精品解析：吉林省友好学校2024-2025学年高三上学期第78届期末联考数学试题

友好学校第七十八届期末联考 高三数学 本试卷共19题，满分150分，共4页.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号填写清楚，将条形码粘贴到条形码区域内. 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色中性笔书写，字体工整，笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草纸､试题卷上答题无效. 4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破､弄皱､不准使用涂改液､修正带､刮纸刀. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的. 1. 设全集，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知为虚数单位，复数，则（ ） A. B. C. 2 D. 3. 下列函数中，在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 4. 若等差数列的公差，则（ ） A. B. C. 15 D. 28 5. 已知正数满足，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 6. 已知，，，若，，三点共线，则（ ） A. B. C. D. 2 7. 若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 8. 函数在上的大致图象为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知a，b，c为三条不同的直线，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 在中，内角所对的边分别为，已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 函数的导函数在区间上的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在处有极小值 B. 函数在处有极小值 C. 函数在区间内有个极值点 D. 导函数在处有极大值 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若实数成等差数列，成等比数列，则__________. 13. 已知幂函数在上是减函数，则实数______． 14. 已知椭圆的焦点在轴上，且离心率为，则的方程可以为______． 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足：，数列为单调递增等比数列，，且成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16. 已知，函数，当时，. （1）求的值； （2）求的单调区间. 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，四边形为矩形，为的中点． （1）证明：平面平面； （2）若，求二面角的余弦值． 18. 已知双曲线，直线 若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求k的取值范围；  P为双曲线C右支上一动点，点A的坐标是，求的最小值． 19. 已知函数. （1）当时，试求函数图象在点处的切线方程； （2）若函数有两个极值点； （i）求的取值范围； （ii）不等式恒成立，试求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 友好学校第七十八届期末联考 高三数学 本试卷共19题，满分150分，共4页.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号填写清楚，将条形码粘贴到条形码区域内. 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色中性笔书写，字体工整，笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草纸､试题卷上答题无效. 4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破､弄皱､不准使用涂改液､修正带､刮纸刀. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的. 1. 设全集，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由集合的补集的运算，求得，再利用集合间交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合， 则，所以. 故选：D 2. 已知为虚数单位，复数，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求复数，再求即可. 【详解】复数，所以. 故选：B. 3. 下列函数中，在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本初等函数的单调性可得出合适的选项. 【详解】函数在上均为减函数， 函数在上为增函数. 故选：B. 4. 若等差数列的公差，则（ ） A. B. C. 15 D. 28 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式结合题目条件可得结果. 【详解】设，则，解得， ∴，故， 故选：B. 5. 已知正数满足，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意结合均值不等式的结论即可求得的最大值. 【详解】已知正数满足，则， 当且仅当时取等号. 故选：C. 6. 已知，，，若，，三点共线，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量坐标运算求得，然后利用共线的坐标形式列式得，即可得解. 【详解】根据题意，， 则，若三点共线，则， 则有，变形可得. 故选：A 7. 若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】计算双曲线的右焦点与抛物线的焦点，对应列式计算可解. 【详解】双曲线的右焦点坐标为， 根据抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合， 可得，所以 故选：A. 8. 函数在上的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇偶性排除C，根据取值利用排除法，即可得解. 【详解】因为的定义域为，且， 所以为偶函数，排除选项B； 由，排除选项D； 由，排除选项C. 故选：A. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知a，b，c为三条不同的直线，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】利用线面平行判定定理和性质定理，结合直线平行的传递性可判断A；由线面垂直判定定理可判断B；由面面平行的判定定理可判断C；根据面面垂直性质定理可判断D. 【详解】对于A，因为，所以，又，，所以，所以，A正确； 对于B，当时，直线不一定垂直于，B错误； 对于C，由面面平行的判定定理可知，C正确； 对于D，由面面垂直性质定理可知，若直线时，直线不一定垂直于，D错误. 故选：AC 10. 在中，内角所对的边分别为，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由二倍角公式结合正弦定理的角化边公式求出，进而由和角公式得出，进而得出，最后求出三角形面积. 【详解】因为，所以，又， 所以，又，所以， ，所以， . 故选：ACD 11. 函数的导函数在区间上的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在处有极小值 B. 函数在处有极小值 C. 函数在区间内有个极值点 D. 导函数在处有极大值 【答案】BD 【解析】 【分析】根据导函数的图象，利用极值点、极值的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于选项A，由图知在左右两侧均有，所以不是的极值点，故选项A错误， 对于选项B，由图知在左右两侧的符号：左侧，右侧， 所以函数在处有极小值，故选项B正确， 对于选项C，根据图象可知，有个极值点，左右两侧均有， 所以不是的极值点，故选项C错误， 对于选项D，由的图象知，在左侧单调递增，在右侧单调递减， 所以在处有极大值，故选项D正确， 故选：BD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若实数成等差数列，成等比数列，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据实数成等差数列得，根据成等比数列得，分析的正负可得结果. 【详解】∵实数成等差数列，∴， ∵成等比数列，∴. 由成等比数列得，，故，∴， ∴. 故答案为：. 13. 已知幂函数在上是减函数，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数定义及性质可得 【详解】因为是幂函数， 所以, 解得或. 当时，为增函数，不符合题意； 当时，在上是减函数，符合题意； 故答案为:. 14. 已知椭圆的焦点在轴上，且离心率为，则的方程可以为______． 【答案】 【解析】 【分析】设椭圆的方程为，由离心率可得，从而可写出正确答案. 【详解】解：因为焦点在轴上，所以设椭圆的方程为， 因为离心率为，所以，所以，则， 故答案为: . 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足：，数列为单调递增等比数列，，且成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件得是公差为2的等差数列，利用等差数列求通项公式可得结果，设数列的公比为，列出方程，求出，即可得到通项公式. （2）化简得到，故为公差为3的等差数列，利用等差数列求和公式得到答案. 【小问1详解】 设等差数列公差为， 因为，所以 所以是公差为2的等差数列， 所以， 因为成等差数列，所以， 设的公比为，其中， 所以，解得或， 当时，，此时，为递增数列，满足要求， 当时，，此时，为递减数列，不合题意， 综上，. 【小问2详解】 由（1）得，， 所以， 所以是公差为3的等差数列， 所以. 16. 已知，函数，当时，. （1）求的值； （2）求的单调区间. 【答案】（1）； （2）单调递增区间是，单调递减区间是 【解析】 【分析】（1）由三角函数的图象和性质，结合建立关于的方程组，解之即得实数的值； （2）由（1）得函数，函数的减区间就是函数的增区间，由正弦函数单调性建立不等式，解之即得f（x）的单调区间. 【小问1详解】 ， 因此，可得. 又，解得：. 【小问2详解】 由（1）知，得， 令，得 函数的增区间为， 得函数的减区间为 令，得 函数的增区间为， 得函数的增区间为 综上所述，的单调增区间是，单调减区间是， 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，四边形为矩形，为的中点． （1）证明：平面平面； （2）若，求二面角的余弦值． 【答案】（1）因为为等边三角形，为的中点，所以， 因为四边形为矩形，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 又，所以平面， 因为平面，所以平面平面． （2）. 【解析】 【分析】（1）证明平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系如图所示， 设，则，故、、， 所以，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，故， 由题意可知是平面的一个法向量，， 由图可知，二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为． 18. 已知双曲线，直线 若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求k的取值范围；  P为双曲线C右支上一动点，点A的坐标是，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）联立直线与双曲线方程，利用方程组与两个交点，求出的范围． （2）设出的坐标，利用的表达式，求出最小值即可. 【详解】解：（1）由，整理得 所以，解得且 设， 所以 因为， 所以时，． 【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力． 19. 已知函数. （1）当时，试求函数图象在点处的切线方程； （2）若函数有两个极值点； （i）求的取值范围； （ii）不等式恒成立，试求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）结合给定函数并求导，再利用导数的几何意义求切线方程即可； （2）（i）结合题意求导后，转化为二次函数问题，再根据判别式得到参数范围即可； （ii）先用分离参数法得到，再结合给定条件消去变量，构造新函数，利用导数判断单调性，即可得到的范围，再求参数范围即可. 【小问1详解】 当时，，故. 故，又，则切点为， 故函数图象在点处的切线方程为，即； 【小问2详解】 （i）， 因为函数在上有两个极值点， 所以需满足在上有两个不等的根， 由得， 则，故此时解得； （ii）由韦达定理结合求根公式得， 则可得到， 由不等式恒成立，则， 因为是的极值点，所以，即， 而， 因为，所以原式， ， ， 令，则， 因为， 又.所以，即时，单调递减， 所以，即， 故实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题. （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $