精品解析：辽宁省沈阳市省五校协作体2023-2024学年高一上学期1月期末数学试题

2023-2024学年度（上）沈阳市五校协作体期末考试 高一年级数学试卷 考试时间：120分钟分数：150分 试卷说明：试卷共二部分：第一部分：选择题型（1-12题共60分）第二部分：非选择题型（13-22题共90分） 第I卷（选择题共60分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 2. 集合，则间的关系是（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，若，则实数的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 4. 已知一组数，，，的平均数是，方差，则数据，，，的平均数和方差分别为（ ） A. 3，7 B. 5，13 C. 2，12 D. 5，12 5. 已知函数的值域为R，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为R，且是奇函数，当时，，函数，则方程的所有的根之和为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9. 口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回的依次取出2个球，事件“取出的两球同色”，事件“第一次取出的是白球”，事件“第二次取出的是白球”，事件“取出的两球不同色”，则（ ） A. B. 与互斥 C. 与相互独立 D. 与互为对立 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若函数定义域为，则函数的定义域为 B. 若定义域为R的函数值域为，则函数的值域为 C. 函数与的图象关于直线对称 D. 已知是定义在R上的奇函数，当时，，则时，函数解析式为 11. 已知，D为BC边中点，若点P满足，则下列说法正确的是（ ） A. 点P一定在内部 B. C. D. 点P在直线AD上 12. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 在区间上单调递增 B. 是偶函数 C. 的最小值为 D. 方程有解 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 三、填空题（本题共40分，每小题5分，共20分） 13. 已知，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是______. 14. 化简式子的值为__________. 15. 在等腰梯形ABCD中，，，，P是腰AD上的动点，则的最小值为________. 16. 已知偶函数的定义域为，且有，，若对，，都有，则不等式的解集为________. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球.甲先投且先投中者获胜，约定有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响. （1）求甲获胜的概率； （2）求投篮结束时乙只投了2个球的概率. 18. 如图，在中，AD是BC边上的中线.M为BD的中点，G是AD上一点，且，直线EF过点G，交AB于点E，交AC于点F. （1）试用和表示， （2）若，，求的最小值. 19. 已知二次函数满足，且该函数的图象经过点，在x轴上截得的线段长为4，设. （1）求的解析式； （2）求函数在区间上的最小值； （3）设函数，若对于任意，总存在，使得成立，求a的取值范围. 20. 某高校承办了杭州亚运会志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同. （1）求，的值； （2）估计这100名候选者面试成绩的第65百分位数（分位数精确到0.1）； （3）在第四，第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自同一组的概率. 21. 已知函数为幂函数，且在上单调递增. （1）求m的值，并写出的解析式； （2）解关于x的不等式，其中. （3）已知，，且.求. 22. 已知函数.若当点在函数图象上运动时，对应的点在函数图象上运动，则称函数是函数的“伴随”函数. （1）解关于x的不等式； （2）若对任意的，的图象总在其“伴随”函数图象的下方，求a的取值范围； （3）设函数，.当时，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度（上）沈阳市五校协作体期末考试 高一年级数学试卷 考试时间：120分钟分数：150分 试卷说明：试卷共二部分：第一部分：选择题型（1-12题共60分）第二部分：非选择题型（13-22题共90分） 第I卷（选择题共60分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由全称的否定是特称可得； 【详解】由全称的否定是特称可得命题“”的否定为“”. 故选：C. 2. 集合，则间的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求解两个集合，再判断集合的关系. 【详解】，得，则， ，得，则， 所以. 故选：B 3. 已知向量，若，则实数的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先得到，根据向量平行得到方程，求出答案. 【详解】， 又，故，解得. 故选：A 4. 已知一组数，，，的平均数是，方差，则数据，，，的平均数和方差分别为（ ） A. 3，7 B. 5，13 C. 2，12 D. 5，12 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均数和方差的性质运算求解. 【详解】由题意可得：数据，，，的平均数为， 方差是. 故选：D. 5. 已知函数的值域为R，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的函数值集合，再由分段函数值域的意义求出a的范围作答. 【详解】当时，，而函数在上单调递增，又是增函数， 因此函数在上单调递增，，即函数在上的值域为， 当时，函数的值域为，而函数的值域为R，因此， 而当时，，必有，解得， 所以a的取值范围是. 故选：C 6. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用重要不等式能得出，故可以判断A；由，可得，整体代换即可判断B；先通过变形得出的取值范围，进而可以得出判断，即可判断C；由基本不等式可得，即可判断D. 【详解】对于A，因为，，且，所以， 当且仅当时取等号，故，故选项A错误； 对于B，， 当且仅当时取等号，故选项B错误； 对于C，因为，即，故， 所以，故选项C错误； 对于D，因为，当且仅当时取等号， 即，故选项D正确. 故选：D. 7. 已知函数的定义域为R，且是奇函数，当时，，函数，则方程的所有的根之和为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】先判断函数的对称中心，再结合图象及交点个数，最后结合对称性得出所有根的和. 【详解】由题知 是奇函数,则有： , 关于对称， 且 , 时， , 恒过，且 关于对称， 方程的所有的根之和也即是两函数交点的横坐标和， 根据 对称性及解析式画出图象如下： 由图像可知 有5个交点，其中一个交点横坐标为1, 另外四个，两两分别关于对称， 故五个交点横坐标和为, 即所有根之和5. 故选：C. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质即可比较大小. 【详解】因为， 故， ， ， 即， 故. 故选：D. 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9. 口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回的依次取出2个球，事件“取出的两球同色”，事件“第一次取出的是白球”，事件“第二次取出的是白球”，事件“取出的两球不同色”，则（ ） A. B. 与互斥 C. 与相互独立 D. 与互为对立 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用古典概型的概率公式求出所对应的事件的概率即可判断A，根据互斥事件的概率即可判断B，根据相互独立事件的定义判断C，根据对立事件的概率即可判断D． 【详解】设2个白球为，2个黑球为， 则样本空间为：，共12个基本事件. 事件，共4个基本事件； 事件，共6个基本事件； 事件，共6个基本事件； 事件，共8个基本事件， 对于A，由，故A正确； 对于B，因为，所以事件B与C不互斥，故B错误； 对于C，因为，，， 则，故事件A与B相互独立，故C正确； 对于D，因为，，所以事件A与D互为对立，故D正确． 故选：ACD． 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若函数定义域为，则函数的定义域为 B. 若定义域为R的函数值域为，则函数的值域为 C. 函数与的图象关于直线对称 D. 已知是定义在R上的奇函数，当时，，则时，函数解析式为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数定义域和值域的定义及求法即可判断AB的正误；根据互为反函数的两函数的图象关于对称即可判断C的正误；根据奇函数的定义即可判断D的正误． 【详解】A，函数定义域为,，则满足，解得，即的定义域为,，A正确； 对于B，定义域为的函数的值域为,，则的值域也是,，B错误； 对于C, 与互为反函数，图象关于对称，C正确； 对于D，当时，，且为奇函数， 设，，D错误． 故选：AC． 11. 已知，D为BC边中点，若点P满足，则下列说法正确的是（ ） A. 点P一定在内部 B. C. D. 点P在直线AD上 【答案】ABC 【解析】 【分析】设、分别是、的中点，依题意可得，从而得到点是中位线上靠近点的三等分点，即可判断A，D再根据面积关系判断C，又平面向量线性运算法则判断B. 【详解】由，所以， 设、分别是、的中点，所以， 于是点是中位线上靠近点的三等分点，则点一定在内部，故A正确，D错误. 又，所以，则，故B正确； 由A可知，，且， 所以，，即，故C正确； 故选：ABC 12. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 在区间上单调递增 B. 是偶函数 C. 的最小值为 D. 方程有解 【答案】ABD 【解析】 【分析】由函数的基本性质可判断ABC，由零点存在性定理可判断D. 【详解】因为， 所以，所以为偶函数，B正确； 当时，，令， 则，(也可利用复合函数的单调性说明的单调性) 故与均为增函数， 所以在区间上单调递增，A正确； 由偶函数对称性可知，在区间上单调递减， 所以，C错误； 令，所以， 由零点存在性定理可知方程有解，D正确. 故选：ABD 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 三、填空题（本题共40分，每小题5分，共20分） 13. 已知，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】因为是的充分不必要条件，所以对应的集合是对应的集合的真子集，根据集合的关系列不等式即可. 【详解】解不等式得 记 因为是的充分不必要条件，所以A是B的真子集， 所以，解得. 所以的取值范围为. 14. 化简式子的值为__________. 【答案】##1.25 【解析】 【分析】根据指数幂的运算性质和对数的运算性质求解即可. 【详解】 . 故答案为：. 15. 在等腰梯形ABCD中，，，，P是腰AD上的动点，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，设出点坐标，利用数量积的坐标运算结合二次函数的最值求解即可． 【详解】等腰梯形ABCD中，，，， 故梯形的高为， 根据题意，以为坐标原点，射线为轴正半轴建立直角坐标系，如图所示， 则，，设，其中， ， 则， 则， 则当时，取得最小值27， 则的最小值． 故答案为：． 16. 已知偶函数的定义域为，且有，，若对，，都有，则不等式的解集为________. 【答案】 【解析】 【分析】通过构造函数法结合已知条件得出函数的单调性，再根据函数的奇偶性，求得不等式的解集. 【详解】构造函数， 依题意，的定义域是，是偶函数， 所以，所以是偶函数， 由于对，，，则， 所以在上单调递增，则在上单调递减. 对于，且， 若，可得，即，可得； 若,可得，即，可得； 所以不等式的解集为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：关键点是熟练掌握函数单调性的定义及其变型，任取定义域内的两个数，且，通过计算的符合来判断的单调性，也可以利用的符号来判断的单调性. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球.甲先投且先投中者获胜，约定有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响. （1）求甲获胜的概率； （2）求投篮结束时乙只投了2个球的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据互斥事件和的概率公式及独立事件同时成立的概率公式求解即可； （2）写出投篮结束时乙只投了2个球的事件，由互斥事件的和的概率公式，独立事件概率公式求解. 【小问1详解】 设Ak，Bk分别表示甲、乙在第k次投篮时投中，则，，（k=1，2，3），记“甲获胜”为事件C，则 . 【小问2详解】 记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件D. 则 . 18. 如图，在中，AD是BC边上的中线.M为BD的中点，G是AD上一点，且，直线EF过点G，交AB于点E，交AC于点F. （1）试用和表示， （2）若，，求的最小值. 【答案】（1）， （2）3 【解析】 【分析】（1）根据平面向量的线性运算计算即可； （2）先将用表示，再根据E，F，G三点共线，可得的关系，再根据基本不等式即可得解. 【小问1详解】 由题意，为的中点，所以， 又为的中点，所以； ，即， ； 故，. 【小问2详解】 由，，， 得，， 所以 ， 因为E，F，G三点共线，则 ， 则， 当且仅当，即，时取等号所以的最小值3. 19. 已知二次函数满足，且该函数的图象经过点，在x轴上截得的线段长为4，设. （1）求的解析式； （2）求函数在区间上的最小值； （3）设函数，若对于任意，总存在，使得成立，求a的取值范围. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的对称性及过的点列式求解即可； （2）根据，，分类讨论求解即可； （3）由题意，利用换元法求解函数的最小值，结合（2）中的最小值列不等式求解即可. 【小问1详解】 因为，则的图象关于直线对称且在x轴上截得的线段长为4，的图象与x轴的交点分别为，，所以设. 该函数的图象经过点，解得，所以. 【小问2详解】 因为，其对称轴方程为， 当，即时，. 当，即时， 当，即时， 综上所述，当时，， 当时，， 当时，. 【小问3详解】 若对于任意，总存在，使得成立， 等价于 函数， 因为，所以，所以当时，取得最小值 当时，，所以，不成立 当时，，所以， 解得或，所以 当时，，所以，解得，所以 综上所述，a的取值范围是. 【点睛】方法点睛：双变量的任意、存在性问题应转化成函数最值的大小比较问题. 20. 某高校承办了杭州亚运会志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同. （1）求，的值； （2）估计这100名候选者面试成绩的第65百分位数（分位数精确到0.1）； （3）在第四，第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自同一组的概率. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的频率的性质即各组频率为相应矩形面积，列式计算，即可求得答案； （2）确定面试成绩的65%分位数的范围，计算各矩形面积和的65%处对应的数值即为所求； （3）确定两组各抽取的人数，采用列举法列出选出2人的所有可能情况，再列出这2人来自同一组的情况，根据古典概型的概率公式即可求得答案. 【小问1详解】 因为第三、四、五组的频率之和为0.7，所以，解得， 所以前两组的频率之和为，即，所以； 【小问2详解】 前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75，所以第65百分位数在65和75之间， 即为； 【小问3详解】 第四、第五两组志愿者分别有20人，5人， 故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为，，，，第五组志愿者人数为1，设为， 这5人中选出2人，所有情况有，，，，，，，，，共有10种情况， 其中选出的两人来自同一组的有，，，，，，共6种情况， 故选出的两人来自同一组的概率为. 21. 已知函数为幂函数，且在上单调递增. （1）求m的值，并写出的解析式； （2）解关于x的不等式，其中. （3）已知，，且.求. 【答案】（1）， （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的概念及性质即可求解； （2）根据函数的奇偶性和单调性即可求解； （3）根据奇函数的性质，结合指对运算可得，构造函数，根据函数的单调性即可求解. 【小问1详解】 因为为幂函数，且在上单调递增， 则， 解得， 所以； 【小问2详解】 函数为奇函数且在上单调递增，则在R上递增， 由，则， 故， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为； 【小问3详解】 且，则，即， 则 考察函数，由于函数均在单调递增，且值为正， 故在在单调递增， 故 ，则，， 则. 【点睛】关键点点睛：根据指对运算由得，利用函数的单调性得. 22. 已知函数.若当点在函数图象上运动时，对应的点在函数图象上运动，则称函数是函数的“伴随”函数. （1）解关于x的不等式； （2）若对任意的，的图象总在其“伴随”函数图象的下方，求a的取值范围； （3）设函数，.当时，求的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由求解； （2）由题意得的相关函数为，根据题意得到时，恒成立求解； （3）易得，设，利用复合函数的单调性求解. 【小问1详解】 依题意得，则，所以，所以原不等式的解集为 【小问2详解】 由题意得，所以，所以的“伴随”函数为. 依题意，对任意的，的图象总在其“伴随”函数图象的下方，即当时，恒成立① 由，对任意的总成立，结合题设条件有，在此条件下， ①等价于当时，恒成立，即，即. 设，要使当时，恒成立 只需，即成立，解得，即，且， 即a的取值范围是. 【小问3详解】 由（2）可得当时，在区间上，， 即 设，则，令，则 所以， 因为（当且仅当时，等号成立），可得，当时，等号成立， 满足，则t的最大值为， 所以的最大值是 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $