江苏省南京市玄武区2024-2025学年上学期九年级数学期末试卷

1 / 8 九年级数学作业单 参考答案及评分标准 说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，参照 本评分标准的精神给分． 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分） 二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分） 7． 6 5 8． 5－1 9．－5 10．y＝－2 (x＋3)2－2 11．5 12．＞ 13．54 14． 2 15．－1＜a≤－ 3 4 16． 26 3 三、解答题（本大题共 11 小题，共 88 分） 17．（本题 8 分） （1）解：∵a＝2，b＝4，c＝－3， ∴b2－4ac＝40＞0， ∴x＝ －4± 40 4 ． …………………………...….........………2 分 ∴x1＝ －2＋ 10 2 ，x2＝ －2－ 10 2 ． .……………………………………….……4 分 （2）解：(x－1)2－2(x－1) ＝0 (x－1－2)(x－1)＝0 (x－3)(x－1)＝0 …………….……. …...……………….........……..……………2 分 ∴x1＝3，x2＝1 ……...................... …….………………......……..………4 分 18．（本题 8 分） （1）①72；②17.8；③71．.............................................................................................6 分 （2）我认为B 款无人机运行时间更有优势，因为B 款运行的最长时间的平均数比 A 款高， 整体水平更好；方差又比甲A 款低，运行的最长时间也更稳定，所以我认为B 款更有 优势． ...............................8 分 19．（本题 7 分） （1） 1 3 ．………………...…….…………………………….….…….………………………2 分 （2）解：甲，乙两人各随机选一个入口，所有可能出现的结果有：（A，A），（A，B），（A， C），（B，A），（B，B），（B，C），（C，A），（C，B），（C，C）,共有 9 种可能出现的 结果，它们都是等可能的．所有的结果中，满足“甲，乙选择相同入口”（记为事件A） 的结果有 3 种，即（A，A），（B，B），（C，C）．所以 P(A)＝ 1 3 ．….…….….…7 分 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B C B D D A 2 / 8 20．（本题 8 分） 解：（1）设二次函数的表达式为 y＝ax2＋bx＋c， 将（－1，0），（0，3），（1，4）代入可得，    a－b＋c＝0， c＝3， a＋b＋c＝4． 解得    a＝－1， b＝2， c＝3． ∴二次函数的表达式为 y＝－x2＋2x＋3． ..............................................4 分 （2）－5＜y≤4． ........................................................................................................6 分 （3）y＝x2－2x－3． .......................................................................................................8 分 21．（本题 7 分） 证明：方法 1：如图①，连接 OA． ∵AD 是⊙O 的切线，切点为 A， ∴OA⊥AD，即∠OAD＝90°． ∴∠D＋∠AOC＝90°． ∵C 是 ⌒AB的中点， ∴ ⌒AC＝ ⌒BC． ∴∠AOC＝∠BOC． 又∵OA＝OB， ∴OC⊥AB，即∠OEB＝90°． ∴∠B＋∠BOC＝90°． ∴∠B＝∠D．..............................................7 分 方法 2：如图②，连接 OA，连接 BO 并延长交⊙O 于点 F，连接 AF．由 BF 是⊙O 的直径 可得∠BAF＝90°，进而可得∠B＋∠F＝90°．由 C 是 ⌒AB的中点，可推出∠F＝∠AOD．再 由∠D＋∠AOD＝90°，得证∠B＝∠D． 22．（本题 7 分） （1）法 1： 解：过点 A′作 A′C⊥OA,垂足为 C, 过点 B′作 B′D⊥OB,垂足为 D， 由题知：OB＝OB′＝18 m，OA＝OA′＝1.2 m，A′C＝0.8 m， ∵ A′C⊥OA，B′D⊥OB， ∴∠OCA′＝∠ODB′＝90°． 又∵ ∠COA′＝∠DOB′， ∴ △OA′C∽△OB′D．......................................4 分 ∴ OA′ OB′ ＝ A′C B′D ， A O B C D ① E O A A′ B B′ （第 22 题） D C A O B C D ② E F 3 / 8 ∴ 1.2 18 ＝ 0.8 B′D ． ∴ B′D＝12． ...................................6 分 答：点 B′到 AB 的距离是 12 m．........................7 分 法 2：连接 AA′，BB′，易证△OAA′∽△OBB′，利用“相似三角形对应线段的比等于相 似比”可得， A′C B′D ＝ OA OB ，即 0.8 B′D ＝ 1.2 18 ，则 B′D＝12． 23．（本题 8 分） （1）证明：令 y＝0，则 x2－2mx＋4m－5＝0． ...............................................................1 分 ∵ a＝1，b＝－2m，c＝4m－5， ∴ b2－4ac＝(－2m)2－4(4m－5) ..............................................3分 ＝4(m－2)2＋4． ................................................5 分 ∵ (m－2)2≥0， ∴ 4(m－2)2≥0． ∴ 4(m－2)2＋4＞0，即 b2－4ac＞0． ∴ 一元二次方程 x2－2mx＋4m－5＝0 有两个不相等的实数根． ∴ 无论 m 取何值，函数的图像与 x 轴总有两个公共点． ..................................6 分 （2） m＞2 或 m＜－2． ..................................................................................................8 分 24．（本题 7 分） （1）方法 1： 证明：在△ADC 和△ACB 中， AD AC ＝ AC AB ，∠BAC＝∠BAC， ∴ △ADC∽△ACB．..............................................3 分 ∴ ∠ACD＝∠B． 又∵ ∠BAF＝∠CAE， ∴ △ABF∽△ACE．..............................................5 分 方法 2：先△ADC∽△ACB，再证△ADE∽△ACB，最后证得△ABF∽△ACE． （2） 16 5 ． .............................................7 分 25．（本题 8 分） （1）方法 1：证明： 连接 AG， ∵AD 是 BC 边上的高， ∴∠ADG＝∠ADC＝90°． ∴∠ADE＋∠EDG＝∠DAC＋∠C＝90°． A B C E F D （第 24 题） 4 / 8 ∵ ⌒DF＝ ⌒EG， ∴∠EDG＝∠DAC． ∴∠ADE＝∠C． ∵四边形 AEDF 是圆内接四边形， ∴∠AED＋∠AFD＝180°． ∵∠CFD＋∠AFD＝180°， ∴∠AED＝∠CFD． ∵∠ADE＝∠C，∠AED＝∠CFD， ∴△ADE∽△DCF．..............................................4 分 方法 2：连接 AG，由 ⌒DF＝ ⌒EG得∠EAG＝∠DAC，进而得到∠EAD＝∠GAC＝∠FDC．再由 ∠ADE＝∠C，得证． （2）方法 1： 解：如图①，连接 AG， ∵△ADE∽△DCF，DE＝4 5，CF＝2 5， ∴ DE CF ＝ AD DC ＝ 4 5 2 5 ＝2． 在 Rt△ADC 中，AD2＋DC2＝AC2， 即 AD2＋( 1 2 AD)2＝AC2． ∴ AD AC ＝ 5 2 ． ∵∠AED＝∠AGD，∠ADE＝∠C， ∴△ADE∽△ACG． ∴ DE CG ＝ AD AC ，即 4 5 CG ＝ 2 5 ． ∴CG＝10． ∴GD＝10－x． ∵∠ADG＝90°， ∴AG 是⊙O 直径，则 AG＝10． 在 Rt△AGD 中，设 CD＝x， AD2＋GD2＝AG2，即 (2x) 2＋(10－x) 2＝102． 解得 x1＝4，x2＝0(舍去) ． ∴GD＝10－x＝6．.............................................8 分 O E B G D C F A ① O E B G D C F A （第 25 题） 5 / 8 方法 2：如图②，连接 AG，由△ADE∽△DCF，得 CD：AD：AC＝1：2： 5．再由△CDF ∽△CAG，得到 GC＝10，余下同方法 1. 方法 3：如图③，连接 AG，GF,由 ⌒DF＝ ⌒EG，易证 GF＝ED＝4 5，进而得到 AF＝2 5，即 AC＝4 5．再由△ADE∽△DCF 推得 CD：AD：AC＝1：2： 5，进而得到 AD＝8，则 GD ＝6． 26．（本题 9 分） （1）解：由题意，抛物线顶点 P 的坐标为（600，20）． 设缆索 L1所在抛物线的表达式 y1＝a(x－600) 2＋20． 将 A（0，200）代入，得 a(0－600) 2＋20＝200，解得 a＝ 1 2000 ． ∴缆索 L1所在抛物线的表达式 y1＝ 1 2000 (x－600)2＋20．..................................4 分 （2）①将 A（0，200），D（－400，0）代入 y2＝ 1 1600 x2＋bx＋c，    1 1600 ×(－400)2－400b＋c＝0， c＝200． 解得，   b＝ 3 4 ， c＝200． .................................7 分 ② 400 3 m． .................................9 分 27．（本题 11 分） （1） 如图①，作∠BDE＝∠C，与 AB 交于点 E，点 E 即为所求． ..........................3 分 （2） A B C D ① E A′ B′ C′ D′ A B C D ② E E′ O E B G D C F A ② O E B G D C F A ③ 6 / 8 证明：如图②，过点 D 作 DE∥AC 交 AB 于点 E，过点 D′作 D′E′∥A′C′交 A′B′于点 E′． ∵DE∥AC，D′E′∥A′C′， ∴∠CAD＝∠ADE，∠C′A′D′＝∠A′D′E′． ∵∠CAD＝∠C′A′D′， ∴∠ADE＝∠A′D′E′． 又∵∠BAD＝∠B′A′D′， ∴△ADE∽△A′D′E′． ∴ DE D′E′ ＝ AE A′E′ ． ∵ BD CD ＝ B′D′ C′D′ ， ∴ CD BC ＝ C′D′ B′C′ ， BD BC ＝ B′D′ B′C′ ∵DE∥AC，D′E′∥A′C′， ∴ CD BC ＝ AE AB ， C′D′ B′C′ ＝ A′E′ A′B′ ． ∴ AE AB ＝ A′E′ A′B′ ，即 AE A′E′ ＝ AB A′B′ ． ∵DE∥AC，D′E′∥A′C′， ∴△BDE∽△BCA，△B′D′E′∽△B′C′A′ ∴ DE AC ＝ BD BC ， D′E′ A′C′ ＝ B′D′ B′C′ ． ∴ DE AC ＝ D′E′ A′C′ ，即 DE D′E′ ＝ AC A′C′ ． ∴ AB A′B′ ＝ AC A′C′ ． 又∠BAD＝∠B′A′D′，∠CAD＝∠C′A′D′， ∴∠BAD＋∠CAD＝∠B′A′D′＋∠C′A′D′， 即∠BAC＝∠B′A′C′， ∴△ABC∽△A′B′C′． .................................7 分 7 / 8 （3）①方法 1： 作法： 第 1 步：如图①，作直线 l 分别交 l1，l2，l3于点M，P，N； 第 2 步: 过点 A 作一条射线 AH，在 AH 上截取 AE＝MP，EF＝PN； 第 3 步：连接 CF，过点 E 作 ED∥FC 交 AC 于点 D，连接 BD； 第 4 步：在 l2任取一点B′，作∠PB′A′＝∠DBA 交 l1于点 A′； 第 5 步：作∠PB′C′＝∠DBC 交 l2于点 C′，则△A′B′C 即为求作. ...............9 分 方法 2： 第 1 步：如图③，作直线 l 分别交 l1，l2，l3于点M，P，N； 第 2 步: 过点 A 作一条射线 AH，在 AH 上截取 AE＝MP，EF＝PN； 第 3 步：连接 CF，过点 E 作 ED∥FC 交 AC 于点 D，连接 BD； 第 4 步：在 l2任取一点B′，作∠PB′C′＝∠DBC 交 l3于点 C′； 第 5 步：作∠B′C′A′＝∠ACB 交 l1 于点 A′，则△A′B′C 即为求作. ① l1 l3 l2 M P N l A′ B′ C′ B A C E F D H A B C l3 l2 l1 A′ B′ C′ M P N E F D H ② 8 / 8 方法 3： 第 1 步：如图③，作直线 l 分别交 l1，l2，l3于点M，P，N； 第 2 步: 过点 A 作一条射线 AH，在 AH 上截取 AE＝MP，EF＝PN； 第 3 步：连接 CF，过点 E 作 ED∥FC 交 AB 延长线于点 D，连接 CD； 第 4 步：在 l3任取一点D′，作∠ND′B′＝∠BDC，分别交 l2，l1于点 B′，A′； 第 5 步：作∠D′B′C′＝∠DBC 交 l3 于点 C′，则△A′B′C 即为求作. 方法 1： 第 1 步：如图③，在 l1任取一点M，作∠PMB′＝∠A 交 l2于点 B′； 第 2 步：作∠MB′N＝∠B 交 l1 于点 N； 第 3 步：作∠PNC′＝∠B 交 l3 于点 C′； 第 4 步：作∠C′B′A′＝∠B 交 l1 于点 A′，则△A′B′C 即为求作. ② 8 3 9 ...........................11 分 A B C l3 l2 l1 A′ B′ C′ P M N F E D D′ H A B C l3 l2 l1 A′ C′ B′ N M P ③ ④