精品解析： 浙江省金华市义乌市宾王中学2024-2025学年九年级上学期数学12月月考试题

宾王学校九年级数学作业检查 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列事件中是必然事件的是（ ） A. 实心铁球投入水中，会沉入水底 B. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 C. 明天太阳从西边升起 D. 抛出一枚硬币，落地后正面朝上 【答案】A 【解析】 【分析】必然事件就是一定会发生的事件，依据定义即可判断． 【详解】解：A. 是必然事件，故该选项符合题意， B. 是随机事件，故该选项不符合题意， C. 是不可能事件，故该选项不符合题意， D．是随机事件，故该选项不符合题意． 故选A． 【点睛】该题考查的是对必然事件，随机事件，不可能事件的概念的理解．用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 2. 已知的半径为4，点P到圆心O的距离为2，则点P在（ ） A. 圆外 B. 圆上 C. 圆内 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系．若圆的半径为r，点P到圆心的距离为d，则点P在圆外；点P在圆上；点P在圆内．根据点与圆的位置关系进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴， ∴点P在内． 故选：C． 3. 如图，点、、在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．直接利用圆周角定理求解． 【详解】解：． 故选：D． 4. 如图，，，，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理可进行求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴； 故选A． 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例定理，熟练掌握该知识点是解题的关键． 5. 如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从A滑行到B．已知，则这名滑雪运动员的高度下降了（ ）m． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数可直接进行求解． 【详解】解：由题意得：这名滑雪运动员的高度下降了米； 故选A． 【点睛】本题主要考查三角函数，熟练掌握三角函数是解题的关键． 6. 把抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（ ） A. y=﹣2（x+1）2+2 B. y=﹣2（x+1）2﹣2 C. y=﹣2（x﹣1）2+2 D. y=﹣2（x﹣1）2﹣2 【答案】C 【解析】 【详解】解：把抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后， 所得函数的表达式为y=﹣2（x﹣1）2+2， 故选C． 7. 如图，正五边形的边长为5，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则圆与正五边形重叠部分（图中阴影部分）的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，扇形面积的计算．根据正五边形的内角和定理求出正五边形的一个内角的度数，再根据扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：五边形是正五边形， ， ， 故选：B． 8. 如图，在中，，若，，则为（ ） A. 4 B. 6 C. 16 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解答的关键．先根据等高三角形的面积性质得到，再证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵， ∴，则， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 9. 已知，，过点作一条射线，使其将分成两个相似的三角形．观察图中尺规作图的痕迹，作法正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据图形逐一判定即可求解，掌握垂线的画法及圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：①由作图可知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ②如图②，连接，由作图可知，，， ∴是线段的垂直平分线， ∴，同理①可证，故②正确； ③由作图可知，为圆的直径， ∴， 即，同理①可证，故③故②正确； 综上，作法正确的是①②③， 故选：． 10. 是二次函数图象上一点，是一次函数图象上一点，若，则的值可能是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，由题意得，，进而由得到，即得，得到或，据此即可求解，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和一次函数的性质解答． 【详解】解：∵是二次函数图象上一点，是一次函数图象上一点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴的值可能是或 ， 故选：． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 二次函数y=x2+1的图象的顶点坐标是_____． 【答案】（0，1） 【解析】 【分析】根据顶点式解析式写出顶点坐标即可． 【详解】二次函数y=x2+1的图象的顶点坐标是（0，1）， 故答案为：（0，1）． 12. 在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表． 试验种子数m（粒） 1000 2000 3000 4000 5000 发芽频数n 890 1840 2730 3600 4500 发芽频率 0.89 0.92 0.91 0.90 0.90 根据频率的稳定性，估计该麦种的发芽概率约为______（精确到0.01） 【答案】0.90 【解析】 【分析】本题考查了由频率估计概率，观察大量重复实验频率稳定到哪个常数附近，就可以用这个常数来估计发芽概率，由此即可得解． 【详解】解：根据频率的稳定性，估计该麦种的发芽概率约为0.90， 故答案为：0.90． 13. 如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为2：3，点A，B的对应点分别为点．若，则的长为_______________． 【答案】9 【解析】 【分析】直接根据位似图形的位似比求解即可． 【详解】解：∵图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为2：3， ∴， ∵， ∴， 故答案为：9． 【点睛】本题考查位似图形，会利用位似图形的位似比求线段长是解答的关键． 14. 如图，将绕C点按顺时针方向旋转到，点E恰好落在 上，若，则旋转的角度________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转性质、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质，先求得，再根据选项性质得到，进而利用等腰三角形的性质求得即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， 由旋转性质得， ∴旋转角， 故答案为：． 15. 如图，在菱形ABCD中，点 在BC上，将沿AE折叠得到，点在BC的延长线上，AG与CD相交于点．若，则的值为_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了，菱形的性质，翻折的性质，平行线截线段成比例，锐角三角函数的定义，勾股定理解直角三角形，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理；根据翻折的性质，菱形的性质，得到，，，，根据平行线截线段成比例，，用表示出、，在中，根据勾股定理，表示出，根据锐角三角函数的定义，即可求解． 【详解】解：根据翻折的性质，可得：，， ∵菱形， ∴，， ∴，即：， ∴，， 在中，， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，的半径为1，P是线段 上的一点，连接交于点A，在的左侧过点P作的切线，切点为B，连接，． （1）当时，线段的长是________； （2）点P在线段 上运动时，线段长度的取值范围是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）由切线的性质得，判定是等边三角形，即可求解； （2）延长交于，连接，可判定，由相似三角形的性质得，设，，可求，由勾股定理得，代入得， 依此可得当最小值时，取最小值，当最大值时，取最大值，①当与重合时，最大，②当时，最小，此时最小，即可求解． 【详解】解：（1）是的切线， ， ， ， 是等边三角形， ， 故答案：； （2）延长交于，连接， ， ， ， ， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， 设，， ， ， ， 整理得：， ， 当 取最小值时，取最大值，此时取最小值， 当 取最小值时，取最小值，取最小值， 当最小值时，取最小值， 同理可得：当最大值时，取最大值， ①当与重合时，最大，如图， 此时 ， 当时， ， 解得：，（舍去）， 故最大值为； ② ， 当时，最小， 此时最小，如图， ， ， ， 解得：， ， ， 解得：，（舍去）， 故最大值为； 综上所述：． 故答案：． 【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定及性质，圆外一点到圆心的距离；掌握切线的性质，相似三角形的判定及性质，能找出取得最值的条件是解题的关键． 三、解答题（本题有8小题，共72分，请写出完整的解答过程） 17. （1）计算： （2）已知，求：的值 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质和特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握比例的性质和特殊角的三角函数值． （1）利用特殊角的三角函数值计算． （2）利用比例的性质计算； 【详解】解：（1）， ， ； （2）， ， ． 18. 一个口袋中有3个大小相同的小球，球面上分别写有数字1、2、3，从袋中随机地摸出一个小球，记录下数字后不放回，再随机地摸出一个小球． （1）求第一次摸出的球上的数字为奇数的概率； （2）请用树状图或列表法求两次摸出的球上的数字之和大于3的概率． 【答案】（1） （2），树状图见解析 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接利用概率公式求解； （2）画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两次摸出的球上的数字和不小于3的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 解：第一次摸出的球上的数字为奇数的概率； 【小问2详解】 解：画树状图为： 共有6种等可能的结果数，其中两次摸出的球上的数字和大于3的结果数为4， 所以两次摸出的球上的数字和大于3的概率为． 19. 在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上． （1）用直尺作出的外接圆圆心． （2）若方格纸中每个小正方形的边长为1，求外接圆半径的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形外接圆的圆心，三角形外接圆的圆心是三条边垂直平分线的交点，作两条边的垂直平分线，交点就是外接圆的圆心． （1）三角形外接圆的圆心是三条边垂直平分线的交点，作两条边的垂直平分线，交点就是外接圆的圆心． （2）连接计算即可． 【小问1详解】 解：如图所示，点即为所求． 【小问2详解】 解：连接． ． 故外接圆半径的长为． 20. 二次函数的图象与 轴交于，两点，其中点坐标为． （1）求点的坐标和的值； （2）当时，直接写出 的取值范围． 【答案】（1）点的坐标为， （2） 的取值范围为1 【解析】 【分析】本题考查的是抛物线与 轴的交点，二次函数的性质． （1）根据二次函数的对称性即可求得点坐标，再把点坐标代入解析式可求出的值； （2）根据二次函数的性质结合函数图象可得结论． 【小问1详解】 解：二次函数的对称轴为直线，点坐标为， 点的坐标为， 把点坐标代入得，， 解得； 【小问2详解】 ∵，二次函数的图象与 轴交点为和， 当时， 的取值范围为． 21. 如图，在路边安装路灯，灯柱高10m，与灯杆的夹角为．路灯采用锥形灯罩，照射范围长为，从D、E两处测得路灯A的仰角分别为，．求： （1）路灯A离地面的高度（即点A到地面的距离）； （2）灯杆的长度．（参考数据：，） 【答案】（1）路灯A离地面的高度为 （2）灯杆的长度为 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，矩形的判定和性质． （1）过点作，设，则：，在中，表示出的长，在，利用，列出方程求解即可； （2）过点作，易得四边形为矩形，得到，进而求出的长，再利用含30度角的直角三角形的性质，求出的长即可． 【小问1详解】 解：过点作，则：， 设，则：， 在中，，则：， 在中，，则：， ∴，解得：， ∴； 答：路灯A离地面的高度为； 【小问2详解】 过点作， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； 答：灯杆的长度为． 22. 在中，，，P为上的一点（不与端点重合），过点P作交于点M，得到． （1）【问题发现】如图1，当时，P为的中点时，与的数量关系为 ； （2）【类比探究】如图2，当时，绕点A顺时针旋转，连接，，则在旋转过程中与之间的数量关系是否发生变化？请说明理由； （3）【拓展延伸】在（2）的条件下，已知，，当绕点A顺时针旋转至B，P，M三点共线时，请直接写出线段的长． 【答案】（1） （2） 不发生变化，理由如下： 当时，， 则， ，， 由勾股定理可得：， ， ， ，， ， 由旋转得：， 即， ， ， ， ； （3）或 【解析】 【分析】（1）当时，，可得，由，得出，可得，推出，即可得出答案； （2）通过证明，可得，即可求解； （3）分两种情况讨论，由勾股定理可求解． 【小问1详解】 当时，， ， ， 为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，， ，， 由勾股定理可得：，， 绕点顺时针旋转至，，三点共线， ，， ， ， 当旋转至直线上方时，如图， 则； 当旋转至直线下方时，如图， 则； 综上所述，线段的长为或． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 23. 二次函数的图象与x轴交于点，且． （1）当，且时， ①求，的值 ②当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求t的值； （2）若，求证：． 【答案】（1）①，；② （2） 证明：∵，，    ∴，    ∴， 由题意得：，， ∴， ∴，        ∴， ∵，　 ∴，即， ∴把，代入， 得； ∴． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质； （1）①依题意，，解方程组即可求解； ②根据①得出解析式，对称轴为直线，进而分，，两种情况求得最小值，根据题意建立方程，解方程即可求解； （2）由题意得：，，将代入，得出 ，得出，代入得，进而，即可得证． 【小问1详解】 解：①依题意，， 解得，； ②， 对称轴为直线，，抛物线开口向上， 当时，随 的增大而减小， 当时，， 当时，， 依题意，， 方程无解； 当时， 最小值为， 最大值为， ∴， 解得：或（舍去）， 综上所述，； 【小问2详解】 略 24. 如图1，经过等边的顶点，（圆心在内），分别与，的延长线交于点， ，连结，交于点. （1）求证：. （2）当，时，求的长． （3）设，. ①求关于 的函数表达式； ②如图2，连结，，若的面积是面积的10倍，求的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）①； ②或. 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质和圆周角定理解答即可； （2）过点A作AG⊥BC于点G，根据等边三角形的性质和勾股定理解得即可； （3）①过点E作EH⊥AD于点H，根据三角函数和函数解析式解得即可； ②过点O作OM⊥BC于点M，根据相似三角形的判定和性质解答即可． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴. ∵，， ∴. ∴. （2）解：如图，过点作于点. ∵为等边三角形，， ∴. ∴在中，. ∵， ∴. ∴. ∵， ∴. ∴. ∴在中，. （3）解：①如图，过点 作于点. ∵， ∴在中，. ∴，， ∴， ∵. ∴. ∴. ∴在中，. . ②如图，过点作于点. 设. ∵， ∴. ∴. ∴. ∴. ∵， ∴. ∴. ∵. ∴， ∴的面积， ∴的面积. ∵的面积是的面积10倍， ∴， ∴. 解得，. ∴或. 【点睛】此题是圆的综合题，关键是根据等边三角形的性质、勾股定理和相似三角形的判定和性质解答． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宾王学校九年级数学作业检查 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列事件中是必然事件的是（ ） A. 实心铁球投入水中，会沉入水底 B. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 C. 明天太阳从西边升起 D. 抛出一枚硬币，落地后正面朝上 2. 已知的半径为4，点P到圆心O的距离为2，则点P在（ ） A. 圆外 B. 圆上 C. 圆内 D. 不能确定 3. 如图，点、、在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，，，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 14 5. 如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从A滑行到B．已知，则这名滑雪运动员的高度下降了（ ）m． A. B. C. D. 6. 把抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（ ） A. y=﹣2（x+1）2+2 B. y=﹣2（x+1）2﹣2 C. y=﹣2（x﹣1）2+2 D. y=﹣2（x﹣1）2﹣2 7. 如图，正五边形的边长为5，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则圆与正五边形重叠部分（图中阴影部分）的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，若，，则为（ ） A. 4 B. 6 C. 16 D. 18 9. 已知，，过点作一条射线，使其将分成两个相似的三角形．观察图中尺规作图的痕迹，作法正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 10. 是二次函数图象上一点，是一次函数图象上一点，若，则的值可能是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 二次函数y=x2+1的图象的顶点坐标是_____． 12. 在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表． 试验种子数m（粒） 1000 2000 3000 4000 5000 发芽频数n 890 1840 2730 3600 4500 发芽频率 0.89 0.92 0.91 0.90 0.90 根据频率的稳定性，估计该麦种的发芽概率约为______（精确到0.01） 13. 如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为2：3，点A，B的对应点分别为点．若，则的长为_______________． 14. 如图，将绕C点按顺时针方向旋转到，点E恰好落在 上，若，则旋转的角度________． 15. 如图，在菱形ABCD中，点 在BC上，将沿AE折叠得到，点在BC的延长线上，AG与CD相交于点．若，则的值为_____________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，的半径为1，P是线段 上的一点，连接交于点A，在的左侧过点P作的切线，切点为B，连接，． （1）当时，线段的长是________； （2）点P在线段 上运动时，线段长度的取值范围是________． 三、解答题（本题有8小题，共72分，请写出完整的解答过程） 17. （1）计算： （2）已知，求：的值 18. 一个口袋中有3个大小相同的小球，球面上分别写有数字1、2、3，从袋中随机地摸出一个小球，记录下数字后不放回，再随机地摸出一个小球． （1）求第一次摸出的球上的数字为奇数的概率； （2）请用树状图或列表法求两次摸出的球上的数字之和大于3的概率． 19. 在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上． （1）用直尺作出的外接圆圆心． （2）若方格纸中每个小正方形的边长为1，求外接圆半径的长． 20. 二次函数的图象与 轴交于，两点，其中点坐标为． （1）求点的坐标和的值； （2）当时，直接写出 的取值范围． 21. 如图，在路边安装路灯，灯柱高10m，与灯杆的夹角为．路灯采用锥形灯罩，照射范围长为，从D、E两处测得路灯A的仰角分别为，．求： （1）路灯A离地面的高度（即点A到地面的距离）； （2）灯杆的长度．（参考数据：，） 22. 在中，，，P为上的一点（不与端点重合），过点P作交于点M，得到． （1）【问题发现】如图1，当时，P为的中点时，与的数量关系为 ； （2）【类比探究】如图2，当时，绕点A顺时针旋转，连接，，则在旋转过程中与之间的数量关系是否发生变化？请说明理由； （3）【拓展延伸】在（2）的条件下，已知，，当绕点A顺时针旋转至B，P，M三点共线时，请直接写出线段的长． 23. 二次函数的图象与x轴交于点，且． （1）当，且时， ①求，的值 ②当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求t的值； （2）若，求证：． 24. 如图1，经过等边的顶点，（圆心在内），分别与，的延长线交于点， ，连结，交于点. （1）求证：. （2）当，时，求的长． （3）设，. ①求关于 的函数表达式； ②如图2，连结，，若的面积是面积的10倍，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $