第04讲 二次根式（3考点+13题型）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（广东专用）

第一章 数与式 第04讲 二次根式（3~6分） ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 二次根式的相关概念 考点二 二次根式的性质与化简 考点三 二次根式的运算 04题型精研·考向洞悉 命题点一 二次根式的相关概念 ►题型01 二次根式有意义的条件 ►题型02 判断最简二次根式 ►题型03 判断同类二次根式 命题点二 二次根式的性质与化简 ►题型01 利用二次根式的性质化简 ►题型02 已知字母的值，化简求值1 ►题型03 已知条件等式，化简求值 命题点三 二次根式的运算 ►题型01 二次根式的乘除运算 ►题型02 二次根式的加减运算 ►题型03 二次根式的混合计算 ►题型04 二次根式的有理化 ►题型05 比较二次根式 ►题型06 二次根式的应用 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 二次根式的相关概念 · 了解二次根式、最简二次根式的概念 10年7考 中考中，对二次根式的考察主要集中在对其取值范围、化简计算等方面，其中取值范围类考点多出选择题、填空题形式出现，而化简计算则多以解答题形式考察.此外，二次根式还常和锐角三角函数、实数、其他几何图形等结合出题，难度不大，但是也多属于中考必考题. 二次根式的性质与化简 · 掌握二次根式的性质，再根据二次根式的性质化简 近10年连续考查 二次根式的运算 · 了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算 10年8考 考点一 二次根式的相关概念（高频考点） 二次根式的概念：一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，二次根号下的数叫做被开方数． 最简二次根式：开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 同类二次根式的概念：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式. ( 1. 二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式， 不需要看化简后的结果 ，如： - 都是 二次根式 . 2. 二次根式有意义的条件： 当 a ≧ 0 时，即 被开方数大于或等于 0 ，二次根式 有意义 . 3 . 在关于代数式有意义的问题中，要注意二次根式（ 被开方数大于或等于 0 ）、分式（分母不等于 0 ）等有意义的综合运用． 4 . 最简 二次根式必须同时满足以下两个条件： ①开方数所含因数是整数，因式是整式（分母中不应含有根号）； ②不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，即被开方数的因数或因式的指数都为 1. [ 补充 ] 含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有 4 、 9 、 a 2 、（ x+y ） 2 、 x 2 +2xy+y 2 等 . 5 . 几个 同类二次根式在没有化简前，被开方数可以完全互不相同，如： 、 、 是同类二次根式 . ) 04题型精研·考向洞悉 考点二 二次根式的性质与化简 二次根式的化简方法： 1）利用二次根式的基本性质进行化简； 2） 利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． =• ， = 化简二次根式的步骤： 1）把被开方数分解因式； 2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积； ( 1. 根据二次根式的性质化简时， 前无“ - ” , 化简出来就不可能是一个负数 . 2 . 利用二次根式性质时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简． 3 . 化简后的最后结果应为 最 简二次根式，并且分母中不含二次根式． )3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 考点三 二次根式的运算 乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： =• . 除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即：（a≥0，b＞0）. 加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并. 【口诀】一化、二找、三合并. 分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程. 【分母有理化方法】 1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： 2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. 即：； 混合运算顺序：先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)． ( 1. 在使用 = • 时一定要注意 2 . 在使用 （ a ≥ 0 ， b ＞ 0 ） 时一定要注意 3. 合并被开方数相同的二次根式与合并同类项类似，将被开方数相同的二次根式的“系数”相加减，被开方数和根指数不变． 4. 二次根式加减混合运算的实质就是合并被开方数相同的二次根式，被开方数不同的二次根式不能合并． 5 二次根式进行加减运算时，根号外的系数因式必须为假分数形式． 6. 在二次根式的混合运算中，乘方公式和实数的运算 律仍然 适用。而且运算结果应写成 最 简二次根式的形式 . ) 命题点一 二次根式的相关概念 ►题型01 二次根式有意义的条件 1．（2024·广东惠州·模拟预测）在函数中，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查当函数是二次根式时自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数，再列不等式求解即可． 【详解】解：由题意可得：，解得：， 故选 A． 2．（2024·广东广州·二模）代数式有意义的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件．根据二次根式及分式有意义的条件，可得不等式，即可求解． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得，， 故选：C． 3．（2024·广东阳江·二模）若要使式子有意义，则的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查的知识点为二次根式有意义的条件和分式有意义的条件．根据二次根式被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出m的范围． 【详解】解：根据题意得：， 解得：且． 故选：B． 4．（2023·广东广州·一模）代数式有意义时，x应满足的条件为（    ） A．且 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式有意义以及二次根式有意义，即分母不为0以及被开方数为非负数，据此列式计算，即可作答． 【详解】∵代数式有意义 ∴ 解得且 故选：A ►题型02 判断最简二次根式 5．（2024·广东江门·模拟预测）下列二次根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义进行解题即可． 【详解】解：A. ，不是最简二次根式； B. ，不是最简二次根式； C. ，不是最简二次根式； D. 是最简二次根式； 故选D． 6．（2024·广东东莞·一模）下列是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查最简二次根式的识别，最简二次根式需满足被开方数不含有分母，被开方数不含有开得尽方的因数或因式，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：是最简二次根式，故A选项正确； 中被开方数含有分母，不是最简二次根式，故B选项错误； 中二次根式位于分母位置，不是最简二次根式，故C选项错误； 中被开方数含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，故D选项错误； 故选A． 7．（2023·广东湛江·三模）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C．（，） D．（） 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义逐个判断即可，熟记最简二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：、是最简二次根式，故本选项符合题意； 、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 、（，）中被开方数是分数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 、（），不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：． 8．（2022·广东揭阳·一模）下列二次根式中，最简二次根式是(     ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据最简二次根式的定义进行判断即可． 【详解】解：A．不能再进行化简，是最简二次根式，符合题意； B．可以化为，不是最简二次根式，不符合题意； C．可化为，不是最简二次根式，不符合题意； D．可化为，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． ►题型03 判断同类二次根式 9．（2023·上海松江·二模）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式. 【详解】解：A、，与不是同类二次根式； B、，与是同类二次根式； C、，与不是同类二次根式； D、.，与不是同类二次根式； 故选：B. 【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的概念是解题的关键. 10．（2021·广东云浮·一模）下列各式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D．25 【答案】B 【分析】先把各选项化成最简二次根式，然后根据同类二次根式判断即可. 【详解】∵，， ∴与是同类二次根式的是. 故选：B. 【点睛】本题考查了最简二次根式和同类二次根式的定义，把各个选项化简是解题的关键． 11．（2019·广东广州·一模）下列根式中与是同类二次根式的是(     ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简后，各选项根据同类二次根式的定义判断． 【详解】∵= ，∴下列选项中的被开方数是6的才符合题意． 故选D. 【点睛】本题考查的是同类二次根式，熟练掌握同类二次根式是解题的关键. 12．（2024·贵州·模拟预测）下列二次根式中，与是同类二次根式的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查同类二次根式的概念，根据同类二次根式的概念，需要把各个选项化成最简二次根式，被开方数是3的即和是同类二次根式． 【详解】A．与不是同类二次根式，故该选项错误； B．与不是同类二次根式，故该选项错误； C．与是同类二次根式，故该选项正确； D．与不是同类二次根式，故该选项错误； 故选：C． 命题点二 二次根式的性质与化简 ►题型01 利用二次根式的性质化简 13．（2024·广东广州·一模）（    ） A． B．2024 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质：化简即可． 【详解】解：， 故选A． 14．（2023·广东广州·二模）已知反比例函数的图象在一、三象限，则化简代数式得（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据反比例函数的性质得出，可知，再根据即可得出结果． 【详解】解：∵反比例函数的图象在一、三象限， ∴，即：， 则， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质：当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限，还考考查了利用二次根式的性质化简． 15．（2022·广东江门·模拟预测）的化简结果是（    ） A．4 B． C．16 D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的性质进行化简即可得到答案． 【详解】解：， 故选A． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握是解题关键． 16．（2022·河北·中考真题）下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的性质判断即可． 【详解】解：A.，故错误； B.，故正确； C.，故错误； D.，故错误； 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键． ►题型02 已知字母的值，化简求值 17．（2024·河北秦皇岛·一模）已知，，则代数式的值为（ ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的化简求值．先根据已知条件，求出和的值，再把所求代数式分解因式，最后整体代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ， 故选：B． 18．（2024·河北沧州·一模）若 ，则（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，二次根式混合运算，熟练掌握完全平方公式及化简求值是解题的关键．根据完全平方公式将变形为，再代入，的值求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ， ∴ ， 故选：D． 19．（2019·辽宁沈阳·一模）若，则代数式的值为  (    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将已知代数式变形，然后将字母的值代入进行计算即可求解． 【详解】解： 当时， 原式 故选：B． 【点睛】本题考查了分母有理化，分式的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 20．（23-24八年级下·山西大同·期中）已知，，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，本题关键在于利用完全平方公式以及平方差公式简化运算．将变形为已知的值，分别计算出的值，整体代入求值即可． 【详解】解：，， ，， 故选：A． ►题型03 已知条件等式，化简求值 21．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知，则化简的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，根据绝对值的性质得，即，所以，，再根据二次根式的性质化简即可．掌握二次根式的性质及绝对值的意义是解题的关键．也考查了完全平方公式的应用． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，，∴ ． 故选：A． 22．（2023·广西防城港·一模）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简： ．    【答案】0 【分析】根据数a、b在数轴上的位置确定，，的符号，再根据二次根式的性质进行化简，再合并同类项． 【详解】解：由数轴可知，，， ∴，，， ∴原式＝ 故答案为：0 【点睛】本题考查的是利用数轴比较实数的大小，二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键. 23．（2020·广东中山·一模）已知实数，满足那么代数式的值为 ． 【答案】1． 【分析】根据和及，可知，和，算出x和y的值，代入代数式计算即可． 【详解】由题意可知， ，， ∴ ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查绝对值和二次根式的性质，掌握这一点这是解题的关键． 24．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）如果，那么的值是 ． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件，求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，代数式求值．熟练掌握二次根式的被开方数是非负数，是解题的关键． 命题点三 二次根式的运算 ►题型01 二次根式的乘除运算 25．（2024·广东茂名·一模）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除法运算，根据法则计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 26．（2024·广东清远·三模）若一个数与相乘等于一个整数，则这个数可以为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查二次根数的乘法，根据二次根式的乘法法则，进行计算求解即可． 【详解】解：，满足题意， ∴这个数可以为； 故答案为：（答案不唯一）． 27．（2024·广东肇庆·一模）计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法，根据二次根式的除法法则计算即可得出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 28．（2022·吉林长春·模拟预测） ， ， ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质，二次根式的乘除法运算，即可求出答案． 【详解】解：， ， ， 故答案为：，， 【点睛】本题考查二次根式的性质以及二次根式的乘除法运算，解题的关键是正确理解二次根式的性质． ►题型02 二次根式的加减运算 29．（2023·广东广州·三模）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】先把二次根式化简，即可进行减法． 【详解】解：原式 故答案为： 【点睛】本题考查了二次根式的减法运算，先化简再进行合并二次根式是解决此类问题的关键． 30．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的加减法，先化简，再加减，据此求解即可． 【详解】 故答案为：． 31．（2024·江苏南京·模拟预测）计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，先利用二次根式的性质化简，再合并即可求解，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 32．（2024·江苏南京·三模）计算的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的加法运算，利用二次根式的性质先化简，再合并同类二次根式即可，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式， 故答案为：． ►题型03 二次根式的混合计算 33．（2024·甘肃兰州·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 先利用二次根式性质，化简二次根式，再进行乘除运算，最后在进行加减运算即可求解； 【详解】解：原式 ＝． 34．（2024·甘肃陇南·模拟预测）计算： 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，先计算二次根式的乘法运算，再合并即可； 【详解】解： 35．（2024·甘肃兰州·模拟预测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查了二次根式的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的加减混合运算解答即可． （2）根据二次根式的四则混合运算计算即可． 【详解】（1）解： ． （2） ． 36．（2024·上海·模拟预测）计算： 【答案】2019 【分析】本题主要考查了分母有理化、平方差公式的应用等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．将原式整理为，化简后利用平方差公式求解即可． 【详解】解：原式 ． ►题型04 二次根式的有理化 37．（2023·四川成都·模拟预测）设的整数部分，小数部分为，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的整数部分和小数部分，以及估算无理数大小，先把式子分母有理化，再估算出所在范围，再根据化简后的式子进行变形，即可解题． 【详解】解：， ， ， ， ， 的整数部分，小数部分为， ，． 故答案为：2，． 38．（2024·辽宁盘锦·一模）阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如：①；②等运算都是分母有理化，根据上述材料，计算： ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了分母有理化以及二次根式的混合运算，直接利用二次根式的性质化简得出答案，正确化简二次根式是解题关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 39．（2023·江苏苏州·一模）若表示不超过的最大整数，，则______． 【答案】 【分析】先根据零指数幂和分母有理化得到，然后根据表示不超过x的最大整数得到． 【详解】解：，那么， ∴，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了取整计算：表示不超过x的最大整数．也考查了分母有理化和零指数幂． 40．（2023·湖北黄冈·模拟预测）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； … 根据以上等式给出的规律，计算： ． 【答案】/ 【分析】直接仿照前面三个等式，即可写出第n个等式，根据前面已知，，的值和所求出的的值，进行计算即可解答． 【详解】解：第n个等式：， ∴ 【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化，发现规律，根据已知等式，找出数字变换规律是解题的关键． ►题型05 比较二次根式 41．（2024·陕西咸阳·模拟预测）比较大小： （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查二次根式比较大小，先取、的绝对值，再平方，比较大小即可得到答案，熟练掌握无理数比较大小的方法是解决问题的关键． 【详解】解：，且， ，则，1 故答案为：． 42．（2024·河北唐山·模拟预测）比较大小： ．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式的大小比较，正确掌握二次根式的性质是解题关键．直接利用二次根式的性质比较得出答案． 【详解】解：， 又， ， ， 故答案为： 43．（2024·陕西西安·三模）比较大小： （填“”、“”、“”）． 【答案】 【分析】本题考查比较二次根式的大小，根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小求解即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， 故答案为：． 44．（2024·河南南阳·模拟预测）比较大小： ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查二次根式的大小比较，先将根号外的因数移到根号内，再根据所得结果比较大小即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． ►题型06 二次根式的应用 45．（2024·江苏南京·二模）（n为正整数）的近似值可以这样估算：，其中m是最接近n的完全平方数．例如：，这与科学计算器计算的结果4.8989…很接近． (1)按照以上方法，估计的近似值（精确到0.1）； (2)结合图中思路，解释该方法的合理性． 【答案】(1)6.6 (2)见解析 【分析】本题考查的是无理数的估算，新定义的含义，完全平方公式的应用，理解新定义的含义是解本题的关键； （1）根据新定义的法则进行估算即可． （2）设，其中，再变形，结合完全平方公式可得结论． 【详解】（1）解：由新定义可得： ； （2）解：设，其中． 则． 将两边平方，得． ∵ ， ∴  的值会更接近于0，不妨近似为0． ∴  ． ∴ ， 即． 46．（2023·江苏·二模）问题：已知实数a、b、c满足，且，求证：． 小明在思考时，感觉无从下手，就去请教学霸小刚,小刚审题后思考了片刻，对小明说：我们可以构造一个一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系及整体代入即可解答，并写下了部分解题过程供小明参考： 令，则，原等式可变形为关于x的一元二次方程： ． 可以发现：． 从而可知构造的方程两个根分别是1和 利用根与系数的关系得： _____；_____；… 请你根据小刚的思路完整地解答本题． 【答案】；；见解析 【分析】令，则，原等式就可变为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求出代数式的值． 【详解】解：令，则，原等式可变形为关于x的一元二次方程： ． 可以发现：． 从而可知构造的方程两个根分别是1和. 利用根与系数的关系得：；； ∴ ． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，根据题意确定一元二次方程，得到方程的两个根，再由根与系数的关系用两根之和与两根之积表示代数式中的分式，代入代数式求出代数式的值． 47．（2024·广东肇庆·一模）【发现问题】 由得，；如果两个正数，，即，，则有下面的不等式： ，当且仅当时取到等号． 【提出问题】若，，利用配方能否求出的最小值呢？ 【分析问题】例如：已知，求式子的最小值． 解：令，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【解决问题】 请根据上面材料回答下列问题： （1）__________（用“”“”“”填空）；当，式子的最小值为__________； 【能力提升】 （2）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （3）如图，四边形的对角线、相交于点，、的面积分别是8和14，求四边形面积的最小值． 【答案】（1），2；（2）当长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米；（3）四边形面积的最小值为 【分析】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了等高三角形的在面积计算中的应用． （1）当时，按照公式（当且仅当时取等号）来计算即可；当时，，，则也可以按公式（当且仅当时取等号）来计算； （2）设这个长方形花园靠墙的一边的长为米，另一边为米，则，可得，推出篱笆长，利用题中结论解决问题即可 （3）设，已知，，则由等高三角形可知：，用含的式子表示出来，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可． 【详解】解：（1）∵，且， ∴； 当时，， 故答案为：，2； （2）设这个长方形花园靠墙的一边的长为米，另一边为米， 则， ， 这个篱笆长米， 根据材料可得，，当时，的值最小， 或（舍弃）， ， ∴当长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米． （3）设，已知，， 则由等高三角形可知：， ， ， 四边形面积 当且仅当，即时，取等号， 四边形面积的最小值为． 48．（2023·山东济宁·二模）探究问题：探究与的大小关系． (1)观察猜想：与的大小关系是______． (2)计算验证：当时，与的大小关系是______；当时，与的大小关系是______． (3)推理证明：如图，以为直径作半圆O，点C半圆上一动点，过C作于点D，设，．先用含a，b的式子表示出线段，再写出他们（含a，b的式子）之间存在的大小关系．    (4)实践应用：要制作一个面积为1平方米的矩形，请直接利用探究得出的结论，求矩形周长的最小值． 【答案】(1) (2)； (3)； (4)矩形周长的最小值为4． 【分析】（1）根据题意作出猜想即可； （2）代入数据，计算即可得出答案； （3）易得，再通过证明，利用相似比得，根据直角边与斜边的关系得（当C点为半圆的中点时取等号），所以； （4）设矩形的两边分别为a、b，则，利用得，即，所以，于是可得矩形周长的最小值． 【详解】（1）解：猜想：与的大小关系是． 故答案为：； （2）解：当时，，， ∴； 当时，，， ∴． 故答案为：；； （3）解：∵为直径，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵（当C点为半圆的中点时取等号）， ∴； （4）解：设矩形的两边分别为a、b，则， ∵， ∴，即， ∴， ∴矩形周长的最小值为4． 【点睛】本题考查了二次根式的应用，熟练掌握圆周角定理、相似三角形的判定与性质；体会由于几何的方法比较代数式的大小． 基础巩固 一、单选题 1．（2024·广东肇庆·二模）计算的结果为（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的乘法，根据二次根式的乘法运算法则进行计算即可求解． 【详解】， 故选：B． 2．（2024·广东清远·二模）要使代数式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：B． 3．（2024·广东广州·二模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的除法，减法，化简二次根式，熟练掌握知识点是解题的关键． 分别利用二次根式的除法，减法，化简二次根式的方法进行计算即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、，故本选项不符合题意． 故选：C． 4．（2024·广东广州·一模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的运算，根据二次根式的加减，乘法计算，然后逐项判断即可． 【详解】解：A．与不是同类二次根式，不可以合并，故运算错误； B．，故原运算错误； C．5与不是同类二次根式，不可以合并，故运算错误； D．，故原运算正确， 故选：D． 5．（2024·广东江门·一模）若x、y为实数，且满足，则的值为（    ） A．1或 B．1 C． D．无法确定 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次根式以及偶次方的性质，根据非负数的性质列式求出x，y的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：， ，即， ， ， 故选：B． 6．（2024·广东深圳·一模）估算的结果（    ） A．在6和7之间 B．在7和8之间 C．在8和9之间 D．在9和10之间 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算，无理数的估算，先进行乘法计算，再进行无理数的估算即可得出结果． 【详解】解：， ∵， ∴； 故选D． 7．（23-24九年级上·河南驻马店·阶段练习）使等式成立的x的取值范围在数轴上可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式组求解即可． 【详解】解：由题意可知： , 解得：, 故选：． 【点睛】题目主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件． 二、填空题 8．（2024·广东·模拟预测）若恒有式子，则实数的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的性质，根据，列出不等式求解即可． 【详解】解：， ， 解得：， 故答案为：． 9．（2024·广东揭阳·三模）已知函数，则自变量x的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围、二次根式有意义以及分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得出，求解即可得出答案． 【详解】解：由题意得， 解得：， 故答案为：． 10．（2024·广东广州·一模）如图，数轴上点、表示的数分别为、，化简： ．    【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质，化简绝对值；根据数轴可得，进而根据绝对值的意义，二次根式的性质化简，即可求解． 【详解】解：根据数轴可得， ∴， 故答案为：． 11．（2024·广东茂名·一模）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除法运算，根据法则计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 12．（2023·广东清远·二模）设，为实数，且，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据二次根式的定义得到的值，再利用乘方的运算法则即可解答． 【详解】解：∵，为实数，且， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，乘方的运算法则，掌握二次根式的定义是解题的关键． 三、解答题 13．（2024·广东中山·三模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，分母有理化，通分计算括号内，除法变乘法，约分化简后，代值计算即可． 【详解】解：原式，当时，原式． 14．（2024·广东江门·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题主要考查分式的混合运算以及二次根式的化简求值，先将原式除法转换为乘法，约分后再通分计算得到最简结果后代入求值即可 【详解】解：； 当时，原式． 15．（2024·广东梅州·模拟预测）先化简，再求值，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值、分母有理化，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，代入计算即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ，当时，原式． 16．（2024·广东佛山·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键．先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简，最后把所给字母的值代入计算． 【详解】解： ，当时，原式． 能力提升 一、单选题 1．（2022·广东深圳·一模）设的整数部分为，小数部分为，则的值是（    ） A．6 B． C．1 D．-1 【答案】D 【分析】先估算出的值，求出a，b的值，然后代入式子中进行计算即可． 【详解】解：∵3＜＜4， ∴7-的小数部分为b，整数部分为3， ∴a=3，b=4-； ∴==-1． 故选：D． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，实数的运算，准确熟练地求出a，b的值是解题的关键． 2．（2024·广东广州·一模）若，则关于的方程根的情况是（    ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、二次根式的性质、一元二次方程根的判别式． 根据二次根式有意义的条件得到，再根据二次根式的性质化简得到，则利用绝对值的意义得到，即可得到k的取值范围为，由，即可判断方程有两个实数根． 【详解】解：由题意知，, 解得，， ∵； ∴， ∴， ∴， ∴， 综上可知，k的取值范围为， ∵， ∴， ∴方程有两个实数根， 故选：C． 3．（2022·广东佛山·三模）如图，把一张矩形纸片按如图所示方法进行两次折叠后，恰好是等腰直角三角形，若，则的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据翻折过程补全图形，然后根据矩形的性质和勾股定理即可解决问题． 【详解】解：由折叠补全图形如图所示， 四边形是矩形， ，，， 由第一次折叠得：，， ， ， 在中，根据勾股定理得，， 由第二次折叠知，， ， ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，等腰直角三角形，解决本题的关键是掌握翻折的性质． 4．（2021·广东·中考真题）设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是（    ） A．6 B． C．12 D． 【答案】A 【分析】首先根据的整数部分可确定的值，进而确定的值，然后将与的值代入计算即可得到所求代数式的值． 【详解】∵， ∴， ∴的整数部分， ∴小数部分， ∴． 故选：． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确确定的整数部分与小数部分的值是解题关键． 5．（2021·广东江门·一模）已知，则的值为（    ） A．6 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的性质求出a=13，得到b=-10，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴a-13=0， ∴a=13， ∴b=-10， ∴=， 故选：A． 【点睛】此题考查二次根式的性质，化简二次根式，正确掌握二次根式的性质是解题的关键． 二、填空题 6．（2024·广东湛江·二模）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算的运算顺序以及二次根式化简的方法．先算除法，再化简二次根式即可． 【详解】解：， ， ， ； 故答案为：． 7．（2024·广东中山·一模）计算：的结果为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法、平方差公式等知识点，掌握二次根式的乘法法则成为解题的关键． 【详解】解：． 故答案为：1． 8（2022·广东广州·三模）已知x2＝2x+15，则代数式= ． 【答案】或 【分析】直接将原式分解因式，再把x的值代入进而计算得出答案． 【详解】解： ＝ ＝2x× ＝． ∵， ∴， （x﹣5）（x+3）＝0， ∴x＝5或x＝﹣3． 当x＝5时，原式＝4； 当x＝﹣3时，原式＝． 【点睛】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确运用乘法公式是解题关键． 9．（2022·广东潮州·一模）将按如图所示方式排列，若规定表示第排从左往右第个数，则表示的数是 【答案】 【分析】根据数的排列方法可知，第一排：个数，第二排个数．第三排个数，第四排个数，…第排有个数，从第一排到排共有：…个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，根据题目意思找出第排第个数到底是哪个数后再计算． 【详解】解：表示第排从左向右第个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是， ， ， 则所表示的数是， 故答案为． 【点睛】此题主要考查了数字的变化规律，这类题型在中考中经常出现．判断出所求的数是第几个数是解决本题的难点；得到相应的变化规律是解决本题的关键． 三、解答题 10．我们已经学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，，，，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题： 例：求的算术平方根． 解：，的算术平方根是． 你看明白了吗？请根据上面的方法化简： (1) (2) (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式； （1）将变形为完全平方式的形式，然后开平方即可； （2）先化简，再化简原式即可得出答案； （3）分别化简，合并同类二次根式即可得出答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解： ． 11．（江苏南京）像（+2）（﹣2）＝1，•＝a（a≥0），（+1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0），两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：与，+1与﹣1，2+3与2﹣3等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题： （1）化简：①＝ ； ②＝ ； （2）计算：（…+）（+1）＝ ； （3）已知a＝﹣，b＝﹣，c＝﹣，试比较a，b，c的大小，并说明理由． 【答案】（1）①；②；（2）2020；（3）a＞b＞c，见解析 【分析】（1）①将二次根式分母有理化进行计算； ②先确定分母有理化因式，然后进行计算； （2）利用二次根式分母有理化的计算法则并通过探索数字规律进行计算求解； （3）通过比较，，的倒数，然后进行，，的大小比较． 【详解】解：（1）①， 故答案为：； ②， 故答案为：； （2）原式 ， 故答案为：2020； （3）， 同理：， ， ， ． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，掌握平方差公式的结构特征，理解二次根式分母有理化的计算方法是解题关键． 12．（2024·安徽池州·模拟预测）观察下列等式： ①； ②； ③； …… 请你根据以上规律，解答下列问题： (1)写出第6个等式： ；第n个等式： ； (2)计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查规律探索，根据已知的式子总结出等式与序数的关系是解题的关键．由已知的等式，总结规律求解即可． （1）由已知的等式，即可归纳出规律； （2）根据归纳的规律进行变形计算即可． 【详解】（1）解： （2）原式 ． 13．（2024·安徽淮北·三模）观察下列二次根式的化简过程： ； ； ； … 回答下列问题： (1)______； (2)，当无穷大时，最接近的整数是多少？ 【答案】(1) (2)当无穷大时，接近 【分析】本题考查数字类规律探究、二次根式化简中的简便运算，分式的混合运算， （1）根据题目中给定的计算方法求出，再进行求解即可； （2）根据（1）中的结论：，求出，再进行求解； 掌握题目中给定的计算方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵为任意的正整数， ∴ ， ∴ ， ∴； （2）由（1）有： ， ∴当无穷大时，接近． 14．（2024·山西晋城·二模）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成下列任务． 问题背景： 数学兴趣小组的同学们在学习了完全平方公式之后，发现由于，故，于是他们对两个正数之和与这两个正数之积的关系展开了探究． 探索发现： 发现结论：如果，那么（当且仅当时等号成立） 解释证明： 当时， 当时， 如果，那么（当且仅当时等号成立） 任务： (1)对于函数，当等于___________时，函数有最___________值（填“大”或“小”），这个值是___________； (2)对于函数，当等于___________时，函数有最___________值，这个最值是___________； (3)某植物园利用一面足够长的围墙和木栏围成一个矩形花圃，中间用一排木栏隔开，如图所示，总共用了100米的木栏，当长为多少时，矩形花圃的面积最大?最大面积是多少?请你利用材料中的结论或所学知识求解该问题． 【答案】(1)，小， (2)大，； (3)当长为米时，矩形花圃的面积最大，最大面积是平方米 【分析】本题考查了二次函数的几何应用，二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题干提供的解题过程，模仿即可作答； （2）先整理原式得，计算化简得，结合题干的结论，即可作答． （3）设的长为米，建立，根据二次函数的性质，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，得 当时，即（负值已舍去），有最小值， 把代入 得； 故答案为：，小， （2）解：依题意 ∵ ∴ 当时，有最大值，且 此时， 解得（舍去） 故答案为：大，； （3）解：设的长为米， 则 ∴ 则 ∵ ∴开口向下，在时有最大值 把代入 得 ∴当长为米时，矩形花圃的面积最大，最大面积是平方米． $$ 第一章 数与式 第04讲 二次根式（3~6分） ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 二次根式的相关概念 考点二 二次根式的性质与化简 考点三 二次根式的运算 04题型精研·考向洞悉 命题点一 二次根式的相关概念 ►题型01 二次根式有意义的条件 ►题型02 判断最简二次根式 ►题型03 判断同类二次根式 命题点二 二次根式的性质与化简 ►题型01 利用二次根式的性质化简 ►题型02 已知字母的值，化简求值1 ►题型03 已知条件等式，化简求值 命题点三 二次根式的运算 ►题型01 二次根式的乘除运算 ►题型02 二次根式的加减运算 ►题型03 二次根式的混合计算 ►题型04 二次根式的有理化 ►题型05 比较二次根式 ►题型06 二次根式的应用 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 二次根式的相关概念 · 了解二次根式、最简二次根式的概念 10年7考 中考中，对二次根式的考察主要集中在对其取值范围、化简计算等方面，其中取值范围类考点多出选择题、填空题形式出现，而化简计算则多以解答题形式考察.此外，二次根式还常和锐角三角函数、实数、其他几何图形等结合出题，难度不大，但是也多属于中考必考题. 二次根式的性质与化简 · 掌握二次根式的性质，再根据二次根式的性质化简 近10年连续考查 二次根式的运算 · 了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算 10年8考 考点一 二次根式的相关概念（高频考点） 二次根式的概念：一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，二次根号下的数叫做被开方数． 最简二次根式：开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 同类二次根式的概念：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式. ( 1. 二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式， 不需要看化简后的结果 ，如： - 都是 二次根式 . 2. 二次根式有意义的条件： 当 a ≧ 0 时，即 被开方数大于或等于 0 ，二次根式 有意义 . 3 . 在关于代数式有意义的问题中，要注意二次根式（ 被开方数大于或等于 0 ）、分式（分母不等于 0 ）等有意义的综合运用． 4 . 最简 二次根式必须同时满足以下两个条件： ①开方数所含因数是整数，因式是整式（分母中不应含有根号）； ②不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，即被开方数的因数或因式的指数都为 1. [ 补充 ] 含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有 4 、 9 、 a 2 、（ x+y ） 2 、 x 2 +2xy+y 2 等 . 5 . 几个 同类二次根式在没有化简前，被开方数可以完全互不相同，如： 、 、 是同类二次根式 . ) 04题型精研·考向洞悉 考点二 二次根式的性质与化简 二次根式的化简方法： 1）利用二次根式的基本性质进行化简； 2） 利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． =• ， = 化简二次根式的步骤： 1）把被开方数分解因式； 2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积； ( 1. 根据二次根式的性质化简时， 前无“ - ” , 化简出来就不可能是一个负数 . 2 . 利用二次根式性质时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简． 3 . 化简后的最后结果应为最简二次根式，并且分母中不含二次根式． )3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 考点三 二次根式的运算 乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： =• . 除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即：（a≥0，b＞0）. 加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并. 【口诀】一化、二找、三合并. 分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程. 【分母有理化方法】 1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： 2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. 即：； 混合运算顺序：先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)． ( 1. 在使用 = • 时一定要注意 2 . 在使用 （ a ≥ 0 ， b ＞ 0 ） 时一定要注意 3. 合并被开方数相同的二次根式与合并同类项类似，将被开方数相同的二次根式的“系数”相加减，被开方数和根指数不变． 4. 二次根式加减混合运算的实质就是合并被开方数相同的二次根式，被开方数不同的二次根式不能合并． 5 二次根式进行加减运算时，根号外的系数因式必须为假分数形式． 6. 在二次根式的混合运算中，乘方公式和实数的运算律仍然适用。而且运算结果应写成最简二次根式的形式 . ) 命题点一 二次根式的相关概念 ►题型01 二次根式有意义的条件 1．（2024·广东惠州·模拟预测）在函数中，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·广东广州·二模）代数式有意义的条件是（　　） A． B． C． D． 3．（2024·广东阳江·二模）若要使式子有意义，则的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 4．（2023·广东广州·一模）代数式有意义时，x应满足的条件为（    ） A．且 B． C． D． ►题型02 判断最简二次根式 5．（2024·广东江门·模拟预测）下列二次根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·广东东莞·一模）下列是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 7．（2023·广东湛江·三模）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C．（，） D．（） 8．（2022·广东揭阳·一模）下列二次根式中，最简二次根式是(     ) A． B． C． D． ►题型03 判断同类二次根式 9．（2023·上海松江·二模）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 10．（2021·广东云浮·一模）下列各式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D．25 11．（2019·广东广州·一模）下列根式中与是同类二次根式的是(     ) A． B． C． D． 12．（2024·贵州·模拟预测）下列二次根式中，与是同类二次根式的是 （    ） A． B． C． D． 命题点二 二次根式的性质与化简 ►题型01 利用二次根式的性质化简 13．（2024·广东广州·一模）（    ） A． B．2024 C． D． 14．（2023·广东广州·二模）已知反比例函数的图象在一、三象限，则化简代数式得（    ） A． B． C． D． 15．（2022·广东江门·模拟预测）的化简结果是（    ） A．4 B． C．16 D． 16．（2022·河北·中考真题）下列正确的是（    ） A． B． C． D． ►题型02 已知字母的值，化简求值 17．（2024·河北秦皇岛·一模）已知，，则代数式的值为（ ） A． B． C．3 D． 18．（2024·河北沧州·一模）若 ，则（   ） A．2 B． C． D．3 19．（2019·辽宁沈阳·一模）若，则代数式的值为  (    ) A． B． C． D． 20．（23-24八年级下·山西大同·期中）已知，，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． ►题型03 已知条件等式，化简求值 21．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知，则化简的结果为（　　） A． B． C． D． 22．（2023·广西防城港·一模）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简： ．    23．（2020·广东中山·一模）已知实数，满足那么代数式的值为 ． 24．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）如果，那么的值是 ． 命题点三 二次根式的运算 ►题型01 二次根式的乘除运算 25．（2024·广东茂名·一模）计算： ． 26．（2024·广东清远·三模）若一个数与相乘等于一个整数，则这个数可以为 ． 27．（2024·广东肇庆·一模）计算 ． 28．（2022·吉林长春·模拟预测） ， ， ． ►题型02 二次根式的加减运算 29．（2023·广东广州·三模）计算的结果是 ． 30．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）计算的结果是 ． 31．（2024·江苏南京·模拟预测）计算 ． 32．（2024·江苏南京·三模）计算的结果是 ． ►题型03 二次根式的混合计算 33．（2024·甘肃兰州·模拟预测）计算：． 34．（2024·甘肃陇南·模拟预测）计算： 35．（2024·甘肃兰州·模拟预测）计算： (1)； (2)． 36．（2024·上海·模拟预测）计算： ►题型04 二次根式的有理化 37．（2023·四川成都·模拟预测）设的整数部分，小数部分为，则 ， ． 38．（2024·辽宁盘锦·一模）阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如：①；②等运算都是分母有理化，根据上述材料，计算： ． 39．（2023·江苏苏州·一模）若表示不超过的最大整数，，则______． 40．（2023·湖北黄冈·模拟预测）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； … 根据以上等式给出的规律，计算： ． ►题型05 比较二次根式 41．（2024·陕西咸阳·模拟预测）比较大小： （填“”“”或“”）． 42．（2024·河北唐山·模拟预测）比较大小： ．（填“＞”、“＜”或“＝”） 43．（2024·陕西西安·三模）比较大小： （填“”、“”、“”）． 44．（2024·河南南阳·模拟预测）比较大小： ．（填“”“”或“”） ►题型06 二次根式的应用 45．（2024·江苏南京·二模）（n为正整数）的近似值可以这样估算：，其中m是最接近n的完全平方数．例如：，这与科学计算器计算的结果4.8989…很接近． (1)按照以上方法，估计的近似值（精确到0.1）； (2)结合图中思路，解释该方法的合理性． 46．（2023·江苏·二模）问题：已知实数a、b、c满足，且，求证：． 小明在思考时，感觉无从下手，就去请教学霸小刚,小刚审题后思考了片刻，对小明说：我们可以构造一个一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系及整体代入即可解答，并写下了部分解题过程供小明参考： 令，则，原等式可变形为关于x的一元二次方程： ． 可以发现：． 从而可知构造的方程两个根分别是1和 利用根与系数的关系得： _____；_____；… 请你根据小刚的思路完整地解答本题． 47．（2024·广东肇庆·一模）【发现问题】 由得，；如果两个正数，，即，，则有下面的不等式： ，当且仅当时取到等号． 【提出问题】若，，利用配方能否求出的最小值呢？ 【分析问题】例如：已知，求式子的最小值． 解：令，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【解决问题】 请根据上面材料回答下列问题： （1）__________（用“”“”“”填空）；当，式子的最小值为__________； 【能力提升】 （2）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （3）如图，四边形的对角线、相交于点，、的面积分别是8和14，求四边形面积的最小值． 48．（2023·山东济宁·二模）探究问题：探究与的大小关系． (1)观察猜想：与的大小关系是______． (2)计算验证：当时，与的大小关系是______；当时，与的大小关系是______． (3)推理证明：如图，以为直径作半圆O，点C半圆上一动点，过C作于点D，设，．先用含a，b的式子表示出线段，再写出他们（含a，b的式子）之间存在的大小关系．    (4)实践应用：要制作一个面积为1平方米的矩形，请直接利用探究得出的结论，求矩形周长的最小值． 基础巩固 一、单选题 1．（2024·广东肇庆·二模）计算的结果为（    ） A． B． C．5 D．6 2．（2024·广东清远·二模）要使代数式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·广东广州·二模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·广东广州·一模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·广东江门·一模）若x、y为实数，且满足，则的值为（    ） A．1或 B．1 C． D．无法确定 6．（2024·广东深圳·一模）估算的结果（    ） A．在6和7之间 B．在7和8之间 C．在8和9之间 D．在9和10之间 7．（23-24九年级上·河南驻马店·阶段练习）使等式成立的x的取值范围在数轴上可以表示为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（2024·广东·模拟预测）若恒有式子，则实数的取值范围是 ． 9．（2024·广东揭阳·三模）已知函数，则自变量x的取值范围是 ． 10．（2024·广东广州·一模）如图，数轴上点、表示的数分别为、，化简： ．    11．（2024·广东茂名·一模）计算： ． 12．（2023·广东清远·二模）设，为实数，且，则的值是 ． 三、解答题 13．（2024·广东中山·三模）先化简，再求值：，其中． 14．（2024·广东江门·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 15．（2024·广东梅州·模拟预测）先化简，再求值，其中． 16．（2024·广东佛山·一模）先化简，再求值：，其中． 能力提升 一、单选题 1．（2022·广东深圳·一模）设的整数部分为，小数部分为，则的值是（    ） A．6 B． C．1 D．-1 2．（2024·广东广州·一模）若，则关于的方程根的情况是（    ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个实数根 D．有两个不相等的实数根 3．（2022·广东佛山·三模）如图，把一张矩形纸片按如图所示方法进行两次折叠后，恰好是等腰直角三角形，若，则的长度为（　　） A． B． C． D． 4．（2021·广东·中考真题）设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是（    ） A．6 B． C．12 D． 5．（2021·广东江门·一模）已知，则的值为（    ） A．6 B． C．4 D． 二、填空题 6．（2024·广东湛江·二模）计算： ． 7．（2024·广东中山·一模）计算：的结果为 ． 8（2022·广东广州·三模）已知x2＝2x+15，则代数式= ． 9．（2022·广东潮州·一模）将按如图所示方式排列，若规定表示第排从左往右第个数，则表示的数是 三、解答题 10．我们已经学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，，，，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题： 例：求的算术平方根． 解：，的算术平方根是． 你看明白了吗？请根据上面的方法化简： (1) (2) (3)． 11．（江苏南京）像（+2）（﹣2）＝1，•＝a（a≥0），（+1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0），两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：与，+1与﹣1，2+3与2﹣3等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题： （1）化简：①＝ ； ②＝ ； （2）计算：（…+）（+1）＝ ； （3）已知a＝﹣，b＝﹣，c＝﹣，试比较a，b，c的大小，并说明理由． 12．（2024·安徽池州·模拟预测）观察下列等式： ①； ②； ③； …… 请你根据以上规律，解答下列问题： (1)写出第6个等式： ；第n个等式： ； (2)计算：． 13．（2024·安徽淮北·三模）观察下列二次根式的化简过程： ； ； ； … 回答下列问题： (1)______； (2)，当无穷大时，最接近的整数是多少？ 14．（2024·山西晋城·二模）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成下列任务． 问题背景： 数学兴趣小组的同学们在学习了完全平方公式之后，发现由于，故，于是他们对两个正数之和与这两个正数之积的关系展开了探究． 探索发现： 发现结论：如果，那么（当且仅当时等号成立） 解释证明： 当时， 当时， 如果，那么（当且仅当时等号成立） 任务： (1)对于函数，当等于___________时，函数有最___________值（填“大”或“小”），这个值是___________； (2)对于函数，当等于___________时，函数有最___________值，这个最值是___________； (3)某植物园利用一面足够长的围墙和木栏围成一个矩形花圃，中间用一排木栏隔开，如图所示，总共用了100米的木栏，当长为多少时，矩形花圃的面积最大?最大面积是多少?请你利用材料中的结论或所学知识求解该问题． $$