精品解析：浙江省嘉兴市平湖市2024-2025学年八年级上学期12月期末考试数学试题

2024学年第一学期八年级（上）《初中思维拓展》 期末抽测·数学学科试题卷（2024.12） 一、选择题（本题有8小题，每小题3分，共24分．请选出各题中唯一正确的选项，不选、多选、错选，均不得分．） 1. 平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 等腰三角形的一腰长为，底角为，则另一腰上的高为（ ） A. B. C. D. 3. 某商店先后两次购买了某商品，第一次买了5件，平均价格为每件a元，第二次买了4件，平均价格为每件b元．后来商店以每件元的平均价格卖出，结果发现自己赔钱了，赔钱的原因是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使点A落在外的处，折痕为．如果，，那么下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线与直线的交点坐标为，则直线与直线的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 已知三个实数，满足．当时，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 我们知道是函数的一种表达方式，形如为常数）的一次函数，我们可把它记为．如：，当时，．已知函数满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的图象经过原点 D. 的图像关于轴对称 8. 如图，正方形和正方形的点在同一条直线上，点为的中点，连接，则已知下列哪条线段的长度，一定能求出线段的长（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题有3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 如图，在中，，是中点，，分别是，上的点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，分别平分，则 D. 若，分别平分，则 10. 已知一次函数的图象为，函数的图象为，则下列说法正确的是（ ） A 若过点，则 B. 若与直线垂直，则 C. 当时，图象，与轴围成的三角形的面积为2 D 若图象与恰有一个交点，则或 11. 若实数m，n满足，那么一定成立的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题有3小题，每题4分，共12分） 12. 若正比例函数图象经过，两点，则k的值为______． 13. 若关于x不等式组的解集是，则m的取值范围是______． 14. 如图，在中，，平分，平分，N，M分别为射线上的动点．若，则的最小值为______． 四、解答题（本题有5小题，共46分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 已知在平面直角坐标系中，点，直线与轴的交点为． （1）求过点且与平行的直线的函数表达式； （2）求线段的垂直平分线的函数表达式． 16. 解下列关于x的不等式（组）： （1） （2）． 17. 如图，在中，，点D在线段上运动（不含端点），连接，作，交线段于点E． （1）当线段的长为何值时，； （2）在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求出的度数；若不可以，请说明理由． 18. 如图1，已知直线与x轴，y轴分别交于点A，B，点C与点A关于y轴对称． （1）求直线的函数解析式； （2）过x轴上的一个动点作y轴的平行线，分别交直线，于点P，Q． ①若的面积为4.5，求m的值； ②如图2，点M在线段上，连接．若，直接写出P的坐标． 19. 一般地，我们把按照确定顺序排列的一列数，，，叫做数列．若数列满足（为非零常数），我们把数列叫做等比数列，叫做公比；若数列满足，我们把数列叫做数列的“级等比数列”；若数列满足，我们把数列叫做数列的“级等比数列”；依次类推，若数列满足，我们把数列叫做数列的“级等比数列”，且为整数． （1）分别写出等比数列1，2，4，8的“2级等比数列”和“3级等比数列”； （2）若等比数列：，，，，． ①求该等比数列的所有数之和． ②设，，分别是该数列的，，级等比数列的所有数之和．若，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第一学期八年级（上）《初中思维拓展》 期末抽测·数学学科试题卷（2024.12） 一、选择题（本题有8小题，每小题3分，共24分．请选出各题中唯一正确的选项，不选、多选、错选，均不得分．） 1. 平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了关于x轴的对称点的坐标，关键是掌握关于x轴的对称的点的坐标的变化规律． 根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是， 故选：C． 2. 等腰三角形的一腰长为，底角为，则另一腰上的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先作出图形，即可求出此等腰三角形顶角的邻补角为30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求解． 【详解】 如图，∵∠B=∠ACB=15° ∴∠CAD=∠B+∠ACB=30° ∵AC=3a ∴CD=AC=a 故选:B 【点睛】考核知识点：等腰三角形性质和含30°角的直角三角形性质．画出三角形边上的高是关键． 3. 某商店先后两次购买了某商品，第一次买了5件，平均价格为每件a元，第二次买了4件，平均价格为每件b元．后来商店以每件元的平均价格卖出，结果发现自己赔钱了，赔钱的原因是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的性质，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，联系实际，进而找到所求的量之间的不等关系． 首先表示9件商品的平均价格为 元，而以每件元的价格把商品全部卖掉，结果赔了钱，所以有，继而得出a和b的关系． 【详解】解：∵9件商品的平均价格为 元， ∵商店以每件元的平均价格卖出，结果发现自己赔钱了， ∴ ， 解得：， 故选：A． 4. 如图，将一张三角形纸片一角折叠，使点A落在外的处，折痕为．如果，，那么下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形外角和的性质，掌握三角形外角和的性质及计算是解题的关键． 根据折叠可得，由三角形外角和的性质可得，，即，由即可求解． 【详解】解：∵折叠， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴，即， 故选：A ． 5. 已知直线与直线的交点坐标为，则直线与直线的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查直线的交点问题，解题的关键是正确理解一次函数图象交点与二元一次方程组之间的关系． 由，得到，根据直线与直线的交点坐标为，得到，进而得到，将代入中，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴； ∵直线与直线的交点坐标为， ∴， 得， ∴， ∴； 将代入中得：， ∴交点坐标为； 故选D． 6. 已知三个实数，满足．当时，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，根据已知可得，进而根据，得出关于的不等式组，解不等式组，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ 解得： 故选：B． 7. 我们知道是函数的一种表达方式，形如为常数）的一次函数，我们可把它记为．如：，当时，．已知函数满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的图象经过原点 D. 的图像关于轴对称 【答案】C 【解析】 【分析】题目主要考查一次函数的基本性质，根据题意得出，确定，然后得出，结合选项依次判断即可 【详解】解：∵函数满足， ∴， ∴， ∴， 当时，，选项A、B错误，不符合题意； ∵， ∴的图象经过原点，图象关于原点对称，故C正确，符合题意；D错误，不符合题意； 故选：C 8. 如图，正方形和正方形的点在同一条直线上，点为的中点，连接，则已知下列哪条线段的长度，一定能求出线段的长（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，在正方形中证明三角形全等，并运用全等的性质解题是解题的关键．连接并延长交于，根据“两直线平行，内错角相等”可得，然后利用“角边角”证明，根据全等三角形对应边相等可得，，再求出，然后根据等腰直角三角形的性质解答． 【详解】解：连接并延长交于，如下图， ∵四边形和四边形是正方形，三点在同一直线上， ∴，，，， ∴， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴是的中点， ∴在中，可有， ∵，， ∴，即， 即为等腰直角三角形， 所以知道的长度，可求出，一定能求出线段的长． 故选：C． 二、选择题（本题有3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 如图，在中，，是的中点，，分别是，上的点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，分别平分，则 D. 若，分别平分，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】过点作于点，根据含30度角的直角三角形的性质得出，勾股定理得出，进而根据三角形的面积公式得出，即可判断A选项，根据三角形的中线的性质可得，即可判断B选项，根据角平分线的定义以及平角的定义，即可判断C选项，假设，得出故D选项错误． 【详解】解：如图所示，过点作于点， 若，则， ∵， ∴， 在中，， ∴，故A正确； ∵，是的中点，， ∴， ∴，故B正确； 若，分别平分， ∴， ∴，故C正确； 若，则， 又∵， ∴， ∴，则， 而不一定成立，故D选项错误． 故选：ABC． 【点睛】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，三角形的中线的性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 10. 已知一次函数的图象为，函数的图象为，则下列说法正确的是（ ） A. 若过点，则 B. 若与直线垂直，则 C. 当时，图象，与轴围成的三角形的面积为2 D. 若图象与恰有一个交点，则或 【答案】AC 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．将点代入一次函数，即可确定，可判断选项A；根据与直线垂直，可知，即可判断选项B；分别确定函数和当时一次函数的图象，结合三角形面积公式确定图像，与轴围成的三角形的面积，即可判断选项C；分、、、、、几种情况，分析图象与的交点个数，即可判断选项D． 【详解】解：将点代入一次函数， 可得，解得，故选项A正确，符合题意； 若与直线垂直，则， 故选项B错误，不符合题意； 对于函数， 当时，可有， 当时，可有， 当时，一次函数解析式为， 当时，可有， 如下图，设图象，交于点，与轴交于点， 则， ∴， 联立一次函数解析式与， 可得，解得，即， ∴图象，与轴围成的三角形的面积， 故选项C正确，符合题意； 当时，一次函数解析式为，如下图， 此时该一次函数随的增大而增大，且与轴交负半轴， 此时图象与有一个交点， 当时，一次函数解析式为，如下图， 此时图象与无交点， 当时，一次函数解析式为，如下图， 此时该一次函数随的增大而增大，且与轴交负半轴， 此时图象与有没有交点， 当时，一次函数解析式为，如下图， 此时该一次函数随增大而减小，且与轴交正半轴， 此时图象与有两个交点， 当时，一次函数解析式为，如下图， 此时图象与有一个交点， 当时，一次函数解析式为，如下图， 此时该一次函数随的增大而减小，且与轴交正半轴， 此时图象与有一个交点， 综上所述，若图象与恰有一个交点，则或， 故选项D错误，不符合题意． 故选：AC． 11. 若实数m，n满足，那么一定成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先确定，再根据不等式的性质和特殊值法进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故A正确，符合题意； ∵， ∴， ∴，故B正确，符合题意； ∵， ∴由于，故可取， 则， ∴，故C错误，不符合题意； 由于，故可取， ∴，故D错误，不符合题意， 故选：AB． 三、填空题（本题有3小题，每题4分，共12分） 12. 若正比例函数的图象经过，两点，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了图象经过某点的意义，将，代入解析式，即可求解；理解图象经过某点的意义是解题的关键． 【详解】解：图象经过点，， ， 解得：； 故答案：． 13. 若关于x的不等式组的解集是，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是不等式组的解集的确定． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，据此进行解答即可． 【详解】解： 解不等式①得，， ∵不等式组的解集为， ． 故答案为：． 14. 如图，在中，，平分，平分，N，M分别为射线上的动点．若，则的最小值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】如图，作关于的对称点，则，当三点共线时最短即，当时最短，过点作，交的延长线于点，即与点重合时最短，过点作于点，根据等面积法求得，即可求解． 【详解】解：如图，作关于的对称点，过点作，交的延长线于点，过点作于点， ∴，当三点共线时最小即， ∵当时，最短， ∴即为所求， ∵， 是等腰直角三角形， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵平分， ∴ ∵， 设，则 在中， ∵ ∴ 解得 ∴ ∵ ∴ 故答案为：4． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，轴对称的性质，角平分线的性质，勾股定理，作出辅助线是解题的关键． 四、解答题（本题有5小题，共46分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 已知在平面直角坐标系中，点，直线与轴的交点为． （1）求过点且与平行的直线的函数表达式； （2）求线段的垂直平分线的函数表达式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数的解析式，以及函数平行的条件，等腰直角三角三角形的性质与判定； （1）直线已知直线：平行，因而直线的一次项系数是，根据待定系数法就可以求出函数解析式； （2）先求得点的坐标，进而过点作轴的垂线垂足为，可得，是等腰直角三角形，根据边上的高所在直线是的垂直平分线，根据中点坐标求得的中点，进而求直线的解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：设与直线平行的直线的函数表达式为， 过点的直线与直线平行， ， 直线过点， ， ． 过点且与平行的直线的函数表达式为； 【小问2详解】 直线：与轴的交点为， ， (， 的中点为， 如图所示，过点作轴的垂线垂足为，可得， 是等腰直角三角形， 垂直平分 设的解析式为 解得： 线段的垂直平分线的函数表达式为 16. 解下列关于x的不等式（组）： （1） （2）． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组及解一元一次方程组．熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键． （1）先分别计算两个不等式的解集，进而可得不等式组的解集． （2）根据解一元一次不等式步骤计算即可，注意分类讨论． 【小问1详解】 解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 不等式组解集是； 【小问2详解】 解：， ， 当时，， 原不等式化为：， ， ； 当时，， 原不等式化：， ， ， 不等式解集为或． 17. 如图，在中，，点D在线段上运动（不含端点），连接，作，交线段于点E． （1）当线段的长为何值时，； （2）在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求出的度数；若不可以，请说明理由． 【答案】（1）时， （2）的形状可以是等腰三角形，的度数为或 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等边对等角； （1）先证明，再证明，即可证明； （2）在满足（1）的条件下：①由（1）得：，则，由等边对等角得到，则由三角形外角的性质可得；②根据题意可得；③当时，则，由三角形外角的性质可得． 【小问1详解】 解：时，，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 小问2详解】 解：形状可以是等腰三角形，的度数为或，理由如下： ①当， ∴， ∴； ②由（1）得， ∵点D在线段上运动（点D不与B、C重合） ∴； ③当时，则， ∴， ∴当的度数为或时，在（1）的条件下的形状是等腰三角形． 18. 如图1，已知直线与x轴，y轴分别交于点A，B，点C与点A关于y轴对称． （1）求直线的函数解析式； （2）过x轴上的一个动点作y轴的平行线，分别交直线，于点P，Q． ①若的面积为4.5，求m的值； ②如图2，点M在线段上，连接．若，直接写出P的坐标． 【答案】（1） （2）①或；②的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查一次函数综合应用，解题的关键是用含m的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． （1）求出，，，用待定系数法可得直线解析式为； （2）①求出，根据的面积为4.5，有，解得或； ②过作于，求出，由，知，解得或，从而可得的坐标为或． 【小问1详解】 解：在中， 令得， 令得， ，， 点与点关于轴对称， ， 设直线解析式为， 把，代入， 得：， 解得， 直线解析式为；； 【小问2详解】 解：①根据题意得，， ， 的面积为4.5， ， ， 解得或； ②过作于，如图： ， 四边形是矩形， ， ，， ， ，即， 解得或， 或， 的坐标为或． 19. 一般地，我们把按照确定顺序排列的一列数，，，叫做数列．若数列满足（为非零常数），我们把数列叫做等比数列，叫做公比；若数列满足，我们把数列叫做数列的“级等比数列”；若数列满足，我们把数列叫做数列的“级等比数列”；依次类推，若数列满足，我们把数列叫做数列的“级等比数列”，且为整数． （1）分别写出等比数列1，2，4，8的“2级等比数列”和“3级等比数列”； （2）若等比数列：，，，，． ①求该等比数列的所有数之和． ②设，，分别是该数列的，，级等比数列的所有数之和．若，求证：． 【答案】（1）级等比数列为：，，， 级等比数列为：，，， （2） ① ②证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了数字类规律探索，整式乘法混合运算等知识点，理解材料提示的计算方法，掌握数字规律的计算及整式乘法混合运算法则是解题的关键． （1）根据材料提示的计算方法求解即可； （2）①根据题意可得，，两室相减即可得解；②根据题意，设数列的公比为，其，，级等比数列分别为，，，分别计算出，，的值，然后按照同底数幂的乘法、幂的乘方的逆用、积的乘方的逆用、整式乘法混合运算法则计算即可得出结论． 【小问1详解】 解：等比数列1，2，4，8的公比为， ∴级等比数列为：，，，； 设3级等比数列为：， ∵， ∴，，，， ∴级等比数列为：，，，； 【小问2详解】 ①解：若等比数列：，，，，， ∵，， ∴， 即：； ②证明：根据题意，若数列满足（为非零常数），数列满足，我们把数列叫做数列的“级等比数列”，且为整数， ∴设数列的公比为，其，，级等比数列分别为，，， ∴，，， ∴，，，， ，，，， ，，，， 又∵， ∴， ， ， ∵，， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$