精品解析：河北省保定市高中2024-2025学年高三上学期1月调研考试数学试题

2024-2025学年第一学期期末高三调研考试 数学试题 注意事项： 1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卡上.将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 如图，已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由一元二次不等式解出集合，再根据题意计算可得； 【详解】由解得，所以， 所以， 又全集，所以图中阴影部分表示的集合为. 故选：C. 2. 已知复数，为的共轭复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数，利用共轭复数的定义结合复数的加法可求得结果. 【详解】因为， 所以，. 故选：A. 3. 函数的图象向左平移个单位得到函数图象，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图像的平移变化，得平移后函数图像. 【详解】由的图象向左平移个单位得到图像， 所以. 故选：D 4. 已知是两条不同的直线，为两个不同的平面，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】结合线线平行与面面平行的关系，根据充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】不能推出，如图1； 也不能推出，如图2. 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 5. 在等比数列中，已知，则（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列片段和的性质求解即可； 【详解】由题意可得公比不为1，则，， 因为为等比数列，所以也为等比数列， 所以，解得. 故选：C. 6. 已知，，，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性、余弦值的符号结合中间值法可得出、、的大小关系. 【详解】因为余弦函数在上为减函数，且， 则，即， 对数函数为增函数，则，即， 又因为，故. 故选：B. 7. 已知函数，则的图象（ ） A. 关于直线对称 B. 关于点对称 C. 关于直线对称 D. 关于原点对称 【答案】B 【解析】 【分析】求出、以及的表达式，根据函数的对称性判断各项可得答案. 【详解】函数， 对于A，， 故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：B. 8. 已知点在抛物线的准线上，过点的直线与抛物线在第一象限相切于点，记抛物线的焦点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由点在准线上可知的值，从而确定抛物线的方程，设点的坐标为，，通过对抛物线方程求导，可得点直线AB的斜率，再通过、两点的坐标也可求得，于是建立关于的方程，解之可得的值，最后利用抛物线的定义即可得解. 【详解】抛物线的准线方程为， ∵点在准线上，∴即， 抛物线的方程为，即， 设点的坐标为，， 对求导可得，，∴直线AB的斜率为， 由、，可知，解之得，或（舍负）， ∴点，由抛物线的定义可知，， 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列满足，，，为其前项和，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出的值，由可得，两式作差可得出，逐项计算可判断ABD选项，利用并项求和法可判断C选项. 【详解】在数列中，，， 当时，，则， 对任意的，由可得， 上述两个等式作差可得， 对于A选项，，A对； 对于B选项，，可得，B错； 对于C选项， ，C对； 对于D选项，， 因此，D对. 故选：ACD. 10. 已知函数，其中存在三个零点，且，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 的取值范围为 D. 若成等差数列，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】将，转化为，再根据的图象，对每个选项逐一分析，即可判断和选择. 【详解】由得，即，即，令， 则为直线a和函数图象的交点的横坐标； 的定义域为，且，故为奇函数； 又当时，，， 故当时，，单调递增；当时，，单调递减； 故在时取得极大值，且，，作的图象如下所示： 对AB：数形结合可知，，故，故A正确，B正确； 对C：若使得与有个交点，则，解得，故C错误； 对D：若成等差数列，则，即， 即，即，又，则， 即，，也即，又， 故，故D正确； 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：处理本题的关键一是能够将函数的零点转化为图象交点的横坐标，从而数形结合解决问题；二是能够熟练应用导数处理函数单调性和最值的问题；属综合困难题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 11. 已知向量，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用坐标计算向量的模长再结合数量积计算即可； 【详解】由题意可得，所以， 所以. 故答案为：. 12. 随机数选择器每次只能从、、、、、、、、这九个数字中选一个数，并且以相等概率做选择，那么在次选择后，选出的个数的乘积能被整除的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用计数原理计算出全部的选择结果种数，以及“选出的个数的乘积能被整除”的选法种数，结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】随机数选择器每次只能从、、、、、、、、这九个数字中选一个数， 选择次，每次都有种结果，共种结果， 若选出的个数的乘积能被整除，则其中有一次选择的数为，另一次选择的数为偶数， 则不同的选择结果有种， 由古典概型的概率公式可知，所求事件的概率为. 故答案为：. 13. 斜率为的直线经过双曲线的左焦点，与该双曲线的左，右两支分别交于两点，且，则双曲线的离心率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】设则，设线段的中点为M，连接，结合题意和双曲线的定义以及离心率的定义求解即可； 【详解】设则， 设线段的中点为M，连接得垂直平分， 则根据题意得， 故，故，所以， 所以，所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是能够得到垂直平分. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 14. 已知函数在处的切线方程为. （1）求实数的值； （2）求的单调区间和极值. 【答案】（1） （2）单调递增区间为，单调递减区间为；极大值为，极小值为 【解析】 【分析】（1）由导数的意义令，列方程组求解即可； （2）由导数分析单调性和极值即可； 【小问1详解】 ，切点坐标为， ，即，解得， . 【小问2详解】 ，定义域为， 得或， 得或得； 的单调递增区间为，单调递减区间为； 的极大值为的极小值为. 15. 在中，内角的对边分别为，已知. （1）求角； （2）若，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理结合两角差的余弦展开式化简后再利用特殊角的正切值求出即可； （2）由正弦定理和余弦定理结合题意求解即可； 【小问1详解】 在中，由正弦定理得， 又因为，所以， 所以， 化简得，又因为，所以. 【小问2详解】 在中，由正弦定理得，， 因为，所以， 在中，由余弦定理得，即， 所以，所以， 所以，所以周长为. 16. 如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，且满足，，平面平面. （1）求证：； （2）若，点在线段上，当二面角大小为时，求四棱锥的体积. 【答案】（1） 连接BD，在直角梯形ABCD中，易得， 又， 又平面平面，平面平面，平面， 平面平面， ，又，平面， 平面平面， . （2） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质定理得到，再由线面垂直的判定定理证明平面可得到； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面和平面的一个法向量，代入空间二面角公式解出，再由棱锥的体积公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，取的中点的中点，连接， 由题意可得， 平面平面平面平面，平面， 平面， 以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 设，则， 设平面的一个法向量为， 则， 令得， 又平面平面的一个法向量， ，令，解得或（舍）. 即为的靠近的三等分点时，二面角的平面角为， 平面，且， 到平面的距离为，又四边形的面积为3， 四棱锥的体积. 17. 已知椭圆过点，其离心率，点为椭圆的上顶点，过点的两条直线与椭圆分别交于两点，与直线分别交于两点，的重心为点. （1）求椭圆的方程； （2）求弦长的最大值； （3）已知点，若，其中且，证明：当在变化时，重心在一条定直线上，并求出这条定直线方程. 【答案】（1） （2） （3）由知三点共线，且直线斜率存在且不为0，所以设直线方程为， ， 恒成立， ， 直线，令得，同理， ， ， ， 点在定直线上. 【解析】 【分析】（1）由离心率的定义，，点在椭圆上代入求出即可； （2）由两点间距离公式结合二次函数的性质求最值即可； （3）设直线方程为，直曲联立，表示出韦达定理，再求出点坐标，利用重心坐标公式表示出重心所在直线即可； 【小问1详解】 由得，又， 由在椭圆上，得， 椭圆的方程为. 【小问2详解】 设， ，其中， 当时，取得最大值，最大值为. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题第三小问的关键是能够表示出直线与的交点坐标，再利用韦达定理化简重心坐标公式. 18. 已知有穷数列共有项（其中且），集合且，其中、、均为小于等于的正整数. （1）若，数列的各项依次为、、、、，请写出集合中所有的元素； （2）若，且数列为单调递增数列，从集合中任取一个元素，设随机变量，求随机变量的分布列和数学期望； （3）若数列为公差大于的等差数列，从集合中任取一个元素，定义事件“”，求事件发生的概率（结果用表示）. 【答案】（1）、、、、 （2）的分布列为 ，数学期望 （3） 【解析】 【分析】（1）根据集合中元素的特征可得集合中的所有元素； （2）由题意可知集合中元素个数为个，随机变量的可能取值为、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值； （3）由题意知事件可等价于其角标成等差即满足，集合中元素个数为个，且，分为奇数、为偶数，求出集合中的元素个数，进而可得出事件所包含的基本事件总数，结合古典概型的概率公式可求得事件的概率. 【小问1详解】 根据题意，集合中所有的元素为：、、、、. 【小问2详解】 由题意可知集合中元素个数为个， 随机变量的可能取值为、、、， ，，， ， 所以随机变量的分布列为 期望. 【小问3详解】 由题意知事件可等价于其角标成等差即满足， 集合中元素个数为个，且. ①为偶数时，、、、、时， 集合中满足的元素个数依次为、、、、个， 、、、、时， 集合中满足的元素个数依次为、、、、个， 所以此时事件包含的基本事件个数总共有个， 所以； ②为奇数时，、、、、时， 集合中满足的元素个数依次为、、、、个， 、、、、时， 集合中满足的元素个数依次为、、、、个， 所以此时事件包含的基本事件个数总共有 个 所以. 综上. 【点睛】思路点睛：求解随机变量分布列的基本步骤如下： （1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布； （2）求出每一个随机变量取值的概率； （3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期期末高三调研考试 数学试题 注意事项： 1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卡上.将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 如图，已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，为的共轭复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的图象向左平移个单位得到函数图象，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 已知是两条不同的直线，为两个不同的平面，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 在等比数列中，已知，则（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 6. 已知，，，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则的图象（ ） A. 关于直线对称 B. 关于点对称 C. 关于直线对称 D. 关于原点对称 8. 已知点在抛物线的准线上，过点的直线与抛物线在第一象限相切于点，记抛物线的焦点为，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列满足，，，为其前项和，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，其中存在三个零点，且，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 的取值范围为 D. 若成等差数列，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 11. 已知向量，则__________. 12. 随机数选择器每次只能从、、、、、、、、这九个数字中选一个数，并且以相等概率做选择，那么在次选择后，选出的个数的乘积能被整除的概率为__________. 13. 斜率为的直线经过双曲线的左焦点，与该双曲线的左，右两支分别交于两点，且，则双曲线的离心率为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 14. 已知函数在处的切线方程为. （1）求实数的值； （2）求的单调区间和极值. 15. 在中，内角的对边分别为，已知. （1）求角； （2）若，求的周长. 16. 如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，且满足，，平面平面. （1）求证：； （2）若，点在线段上，当二面角大小为时，求四棱锥的体积. 17. 已知椭圆过点，其离心率，点为椭圆的上顶点，过点的两条直线与椭圆分别交于两点，与直线分别交于两点，的重心为点. （1）求椭圆的方程； （2）求弦长的最大值； （3）已知点，若，其中且，证明：当在变化时，重心在一条定直线上，并求出这条定直线方程. 18. 已知有穷数列共有项（其中且），集合且，其中、、均为小于等于的正整数. （1）若，数列的各项依次为、、、、，请写出集合中所有的元素； （2）若，且数列为单调递增数列，从集合中任取一个元素，设随机变量，求随机变量的分布列和数学期望； （3）若数列为公差大于的等差数列，从集合中任取一个元素，定义事件“”，求事件发生的概率（结果用表示）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $