第06讲 分式方程及其应用（2考点+8题型）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（广东专用）

第二章 方程（组）与不等式（组） 第06讲 分式方程及其应用（3~8分） ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 解分式方程 考点二 分式方程的应用 04题型精研·考向洞悉 命题点一 解分式方程 ►题型01 判断分式方程 ►题型02 分式方程的解法 命题点二 分式方程的解 ►题型01 根据分式方程解的情况求值 ►题型02 分式方程无解问题 命题点三 分式方程的应用 ►题型01 列分数方程 ►题型02 行程问题 ►题型03 工程问题 ►题型04 经济问题 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 解分式方程 能解可化为一元一次方程的分式方程 10年9考 中考中本考点考查内容以分式方程解法、分式方程含参问题、分式方程的应用题为主，既有单独考查，也有和一次函数、二次函数结合考察，年年考查，分值为10分左右，预计2025年各地中考还将继续考查分式方程解法、分式方程含参问题（较难）、分式方程的应用题，为避免丢分，学生应扎实掌握． 分式方程的应用 能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性 10年连续考查 考点一 解分式方程 分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 增根的概念：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根. ( 1. 分式方程与整式方程的根本区别：分母中含有未知数，也是判断分式方程的依据 . 2 . 去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得 不要漏乘整式项 . 3 . 分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有 最简公分母不是零的解 才是原方程的解． 4 . 分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为 0 的根，它不是原分式方程的根． 5 . 解分式方程可能产生使分式方程无意义的根，检验是解分式方程的 必要步骤 . 6 . 分式方程有增根与无解 并非 是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解 . ) 考点二 分式方程的应用 用分式方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义;+ 1）检验所求的解是否是所列分式方程的解. 2）检验所求的解是否符合实际意义. 答：实际问题的答案. 与分式方程有关应用题的常见类型： 命题点一 解分式方程 ►题型01 判断分式方程 1．（2024·广西贺州·三模）下列式子是分式方程的是（  ） A． B． C． D． 2．（2021·河南信阳·模拟预测）下列方程：①；②；③；④（为已知数），其中分式方程有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（2023·四川南充·二模）关于的方程的解是负数，则的取值范围是（    ） A． B． C．，且 D．，且 4．（2024全国）下列关于x的方程中，属于分式方程的是（    ） A． B． C． D． ►题型02 分式方程的解法 5．（2024·广东广州·模拟预测）解方程： 6．（2024·广东广州·中考真题）解方程：． 7．（2023·广东江门·一模）解分式方程：． 8．（2022·广东揭阳·模拟预测）（1）++=1；（2）． 命题点二 分式方程的解 ►题型01 根据分式方程解的情况求值 9．（2024·广东·模拟预测）已知是分式方程的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．（2024·广东揭阳·一模）已知关于的方程的解是负数，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 11．（2020·重庆·中考真题）若关于x的一元一次不等式结的解集为；且关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是（    ） A．7 B．－14 C．28 D．－56 12．（2024·四川德阳·三模）已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 ►题型02 分式方程无解问题 13．（2023·黑龙江牡丹江·二模）若分式方程无解，则a的值为（    ） A．1 B． C．2或1 D．2或 14．（2021·广东广州·二模）小明把分式方程去分母后得到整式方程，由此他判断该分式方程只有一个解．对于他的判断，你认为下列看法正确的是（    ） A．小明的说法完全正确 B．整式方程正确，但分式方程有2个解 C．整式方程不正确，分式方程无解 D．整式方程不正确，分式方程只有1个解 15．（2020·广东深圳·一模）若关于的方程无解，则的值为（    ） A．1 B．3 C．1或 D． 16．（2020·广东东莞·模拟预测）关于x的分式方程＋3＝有增根，则m的值为（　　） A．7 B．3 C．1 D．－3 命题点三 分式方程的应用 ►题型01 列分数方程 17．（2024·广东深圳·模拟预测）2023年3月底，国道深圳宝安段(下称“107国道”)正式启动先行段的市政化改造，它纵贯宝安区，沿线是广深科技创新走廊的核心地段，千余家国家高新技术企业密布其间，被视为“鹏城一翼”“湾区动轴”．它全长为31.4千米，这条94岁的国道路面需整改，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的工效比原计划增加，结果提前5天完成这一任务，设原计划每天整改千米，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 18．（2024·广东深圳·三模）一次夏令营活动中，班长购买了甲、乙两种矿泉水，其中甲种矿泉水共花费80元，乙种矿泉水共花费60元，甲种矿泉水比乙种矿泉水多20瓶，乙种矿泉水价格是甲种矿泉水价格的1.5倍．若设甲种矿泉水的价格为x元，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 19．（2024·广东江门·模拟预测）一艘轮船在静水中的速度为，它沿江顺流航行与逆流航行所用时间相等，江水的流速为多少？设江水流速为，则符合题意的方程是（    ）． A． B． C． D． 20．（2023·广东阳江·一模）由于市场急需A产品，某工厂现在平均每天比原计划多生产A产品50万件，现在生产A产品400万件所需时间比原计划生产A产品450万件所需时间少5天，设现在平均每天生产A产品x万件，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． ►题型02 行程问题 21．（24-25九年级·重庆）周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体，若两人同时从地出发，匀速跑向距离处的地，小明的跑步速度是小红跑步速度的倍，那么小明比小红早分钟到达地. (1)求小明、小红的跑步速度； (2)若从地到达地后，小明跑步继续前进到地整个过程不休息，据了解，在整个运动过程中，小明跑步的前分钟内，平均每分钟消耗热量卡路里，超过分钟后，每多跑步分钟，平均每分钟消耗的热量就增加卡路里，在整个过程中，小明共消耗卡路里热量，小明从地到地锻炼共用多少分钟． 22．（24-25九年级·重庆）在周末自驾游中，李明和张华相约从A城前往B城进行户外探险.已知A、B两城相距120公里，两人均匀速行驶，李明与张华的速度之比为． (1)若张华先行15公里后，李明才开始从A城出发，李明出发30分钟恰好追上张华，求李明驾驶的速度为每小时多少公里； (2)若张华比李明早出发30分钟，结果反而比李明晚30分钟到达B城，求李明驾驶的速度为每小时多少公里． ►题型03 工程问题 23．（24-25九年级上·山东威海·期中）某市政府计划对该市博物馆进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成，已知甲队的工作效率是乙队工作效率的1.5倍，甲队单独完成该改造计划比乙队单独完成该计划少用4天． (1)甲、乙两队单独完成该计划分别需要多少天？ (2)若甲队工作一天需付费用8万元，乙队工作一天需付费用6万元，由于项目原因，甲队先做了几天后，由乙队接着将改造计划完成，最后改造费用不超过67万元，甲队至少做了多少天？ 24．（24-25九年级上·重庆）我校综纷艺术节即将拉开帷幕，学校准备在一文创厂家定制个布艺文化袋发放给师生，该厂家甲车间每天可生产个布艺文化袋，乙车间每天可生产个布艺文化袋，甲车间先单独工作4天后，乙车间加入一起赶工． (1)该厂家完成这批布艺文化袋一共需要多少天？ (2)甲车间按原生产效率单独生产4天后，由于时间紧迫，两个车间改进了生产工艺，并且平分了剩下的生产任务，改进后甲、乙两车间每天生产布艺文化袋的数量之比为．两个车间各自完成剩下生产任务的天数之和为天，问改进工艺后甲车间每天生产多少个布艺文化袋？ ►题型04 经济问题 25．（24-25九年级重庆）每年的12月12日各大网络平台都会推出大型网购促销活动，吸引消费者购物．某一网络销售公司准备在这一天销售2000件“元旦礼盒”，找到甲工厂承接这项生产任务，甲工厂工作15天后还未加工完，于是提高了生产速度，提速后每天生产的数量比原来每天生产的数量多40件，又生产了5天才完成了任务． (1)求甲工厂提速前每天生产“元旦礼盒”多少件？ (2)“双12”当天，“元旦礼盒”快速被抢空，该网络销售公司决定增加生产．安排甲、乙两家工厂共同加工生产该“元旦礼盒”2800件，甲工厂按提速前的速度和乙工厂一起加工完成一半后，更换了新的生产设备，两家工厂每天均比之前多生产一倍，结果比原计划提前4天完成任务，求更换新的生产设备前乙工厂每天加工“元旦礼盒”多少件？ 26．（24-25九年级上·广东河源·期中）已知某平台在售的故宫文创产品书灯有A，B两个系列，A系列产品比B系列产品的售价低50元，1000元购买A系列产品的数量与1500元购买B系列产品的数量相等．按定价销售一段时间后发现：B系列产品按定价销售，每天可以卖500件，若B系列产品每降1元，则每天可以多卖10件． (1)A系列产品和B系列产品的售价各是多少？ (2)为了使B系列产品每天的销售额为96000元，而且尽可能让顾客得到实惠，求B系列产品的实际售价应定为多少元/件？ 基础巩固 一、单选题 1．（2024·广东广州·二模）方程的解为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·海南海口·模拟预测）若代数式和的值互为相反数，则x等于（    ） A．1 B． C．2 D． 3．（2024·广东深圳·模拟预测）深圳宝安国际机场是深圳对外交往的重要平台，旅客从市民中心前往宝安机场有两条线路，路线一：走深南大道经宝安大道，全程是千米，但交通比较拥堵；路线二：走深南大道转京港澳高速，全程是千米，平均速度是路线一的倍，因此到宝安机场的时间比走路线一少用分钟，设走路线一到达宝安机场需要分钟，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·广东佛山·二模）在题目“甲、乙两地相距，一辆汽车从甲地匀速开往乙地，…，求汽车实际行驶的时间？”中，若设汽车原计划需行驶，可得方程，则题目中“…”表示的条件是（    ） A．速度比原计划增加，结果提前到达 B．速度比原计划增加，结果晚到达 C．速度比原计划减少，结果提前到达 D．速度比原计划减少，结果晚到达 5．（2023·海南海口·一模）若代数式和的值相等，则x等于（    ） A．1 B．2 C． D． 6．（2024·广东汕头·一模）为降低成本，某出租车公司推出了“油改气”措施，如图，，分别表示燃油汽车和燃气汽车行驶路程S（单位：千米）与所需费用y（单位：元）的关系，已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需费用2倍多元，设燃气汽车每千米所需费用为x元，则可列方程为（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 7．（2024·广东·模拟预测）代数式与代数式的值相等，则 ． 8．（2024·广东梅州·模拟预测）若关于x 的方程无解，则a的值为 ． 9．（2024·广东广州·二模）为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球，已知每个篮球的价格比每个足球的价格多元，用元购进篮球的数量比用元购进足球的数量多个，如果设每个足球的价格为元，可列方程为： ． 三、解答题 10．（2024·广东清远·模拟预测）近年来，新能源汽车特别是纯电动汽车受到越来越多消费者的关注，下面是价格相同的燃油车与纯电动汽车的部分相关信息对比： 燃油车 油箱容积：40升 油价：7.5元/升 续航里程：m千米 每千米行驶费用：元 纯电动汽车 电池容量：80千瓦时 电价：0.55元/千瓦时 续航里程：m千米 每千米行驶费用：________元 (1)用含m的代数式表示纯电动汽车的每千米行驶费用； (2)若纯电动汽车每千米行驶费用比燃油车少0.64元． ①分别求出这两款车的每千米行驶费用； ②若燃油车和纯电动汽车每年的其它费用分别为3600元和6800元．小明家要购置新车，他们家每年行驶里程大于6000千米，则他们购买哪一款汽车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用） 11．（2024·广东·模拟预测）“绿水青山就是金山银山”，为了绿色发展，某林场计划购买甲、乙两种树苗，已知购买一株甲种树苗的进价比一株乙种树苗的进价少3元，用3000元购进甲种树苗的数量是用3200元购进乙种树苗的数量的1.5倍． (1)求每株甲种树苗，每株乙种树苗的进价分别为多少元？ (2)相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为和．为保证绿化效果，林场决定再购买甲、乙两种树苗共100株．若要使这批树苗的成活率不低于，且购买树苗的总费用最低，应如何选购树苗？ 能力提升 一、单选题 1．（2023·广东云浮·二模）已知完成某项工程甲组需要12天，乙组需要若干天，甲组单独工作半天后，乙组加入，两组合作2天后，甲组又单独工作了3天半，工程完工，则乙组单独完成此项工程需要的天数比甲组（　　） A．少6天 B．少8天 C．多3天 D．多6天 2．（2023·广东广州·模拟预测）把分式方程化为整式方程正确的是(　　) A． B． C． D． 3．（2022·广东广州·模拟预测）若关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A．1 B．2 C． D．0 4．（2023·广东广州·二模）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件送到900里外的城市，用慢马送所需的时间比用快马送所需的时间多4天．已知快马速度是慢马速度的2倍，求慢马的速度．设慢马的速度为里/天，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2024·广东广州·二模）清明缅怀英烈，某校计划组织540名学生外出祭奠．现有A，B 两种不同型号的客车可供选择，在每辆车刚好满座的前提下，每辆B型客车比每辆A型客车多坐15人，单独选择B型客车比单独选择A型客车少租6辆(每辆车刚好满座)，设A型客车每辆坐x人，则根据题意可列方程为 6．（2024·广东揭阳·一模）若关于的分式方程有增根，则的值为 ． 7．（2023·广东深圳·二模）对于实数，，定义一种新运算“θ”为：，例如：，则的解是 ． 8．（2023·广东东莞·模拟预测）劳动教育是全面发展教育体系的重要组成部分，是大中小学必须开展的教育活动．某校积极响应，开设校园农场．七年级学生共收获农产品，八年级学生共收获农产品，已知八年级学生比七年级学生人均多收获农产品，七年级学生人数是八年级学生人数的1.5倍．求七、八年级各有多少名学生．若设八年级有x名学生，则可列分式方程为 ． 三、解答题 9．（2024·广东中山·三模）据有关部门预测，今年夏天某景区游客将会大幅度增长．为方便更多的游客在景区内休息，景区管理委员会决定向某公司采购一批户外休闲椅．经了解，该公司出售弧形和条形两种类型的休闲椅，已知条形椅的单价是弧形椅单价的倍，用元购买弧形椅的数量比用元购买条形椅的数量多张，弧形椅和条形椅的单价分别是多少元 10．（2024·广东广州·模拟预测）今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值． 11．（2024·广东深圳·三模）深圳某校为了提升学生体质，丰富体育活动，计划购买若干个排球、足球，已知每个足球比排球贵元．花费元购买的排球数量比花费元购买的足球数量少个，其中，排球单价不低于元． (1)求排球、足球的单价各为多少？ (2)若排球、足球共买个，购买足球的个数不低于排球个数的不高于排球个数的，张老师带了元，请你判断张老师带的钱够不够，如果不够，最少还差多少元． 12．（2022·广东潮州·一模）国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，低排量的汽车比较畅销，某汽车经销商购进A，B两种型号的低排量汽车，其中A型汽车的进货单价比B型汽车的进货单价多2万元；花50万元购进A型汽车的数量与花40万元购进B型汽车的数量相同． (1)求A，B两种型号汽车的进货单价； (2)销售过程中发现：A型汽车的每周销售量yA（台）与售价xA（万元台）满足函数关系yA＝﹣xA+18；B型汽车的每周销售量yB（台）与售价xB（万元/台）满足函数关系yB＝﹣xB+14．若A型汽车的售价比B型汽车的售价高1万元/台，设每周销售这两种车的总利润为w万元． ①当A型汽车的利润不低于B型汽车的利润，求B型汽车的最低售价？ ②求当B型号的汽车售价为多少时，每周销售这两种汽车的总利润最大？最大利润是多少万元？ 13.（2024·四川成都·二模）“直播带货”已经成为信息社会中商家的一种新型促销手段，2024年是中国农历甲辰龙年，某主播用3000元购进了一批“小金龙”布偶玩具在直播间销售，由于销售火爆，又用9900元购进了第二批这种玩具，所购数量是第一批购进数量的3倍，但每件的进价贵了3元． (1)求商场购进第一批“小金龙”每件的进价； (2)直播间在第二批“小金龙”布偶销售过程中发现，“小金龙”布偶每分钟的销量（件）与销售单价（元）满足一次函数关系，设每分钟的销售利润为元，求与之间的函数关系式，并求最大值． $$ 第二章 方程（组）与不等式（组） 第06讲 分式方程及其应用（3~8分） ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 解分式方程 考点二 分式方程的应用 04题型精研·考向洞悉 命题点一 解分式方程 ►题型01 判断分式方程 ►题型02 分式方程的解法 命题点二 分式方程的解 ►题型01 根据分式方程解的情况求值 ►题型02 分式方程无解问题 命题点三 分式方程的应用 ►题型01 列分数方程 ►题型02 行程问题 ►题型03 工程问题 ►题型04 经济问题 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 解分式方程 能解可化为一元一次方程的分式方程 10年9考 中考中本考点考查内容以分式方程解法、分式方程含参问题、分式方程的应用题为主，既有单独考查，也有和一次函数、二次函数结合考察，年年考查，分值为10分左右，预计2025年各地中考还将继续考查分式方程解法、分式方程含参问题（较难）、分式方程的应用题，为避免丢分，学生应扎实掌握． 分式方程的应用 能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性 10年连续考查 考点一 解分式方程 分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 增根的概念：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根. ( 1. 分式方程与整式方程的根本区别：分母中含有未知数，也是判断分式方程的依据 . 2 . 去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得 不要漏乘整式项 . 3 . 分式方程的结果 还要代回方程 的 最 简公分母中，只有 最 简公分母不是零的解 才是原 方程的解． 4 . 分式方程 的增根是 去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为 0 的根，它不是原分式方程的根． 5 . 解分式方程可能产生使分式方程无意义的根，检验是解分式方程的 必要步骤 . 6 . 分式方程 有增根与 无解 并非 是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解 . ) 考点二 分式方程的应用 用分式方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义;+ 1）检验所求的解是否是所列分式方程的解. 2）检验所求的解是否符合实际意义. 答：实际问题的答案. 与分式方程有关应用题的常见类型： 命题点一 解分式方程 ►题型01 判断分式方程 1．（2024·广西贺州·三模）下列式子是分式方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了分式方程，分母中含有未知数的有理方程是分式方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A．是一元一次方程，故选项不符合题意； B．不是方程，故选项不符合题意； C．是分式方程，故选项符合题意； D．是一元一次方程，故选项符合题意． 故选：C． 2．（2021·河南信阳·模拟预测）下列方程：①；②；③；④（为已知数），其中分式方程有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】等号两边至少有一个分母含有未知数的有理方程叫做分式方程； 【详解】解：观察各方程的分母，只有①③分母中含有未知数，而④中分母虽含有字母，但字母不是未知数，故不是分式方程，所以方程①③是分式方程，方程②④均属于整式方程． 故选：B． 【点睛】本题考查分式方程的定义，掌握定义是解题关键． 3．（2023·四川南充·二模）关于的方程的解是负数，则的取值范围是（    ） A． B． C．，且 D．，且 【答案】D 【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是负数”建立不等式求a的取值范围即可． 【详解】解：去分母，得， 解得， ∵方程的解是负数， ∴，且， ∴，且． 故选：D． 【点睛】本题考查分式方程的解，解题关键是要掌握分式方程的解的定义，使方程成立的未知数的值叫做方程的解． 4．（2024全国）下列关于x的方程中，属于分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式方程的定义即可求出答案． 【详解】解：A、是一元一次方程，故不符合题意； B、是一元一次方程，故不符合题意； C、是分式方程，故符合题意； D、是二元一次方程，故不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查分式方程，解题的关键是熟练运用分式方程的定义，本题属于基础题型． ►题型02 分式方程的解法 5．（2024·广东广州·模拟预测）解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，先去分母，将分式方程化为整式方程，再进行计算，最后进行检验即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 经检验，是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为． 6．（2024·广东广州·中考真题）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查的是解分式方程，掌握分式方程的解法是解题关键，注意检验．依次去分母、去括号、移项、合并同类项求解，检验后即可得到答案． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 该分式方程的解为． 7．（2023·广东江门·一模）解分式方程：． 【答案】. 【分析】先找到最简公分母，方程的左右两边同时乘以最简公分母，将其转化为整式方程，再解一元一次方程即可，最后检验． 【详解】解： ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解． 【点睛】本题考查了分式方程的求解，去分母是解题的关键，注意分式方程要检验． 8．（2022·广东揭阳·模拟预测）（1）++=1； （2）． 【答案】（1）x=1；（2）， 【分析】（1）先去分母，把分式方程化为整式方程，然后解出整式方程，再检验，即可求解； （2）先去分母再利用因式分解法解答，即可求解． 【详解】解：（1）方程两边同乘以（x+2）（x-2）， 得x-2+4x-2（x+2）=（x+2）（x-2）， 解得x=1或2． 经检验，x=1是原方程的解，x=2不是原方程的解， 所以原方程的解为：x=1． （2）去分母得，， 移项得，， ∴（3x-2）[4（3x-2）+3]=0， ∴3x-2=0，4（3x-2）+3=0， 解得，，． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，解一元二次方程，熟练掌握分式方程和一元二次方程的解法是解题的关键． 命题点二 分式方程的解 ►题型01 根据分式方程解的情况求值 9．（2024·广东·模拟预测）已知是分式方程的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式方程解的定义，分式方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程求出的值即可． 【详解】解：是分式方程的解， ， 解得：， 故选：C． 10．（2024·广东揭阳·一模）已知关于的方程的解是负数，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程、根据分式方程解的情况求参数，先解分式方程得出，根据解是负数得出，且，求解即可得出答案． 【详解】解：去分母得：， 解得：， 关于的方程的解是负数， ，且， 解得：且， 故选：B． 11．（2020·重庆·中考真题）若关于x的一元一次不等式结的解集为；且关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是（    ） A．7 B．－14 C．28 D．－56 【答案】A 【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出a的范围，分式方程去分母转化为正整数方程，由分式方程有非负整数解，确定出a的值，求出之和即可． 【详解】解：解不等式，解得x≤7， ∴不等式组整理的， 由解集为x≤a，得到a≤7， 分式方程去分母得：y−a＋3y−4＝y−2，即3y−2＝a， 解得：y＝， 由y为正整数解且y≠2，得到a＝1，7， 1×7＝7， 故选：A． 【点睛】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 12．（2024·四川德阳·三模）已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查的是分式方程的解．先利用m表示出x的值，再由x为正数求出m的取值范围即可． 【详解】解： 方程两边同时乘以得，， 解得， ∵x为正数， ∴，解得． ∵， ∴，即． ∴m的取值范围是且． 故选：D． ►题型02 分式方程无解问题 13．（2023·黑龙江牡丹江·二模）若分式方程无解，则a的值为（    ） A．1 B． C．2或1 D．2或 【答案】C 【分析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解恰好使原分式方程的分母等于0． 【详解】解：去分母得：， 整理得：， 由题意，分以下两种情况： （1）当，即时，整式方程无解，分式方程无解； （2）当时，， 当时，分母为0，分式方程无解，即， 解得， 综上，a的值为1或2． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式方程无解问题，正确分两种情况讨论是解题关键． 14．（2021·广东广州·二模）小明把分式方程去分母后得到整式方程，由此他判断该分式方程只有一个解．对于他的判断，你认为下列看法正确的是（    ） A．小明的说法完全正确 B．整式方程正确，但分式方程有2个解 C．整式方程不正确，分式方程无解 D．整式方程不正确，分式方程只有1个解 【答案】C 【分析】解分式方程去分母后得到整式方程，由于，得到方程无实数根，于是得到结论． 【详解】解：∵分式方程去分母后得到整式方程， ， ∴方程无实数根， ∴方程无解， 故整式方程不正确，分式方程无解， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式方程的解法,一元二次方程根的判别式,熟练将分式方程转化为一元二次方程是解题的关键． 15．（2020·广东深圳·一模）若关于的方程无解，则的值为（    ） A．1 B．3 C．1或 D． 【答案】C 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解的意义，计算即可求出m的值. 【详解】解：去分母得：， 整理得，， 当时，即时，方程无解， 当时，，即x=3时，方程无解， 此时，解得， 所以，或， 故选：C. 【点睛】本题考查了分式方程的解，把分式方程转化成整式方程，理解分式方程无解的意义，是解题的关键． 16．（2020·广东东莞·模拟预测）关于x的分式方程＋3＝有增根，则m的值为（　　） A．7 B．3 C．1 D．－3 【答案】A 【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x-1=0，得到x=1，然后代入化为整式方程的方程算出m的值． 【详解】方程两边都乘（x-），得7+ 3（x-1）=m ∵原方程有增根， ∴最简公分母x-1=0， 解得x=1， 当x=1时，7+ 3（1-1）=m． 解得m=7． 故选：A． 【点睛】本题考查了分式方程的增根，让最简公分母为0确定增根；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 命题点三 分式方程的应用 ►题型01 列分数方程 17．（2024·广东深圳·模拟预测）2023年3月底，国道深圳宝安段(下称“107国道”)正式启动先行段的市政化改造，它纵贯宝安区，沿线是广深科技创新走廊的核心地段，千余家国家高新技术企业密布其间，被视为“鹏城一翼”“湾区动轴”．它全长为31.4千米，这条94岁的国道路面需整改，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的工效比原计划增加，结果提前5天完成这一任务，设原计划每天整改千米，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查由实际问题列分式方程，设原计划每天整改千米，得到实际施工时每天整改千米，由等量关系结果提前5天完成这一任务，即可列出分式方程，读懂题意，准确找到等量关系列方程是解决问题的关键． 【详解】解：设原计划每天整改千米，实际施工时每天整改千米，则 ， 故选：B． 18．（2024·广东深圳·三模）一次夏令营活动中，班长购买了甲、乙两种矿泉水，其中甲种矿泉水共花费80元，乙种矿泉水共花费60元，甲种矿泉水比乙种矿泉水多20瓶，乙种矿泉水价格是甲种矿泉水价格的1.5倍．若设甲种矿泉水的价格为x元，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程．设甲种矿泉水的价格为元，则乙种矿泉水价格为，根据甲种矿泉水比乙种矿泉水多20瓶，列分式方程． 【详解】解：设甲种矿泉水的价格为元，则乙种矿泉水价格为， 由题意得，． 故选：B． 19．（2024·广东江门·模拟预测）一艘轮船在静水中的速度为，它沿江顺流航行与逆流航行所用时间相等，江水的流速为多少？设江水流速为，则符合题意的方程是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列分式方程，先分别根据“顺流速度静水速度江水速度”、“逆流速度静水速度江水速度”求出顺流速度和逆流速度，再根据“沿江顺流航行与逆流航行所用时间相等”建立方程即可得． 【详解】解：由题意得：轮船的顺流速度为，逆流速度为， 则可列方程为， 故选：A． 20．（2023·广东阳江·一模）由于市场急需A产品，某工厂现在平均每天比原计划多生产A产品50万件，现在生产A产品400万件所需时间比原计划生产A产品450万件所需时间少5天，设现在平均每天生产A产品x万件，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了列分式方程应用，利用本题中“现在生产A产品400万件所需时间比原计划生产A产品450万件所需时间少5天”这一个条件，列出分式方程是解题关键． 【详解】解：设现在平均每天生产A产品x万件，则原来可生产万件． 由题意得：， 故选：B． ►题型02 行程问题 21．（24-25九年级·重庆）周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体，若两人同时从地出发，匀速跑向距离处的地，小明的跑步速度是小红跑步速度的倍，那么小明比小红早分钟到达地. (1)求小明、小红的跑步速度； (2)若从地到达地后，小明跑步继续前进到地整个过程不休息，据了解，在整个运动过程中，小明跑步的前分钟内，平均每分钟消耗热量卡路里，超过分钟后，每多跑步分钟，平均每分钟消耗的热量就增加卡路里，在整个过程中，小明共消耗卡路里热量，小明从地到地锻炼共用多少分钟． 【答案】(1)小明跑步速度是，小红跑步速度是 (2)小明从地到地锻炼共用分钟 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用； （1）设小红跑步速度是，则小明跑步速度是，利用时间路程速度，结合小明比小红早分钟到达地，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出小红跑步的速度，再将其代入中，即可求出小明跑步的速度； （2）设小明从地到地锻炼共用分钟，根据“在整个锻炼过程中，小明共消耗卡路里的热量”，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设小红跑步速度是，则小明跑步速度是， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 答：小明跑步速度是，小红跑步速度是； （2）设小明从地到地锻炼共用分钟， 根据题意得：， 整理得：， 解得：不符合题意，舍去，． 答：小明从地到地锻炼共用分钟． 22．（24-25九年级·重庆）在周末自驾游中，李明和张华相约从A城前往B城进行户外探险.已知A、B两城相距120公里，两人均匀速行驶，李明与张华的速度之比为． (1)若张华先行15公里后，李明才开始从A城出发，李明出发30分钟恰好追上张华，求李明驾驶的速度为每小时多少公里； (2)若张华比李明早出发30分钟，结果反而比李明晚30分钟到达B城，求李明驾驶的速度为每小时多少公里． 【答案】(1)每小时90公里 (2)每小时60公里 【分析】本题考查了分式方程和一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （1）设李明驾驶的速度为每小时公里，则张华的速度为每小时公里，根据路程＝速度时间，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设李明驾驶的速度为每小时y公里，则张华的速度为每小时公里，根据时间＝路程＋速度结合张华比李明多用1小时，即可得出关于y的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得，设李明驾驶的速度为每小时公里，则张华的速度每小时公里， 依题意得： 解得：，则． 答：李明驾驶的速度为每小时90公里； （2）解：设李明驾驶的速度为每小时y公里，则张华的速度为每小时公里， 则由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 答：李明驾驶的速度为每小时60公里． ►题型03 工程问题 23．（24-25九年级上·山东威海·期中）某市政府计划对该市博物馆进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成，已知甲队的工作效率是乙队工作效率的1.5倍，甲队单独完成该改造计划比乙队单独完成该计划少用4天． (1)甲、乙两队单独完成该计划分别需要多少天？ (2)若甲队工作一天需付费用8万元，乙队工作一天需付费用6万元，由于项目原因，甲队先做了几天后，由乙队接着将改造计划完成，最后改造费用不超过67万元，甲队至少做了多少天？ 【答案】(1)甲队单独完成该计划需要8天，乙队单独完成该计划需要12天 (2)甲队至少做了5天 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，理解题意，找出数量关系，列出等式或不等式是解题关键． （1）设乙队单独完成该计划需要天，则甲队单独完成该计划需要天，根据题意可列出关于x的分式方程，解出x的值，再验算即可； （2）设甲队做了天，则乙队做了天，根据题意可列出关于m的不等式，解之即可． 【详解】（1）解：设乙队单独完成该计划需要天，则甲队单独完成该计划需要天， 根据题意得： 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 此时， 答：甲队单独完成该计划需要8天，乙队单独完成该计划需要12天； （2）解：设甲队做了天，则乙队做了天， 根据题意得： 解得：， 答：甲队至少做了5天． 24．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）我校综纷艺术节即将拉开帷幕，学校准备在一文创厂家定制个布艺文化袋发放给师生，该厂家甲车间每天可生产个布艺文化袋，乙车间每天可生产个布艺文化袋，甲车间先单独工作4天后，乙车间加入一起赶工． (1)该厂家完成这批布艺文化袋一共需要多少天？ (2)甲车间按原生产效率单独生产4天后，由于时间紧迫，两个车间改进了生产工艺，并且平分了剩下的生产任务，改进后甲、乙两车间每天生产布艺文化袋的数量之比为．两个车间各自完成剩下生产任务的天数之和为天，问改进工艺后甲车间每天生产多少个布艺文化袋？ 【答案】(1)该厂家完成这批布艺文化袋一共需要天 (2)改进工艺后甲车间每天生产个布艺文化袋． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，找到相等关系是解题的关键 （1）设从开始加工到完成这批布艺红包袋一共需要x天，根据“甲、乙的工作量之和为”列方程求解 （2）设改进工艺后甲车间每天生产个，乙车间每天生产个布艺文化袋，根据“改进后甲、乙两车间每天生产的布艺文化袋数量之比为、两个车间各自完成剩下生产任务的天数之和为天”列方程求解． 【详解】（1）解∶设该厂家完成这批布艺文化袋一共需要x天，则 ． 解得∶． 答∶ 该厂家完成这批布艺文化袋一共需要天． （2）解∶设改进工艺后甲车间每天生产个布艺文化袋，乙车间每天生产个布艺文化袋． 甲车间按原生产效率单独生产4天后还剩∶(个)，每个车间完成 (个) 由题意得∶， 解得∶， 经检验∶是原分式方程的解，且符合题意． 甲车间每天生产 (个)． 答∶ 改进工艺后甲车间每天生产个布艺文化袋． ►题型04 经济问题 25．（24-25九年级重庆）每年的12月12日各大网络平台都会推出大型网购促销活动，吸引消费者购物．某一网络销售公司准备在这一天销售2000件“元旦礼盒”，找到甲工厂承接这项生产任务，甲工厂工作15天后还未加工完，于是提高了生产速度，提速后每天生产的数量比原来每天生产的数量多40件，又生产了5天才完成了任务． (1)求甲工厂提速前每天生产“元旦礼盒”多少件？ (2)“双12”当天，“元旦礼盒”快速被抢空，该网络销售公司决定增加生产．安排甲、乙两家工厂共同加工生产该“元旦礼盒”2800件，甲工厂按提速前的速度和乙工厂一起加工完成一半后，更换了新的生产设备，两家工厂每天均比之前多生产一倍，结果比原计划提前4天完成任务，求更换新的生产设备前乙工厂每天加工“元旦礼盒”多少件？ 【答案】(1)甲工厂提速前每天生产“元旦礼盒”90件 (2)更换新的生产设备前乙工厂每天加工“元旦礼盒”85件 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程． （1）设甲工厂提速前每天生产“元旦礼盒”x件，根据生产的总数量为2000件，列方程求解即可； （2）设更换新的生产设备前乙工厂每天加工“元旦礼盒”y件，根据结果比原计划提前4天完成任务，列方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲工厂提速前每天生产“元旦礼盒”x件，依题意，得： ， 解得：． 答：甲工厂提速前每天生产“元旦礼盒”90件． （2）解：设更换新的生产设备前乙工厂每天加工“元旦礼盒”y件，依题意，得： ， 解得：． 经检验，是原方程的解． 答：更换新的生产设备前乙工厂每天加工“元旦礼盒”85件． 26．（24-25九年级上·广东河源·期中）已知某平台在售的故宫文创产品书灯有A，B两个系列，A系列产品比B系列产品的售价低50元，1000元购买A系列产品的数量与1500元购买B系列产品的数量相等．按定价销售一段时间后发现：B系列产品按定价销售，每天可以卖500件，若B系列产品每降1元，则每天可以多卖10件． (1)A系列产品和B系列产品的售价各是多少？ (2)为了使B系列产品每天的销售额为96000元，而且尽可能让顾客得到实惠，求B系列产品的实际售价应定为多少元/件？ 【答案】(1)A系列单价为100元，B系列单价为150元； (2)80元 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设A系列单价为x元；B系列单价为元，根据题意得，解方程即可． （2）设B系列单价为y元，则单件降价为元，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）设A系列单价为x元，B系列单价为元， 根据题意，得， 解方程，得， 经检验，是原方程的根，此时元， 答：A系列单价为100元，B系列单价为150元； （2）设B系列定价为y元，则单件降价为元， 每天的销售量为件， 根据题意，得， 整理得， 解得， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴定价为80元． 答：B系列产品的实际售价应定为80元． 基础巩固 一、单选题 1．（2024·广东广州·二模）方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程．先去分母，转化为整式方程，再求解，检验即可． 【详解】解：， 去括号得， 解得：， 经检验：是原方程的根， 故选：A． 2．（2023·海南海口·模拟预测）若代数式和的值互为相反数，则x等于（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数，分式方程的求解，根据相反数定义列式，根据去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1的过程进行求解即可． 【详解】解：代数式和的值互为相反数， ， 去分母得：， 去括号得：， 合并同类项得：， 解得：， 经检验是方程的解， 故选：B． 3．（2024·广东深圳·模拟预测）深圳宝安国际机场是深圳对外交往的重要平台，旅客从市民中心前往宝安机场有两条线路，路线一：走深南大道经宝安大道，全程是千米，但交通比较拥堵；路线二：走深南大道转京港澳高速，全程是千米，平均速度是路线一的倍，因此到宝安机场的时间比走路线一少用分钟，设走路线一到达宝安机场需要分钟，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的应用，设走路线一到达宝安机场需要分钟，根据题意，列出分式方程即可求解，根据题意，找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设走路线一到达宝安机场需要分钟， 由题意可得， 故选：． 4．（2024·广东佛山·二模）在题目“甲、乙两地相距，一辆汽车从甲地匀速开往乙地，…，求汽车实际行驶的时间？”中，若设汽车原计划需行驶，可得方程，则题目中“…”表示的条件是（    ） A．速度比原计划增加，结果提前到达 B．速度比原计划增加，结果晚到达 C．速度比原计划减少，结果提前到达 D．速度比原计划减少，结果晚到达 【答案】A 【分析】本题主要考查分式的实际运用，理解题目中的数量关系，分式方程表示的含义，掌握分式方程解实际问题的方法是解题的关键．根据设汽车原计划需行驶，可得表示的含义，由此可得，表示的含义，由此即可求解． 【详解】解：设汽车原计划需行驶，则表示原计划的速度， ∴表示的是在原计划的速度上提高， ∴表示实际的速度， ∴A符合题意， 故选：． 5．（2023·海南海口·一模）若代数式和的值相等，则x等于（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意列分式方程并求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 经检验，是方程的解； 故选：C． 【点睛】本题考查解分式方程，解题的关键是根据题意列分式方程，解分式方程并检验． 6．（2024·广东汕头·一模）为降低成本，某出租车公司推出了“油改气”措施，如图，，分别表示燃油汽车和燃气汽车行驶路程S（单位：千米）与所需费用y（单位：元）的关系，已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需费用2倍多元，设燃气汽车每千米所需费用为x元，则可列方程为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设燃气汽车每千米所需费用为x元，则燃油汽车每千米所需的费用为元，由图像可得，燃油汽车花费30元所行驶的路程等于燃气汽车10元行驶的路程，依次列方程即可． 【详解】解：设燃气汽车每千米所需费用为x元，则燃油汽车每千米所需的费用为元， 由图像可得，燃油汽车花费30元所行驶的路程等于燃气汽车10元行驶的路程， 即 故选：C． 二、填空题 7．（2024·广东·模拟预测）代数式与代数式的值相等，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了代数式值相等问题，熟练掌握相等关系，列出方程，解方程，分式方程检验，是解决本题的关键． 通过题目中的等量关系列方程，解方程，检验，即可． 【详解】由题可得：， 去分母得，， 解得，， 检验：当时，， ∴是所列方程的根， 故答案为：4． 8．（2024·广东梅州·模拟预测）若关于x 的方程无解，则a的值为 ． 【答案】1或 【分析】此题考查了分式方程的无解问题，先整理方程得到，分和两种情况，分别进行求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 整理得：， 当时，方程无解，故； 当时，时，分式方程无解， 则， ∴关于x 的方程无解，则a的值为：1或． 故答案为：1或． 9．（2024·广东广州·二模）为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球，已知每个篮球的价格比每个足球的价格多元，用元购进篮球的数量比用元购进足球的数量多个，如果设每个足球的价格为元，可列方程为： ． 【答案】 【分析】此题考查了分式方程的应用，设每个足球的价格为元，则每个篮球的价格为元，用元购进篮球的数量比用元购进足球的数量多个列出方程即可，由解题的关键读懂题意列出分式方程． 【详解】解：设每个足球的价格为元，则每个篮球的价格为元， 由题意得：， 故答案为：． 三、解答题 10．（2024·广东清远·模拟预测）近年来，新能源汽车特别是纯电动汽车受到越来越多消费者的关注，下面是价格相同的燃油车与纯电动汽车的部分相关信息对比： 燃油车 油箱容积：40升 油价：7.5元/升 续航里程：m千米 每千米行驶费用：元 纯电动汽车 电池容量：80千瓦时 电价：0.55元/千瓦时 续航里程：m千米 每千米行驶费用：________元 (1)用含m的代数式表示纯电动汽车的每千米行驶费用； (2)若纯电动汽车每千米行驶费用比燃油车少0.64元． ①分别求出这两款车的每千米行驶费用； ②若燃油车和纯电动汽车每年的其它费用分别为3600元和6800元．小明家要购置新车，他们家每年行驶里程大于6000千米，则他们购买哪一款汽车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用） 【答案】(1)（或）； (2)①燃油车每千米行驶费用为0.75元，纯电动汽车每千米行驶费用为0.11元；②他们购买纯电动汽车的年费用更低． 【分析】（1）根据表中的信息，可以表示新能源车的每千米行驶费用； （2）①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.64元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验； ②先分别算出购买燃油车的年费和购买纯电动汽车的年费，再进行比较，即可作答． 本题考查列代数式的问题，分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式． 【详解】（1）解：新能源车的每千米行驶费用为：（元）； 故答案为：（或）． （2）解：①， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴（元），（元）， 答：燃油车的每千米行驶费用为0.75元，新能源车的每千米行驶费用为0.11元； ②购买燃油车的年费：（元） 购买纯电动汽车的年费：（元） ∵ ∴他们购买纯电动汽车的年费用更低． 11．（2024·广东·模拟预测）“绿水青山就是金山银山”，为了绿色发展，某林场计划购买甲、乙两种树苗，已知购买一株甲种树苗的进价比一株乙种树苗的进价少3元，用3000元购进甲种树苗的数量是用3200元购进乙种树苗的数量的1.5倍． (1)求每株甲种树苗，每株乙种树苗的进价分别为多少元？ (2)相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为和．为保证绿化效果，林场决定再购买甲、乙两种树苗共100株．若要使这批树苗的成活率不低于，且购买树苗的总费用最低，应如何选购树苗？ 【答案】(1)每株甲种树苗的进价为5元，则乙种树苗的进价为8元． (2)应选择购买乙种树苗60棵．购买甲种树苗40棵． 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用以及一元一次不等式的应用． （1）设每株甲种树苗的进价为x元，则乙种树苗的进价为元，根据用3000元购进甲种树苗的数量是用3200元购进乙种树苗的数量的1.5倍列出分式方程求解即可． （2）设应购买乙种树苗m棵，则甲种数树苗为棵，根据题意列出关于m的一元一次不等式，求解，再根据甲乙种数苗的单价即可得出结论． 【详解】（1）解：设每株甲种树苗的进价为x元，则乙种树苗的进价为元， 根据题意有：， 解得： 经检验，是分式方程的解， ∴， ∴每株甲种树苗的进价为5元，则乙种树苗的进价为8元． （2）解：设应购买乙种树苗m棵，则甲种数树苗为棵， 根据题意有：， 解得：， ∵甲种树苗的进价为5元，则乙种树苗的进价为8元， ∴乙种树苗购买的数量越小，总费用越低， 故应选择购买乙种树苗60棵．购买甲种树苗40棵． 能力提升 一、单选题 1．（2023·广东云浮·二模）已知完成某项工程甲组需要12天，乙组需要若干天，甲组单独工作半天后，乙组加入，两组合作2天后，甲组又单独工作了3天半，工程完工，则乙组单独完成此项工程需要的天数比甲组（　　） A．少6天 B．少8天 C．多3天 D．多6天 【答案】B 【分析】题目主要考查分式方程的应用，设乙组单独完成此顶工程需要x天，根据题意列出方程求解即可，注意进行检验． 【详解】解：设乙组单独完成此顶工程需要x天， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 故选：B． 2．（2023·广东广州·模拟预测）把分式方程化为整式方程正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方程两边都乘，即可求解． 【详解】解：原方程可变形为：， 方程两边都乘得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了解分式方程，正确的去分母是解题的关键． 3．（2022·广东广州·模拟预测）若关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A．1 B．2 C． D．0 【答案】C 【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出的值． 【详解】解：方程两边都乘， 得， 原方程有增根， 最简公分母， 解得：， 当时，， 故选：C． 【点睛】本题考查根据分式方程解的情况求值．注意计算的准确性． 4．（2023·广东广州·二模）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件送到900里外的城市，用慢马送所需的时间比用快马送所需的时间多4天．已知快马速度是慢马速度的2倍，求慢马的速度．设慢马的速度为里/天，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设慢马的速度为里/天，则快马的速度为里/天，根据“用慢马送所需的时间比用快马送所需的时间多4天” 【详解】解：设慢马的速度为里/天，则快马的速度为里/天， 根据题意得， 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 二、填空题 5．（2024·广东广州·二模）清明缅怀英烈，某校计划组织540名学生外出祭奠．现有A，B 两种不同型号的客车可供选择，在每辆车刚好满座的前提下，每辆B型客车比每辆A型客车多坐15人，单独选择B型客车比单独选择A型客车少租6辆(每辆车刚好满座)，设A型客车每辆坐x人，则根据题意可列方程为 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，首先根据A型客车每辆坐x人，得每辆B型客车每辆坐人，根据根据等量关系列出方程即可． 【详解】解：A型客车每辆坐x人， ∵B型客车比每辆A型客车多坐15人 ∴B型客车每辆坐人 ∴根据题意的：， 故答案为． 6．（2024·广东揭阳·一模）若关于的分式方程有增根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了增根的概念，利用增根的意义即可求解，正确理解增根的含义是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ∵关于的分式方程有增根， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（2023·广东深圳·二模）对于实数，，定义一种新运算“θ”为：，例如：，则的解是 ． 【答案】/ 【分析】利用题中的新定义化简，计算即可求出解． 【详解】解：∵， ∴，即， 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， ∴分式方程的解是， 故答案为： 【点睛】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 8．（2023·广东东莞·模拟预测）劳动教育是全面发展教育体系的重要组成部分，是大中小学必须开展的教育活动．某校积极响应，开设校园农场．七年级学生共收获农产品，八年级学生共收获农产品，已知八年级学生比七年级学生人均多收获农产品，七年级学生人数是八年级学生人数的1.5倍．求七、八年级各有多少名学生．若设八年级有x名学生，则可列分式方程为 ． 【答案】 【分析】根据题设，得出七年级有1.5x名学生，再表示出每个年级人均收获农产品的数量，根据八年级比七年级人均多建立方程． 【详解】解：若设八年级有x名学生，则七年级有1.5x名学生， 八年级人均收获农产品为， 七年级人均收获农产品为， 已知八年级学生比七年级学生人均多收获农产品， 则有． 故答案为：． 【点睛】此题考查了列分式方程，解题的关键是理清题目中的数量关系． 三、解答题 9．（2024·广东中山·三模）据有关部门预测，今年夏天某景区游客将会大幅度增长．为方便更多的游客在景区内休息，景区管理委员会决定向某公司采购一批户外休闲椅．经了解，该公司出售弧形和条形两种类型的休闲椅，已知条形椅的单价是弧形椅单价的倍，用元购买弧形椅的数量比用元购买条形椅的数量多张，弧形椅和条形椅的单价分别是多少元 【答案】弧形椅的单价为元，条形椅的单价为元 【分析】此题主要考查了分式方程的应用．设弧形椅的单价为元，则条形椅的单价为元，根据“用6000元购买弧形椅的数量比用3600元购买条形椅的数量多6张”列分式方程解答即可． 【详解】解：设弧形椅的单价为元，则条形椅的单价为元，根据题意得： ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：弧形椅的单价为200元，条形椅的单价为150元． 10．（2024·广东广州·模拟预测）今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值． 【答案】(1)甲开车的平均速度是40千米/小时，步行的平均速度是4千米/小时 (2)的值为 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用． （1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时，利用时间路程速度，结合甲到达目的地共花了1小时，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出甲步行的平均速度，再将其代入中，即可求出甲开车的平均速度； （2）利用路程速度时间，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （千米小时）． 答：甲开车的平均速度是40千米小时，甲步行的平均速度是4千米小时； （2）根据题意得：， 即， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：的值为． 11．（2024·广东深圳·三模）深圳某校为了提升学生体质，丰富体育活动，计划购买若干个排球、足球，已知每个足球比排球贵元．花费元购买的排球数量比花费元购买的足球数量少个，其中，排球单价不低于元． (1)求排球、足球的单价各为多少？ (2)若排球、足球共买个，购买足球的个数不低于排球个数的不高于排球个数的，张老师带了元，请你判断张老师带的钱够不够，如果不够，最少还差多少元． 【答案】(1)排球的单价为元，足球的单价为元； (2)张老师带的钱不够，最少还差元． 【分析】（）设排球的单价为元，则足球的单价为元，根据题意列出方程即可求解； （）设学校购买个足球，则购买个排球，根据题意列出不等式组，求出的取值范围，设费用为元，再求出与的一次函数关系，最后根据一次函数的性质即可解答； 本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，根据题意正确列出分式方程和一次函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：设排球的单价为元，则足球的单价为元， 依题意得，， 解得（不符合题意，舍去），， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：排球的单价为元，足球的单价为元； （2）解：设学校购买个足球，则购买个排球， 依题意得，， 解得， 设费用为元， 由题意得，， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，的值最小，， ∵，， ∴张老师带的钱不够，最少还差元， 答：张老师带的钱不够，最少还差元． 12．（2022·广东潮州·一模）国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，低排量的汽车比较畅销，某汽车经销商购进A，B两种型号的低排量汽车，其中A型汽车的进货单价比B型汽车的进货单价多2万元；花50万元购进A型汽车的数量与花40万元购进B型汽车的数量相同． (1)求A，B两种型号汽车的进货单价； (2)销售过程中发现：A型汽车的每周销售量yA（台）与售价xA（万元台）满足函数关系yA＝﹣xA+18；B型汽车的每周销售量yB（台）与售价xB（万元/台）满足函数关系yB＝﹣xB+14．若A型汽车的售价比B型汽车的售价高1万元/台，设每周销售这两种车的总利润为w万元． ①当A型汽车的利润不低于B型汽车的利润，求B型汽车的最低售价？ ②求当B型号的汽车售价为多少时，每周销售这两种汽车的总利润最大？最大利润是多少万元？ 【答案】(1)A种型号汽车的进货单价为10万元、B两种型号汽车的进货单价为8万元 (2)①B型汽车的最低售价为万元/台，②A、B两种型号的汽车售价各为13万元、12万元时，每周销售这两种汽车的总利润最大，最大利润是23万元 【分析】（1）设未知数，用未知数分别表示A型汽车、B型汽车的进价，然后根据花50万元购进A型汽车的数量与花40万元购进B型汽车的数量相同列分式方程求解即可． （2）①用利润公式：利润=（售价-进价）×数量，分别表示出A、B型汽车利润，然后列不等式求解即可；②B型号的汽车售价为t万元/台，然后将两车的总利润相加得出一个二次函数，求二次函数的最值即可． 【详解】（1）解：设B型汽车的进货单价为x万元，根据题意，得： ＝， 解得x＝8， 经检验x＝8是原分式方程的根， 8+2＝10（万元）， 答：A种型号汽车的进货单价为10万元、B两种型号汽车的进货单价为8万元； （2）设B型号的汽车售价为t万元/台，则A型汽车的售价为（t+1）万元/台， ①根据题意，得：（t+1﹣10）[﹣（t+1）+18]≥（t﹣8）（﹣t+14）， 解得：t≥， ∴t的最小值为，即B型汽车的最低售价为万元/台， 答：B型汽车的最低售价为万元/台； ②根据题意，得： w＝（t+1﹣10）[﹣（t+1）+18]+（t﹣8）（﹣t+14） ＝﹣2t2+48t﹣265 ＝﹣2（t﹣12）2+23， ∵﹣2＜0，当t＝12时，w有最大值为23． 答：A、B两种型号的汽车售价各为13万元、12万元时，每周销售这两种汽车的总利润最大，最大利润是23万元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，二次函数的应用，理清数量关系，明确等量关系是解题关键． 13.（2024·四川成都·二模）“直播带货”已经成为信息社会中商家的一种新型促销手段，2024年是中国农历甲辰龙年，某主播用3000元购进了一批“小金龙”布偶玩具在直播间销售，由于销售火爆，又用9900元购进了第二批这种玩具，所购数量是第一批购进数量的3倍，但每件的进价贵了3元． (1)求商场购进第一批“小金龙”每件的进价； (2)直播间在第二批“小金龙”布偶销售过程中发现，“小金龙”布偶每分钟的销量（件）与销售单价（元）满足一次函数关系，设每分钟的销售利润为元，求与之间的函数关系式，并求最大值． 【答案】(1)30元 (2)；最大值160元 【分析】本题考查了分式方程的应用、二次函数的应用，正确列出分式方程，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． （1）设购进第一批“小金龙”每件进价为元，则购进第二批“小金龙”每件进价为元，根据“第二批所购数量是第一批购进数量的3倍”列出分式方程，解方程即可得出答案； （2）由题意得得出与之间的函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设购进第一批“小金龙”每件进价为元，则购进第二批“小金龙”每件进价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的根，且符合题意， 商场购进第一批“小金龙”每件的进价为30元． （2）解：由题意得：， 当时，有最大值160元， 答：最大值为160元． $$