第7章 幂的运算（优质类型）-2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版2024新教材）

第7章 幂的运算思维导图 【类型覆盖】 类型一、同底数幂的乘法的逆用 【解惑】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．可以写成（  ） A． B． C． D． 2．已知：，则 3．已知． (1)求的值； (2)求的值． 类型二、同底数幂的除法的逆用 【解惑】若，，且，则x的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【融会贯通】 1．已知，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知，则的值是 ． 3．已知，，，计算下列代数式： (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 类型三、幂的乘方的逆用 【解惑】若，则的值为（   ） A．3 B．5 C．10 D．15 【融会贯通】 1．已知，，，则的值是（   ） A． B． C．1 D．2 2．若，则n的值是 ． 3．将幂的运算逆向思维可以得到，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)若，，求的值． (2)若，求x的值． 类型四、积的乘方的逆用 【解惑】计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．的个位数字是（   ） A．1 B．9 C．3 D．7 2．简便运算： 3．若（且是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值． 类型五、幂的结果为1的分类 【解惑】若，则x的取值有（　　）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【融会贯通】 1．观察等式（2a﹣1）a+2＝1，其中a的取值可能是（　　） A．﹣2 B．1或﹣2 C．0或1 D．1或﹣2或0 2．已知，其中是整数，则 ． 3．解方程： 类型六、幂的运算中的新定义运算 【解惑】新考法定义一种新的运算：若，则有，那么的值是（　　） A． B．5 C． D． 【融会贯通】 1．对于任意正整数定义一种新运算：．比如，则．如果，那么的结果是（   ） A．2024 B． C． D．1012 2．我们定义：三角形，五角星； （1）＝ ； （2）若，则＝ ． 3．定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题． (1)求的值； (2)，求的值； (3)若运算的结果为，则t的值是多少？ 类型七、幂的运算的规律 【解惑】阅读下列各式：，，…… (1)发现规律：______，______． (2)应用规律： ①填空：______，______； ②计算：． 【融会贯通】 1．观察并验证下列等式： (1)续写等式： ；（写出最后结果） (2)我们已经知道，根据上述等式中所体现的规律，猜想结论：_______；（结果用因式乘积表示） (3)利用上述结论计算： 2．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式： 第4个等式：， …… 请根据以上规律，解决下列问题 (1)试写出第6个等式：___________； (2)请证明第4个等式． 3．阅读材料：的末尾数字是，的末尾数字是，的末尾数字是，的末尾数字是，的末尾数字是，．．．．．．，观察规律，，的末尾数字是，的末尾数字是，的末尾数字是3，同理可知，的末尾数字是，的末尾数字是．解答下列问题： (1)的末尾数字是 ，的末尾数字是 ； (2)求的末尾数字． 类型八、幂的运算中新定义运算 【解惑】如果．那么称为的劳格数，记为，由定义可知，和所表示的、两个量之间具有同一关系． (1)根据定义，填空：______． (2)劳格数有如下性质：，，根据运算性质。回答问题： ①______．（为正数） ②若．求、的值。 【融会贯通】 1．规定两数，之间的一种运算，记作，如果，则．我们叫为“雅对”．例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式，，，成立．证明如下： 设，，则，，故，则，即，，，． (1)根据上述规定，填空： ________；(________； (2)求证： 2．定义：如果，那么为的“幸福指数”，记为．例如，那么2为的“幸福指数”，记为． (1)填空：______，（，______）． (2)若的“幸福指数”为，的“幸福指数”也为3，求的值． 3．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b），如果，那么． 例如：∵，∴．我们还可以利用此定义证明等式成立． 证明如下： 设，则． ∴． ∴，即． (1)根据上述规定，填空：＝______，＝______，＝______； (2)计算：_______________，并说明理由； (3)记，，，求证：． 类型九、幂的运算的整除 【解惑】已知能被13整除，求证：能被13整除． 【融会贯通】 1．已知，． (1)当时，求的值； (2)当时，且x、y是整数，试说明的值能被8整除． 2．能被整除吗？为什么？ 3．阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，......，观察规律，，∵的末尾数字是1，∴的末尾数字是1，∴的末尾数字是3，同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7．解答下列问题： (1)的末尾数字是 ，的末尾数字是 ； (2)求的末尾数字； (3)求证：能被5整除． 类型十、延伸拓展——对数 【解惑】一般的，若（且），那么x叫做以a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可转化为指数式，根据以上材料，解决下列问题： (1)计算： ， ， ； (2)观察（1），猜想： （且，，）； (3)已知，求的值（且） 【融会贯通】 1．材料，一般的，若（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可转化为指数式，根据以上材料，解决下列问题： (1)计算： ， ， ； (2)猜想 （且，，）； (3)已知，求和的值．（且） 2．先阅读下列材料，再解答后面的问题． 一般地，若（且），则n叫做以a为底b的对数，记为（即）． 例如：，记为（即），则4叫做以3为底81的对数．可以记为． (1)①计算以下各对数的值：___________， _________，__________； ②、、之间的数量关系是____________________； (2)猜想一般性的结论：___________________（结果用含a，M，N的式子表示）（且），并写出证明过程． 3．在形如的式子中， 我们已经研究过两种情况：①已知和，求，这是乘方运算：②已知和，求，这是开方运算 ． 现在我们研究第三种情况： 已知和，求，我们把这种运算叫做对数运算 ． 定义： 如果，，，则叫做以为底的对数，记作：，例如： 求，因为，所以；又比如 ， ， (1)根据定义计算： ① ；② ；③如果，那么 ； (2)设，，则，，，、均为正数） ，， ， ，即这是对数运算的重要性质之一， 进一步， 我们还可以得出： ； （其 中、、、、均为正数，， (3)请你猜想： （，，、均为正数） 【一览众山小】 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．已知，那么值为（　　） A．1 B．2 C． D．3 4．已知，，则 ． 5．计算＝ ． 6．（1）若，则的值为 ； （2）若，则的值为 ． 7．计算： (1)若，，求的值． (2)若，求x的值． 8．解下列方程： (1)； (2)． 9．在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：“若，，求的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即，所以，所以． (1)若，，请你也利用逆向思考的方法求出的值； (2)下面是小豫用逆向思考的方法完成的一道作业题，请你参考小豫的方法解答下面的问题： 小豫的作业 计算：； 解：． ①小豫的求解方法逆用了幂的一条运算性质，请你用符号(字母)语言直接写出这条性质：___________． ②计算：． 10．找规律：观察算式 13＝1 13+23＝9 13+23+33＝36 13+23+33+43＝100 … （1）按规律填空） 13+23+33+43+…+103＝　 ； 13+23+33+43+…+n3＝　 ． （2）由上面的规律计算：113+123+133+143+…+503（要求：写出计算过程） （3）思维拓展：计算：23+43+63+…+983+1003（要求：写出计算过程） 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第7章 幂的运算思维导图 【类型覆盖】 类型一、同底数幂的乘法的逆用 【解惑】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂乘法法则的逆运算，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键．利用同底数幂乘法逆运算将变为，再提公因数计算即可． 【详解】解： ， 故选：B． 【融会贯通】 1．可以写成（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂的乘法逆运算法则，同底数幂的乘法底数不变指数相加．根据同底数幂的乘法底数不变指数相加的逆运算，可得答案． 【详解】解：原式 故选：D． 2．已知：，则 【答案】3 【分析】本题考查了同底数幂相乘的逆用，根据题意，得，解答即可． 【详解】解：， ∴， ∴ ∴， ∴， 解答． 故答案为：3． 3．已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查同底数幂的乘除法的运算及逆运算，掌握同底数幂的运算法则是解题的关键． （1）根据，可得出，再根据同底数幂的乘除法即可得出答案； （2）将转化为再得到，最后将代入，即可得出答案． 【详解】（1）∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）由（1）知， ∴的值 ． 类型二、同底数幂的除法的逆用 【解惑】若，，且，则x的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法的逆用，幂的乘方的逆用等知识点，根据同底数幂的乘除法和幂的乘方运算法则进行计算即可得解，熟练掌握同底数幂的乘除法和幂的乘方运算法则是解决此题的关键． 【详解】解：∵， 又∵，， ∴， ∴， 化简得， ∴， 故选：C． 【融会贯通】 1．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查幂的乘方的逆运算，同底数幂的除法的逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 先利用幂的乘方的逆运算法则和同底数幂的除法的逆运算法则将化简为，然后代入即可解答． 【详解】解：， ∵，， ∴， 故选：A． 2．已知，则的值是 ． 【答案】32 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算．由得，进而由同底数幂的乘除法的逆运算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：32． 3．已知，，，计算下列代数式： (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)15 (2) (3)400 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． （1）根据幂的乘方运算法则可得，再根据同底数幂的乘法法则计算即可； （2）由，根据同底数幂的除法法则以及幂的乘方运算法则计算即可； （3）根据积的乘方运算法则可得，再根据幂的乘方运算法则计算即可． 【详解】（1）解：，，． ． （2）解：． （3）解：． 类型三、幂的乘方的逆用 【解惑】若，则的值为（   ） A．3 B．5 C．10 D．15 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘法及其逆运算，掌握其运算法则是解题的关键． 根据题意可得，，运用幂的乘方的逆运算可得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意可得，， ∴， ∴， ∴ 故选：C ． 【融会贯通】 1．已知，，，则的值是（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方，熟练掌握同底数幂的乘除法和幂的乘方的计算法则是解题的关键．利用同底数幂乘除法的逆运算，将变形为，再代入数据计算即可． 【详解】解：， ， 又，， ． 故选：A． 2．若，则n的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查幂的乘方的逆运算及同底数幂相乘的逆运算，根据及求解即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， 即：， ∴，解得：， 故答案为：4． 3．将幂的运算逆向思维可以得到，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)若，，求的值． (2)若，求x的值． 【答案】(1)72 (2)3 【分析】本题考查同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算： （1）逆向运用幂的运算法则，将原式变形为，即可求解； （2）逆向运用幂的运算法则，将原式变形为，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵， ∴， 解得． 类型四、积的乘方的逆用 【解惑】计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查积的乘方的逆用，熟练掌握积的乘方是解题的关键；由题意得，进而求解即可． 【详解】解： ． 故选：A． 【融会贯通】 1．的个位数字是（   ） A．1 B．9 C．3 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了幂的运算，同底数幂乘法以及幂的乘方的逆运算是解题关键．先根据，确定的个位数字为1，再将变形为，即可得到答案． 【详解】解：， ， 的个位数字为1， ， 的个位数字是， 故选：C． 2．简便运算： 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，先根据同底数幂乘法的逆运算法则把原式变形为，再根据积的乘方的逆运算把原式进一步变形为，据此计算求解即可． 【详解】解； ， 故答案为：． 3．若（且是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查幂的运算，熟练掌握幂的相关运算法则，正确的列出方程是解题的关键： （1）先将等式左边化为底数为2的同底数幂的运算，根据题干给的结论得到关于的方程，进行求解即可； （2）逆用积的乘方法则，再根据题干给的结论进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 类型五、幂的结果为1的分类 【解惑】若，则x的取值有（　　）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】直接利用零指数幂的性质以及有理数的乘方运算法则得出答案． 【详解】解：， ∴当时，， ，即， 当时，，即， 故x的取值有2个， 故选：C． 【点睛】此题考查了零指数幂的性质以及有理数的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键． 【融会贯通】 1．观察等式（2a﹣1）a+2＝1，其中a的取值可能是（　　） A．﹣2 B．1或﹣2 C．0或1 D．1或﹣2或0 【答案】D 【分析】存在3种情况：一种是指数为0，底数不为0；第二种是底数为1，指数为任意值；第三种是底数为－1，指数为偶数，分别求解可得． 【详解】情况一：指数为0，底数不为0 即：a+2=0，2a－1≠0 解得：a=－2 情况二：底数为1，指数为任意值 即：2a－1=1 解得：a=1 情况三：底数为－1，指数为偶数 即：2a－1=－1，解得a=0 代入a+2=2，为偶数，成立 故答案为：D 【点睛】本题考查0指数和底数为±1的指数的特点，本题底数为－1的情况容易遗漏，需要关注． 2．已知，其中是整数，则 ． 【答案】3，1， 【分析】本题主要考查了零指数幂及有理数的乘方，解题的关键是掌握零指数幂和1的任何次幂都是1是解题的关键． 分三种情况讨论：①时，②时，③时，分别求解即可． 【详解】解：∵， ∴①当底数时， 解得：， ②当底数时， 解得：， ∴， ③当指数时， 解得：， ∴整数x的值是3，1，． 故答案为：3，1，． 3．解方程： 【答案】或 【分析】本题主要考查了指数幂、负整数指数幂，含绝对值的方程．分三种情况讨论，根据任何不为的数的次幂都等于可得关于的方程组，解方程组求出的值；时，求出结果即可． 【详解】解：， 当时， 由得：， 解得：， 由得：， ； 当时， 解得：， 此时有； 当时， 解得：， 此时有， 此时不成立； 故或． 类型六、幂的运算中的新定义运算 【解惑】新考法定义一种新的运算：若，则有，那么的值是（　　） A． B．5 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算、负指数幂的运算，绝对值的计算，解决本题的关键是牢记公式与定义，但其计算中容易出现符号错误，根据题意列出算式，求解即可． 【详解】解： ． 故选B． 【融会贯通】 1．对于任意正整数定义一种新运算：．比如，则．如果，那么的结果是（   ） A．2024 B． C． D．1012 【答案】C 【详解】，，． 2．我们定义：三角形，五角星； （1）＝ ； （2）若，则＝ ． 【答案】 27 32 【分析】此题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）按照规定的运算顺序进行计算即可； （2）先根已知条件和规定的运算得到，再利用规定的运算得到算式利用同底数幂的乘法和幂的乘方变形为，整体代入即可得到答案． 【详解】 解：（1）由题意得：， 故答案为：27； （2）∵＝4， ∴， ∴， ∴ 故答案为：32． 3．定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题． (1)求的值； (2)，求的值； (3)若运算的结果为，则t的值是多少？ 【答案】(1)96 (2)96 (3)2 【分析】（1）根据新定义进行计算即可求解； （2）根据同底数幂的乘法以及幂的乘方进行计算即可求解； （3）根据新定义得出，即可求解． 【详解】（1）解：依题意， （2）∵， ∴ ． （3）因为， 即， 即， 所以． 【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的乘方运算，同底数幂的乘法以及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 类型七、幂的运算的规律 【解惑】阅读下列各式：，，…… (1)发现规律：______，______． (2)应用规律： ①填空：______，______； ②计算：． 【答案】(1)， (2)①1，1；② 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，积的乘方的逆运算： （1）根据题意计算求解即可； （2）①利用积的乘方的逆运算求解即可； ②把原式变形为，进而求解即可． 【详解】（1）根据题意得，，； （2）①， ； ② ． 【融会贯通】 1．观察并验证下列等式： (1)续写等式： ；（写出最后结果） (2)我们已经知道，根据上述等式中所体现的规律，猜想结论：_______；（结果用因式乘积表示） (3)利用上述结论计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）观察所给的各式即可得到答案； （2）根据题干中已知等式知从开始的连续个整数的立方和等于这个数的和的平方，据此可得； （3）提公因式，进而根据题意进行计算即可求解． 【详解】（1）由题意可得： ； 故答案为：． （2）； 故答案为：． （3） 【点睛】本题考查积的乘方以及数字规律，涉及整式混合运算，有理数运算等知识，综合程度较高． 2．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式： 第4个等式：， …… 请根据以上规律，解决下列问题 (1)试写出第6个等式：___________； (2)请证明第4个等式． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）仿照给出的等式写出第6个等式即可； （2）设，则，，得出，求出，即可证明结论． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式： 第4个等式：， 第5个等式：， 第6个等式：； 故答案为：； （2）证明：设， ∴， 即， ∴， ∴，即． 【点睛】本题主要考查了数字规律探究，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法法则． 3．阅读材料：的末尾数字是，的末尾数字是，的末尾数字是，的末尾数字是，的末尾数字是，．．．．．．，观察规律，，的末尾数字是，的末尾数字是，的末尾数字是3，同理可知，的末尾数字是，的末尾数字是．解答下列问题： (1)的末尾数字是 ，的末尾数字是 ； (2)求的末尾数字． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据阅读材料中的结论可知的末尾数字，根据阅读材料中提供的方法，可得的末尾数字是，的末尾数字是，于是得解； （2）根据阅读材料中提供的方法可得的末尾数字是，从而得出结论． 【详解】（1）解：， 的末尾数字是， 的末尾数字是，的末尾数字是，的末尾数字是，， 的末尾数字是，的末尾数字是， 的末尾数字是， 故答案为：；； （2）的末尾数字是，的末尾数字是，的末尾数字是，的末尾数字是，的末尾数字是，， 的末尾数字是，的末尾数字是，的末尾数字是，的末尾数字是， ， 的末尾数字是 【点睛】本题考查了幂的运算，根据所给的题目总结规律，熟练掌握同底数幂的乘法，幂的乘方积的乘方是解答本题的关键 类型八、幂的运算中新定义运算 【解惑】如果．那么称为的劳格数，记为，由定义可知，和所表示的、两个量之间具有同一关系． (1)根据定义，填空：______． (2)劳格数有如下性质：，，根据运算性质。回答问题： ①______．（为正数） ②若．求、的值。 【答案】(1)1 (2)①2；②； 【分析】（1）根据新定义可知，和所表示的b、n两个量之间具有同一关系，再计算即可． （2）①根据，，据此求出算式的值是多少即可． ②首先根据，，求出的值是多少；根据计算即可． 【详解】（1）解：由新定义可得，， ∴； （2）解：① ； ②∵， ∴； 由题意得， ． 【点睛】此题主要考查了幂的定义，同底数幂的乘法和除法．解答此题的关键还要明确劳格数的含义和应用，要熟练掌握． 【融会贯通】 1．规定两数，之间的一种运算，记作，如果，则．我们叫为“雅对”．例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式，，，成立．证明如下： 设，，则，，故，则，即，，，． (1)根据上述规定，填空： ________；(________； (2)求证： 【答案】(1)4， (2)见解析 【分析】本题考查的是幂的乘方和积的乘方以及有理数的混合运算，掌握幂的乘方和积的乘方法则是解题的关键． （1）根据规定的两数之间的运算法则解答； （2）根据积的乘方法则，结合定义计算． 【详解】（1）解：， ， ， ， 故答案为：4；； （2）解：设，，， 则，，， ， ， ， 即． 2．定义：如果，那么为的“幸福指数”，记为．例如，那么2为的“幸福指数”，记为． (1)填空：______，（，______）． (2)若的“幸福指数”为，的“幸福指数”也为3，求的值． 【答案】(1)3，； (2) 【分析】本题考查幂的运算： （1）根据，那么为的“幸福指数”，记为直接求解即可得到答案； （2）根据，那么为的“幸福指数”，记为直接求解即可得到答案； 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 故答案为：3，； （2）解：∵的“幸福指数”为， ∴， ∵的“幸福指数”也为3， ∴， ∴， ∴． 3．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b），如果，那么． 例如：∵，∴．我们还可以利用此定义证明等式成立． 证明如下： 设，则． ∴． ∴，即． (1)根据上述规定，填空：＝______，＝______，＝______； (2)计算：_______________，并说明理由； (3)记，，，求证：． 【答案】(1)2，2，3 (2) (3)见解析 【分析】（1）按照题目给出的运算方法计算即可； （2）按照题目给出的运算方法计算即可； （3）按照题目给出的运算方法计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； 故答案为：2，2，3． （2）解： 设，则． ∴． ∴，即； 故答案为：． （3）解：因为，，， 所以， 因为， 所以， 所以即． 【点睛】本题考查了幂的运算和新定义运算，解题关键是准确理解题意，熟练运用幂的运算法则进行计算． 类型九、幂的运算的整除 【解惑】已知能被13整除，求证：能被13整除． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了逆用积的乘方、逆用幂的乘方等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 先逆用积的乘方、逆用幂的乘方对变形可得，然后结合能被13整除，能被13整除即可证明结论． 【详解】证明：． ∵能被13整除，能被13整除， ∴能被13整除,即能被13整除． 【融会贯通】 1．已知，． (1)当时，求的值； (2)当时，且x、y是整数，试说明的值能被8整除． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了整式的加减以及幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法等知识，熟知相关知识并根据题意灵活变形是解题关键． （1）先计算得到，再把代入即可求解； （2）先根据得到， 再计算得到变形为，即可证明的值能被8整除． 【详解】（1）解： ， 当时，； （2）解：， ， ， ， ． 当时，且x、y是整数，的值能被8整除． 2．能被整除吗？为什么？ 【答案】能被整除，原因见解析 【分析】根据幂的乘方可得，，，进而利用幂的乘方运算化简可得，即可求解． 【详解】，，， 所以 所以能被45整除. 【点睛】本题考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方的运算法则是解题的关键． 3．阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，......，观察规律，，∵的末尾数字是1，∴的末尾数字是1，∴的末尾数字是3，同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7．解答下列问题： (1)的末尾数字是 ，的末尾数字是 ； (2)求的末尾数字； (3)求证：能被5整除． 【答案】(1)3，6； (2)4； (3)证明见解析． 【分析】（1）根据阅读材料中的结论可知的末尾数字；根据阅读材料中提供的方法，可得的末尾数字是4，的末尾数字是6，于是得解； （2）先将化成，再利用的末尾数字是6，从而得出结论； （3）分别证明的末尾数字为6和的末尾数字9，则命题即可得证． 【详解】（1）解：， 的末尾数字为3； 的末尾数字是4，的末尾数字是6，的末尾数字是4，… 的末尾数字是4，的末尾数字是6， 的末尾数字是6； 故答案为：3，6； （2）解：， ∵的末尾数字是6， ∴的末尾数字是4； （3）证明：∵的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6，的末尾数字是2，… 的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6， 的末尾数字为6； 同理可得： 的末尾数字7，的末尾数字9，的末尾数字3，的末尾数字1； 的末尾数字9， ∴的末尾数字是5， ∴能被5整除． 【点睛】此题是一道阅读理解题，主要考查了幂的运算、数的整除，熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方法则是解答此题的关键． 类型十、延伸拓展——对数 【解惑】一般的，若（且），那么x叫做以a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可转化为指数式，根据以上材料，解决下列问题： (1)计算： ， ， ； (2)观察（1），猜想： （且，，）； (3)已知，求的值（且） 【答案】(1)2，4，6 (2) (3) 【分析】本题考查整式的混合运算、对数与指数之间的关系与相互转化的关系，解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系与相互转化关系． （1）根据，，写成对数式； （2）设，，根据对数的定义可表示为指数式为：，，据此计算即可； （3）由，得，再根据同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：，，， ；； 故答案为：2；4；6； （2）设，， 则，， ， 根据对数的定义，， 即； 故答案为：． （3）由，得， ， 根据对数的定义，． 【融会贯通】 1．材料，一般的，若（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可转化为指数式，根据以上材料，解决下列问题： (1)计算： ， ， ； (2)猜想 （且，，）； (3)已知，求和的值．（且） 【答案】(1)2；4；6 (2) (3)； 【分析】本题考查同底数幂的乘法，理解题中定义，弄懂对数式与指数式的关系以及相互转化的关系是解答的关键． （1）根据题中定义求解即可； （2）设，，根据题中定义将对数式转化为指数式，利用同底数幂的乘法法则求解即可； （3）利用（2）中结论求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，，， 故答案为：2；4；6． （2）解：设，， 则，， ∴，， 即， 故答案为：； （3）解：由（2）知，， ∵， ∴ ． 2．先阅读下列材料，再解答后面的问题． 一般地，若（且），则n叫做以a为底b的对数，记为（即）． 例如：，记为（即），则4叫做以3为底81的对数．可以记为． (1)①计算以下各对数的值：___________， _________，__________； ②、、之间的数量关系是____________________； (2)猜想一般性的结论：___________________（结果用含a，M，N的式子表示）（且），并写出证明过程． 【答案】(1)①2，4，6；② (2)，证明见解析 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算． （1）①根据材料叙述，结合，，即可得出答案； ②根据①的答案可得出、、之间满足的关系式； （2）设，，则，分别表示出及的值，即可得出猜想． 【详解】（1）解：①∵，，， ∴，，； 故答案为：2，4，6； ②∵， ∴； 故答案为：； （2）解：猜想． 证明：设，，则， 故可得，， 即． 故答案为：． 3．在形如的式子中， 我们已经研究过两种情况：①已知和，求，这是乘方运算：②已知和，求，这是开方运算 ． 现在我们研究第三种情况： 已知和，求，我们把这种运算叫做对数运算 ． 定义： 如果，，，则叫做以为底的对数，记作：，例如： 求，因为，所以；又比如 ， ， (1)根据定义计算： ① ；② ；③如果，那么 ； (2)设，，则，，，、均为正数） ，， ， ，即这是对数运算的重要性质之一， 进一步， 我们还可以得出： ； （其 中、、、、均为正数，， (3)请你猜想： （，，、均为正数） 【答案】(1)①4 ；②0 ；③2 (2) (3) 【分析】此题考查了同底数幂的乘法及除法逆运算， 弄清题中的新定义是解本题的关键 ． （1） 各项根据题中的新定义计算即可得到结果； （2） 利用对数的运算法则变形即可得到结果； （3） 利用已知的新定义化简即可得到结果 ． 【详解】（1）解： ① ； ② ； ③， ； 故答案为：4，0，2； （2）解：； 故答案为：； （3）解：设，，则，，（且，、均为正数） ， ， ，则， ， 故答案为：． 【一览众山小】 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了合并同类项、积的乘方、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据合并同类项、积的乘方、幂的乘方、同底数幂的除法分别进行判断即可． 【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意； B．，故选项正确，符合题意； C．，故选项错误，不符合题意； D．，故选项错误，不符合题意． 故选：B． 2．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂除法的逆用、幂的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键．根据同底数幂除法的逆用、幂的乘方的逆用可得，代入计算即可得． 【详解】解：∵ ∴ ， 故选：B． 3．已知，那么值为（　　） A．1 B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查幂的乘方及积的乘方的逆用，根据幂的乘方和积的乘方逆用得出，再进行变形即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，即，， ∴，即， ∴， ∴， 故选：A． 4．已知，，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法，先根据同底数幂的乘法法则计算得出，再根据同底数幂的除法法则计算即可得解． 【详解】.解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 5．计算＝ ． 【答案】 【分析】本题主要考查积的乘方，利用积的乘方的法则进行求解即可． 【详解】解： 故答案为：． 6．（1）若，则的值为 ； （2）若，则的值为 ． 【答案】 4 【分析】此题主要考查了同底数幂的乘除、幂的乘方与积的乘方运算． （1）直接利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案； （2）直接利用同底数幂的除法运算法则将原式变形得出答案． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴ ， 故答案为：4． 7．计算： (1)若，，求的值． (2)若，求x的值． 【答案】(1)18 (2) 【分析】（1）利用幂的乘方和同底数幂的乘法法则进行变形，再利用整体代入计算即可； （2）把变形为，得到关于x的方程，解方程即可得到答案； 熟练掌握幂的乘方、同底数幂的乘法法则，并利用整体思想是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵． ∴， 解得 8．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，解一元一次方程，熟练掌握同底数幂的乘法，幂的乘方法则是解答本题的关键． （1）先根据同底数幂的乘法，幂的乘方法则变形，得出关于x的一元一次方程求解； （2）先根据同底数幂的乘法，幂的乘方法则变形，得出关于x的一元一次方程求解． 【详解】（1）解：原方程可化为， 整理，得， 所以， 解得． （2）解：原方程可化为， 整理，得，即， 所以， 解得． 9．在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：“若，，求的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即，所以，所以． (1)若，，请你也利用逆向思考的方法求出的值； (2)下面是小豫用逆向思考的方法完成的一道作业题，请你参考小豫的方法解答下面的问题： 小豫的作业 计算：； 解：． ①小豫的求解方法逆用了幂的一条运算性质，请你用符号(字母)语言直接写出这条性质：___________． ②计算：． 【答案】(1)4 (2)①，② 【分析】本题考查了积的乘方运算，同底数幂的除法运算，熟练掌握积的乘方运算，同底数幂的除法运算法则是解题的关键． （1）逆向运用幂的乘方运算法则，同底数幂的除法运算法则，即可得出答案； （2）①逆向运算积的乘方运算法则填空即可； ②逆向运用积的乘方公式和同底数幂公式计算即可． 【详解】（1）解： ， ． ， ， ； （2）①小豫的求解方法逆用了积的乘方运算性质，即， 故答案为：； ② ． 10．找规律：观察算式 13＝1 13+23＝9 13+23+33＝36 13+23+33+43＝100 … （1）按规律填空） 13+23+33+43+…+103＝　 ； 13+23+33+43+…+n3＝　 ． （2）由上面的规律计算：113+123+133+143+…+503（要求：写出计算过程） （3）思维拓展：计算：23+43+63+…+983+1003（要求：写出计算过程） 【答案】（1）；；（2）1622600；（3） 【分析】（1）观察等式右边都是平方数，且底数正好是等式左边各底数的和，依此规律类推可分别解决以上两个问题； （2）由于上面的等式都是从底数是1开始的，所以可以把该式子前面的部分从1开始补上，再把补上的部分减掉即可； （3）该式中的底数并不是题干中所给出的从1开始的连续整数，因此不能直接用上述规律解题，但该式中的底数却都是从1开始的连续整数的2倍，因此提出2后，各项都含有，逆用乘法分配律即可解决问题． 【详解】解：（1）13+23+33+43+…+103＝（1+2+3+4+…+10）2＝； 13+23+33+43+…+n3＝（1+2+3+4+…+n）2＝； （2）113+123+133+143+…+503＝（13+23+33+43+…+503）-（13+23+33+43+…+103） ＝ ＝1622600； （3）23+43+63+…+983+1003＝（2×1）3+（2×2）3+（2×3）2+（2×4）3+…+（2×50）3＝23×（13+23+33+43+…+503） ＝23×＝． 【点睛】本题属于数式规律题，考查了学生对数的观察和分析的能力，首先学生应对平方数有一定的认识和感知力，这样才能迈出解决问题的第一步，其次学生要学会对不同的数进行关联，通过它们的和差积商中的一种或多种组合找到它们的联系，才能得出这道题的规律，建议在学习过程中多积累相关经验，发散思维，提高解决该类问题的效率． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$