精品解析：辽宁省沈阳市2024-2025学年高一上学期1月期末质量监测数学试题

2025年沈阳市高中一年级教学质量监测 数学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名，考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定区域. 2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第II卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上作答无效. 3.考试结束后，考生将答题卡交回. 第I卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 是平面内不共线两向量，已知，，，若，，三点共线，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 2 4. 命题，为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 5. 已知幂函数是定义域上的增函数，则（ ） A. 或2 B. C. 2 D. 6. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知强度为的声音对应的等级为时，有，喷气式飞机起飞时，声音约为；一般说话时，声音约为.计算喷气式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强度的（ ）倍. A. B. C. D. 8. 已知函数，若是方程的四个互不相等的解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二，选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分的分. 9. 以下命题正确选项是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 设，为两个随机事件，以下命题正确是（ ） A. 若与对立，则 B. 若与互斥，，，则 C. 数据，，，，，，，，，的分位数是7.8 D. 若与相互独立，，， 11. 已知函数、的定义域均为，且，.若的图象关于直线对称，，下列说法正确的是（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. D. 第II卷（非选择题，共92分） 三，填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题“，”的否定是______. 13. 不等式对恒成立，则______. 14. 已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是、、、、、，若这组数据的平均数与众数的和是中位数的倍，则丢失数据的所有可能值构成的集合为______. 四，解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）若，求集合； （2）已知，，是否存在实数，使是的必要不充分条件，若存在实数，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 16. 如图所示，在中，边上一点，且，若，，三点共线，且，. （1）用，表示； （2）求的最小值. 17. 某医疗单位为了迎接医师节，针对本单位不同年龄的员工举办了一次实践技能大比拼活动，满分100分（95分及以上为优秀医师），共有100人荣获“优秀医师”称号，将其按年龄分成以下五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，估计这些人的平均年龄； （2）若从第三组，第四组，第五组三组中分层抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求抽取的2人年龄在不同组的概率； （3）若第四组的年龄的平均数与方差分别为54和1，第五组的年龄的平均数与方差分别为66和4，据此计算这100人中第四组与第五组所有人的年龄的方差. 附： 18. 已知函数为奇函数. （1）求实数的值； （2）设函数，判断函数在区间上的单调性，并给出证明； （3）设函数，求证：函数在区间上有且只有一个零点. 19. 定义一种新运算“”：、，都有. （1）对于任意实数、、，试判断与的大小关系； （2）若关于的不等式的解集中的整数恰有个，求实数的取值范围； （3）已知函数，，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年沈阳市高中一年级教学质量监测 数学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名，考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定区域. 2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第II卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上作答无效. 3.考试结束后，考生将答题卡交回. 第I卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为，， 故. 故选：D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数有意义列出不等式求解即得定义域. 【详解】函数的意义，则，解得， 所以原函数的定义域为. 故选：D 3. 是平面内不共线两向量，已知，，，若，，三点共线，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】求出向量，再利用向量共线列式求出值. 【详解】由，，得， 由，，三点共线，得，又，不共线， 则，所以. 故选：A 4. 命题，为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用全称量词命题为真求出的范围，再利用充分不必要条件的定义求解即得. 【详解】，则，当且仅当时取等号，由命题为真，得， 因此命题为真命题的一个充分不必要条件是集合的真子集，C是，ABD都不是. 故选：C 5. 已知幂函数是定义域上的增函数，则（ ） A. 或2 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用幂函数的定义，结合单调性列式求出值. 【详解】由幂函数是定义域上的增函数，得， 所以经检验适合题意. 故选：C 6. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求出、、的范围，即可得出这三个数的大小关系. 【详解】因为对数函数为增函数，则，即， 且对数函数为增函数，则，即， 又因为函数为增函数，则，故， 故选：D. 7. 已知强度为的声音对应的等级为时，有，喷气式飞机起飞时，声音约为；一般说话时，声音约为.计算喷气式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强度的（ ）倍. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设喷气式飞机起飞时的声音强度和一般说话时声音强度分别为、，利用对数的运算可求得的值. 【详解】设喷气式飞机起飞时的声音强度和一般说话时声音强度分别为、， 则，， 上述两个等式作差可得，解得， 因此，喷气式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强度的倍. 故选：B. 8. 已知函数，若是方程的四个互不相等的解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象可得、各有两解，从而可用表示四根之和，结合的范围可求和的范围. 【详解】函数的图象如图，不妨令， 观察图象，得，且，， 由，得， 因此， 设，函数在为增函数，， 则，所以的取值范围是. 故选：A 【点睛】关键点点睛：作出给定的函数图象，结合图形建立函数关系是解决本题的关键. 二，选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分的分. 9. 以下命题正确的选项是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质可判断AD选项，利用特殊值法可判断B选项，利用作差法可判断C选项. 【详解】对于A选项，由，可得，又因为，则，A对； 对于B选项，取，，，显然有，， 但，B错； 对于C选项，因为，则， 因为，但由于， 故，从而有，所以，，即，C对； 对于D选项，因为且，由不等式的性质可得，D对. 故选：ACD. 10. 设，为两个随机事件，以下命题正确的是（ ） A. 若与对立，则 B. 若与互斥，，，则 C. 数据，，，，，，，，，的分位数是7.8 D. 若与相互独立，，， 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项根据对立事件的概念可得；B选项根据互斥事件的概念可得；C选项根据百分位数的定义可得；D选项根据事件相互独立性的概念可得. 【详解】对于A选项，因为与对立，，则，所以A错误； 对于B选项，，则，因为与互斥， 所以，所以B正确； 对于C选项，这组数据一共有10个数，所以分位数为第8个数与第9个数的平均数，为，所以C错误； 对于D选项，若与相互独立，则与也相互独立， 因为，，所以，， 所以，所以D正确. 故选：BD. 11. 已知函数、的定义域均为，且，.若的图象关于直线对称，，下列说法正确的是（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用函数的对称性可判断AB选项；利用已知等式推导出，再由，所以，，可求出的值，由此可得出的值，可判断C选项；求出的值，结合可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为函数的图象关于直线对称，则，A对； 对于B选项，因为，则， 又因为，联立可得， 即，所以，的图象关于点对称，B对； 对于C选项，因为，所以，， 即， 因为，代入得，即， 因为，所以，， 因为，所以，，所以，，C对； 对于D选项，由B选项可知，， 因为，所以，， 因为， 所以，，，， 因此，，D错. 故选：ABC. 【点睛】结论点睛：本题考查利用函数的对称性，可利用以下结论来转化： ①函数的图象关于点对称，则； ②函数的图象关于直线对称，则. 第II卷（非选择题，共92分） 三，填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题“，”的否定是______. 【答案】， 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定可得出结论. 【详解】命题“，”为全称量词命题， 该命题的否定为“，”. 故答案为：，. 13. 不等式对恒成立，则______. 【答案】 【解析】 【分析】分析可知，关于的方程的两根分别为、，利用韦达定理求出、的值，即可得解. 【详解】由，即或，解得或， 由，即，解得， 因为不等式对恒成立， 当或时，，则， 当时，，则， 由上可知，关于的方程的两根分别为、， 由韦达定理可得，，可得，， 因此，. 故答案为：. 14. 已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是、、、、、，若这组数据的平均数与众数的和是中位数的倍，则丢失数据的所有可能值构成的集合为______. 【答案】 【解析】 【分析】设丢失的数据为，对的取值进行分类讨论，求出这七个数的平均数、众数和中位数，根据题意可得出关于的方程，解之即可. 【详解】设丢失的数据为，则这七个数的平均数为，众数为， 因为这组数据的平均数与众数的和是中位数的倍，分以下几种情况讨论： 若，则中位数为，此时，，解得； 若，则中位数为，此时，，解得； 若，则中位数为，此时，，解得. 综上可知，丢失数据所有可能取值构成的集合为. 故答案：. 四，解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）若，求集合； （2）已知，，是否存在实数，使是的必要不充分条件，若存在实数，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，求出集合，利用交集的定义可求得集合； （2）求出集合，分析可知，集合是集合的真子集，可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【小问1详解】 当时，， 因，故. 【小问2详解】 由可得， 即， 因为是的必要不充分条件，则集合是集合的真子集， 所以，，解得， 因此，实数的取值范围是. 16. 如图所示，在中，为边上一点，且，若，，三点共线，且，. （1）用，表示； （2）求的最小值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得. （2）根据（1）的结论，转化用，表示，根据、、三点共线找出等量关系，再利用基本不等式求出最小值. 【小问1详解】 由，得， 所以. 【小问2详解】 由，，，， 得，又、、三点共线，因此， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 17. 某医疗单位为了迎接医师节，针对本单位不同年龄的员工举办了一次实践技能大比拼活动，满分100分（95分及以上为优秀医师），共有100人荣获“优秀医师”称号，将其按年龄分成以下五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，估计这些人的平均年龄； （2）若从第三组，第四组，第五组三组中分层抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求抽取的2人年龄在不同组的概率； （3）若第四组的年龄的平均数与方差分别为54和1，第五组的年龄的平均数与方差分别为66和4，据此计算这100人中第四组与第五组所有人的年龄的方差. 附： 【答案】（1）44.5岁； （2）； （3）34 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的平均值公式计算得解. （2）利用古典概型公式，列出所有情况和满足题意的情况即可. （3）根据分层抽样方差公式计算即可. 【小问1详解】 这些人的平均年龄（岁）. 【小问2详解】 第三组，第四组，第五组的频率分别为0.3，0.2，0.1， 从这三组中分层抽取6人，则第三组抽3人，记为；第四组抽2人，记为； 第五组抽1人，记为， 样本空间，共15个样本点， 设事件为“从6人中随机抽取两人，所抽取的2人年龄在不同组”， ，共11个样本点， 所以抽取的2人年龄在不同组的概率. 【小问3详解】 设第四组、第五组年龄的平均数分别为，方差分别为， 则， 第四组有20人，第五组有10人，设第三组和第四组所有人的年龄平均数为，方差为， 则， . 所以这100人中第四组与第五组所有人的年龄的方差为34. 18. 已知函数为奇函数. （1）求实数的值； （2）设函数，判断函数在区间上的单调性，并给出证明； （3）设函数，求证：函数在区间上有且只有一个零点. 【答案】（1）； （2）单调递减，证明见解析； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的定义求出值. （2）求出并判断单调性，再利用函数单调性定义推理证明. （3）由（2）的结论，结合对数函数单调性判断的单调性，再利用零点存在性定理推理得证. 【小问1详解】 函数的定义域为，由是奇函数，得， 即，整理得， 而不恒为0，所以. 【小问2详解】 由（1）知，，函数在区间上单调递减， 任意，， 由，得，因此，即， 所以函数在区间上单调递减. 【小问3详解】 由（1）知，函数， 则函数，由（2）知，函数在上单调递减， 而函数在上单调递增，因此函数在上单调递减， 而，则存在唯一，使得， 所以函数在区间上有且只有一个零点. 19. 定义一种新运算“”：、，都有. （1）对于任意实数、、，试判断与的大小关系； （2）若关于的不等式的解集中的整数恰有个，求实数的取值范围； （3）已知函数，，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用题中的定义结合对数的运算性质可得出结论； （2）利用题中定义结合对数的运算性质化简得出，，可知函数的一个零点在区间，则另一个零点在区间，可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围； （3）利用换元法求出函数的值域，可得出函数的值域，利用基本不等式结合对数函数的单调性可求出函数的值域，可得出，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【小问1详解】 因为、，，， ， 所以，. 【小问2详解】 因为， 所以，原不等式可化为，即， 为满足题意，必有，解得或， 令，则其对称轴为直线， 由于，，结合（1）可得， 所以，函数的一个零点在区间，则另一个零点在区间， 从而，解得或， 综上所述，实数的取值范围是. 【小问3详解】 因为， ， 设，其中，令，则，则， 所以，，则， 所以函数的值域为， 由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立， 所以，，故函数的值域为， 根据题意，，，即， 解得且， 所以，实数的取值范围是. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，，. （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$