精品解析：河南省新未来2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题

高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：北师大版选择性必修第一册第一章~第六章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 甲，乙，丙3位同学到4个社区参加志愿服务，每人限去一个社区，不同方法的种数是（ ） A. 24 B. 36 C. 64 D. 81 【答案】C 【解析】 【分析】由分步乘法计数原理计数判断． 【详解】不同方法的种数是：． 故选：C． 2. 已知随机变量服从两点分布，，则其成功概率为（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 【答案】D 【解析】 【分析】根据两点分布的期望即可求解. 【详解】随机变量服从两点分布，设成功的概率为， ． 故选:D． 3. 已知圆：与圆：，则圆与圆的公切线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由两圆方程可分别得到两圆圆心坐标及其半径，借助半径与圆心间距离可得两圆位置关系，即可得两圆公切线条数. 【详解】圆：的圆心为，半径， 圆：的圆心为，半径， 所以， 则，所以圆与圆相交， 所以圆与圆的公切线的条数为2． 故选：B． 4. 随机变量的分布列如下，且，则（ ） 0 1 2 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分布列性质和期望可求，，从而可求方差. 【详解】根据题意可得解得 ． 故选:C． 5. 已知椭圆的右焦点为，点是上的一点，点是线段的中点，为坐标原点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】记椭圆的左焦点为，连接，利用中位线的性质求出，再利用椭圆的定义可求得. 【详解】记椭圆的左焦点为，连接， 又点是线段的中点，为的中点，所以， 又，所以， 在椭圆中，， 又点是上的一点，所以，所以． 故选：A． 6. 已知，，点是直线上的一点，则当取得最小值时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出点关于直线的对称点，则为直线与直线的交点时，满足条件，进而可求得答案. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则中点在直线上，即①， 直线与直线垂直，即②， 解得，即点关于直线的对称点为， 又，所以， 所以直线的方程为，即， 由，解得，， 所以当取得最小值时，点的坐标为． 故选：B． 7. 已知函数在上单调递减的概率为，且随机变量，则（附：若，则，，（ ） A. 0.1359 B. 0.01587 C. 0.0214 D. 0.01341 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的单调性可求得，从而可得，再根据三段区间法即可求解. 【详解】根据题意在上单调递减，可得，故，，， 所以 . 故选：C. 8. 已知椭圆和双曲线有公共的焦点，其中为左焦点，是与在第一象限的公共点.线段的垂直平分线经过坐标原点，若的离心率为，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，可得，利用勾股定理，结合椭圆、双曲线的定义建立方程组，由半焦距表示出即可求出渐近线方程. 【详解】令线段的垂直平分线与的交点为，显然是的中点，而是的中点， 则，而，因此，， 则，令与的半焦距为， 由，得，于是，解得，则， ，所以的渐近线方程为. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于的展开式的说法中正确的是（ ） A. 各项的系数之和为 B. 二项式系数的和为64 C. 展开式中无常数项 D. 第4项的系数最大 【答案】AC 【解析】 【分析】利用二项式展开式公式、二项式系数和以及各项系数的性质逐项验证即可. 【详解】由，令得：， 即各项的系数之和为，故A正确； 由二项式系数的和为：，故B错误； 因为， 所以当时，不符合题意，所以无常数项，故C正确； 在中，当时系数最大，即第5项的系数最大，故D错误． 故选：AC． 10. 若，，，则（ ） A. B. C D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对ABD选项根据条件概率公式求解；对C选项根据求解. 【详解】因为，所以，A正确； 因为，，所以，B错误； 因此，，C正确； 从而．D正确． 故选：ACD 11. 已知抛物线：，过点的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的最小值为16 D. 若点是的外心，其中是坐标原点，则直线的斜率的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】把过点的直线方程设为，与联立，用韦达定理即可得到选项A正确，B错误；利用弦长公式即可求出弦长，再利用，即得得到坐标原点即为的外心，再利用不等式即可求得结果. 【详解】显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，由，得， 所以，，，故A正确，B错误； ， 所以，当且仅当时，取到最小值，故C正确； 因为，所以，所以的外心就是弦的中点， 记为，其中，．由，以及， 得， 即，所以直线斜率．要求直线的斜率的最大值，所以， 所以，当且仅当， 即时“=”号成立，即直线的斜率的最大值为，故D正确. 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 由这七个数字组成没有重复数字的七位数，且偶数数字从小到大排列（由高数位到低数位），这样的七位数有__________个． 【答案】90 【解析】 【分析】由题可知，偶数排列顺序固定且0只能在6，5，4位，奇数可任意排列，据此可得答案. 【详解】因偶数排列顺序固定且0只能在6，5，4位，奇数可任意排列，则 当0排在第6位时，共有（个）数； 当0排在第5位时，共有（个）数； 当0排在第4位时，共有（个）数， 故这样的七位数共有（个）． 故答案为： 13. 已知直线过点，它的一个方向向量为，则点到直线的距离为_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间中点到直线的距离公式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以点到直线的距离为． 故答案为：. 14. 如图，已知，是双曲线的右支上的两点（点在第一象限），点关于坐标原点对称的点为，且，若直线的斜率为，则该双曲线的离心率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】作图，取的中点并连接，得到，，从而求出直线的斜率，设，，利用点差法得到的值，再根据离心率的公式计算即可得结果. 【详解】如图，设直线与轴交于点，取的中点，连接， 由双曲线的对称性可知为线段的中点，则，所以．由直线的斜率，得， 则直线的斜率． 设，，则两式相减，得，化简得，即， 所以该双曲线的离心率． 故答案为： 【点睛】方法点睛：本题主要用到了点差法，即利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。求出两交点的中点坐标和直线斜率的关系，然后再结合题中的相应条件建立等式便可解决问题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为，各项的系数之和为， （1）求的值； （2）求其展开式中所有的有理项． 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用题给条件列出关于方程，解之即可求得的值； （2）利用二项展开式的通项公式即可求得其展开式中所有的有理项． 【小问1详解】 因为，所以， 当为奇数时，此方程无解， 当为偶数时，方程可化为，解得； 【小问2详解】 由通项公式， 当为整数时，是有理项，则， 所以有理项为． 16. 如图，已知在三棱锥中，平面，，，为线段上一点，，为的中点，． （1）试确定点的位置； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）点在线段上且； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，以为原点建立空间直角坐标系，利用垂直关系的向量表示列式求解. （2）求出平面的法向量，利用线面角的向量求法求解. 【小问1详解】 由平面，，得直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 由，得，则， 设，则， 于是，， 由，得，解得， 所以点在线段上且. 【小问2详解】 由（1）知，，，， 设平面的法向量，则，取，得， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 17. 为积极响应国家医药卫生体制改革及2023年全国文化科技“三下乡”活动要求，真正让“人民至上”理念落实落地，着力推动优质医疗资源重心下移、力量下沉，不断增强医疗服务的“深度”和“温度”.我市人民医院打算从各科室推荐的6名医生中任选3名去参加“健康送下乡，义诊暖人心”的活动.这6名医生中，外科医生、内科医生、眼科医生各2名. （1）求选出的外科医生人数多于内科医生人数的概率； （2）设表示选出的3人中外科医生的人数，求的均值与方差. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）首先计算出所有基本事件数，再分别求出“选出的外科医生人数多于内科医生人数”包含的各事件的概率，利用互斥事件的加法公式即可求得结果； （2）得到X的所有取值，求出相对应的概率，列出分布列，代入期望公式和方差公式进行求解即可． 【小问1详解】 推荐的6名医生中任选3名去参加活动基本事件总数， 这6名医生中，外科医生2名，内科医生2名，眼科医生2名， 设事件表示“选出的外科医生人数多于内科医生人数”， 表示“恰好选出1名外科医生和2名眼科医生”，表示“恰好选出2名外科医生”， ，互斥，且， ，， 选出外科医生人数多于内科医生人数的概率为； 【小问2详解】 由于从6名医生中任选3名的结果为， 从6名医生中任选3名，其中恰有名外科医生的结果为，，那么6名中任选3人， 恰有名外科医生的概率为， 所以，，， . 18. 已知抛物线的焦点为F，过抛物线C的准线上任意一点P作不过焦点F的直线l与抛物线C相交于M，N两点．当直线l的方程为时，，． （1）求抛物线C的标准方程； （2）证明：直线是的外角平分线． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）联立方程组，利用韦达定理并结合抛物线定义得，有，可解； （2）利用M，N两点的坐标表示出直线的方程，求出点P，通过计算出点P到直线的距离等于点P到直线的距离得证. 【小问1详解】 设M，N的坐标分别为，， 由抛物线的定义有，， 可得，， 联立方程消去y后整理为， 有，有， 整理为，解得或（舍去）， 故抛物线C的标准方程为； 【小问2详解】 直线l的斜率为， 直线l的方程为，代入后整理为， 令，得．可得点P的坐标为， 焦点F的坐标为，直线的方程为， 整理为， 点P到直线的距离为 ， 同理点P到直线的距离为， 由及直线l与抛物线C的位置关系，可得直线是的外角平分线． 【点睛】思路点睛：由点P到直线的距离等于点P到直线的距离，及直线l与抛物线C的位置关系，可得直线是的外角平分线． 19. 已知椭圆：的左右顶点分别为，，上下顶点分别为，，且四边形的周长为，过点且斜率为的直线交于两点，当直线过的左焦点时，． （1）求的标准方程； （2）若为坐标原点，的面积为，求直线的方程； （3）记直线与直线的交点为，求的最小值． 【答案】（1） （2）或或或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题中条件得到关于的等量关系，再结合的关系进行求解即可； （2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系将的面积表示出来，结合的面积为，求出直线的斜率，即可得到直线的方程； （3）设直线的方程为，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，利用，，在同一条直线上得到，利用，，在同一条直线上，所以，结合根与系数的关系得到，即，所以点在直线上，即可求出的最小值． 【小问1详解】 由题意知， 解得，，， 所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 由题意知直线的方程为，设，， 由，得， 所以，解得， 所以，， 所以， 又点到直线的距离， 所以的面积， 解得或，所以或或或， 所以直线的方程为或或或； 【小问3详解】 由题意知直线的方程为，设，， 由，得， 所以，解得， 所以，， 设，因为，，在同一条直线上，所以， 又，，在同一条直线上，所以， 所以， 所以，所以点在直线上， 所以． 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：北师大版选择性必修第一册第一章~第六章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 甲，乙，丙3位同学到4个社区参加志愿服务，每人限去一个社区，不同方法的种数是（ ） A. 24 B. 36 C. 64 D. 81 2. 已知随机变量服从两点分布，，则其成功概率（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 3. 已知圆：与圆：，则圆与圆的公切线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 随机变量的分布列如下，且，则（ ） 0 1 2 A. B. C. D. 5. 已知椭圆的右焦点为，点是上的一点，点是线段的中点，为坐标原点，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，点是直线上的一点，则当取得最小值时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上单调递减的概率为，且随机变量，则（附：若，则，，（ ） A 0.1359 B. 0.01587 C. 0.0214 D. 0.01341 8. 已知椭圆和双曲线有公共的焦点，其中为左焦点，是与在第一象限的公共点.线段的垂直平分线经过坐标原点，若的离心率为，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于的展开式的说法中正确的是（ ） A. 各项的系数之和为 B. 二项式系数的和为64 C. 展开式中无常数项 D. 第4项的系数最大 10. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知抛物线：，过点的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的最小值为16 D. 若点是的外心，其中是坐标原点，则直线的斜率的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 由这七个数字组成没有重复数字七位数，且偶数数字从小到大排列（由高数位到低数位），这样的七位数有__________个． 13. 已知直线过点，它的一个方向向量为，则点到直线的距离为_______. 14. 如图，已知，是双曲线右支上的两点（点在第一象限），点关于坐标原点对称的点为，且，若直线的斜率为，则该双曲线的离心率为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为，各项的系数之和为， （1）求的值； （2）求其展开式中所有的有理项． 16. 如图，已知在三棱锥中，平面，，，为线段上一点，，为的中点，． （1）试确定点的位置； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 为积极响应国家医药卫生体制改革及2023年全国文化科技“三下乡”活动要求，真正让“人民至上”理念落实落地，着力推动优质医疗资源重心下移、力量下沉，不断增强医疗服务的“深度”和“温度”.我市人民医院打算从各科室推荐的6名医生中任选3名去参加“健康送下乡，义诊暖人心”的活动.这6名医生中，外科医生、内科医生、眼科医生各2名. （1）求选出的外科医生人数多于内科医生人数的概率； （2）设表示选出的3人中外科医生的人数，求的均值与方差. 18. 已知抛物线的焦点为F，过抛物线C的准线上任意一点P作不过焦点F的直线l与抛物线C相交于M，N两点．当直线l的方程为时，，． （1）求抛物线C的标准方程； （2）证明：直线是的外角平分线． 19. 已知椭圆：左右顶点分别为，，上下顶点分别为，，且四边形的周长为，过点且斜率为的直线交于两点，当直线过的左焦点时，． （1）求的标准方程； （2）若为坐标原点，的面积为，求直线的方程； （3）记直线与直线的交点为，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$