211 C．221 D．236 66．（2022·重庆渝中·二模）正整数1至300按一定的规律排列如表所示，若将表中三个涂黑的方框同时移动到表中其它的位置，使它们重新框出三个数，那么方框中三个数的和可能是（    ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 … A．315 B．416 C．530 D．644 ►题型09几何问题 67．（2024·河北保定·二模）如图，直线，直线于点A，直线于点B，点P从点A出发，沿着箭头方向前进，速度为；同时点Q从点B出发，沿着箭头方向前进，速度为．两点的运动时间为，直线a与b之间的距离为，则当点P与点Q距离最近时，t的值为（    ） A．5 B．6 C．10 D．15 68．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，点A，C分别表示数与5，点B在线段上，且，则点B对应的数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 69．（2023·浙江金华·模拟预测）一条数轴上有点、，点在线段上，其中点、表示的数分别是，，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在射线上，并且，则点表示的数是（ ） A． B． C．或 D．或 ►题型10 行程问题 70．（2024·江苏无锡·中考真题）《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题（凫：野鸭），大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要9天．如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相遇？设经过天相遇，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 71．（2024·四川乐山·模拟预测）《九章算术》中有这样一道题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步．若走路慢的人先走 100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注步为长度单位）．设走路快的人要走x步才能追上，则正确的是（   ） A．依题意 B．依题意 C．走路快的人要走200步才能追上 D．走路快的人要走300 步才能追上 72．（2024·辽宁·模拟预测）我国古代名著《算学启蒙》中有这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则由题意可列方程（    ） A． B． C． D． 命题点四 利用二元一次方程解决实际问题 ►题型01 方案问题 73．（2024·浙江金华·二模）一工坊用铁皮制作糖果盒，每张铁皮可制作盒身20个，或制作盒底30个，一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒．现有35张铁皮，设用x 张制作盒身，y张制作盒底，恰好配套制成糖果盒，则下列方程组中符合题意的是（   ） A． B． C． D． 74．（2024·浙江宁波·模拟预测）2024年元旦期间，小华和家人到汾河公园景区游玩，湖边有大小两种游船，小华发现：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．则1艘大船可以满载游客的人数为（    ）    A．15 B．16 C．17 D．19 75．（2022·北京大兴·二模）根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500克）和小瓶装（250克）两种产品的销售数量（按瓶计算）比为2∶5．某厂每天生产这种消毒液22500000克，这些清毒液应该分装大，小瓶两种产品各多少瓶?设这些消毒液应该分装大瓶x瓶，小瓶y瓶．依题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． ►题型02 行程问题 76．（2024·湖北武汉·模拟预测）甲、乙二人都以不变的速度在环形跑道上跑步，如果同时同地出发，相向而行，每隔相遇一次；如果同向而行，每隔相遇一次．则（   ） A．甲每分跑圈，乙每分跑圈 B．甲每分跑圈，乙每分跑圈或甲每分跑圈，乙每分跑圈 C．甲每分跑圈，乙每分跑圈 D．甲每分跑圈，乙每分跑圈或甲每分跑圈，乙每分跑圈 77．（2024·浙江宁波·一模）甲乙两人练习跑步，如果乙先跑10米，甲跑5秒就可追上乙；如果乙先跑2秒，甲跑4秒就可追上乙．设甲的速度为x米/秒，乙的速度为y米/秒，则可列出的方程组为（   ） A． B． C． D． 78．（2023·浙江台州·一模）作业本中有这样一道题：“小明去郊游上午9时从家中出发，先走平路，然后登山，中午12时到达山顶，原地休息1h后沿原路返回，正好下午3时到家．若他平路每小时走，登山每小时走，下山每小时走，求小明家到山顶的路程．”小李查看解答时发现答案中的方程组中有污损，，则答案中另一个方程应为（    ） A． B． C． D． ►题型03 利润问题 79．（2024·安徽·一模）某学校为了打造“书香校园”，丰富师生的业余文化生活，计划采购，两种图书，已知采购2本种图书和3本种图书共需110元，采购1本种图书和5本种图书共需160元，则，两种图书的单价分别为（    ） A．10元、30元 B．30元、10元 C．25元、20元 D．60元、20元 80．（2023·云南曲靖·一模）英语吴老师准备购买清华纪念徽章和北大纪念书签奖励英语口语考试满分的同学，据了解，购买5枚徽章和2枚书签共需元，购买3枚徽章和2枚书签共需元，则徽章和书签的单价分别是（    ） A．元，元 B．元，元 C．元，元 D．元，元 81．（2022·浙江金华·模拟预测）某商场按定价销售某种商品时，每件可获利45元；按定价的8.5折销售该商品8件与将定价降低35元销售该商品12件所获利润相等．该商品的进价、定价分别是（    ） A．95元，140元 B．155元，200元 C．100元，145元 D．150元，195元 ►题型04 和差倍问题 82．（2019·湖南永州·三模）古代 “绳索量竿”问题：“一条竿子一条索．索比竿子长一托，折回索却量竿，却比竿子短一托．” 其大意为：现有一根竿和一条绳索．用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．则绳索和竿长分别为（   ） A．30尺和15尺 B．25尺和20尺 C．20尺和15尺 D．15尺和10尺 83．（2019·山西太原·二模）据国家统计局山西调查总队抽样调查结果，2018年山西省粮食总产量为138.04亿千克，比上年增加2.53亿千克．其中，夏粮产量比上年减产1.65%，秋粮产量比上年增产2.6%，若设2017年山西省夏粮产量为x亿千克，秋粮产量为y亿千克，则根据题意列出的方程组为(　　) A． B． C． D． 84．（2019·浙江宁波·一模）某加工厂有工人50名，生产某种一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天平均生产螺栓14个或螺母20个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，能使生产出的螺栓和螺母刚好配套？设应安排x人生产螺栓，y人生产螺母，则所列方程组为(　　) A． B． C． D． ►题型05 几何问题 85．（2023·新疆乌鲁木齐·二模）如图，在长为15，宽为12的矩形中，有形状、大小完全相同的5个小矩形，若求阴影部分的面积，应先求一个小矩形的面积，设小矩形的长为x，宽为y，则列方程组为（　　） A． B． C． D． 86．（2023·河北保定·二模）张师傅要制作一个无盖长方体玻璃鱼缸，切割出来的几块玻璃的尺寸如图所示（单位：dm），则其体积为（   ）    A． B． C． D． 87．（2022·河北石家庄·三模）如图所示的是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中三块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低，两块竖放的墙砖比两块横放的墙砖高，则每块墙砖的截面面积是（    ）    A． B． C． D． 基础巩固 一、单选题 1．（2024·广东佛山·三模）小明做作业时发现方程已被墨水污染：电话询问老师后知道：方程的解且被墨水遮盖的是一个常数．则该常数是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广东河源·二模）若是关于x的方程的解，则的值是（    ） A． B．2 C．1 D．0 3．（2024·广东肇庆·一模）当时，与互为相反数，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·广东江门·模拟预测）二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 5．（2023·四川成都·模拟预测）成语“朝三暮四”讲述了一位老翁喂养猴子的故事，老翁为了限定猴子的食量分早晚两次投喂，早上的粮食是晚上的，猴子们对于这个安排很不满意，于是老翁进行调整，从晚上的粮食中取千克放在早上投喂，这样早上的粮食是晚上的，猴子们对这样的安排非常满意．设调整前早上的粮食是千克，晚上的粮食是千克，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·辽宁辽阳·一模）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子去量竿，却比竿子短一托．”题目大意是：现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短了5尺．设竿长为尺，绳索长为尺，则符合题意的方程组是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·广东广州·一模）若关于的一个一元一次不等式组的解集为(为常数且)，则称 为这个不等式组的“解集中点”．若关于的不等式组 的解集中点大于方程 的解且小于方程的解， 则 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（2024·广东深圳·二模）下图是明代数学家程大位所著的《算法统宗》中的一个问题，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两：如果每人分九两，则还差八两．设共有银子x两，共有y人，则所列方程（组）错误的是（    ） 隔壁听得客分银， 不知人数不知银， 七两分之多四两， 九两分之少半斤. 《算法统宗》 注：明代时1斤=16两，故有“半斤八两”这个成语 A． B． C． D． 二、填空题 9．（2024·贵州贵阳·二模）已知关于的方程的解是，则的值为 ． 10．（2024·湖南·二模）古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两，今有干丝一十二斤，问生丝几何？”现有一类似问题：今有新鲜冬笋30斤，干燥后会损耗24斤，若干燥后得到的干冬笋是12斤，则原有新鲜冬笋 斤． 11．（2024·河北秦皇岛·二模）七（1）班的学生分成三个小组，利用星期日的时间去参加公益活动，第一组有学生名，第二组的学生人数比第一组学生人数的2倍少10人，第三组的学生人数是第二组学生人数的一半． （1）七（1）班共有 名学生； （2）若七（1）班共有45名学生，则的值为 ． 三、解答题 12．（2024·安徽合肥·模拟预测）某商场销售A，B两种品牌的营养早餐牛奶，其中A品牌牛奶原售价为60元/箱，B品牌牛奶原售价为80元/箱．某校决定在该商场购进A，B两种品牌牛奶共100箱，恰逢商场对两种品牌牛奶的售价进行调整，A品牌牛奶每箱售价比原售价降低了，B品牌牛奶每箱按原售价的8折出售． (1)设学校购进A品牌牛奶x箱，请直接在表格中填写结果； 品牌 购买单价（元/箱） 购买量（箱） 购买总价（元） A x ____________ B ____________ (2)如果该校此次购买A，B两种品牌牛奶的总费用为5800元，那么该校此次购买多少箱B品牌牛奶？ 13．（2024·山东临沂·模拟预测）某商超采购员李伯伯到临沂皇山蔬菜水果批发市场批发甲、乙两种蔬菜，已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示： 品名 甲蔬菜 乙蔬菜 批发价/（元/kg） 零售价/（元/kg） (1)若他批发甲、乙两种蔬菜共花90元．求批发甲乙两种蔬菜各多少千克？（列方程或方程组求解） (2)若他批发甲、乙两种蔬菜共花m元，设批发甲种蔬菜，求m与n的函数关系式； (3)在（2）的条件下，全部卖完蔬菜后要保证利润不低于元，至少批发甲种蔬菜多少千克？ 14．（2024·贵州·模拟预测）北京时间2024年4月26日5时04分，神舟十八号航天员乘组顺利进驻中国空间站与神舟十七号航天员乘组太空会师，载人飞船发射取得了圆满成功！小星和小红都是航天爱好者，他们计划购买甲、乙两种飞船模型收藏．下面是两位同学的对话： (1)求甲、乙两种飞船模型每件的售价分别为多少元？ (2)若小星计划正好用200元零花钱购买以上两种飞船模型，且每种都有购买，请通过计算说明有多少种购买方案． 能力提升 一：单选题 1．（2024·辽宁·模拟预测）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了这样一个有趣的问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何.”这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94 只脚，问笼中各有多少只鸡和兔.设鸡有x 只，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·河北邯郸·三模）已知实数a，b，c满足，甲、乙、丙、丁四名同学有如下结论 甲：若，则；乙：若，则； 丙：若，则；丁：若，则． 这四位同学的结论正确的是（  ） A．甲乙 B．甲丙 C．乙丙 D．丙丁 3．（2024·河北·模拟预测）如图和图，天平两边托盘中相同形状的物体质量相同，且两架天平均保持平衡，若个“□”与个“○”的质量相等，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·河北·模拟预测）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？大意：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行，问：人与车各多少？小青根据题意列出方程组小云根据题意列出一元一次方程，则下列说法正确的是（    ） A．小青正确，小云错误 B．小青错误，小云正确 C．小青、小云都正确 D．小青、小云都错误 5．（2024·辽宁·模拟预测）幻方是一种中国传统数学游戏，将9个数填在（三行三列）的方格中，每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，这个相等的和就叫作幻和．如图1就是一个幻方，图2是一个未完成的幻方，请你推算出的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 6．（2024·山东聊城·模拟预测）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．如图1，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，图2是一个未完成的幻方，则的值为（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 7．（2024·甘肃兰州·中考真题）数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了周果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果，苦果各买了多少个？设买了甜果x个，苦果y个，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·江苏扬州·三模）设是从，0，3这三个数中取值的一列数，若，，则（    ） A．154 B．155 C．156 D．157 二、填空题 9．（2024·山西·模拟预测）如图，块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，设每块小长方形地砖的长为，宽为，可列方程组： ． 10．（2024·湖北·模拟预测）我国古代对于利用二元一次方程组解决实际问题早有研究，《九章算术》中记载：“今有上禾三秉，益实六斗，当下禾十秉；下禾五秉，益实一斗，当上禾二秉．问上、下禾实一秉各几何？”其大意是：今有上等稻子三捆，若打出来的谷子再加六斗，则相当于十捆下等稻子打出来的谷子；有下等稻子五捆，若打出来的谷子再加一斗，则相当于两捆上等稻子打出来的谷子．问上等、下等稻子每捆能打多少斗谷子？ 答：（1）上等稻子每捆能打 斗谷子；（2）下等稻子每捆能打 斗谷子． 11．（2024·四川绵阳·三模）如果方程组的解也是方程的一个解，则的值为 ． 12．（2024·广东·模拟预测）关于x，y的方程组的解满足，则n的取值范围是 ． 三、解答题 13．（2024·贵州·模拟预测）2024年是甲辰龙年，小红记录了她的妈妈连续两天购买，两种龙年饰品账目：（，两种龙年饰品单价不变） 第一天购买3个种饰品和2个种饰品共84元； 第二天购买4个种饰品和1个种饰品共32元． (1)妈妈说她的记录错误，请帮她说明错误理由； (2)结果小红发现第一天错把34元写成84元，改正后求出每个种饰品单价6元，每个种饰品单价8元，妈妈决定再次购买种饰品和种饰品共20个，总费用不超过150元，那么最少可以购买多少个种饰品？ 14．（2024·湖南怀化·模拟预测）某校运动会需购买，两种奖品，若购买种奖品件和种奖品件，共需元；若购买种奖品件和种奖品件，共需元． (1)求、两种奖品的单价各是多少元？ (2)学校计划购买，两种奖品共件，购买费用不超过元，且种奖品的数量不大于种奖品数量的倍，设购买种奖品件，购买费用为元，写出元与件之间的函数关系式求出自变量的取值范围，并确定最少费用的值． 15．（2024·广东深圳·模拟预测）宝安公明腊肠是深受当地民众喜爱的一种美食，其制作技艺至今已有百余年历史，该项目2017年被列入宝安区区级非物质文化遗产保护名录．某腊肠制作坊计划购买A，B两种香料制作腊肠．已知购买1千克A种香料和1千克B种香料共需60元，购买3千克A种香料和4千克B种香料共需220元． (1)求A，B两种香料的单价； (2)该小吃店计划购买两种香料共20千克，其中购买A种香料的重量不超过B种香料重量的3倍，当A，B两种香料分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用． 16．（2024·湖南·模拟预测）“电梯安全系万家，正确使用靠大家”．某小区的货运电梯限重标志显示，载重总质量禁止超过．现需用此货运电梯装运一批设备，每套设备由2个A部件和1个B部件组成，且体积较小．已知1个A部件和2个B部件总质量为，2个A部件和1个B部件的质量相等． (1)求1个A部件和1个B部件的质量各是多少千克； (2)由于设备需要成套装运，且每次装运都需要两名工人装卸，已知两名装卸工人的质量分别为和，问货运电梯一次最多可装运多少套设备? $$