第7章 幂的运算（基础+中等类型）-2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版2024新教材）

第7章 幂的运算思维导图 【类型覆盖】 类型一、同底数幂的乘法运算 【解惑】若，则的值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 【融会贯通】 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂相乘、合并同类项等知识点，掌握同底数幂相乘、底数不变、指数相加成为解题的关键． 根据相同底数幂相乘、合并同类项的知识逐项分析即可解答． 【详解】解：A、，故该选项是错误的，不符合题意； B、，故该选项是错误的，不符合题意； C、，故该选项是正确的，符合题意； D、，故该选项是错误的，不符合题意； 故选：C． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法， 根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 3．计算： （结果用幂的形式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 根据同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 类型二、同底数幂的除法运算 【解惑】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了同底数幂的乘除法，积的乘方以及幂的乘方．根据同底数幂的乘除法，积的乘方以及幂的乘方，对选项逐个判断即可． 【详解】解：，A选项错误，不符合题意； ，B选项正确，符合题意； ，C选项错误，不符合题意； ，D选项错误，不符合题意； 故选：B． 【融会贯通】 1．已知，求的值是（   ） A．9 B．8 C．6 D．5 【答案】A 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的除法，根据幂的乘方法则和同底数幂的除法法则，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故选A． 2．若， ，则 的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键，根据幂的乘方，可得同底数幂的除法，根据同底数幂的除法，可得答案． 【详解】解：， ， 故答案为∶1． 3．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的运算，掌握幂的乘方法则、同底数幂的乘法和除法法则、一元一次方程的解法等知识点是解决本题的关键．先逆用幂的乘方法则把、化为底数为3的幂的形式，再利用同底数幂的乘法和除法法则计算得方程，求解即可． 【详解】解：，， ，即， 故答案为：3． 类型三、幂的乘方运算 【解惑】下列计算正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，去括号等知识点，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． 根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、去括号法则逐项分析判断即可． 【详解】解：A．，原计算错误，故选项不符合题意； B．，原计算错误，故选项不符合题意； C．，计算正确，故选项符合题意； D．，原计算错误，故选项不符合题意； 故选：C． 【融会贯通】 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了幂的乘方运算，掌握幂的乘方运算法则：底数不变，指数相乘，是解题的关键．根据幂的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：． 故选：B． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．已知，则的值为 ． 【答案】16 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法，根据得，将变形为即可求解． 【详解】解：， ， ， 故答案为：16． 类型四、积的乘方运算 【解惑】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键．根据积的乘方与幂的乘方法则计算即可得． 【详解】解：， 故选：C． 【融会贯通】 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查幂的乘方与积的乘方运算，科学记数法的表示方法，先进行幂的乘方与积的乘方运算，再化为科学记数法的形式即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：B． 2．计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方，解题的关键是掌握积的乘方法则：等于积中每一个因式分别乘方再相乘．据此解答即可． 【详解】解：． 故答案为：． 3．计算： ． 【答案】0 【分析】本题考查了整式的运算，根据积的乘方法则、幂的乘方法则、同底数幂相乘法则、合并同类项法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：0． 类型五、零指数幂 【解惑】下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了零指数幂的概念．熟练掌握零指数幂的概念是解题的关键． 零指数幂的概念：任何非零数的0次方都等于1．据此来判断每个选项是否正确． 【详解】解：选项A：当时，，故该选项错误； 选项B：无意义，故该选项错误； 选项C：成立的条件是，故该选项错误； 选项D：，，，故该选项正确； 故选D． 【融会贯通】 1．计算的结果为（    ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】C 【分析】本题考查零指数幂，解题的关键是掌握任何一个不等于零的数的零次幂都等于1．根据零指数幂法则可以直接得出答案． 【详解】解：， 故选：C． 2．计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查了零指数幂．熟练掌握零指数幂是解题的关键．根据零指数幂求解作答即可． 【详解】解：． 故答案为：1． 3．若，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了零指数幂“任何不等于0的数的0次幂都等于1”，熟记零指数幂的定义是解题关键．根据0次幂的底数不能为0求解即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 类型六、负整数指数幂 【解惑】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了零指数幂，负指数幂，正确掌握零指数幂，负指数幂的运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，故选项错误，不符合题意； B、，故选项错误，不符合题意； C、，故选项正确，符合题意； D、，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 【融会贯通】 1．计算，并把结果化为只含有正整数指数幂的形式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方和积的乘方，负整数指数幂，熟练掌握这些运算法则是解题的关键． 根据幂的乘方和积的乘方，负整数指数幂的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 故选：C． 2．如无意义，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了负整数指数幂，由已知无意义，可知，然后代入求值． 【详解】解：∵无意义， ∴， ∴， ∴． 故答案为4． 3．将分式表示成不含分母的形式 ． 【答案】 【分析】本题主要考查负指数幂的运算，根据负指数幂的意义进行变形即可． 【详解】解：． 故答案为：． 类型七、科学记数法 【解惑】“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”．一粒米的质量约0.000021千克，则数据0.000021用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】解：数据0.000021用科学记数法表示为． 故选：D． 【融会贯通】 1．人体红细胞的直径约为0.0000077米，将0.0000077用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：将0.0000077用科学记数法可表示为， 故选：B． 2．某种微生物的平均质量为克，数据用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法的表示，掌握运用科学记数法表示绝对值小于1的数的方法，正确确定的值是解题的关键． 运用科学记数法表示绝对值小于1的数的方法，表示形式为，n的取值方法：当原数的绝对值小于1时，把原数变为a，小数点向右移动位数的相反数就是n的值，由此即可求解． 【详解】解： 故答案为： ． 3．把的结果用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，科学记数法，掌握有理数的乘方运算法则，科学记数法的表示方法是解题的关键． 运用有理数的乘法运算法则，再根据科学记数法的表示形式，确定的值即可求解．确定n的值的方法：当原数的绝对值时，把原数变为a，n的值与小数点向左移动位数相同；当原数的绝对值时，把原数变为a，n的值与小数点向右移动位数的相反数相同． 【详解】解： 故答案为： ． 类型八、幂的运算中比较大小 【解惑】已知，，，，则 a、b、c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数乘方的应用，解决本题的关键是熟记有理数的乘方法则．应先将化为指数都为11的乘方形式，再比较底数的大小，即可确定出的大小． 【详解】解：， ， 故选：A 【融会贯通】 1．若，，，则a，b，c的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了幂的乘方运算，熟练掌握幂的乘方法则是解答本题的关键． 先把81，27，9转化为底数为3的幂，再根据幂的乘方运算进行化简，然后根据指数的大小即可判断． 【详解】解：∵, , , ∵， ∴． 故选：A． 2．若，，，则a、b、c的大小关系是 （用“＜”连接）． 【答案】 【分析】此题考查了零指数幂、负整数指数幂、乘方等知识．根据相关法则计算后即可得到答案． 【详解】解：，，， ∵， ∴， 故答案为： 3．阅读下列材料，回答问题． 下面是底数大于1的数比较大小的两种方法． ①比较和的大小． 当时，，即当底数相同时，指数越大值越大． ②比较和的大小． 解：，，，，． 即指数相同时，底数越大值越大． (1)比较和的大小； (2)已知，，则a___________b．（选填“>”“=”或“<”） 【答案】(1) (2)> 【分析】本题主要考查了实数的大小比较以及乘方的运用，解题关键是熟练掌握幂的乘方法则． （1）先把底数9写成底数是3的幂，然后比较指数的大小，从而比较这两个数的大小； （2）先逆用幂的乘方法则，把幂写成指数相同的幂，然后根据底数越大，幂就越大，进行比较即可． 【详解】（1）解：（1）∵， ∴， ∴； （2）解：∵， 又， ∴， 即 ∴， 故答案为：． 类型九、幂的混合运算 【解惑】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)（为正整数）． 【答案】(1) (2)0 (3) (4) (5) 【分析】本题考查同底数幂的乘法，同底数的幂相乘，底数不变，指数相加，掌握运算法则并正确进行符号运算是解题的关键． （1）直接根据同底数幂的运算法则进行计算即可； （2）先根乘方的法则确定各项的正负，再根据同底数幂的运算法则进行计算即可； （3）直接根据同底数幂的运算法则进行计算即可； （4）先根乘方的法则确定各项的正负，再根据同底数幂的运算法则进行计算即可； （5）先根乘方的法则确定各项的正负，再根据同底数幂的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）原式； （2）原式； ； （3）原式； （4）原式； （5）原式（n为正整数）． ． 【融会贯通】 1．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、零指数幂以及幂的混合运算． （1）先计算负整数幂，零指数幂，化简绝对值，最后再计算加减法． （2）先计算同底数幂的乘除法，幂的乘方运算以及积的乘方运算，最后再合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2） ． 2．计算： (1)； (2) (3)； (4)． 【答案】(1)a (2) (3)6 (4) 【分析】本题考查了整式的加减乘除混合运算，零指数幂，绝对值，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据同底数幂乘除法法则进行计算即可； （2）首先根据，再根据同底数幂乘法法则进行计算即可； （3）根据绝对值的意义，零指数与负整数指数幂的意义进行即可； （4）根据幂运算性质进行运算，最后合并同类项即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； 3．（1）已知，求的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了积的乘方运算，幂的乘方运算，同底数幂相乘，同底数幂相除，代数式求值，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据积的乘方运算法则进行运算，然后再进行变形，整体代入求值即可； （2）先根据得出，再将变形，然后整体代入求值即可． 【详解】解：（1） ， 把代入得：原式． （2）∵， ∴， ∴ ． 类型十、化简求值 【解惑】先化简，再求值：其中． 【答案】，4 【分析】本题考查整式的化简求值，根据幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方运算法则化简原式，然后代值求解即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 【融会贯通】 1．先化简，再求值：，其中． 【答案】，6 【分析】本题考查了幂的混合运算，先根据幂的乘方、同底数幂相乘，零次幂法则进行化简，再合并同类项，得出，然后把代入，进行计算，即可作答． 【详解】解： 把代入， 得 2．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整数指数幂的混合运算，涉及积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘除法，负整数指数幂；先利用积的乘方，再利用幂的乘方、同底数幂的乘除法计算，最后代入求值即可． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 3．先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值．先算乘方，再算乘法，后算加减，然后把，的值代入化简后的式子进行计算即可解答． 【详解】解： ， 当，时，原式． 【一览众山小】 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法法则逐项计算即可求解． 【详解】解：A．，正确，符合题意；     B．与不是同类项，不能合并，不符合题意；     C．，故不正确，不符合题意； D．，故不正确，不符合题意． 故选A． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 2．已知，则（    ） A．10 B．7 C．3 D．25 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的乘法的逆用，逆用同底数幂的乘法进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故选A． 3．神舟十七号载人飞船航天员在空间站进行了一系列科学实验，其中包括“空间蛋白质分子组装与应用研究”．在此研究中，观测到某一蛋白质分子的直径仅为米，这个数用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】解：用科学记数法表示为． 故选：B． 4．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和幂的乘方运算，先逆用同底数幂的乘法和幂的乘方法则变形，然后把，代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：72． 5．计算： ． 【答案】/1.5 【分析】逆用公式解答即可． 本题考查了积的乘方的逆应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为：． 6．若，，，则a、b、c的大小关系是 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查幂的乘方逆用，根据幂的乘方的计算方法得到即可． 【详解】解：∵，，，而， ∴， 即， 故答案为：． 7．计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法运算以及积的乘方的逆运算． （1）根据同底数幂的乘法运算计算即可． （2）根据积的乘方的逆运算进行拆分求解即可． （3）把变成，然后根据同底数幂的乘法运算计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 8．已知 (1)求的值． (2)若用含x的代数式表示y值． (3)求 【答案】(1)1 (2) (3)2 【分析】本题考查了同底数幂相除的逆运用，幂的乘方，积的乘方，同底数幂相乘等运算法则，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理，再分别代入进行计算，即可作答． （2）运用幂的乘方得出，再代入，进行化简，即可作答． （3）先整理出，，然后得出，即，再结合，把代入求值，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴ ． （2）解：∵ ∴ （3）解：∵ ∴， 即， ∵ ∴ 即， ∴，得， 即， ∴， ． 9．我们知道，同底数幂的乘法法则为：（其中为正整数），类似地，我们规定关于任意正整数的一种新运算：，请根据这种新运算解决下列问题： (1)若，求的值． (2)若，求的值．（用含和的代数式表示，其中为正整数） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是同底数幂的乘法和新定义运算，正确理解新定义，将把新运算化成常规运算是解题的关键． （1）将变形为，再根据定义新运算进行计算即可； （2）根据，及定义新运算将原式变形为，再根据同底数幂乘法法则计算求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ = = =． （2）解：∵，， ∴ ∴ …… ∴ ∴ =． 10．解决下面问题． (1)计算下列各组数后再比较大小： ①______， ②______， ③______，； (2)通过上述计算，猜一猜：______，归纳得出公式：______； (3)请逆用上述公式计算：． 【答案】(1)①；②；③ (2)， (3) 【分析】本题考查的是有理数乘方的法则，积的乘方逆用法则，解答此题的关键是根据（1）中各数的特点找出规律，再根据此规律进行解答． （1）根据有理数的乘方的定义解答即可； （2）根据（1）中的各数的值找出规律即可解答； （3）根据（2）中的规律计算即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ②∵， ∴， ③∵， ∴； （2）解：由（1）可猜想∶， 归纳得出公式∶； （3）解： ． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第7章 幂的运算思维导图 【类型覆盖】 类型一、同底数幂的乘法运算 【解惑】若，则的值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【融会贯通】 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．计算： （结果用幂的形式表示）． 类型二、同底数幂的除法运算 【解惑】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．已知，求的值是（   ） A．9 B．8 C．6 D．5 2．若， ，则 的值为 ． 3．若，则 ． 类型三、幂的乘方运算 【解惑】下列计算正确的是（   ）． A． B． C． D． 【融会贯通】 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．已知，则的值为 ． 类型四、积的乘方运算 【解惑】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．计算的结果为 ． 3．计算： ． 类型五、零指数幂 【解惑】下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．计算的结果为（    ） A． B．0 C．1 D．3 2．计算： ． 3．若，则m的取值范围是 ． 类型六、负整数指数幂 【解惑】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．计算，并把结果化为只含有正整数指数幂的形式为（　　） A． B． C． D． 2．如无意义，则 ． 3．将分式表示成不含分母的形式 ． 类型七、科学记数法 【解惑】“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”．一粒米的质量约0.000021千克，则数据0.000021用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．人体红细胞的直径约为0.0000077米，将0.0000077用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 2．某种微生物的平均质量为克，数据用科学记数法表示为 ． 3．把的结果用科学记数法表示为 ． 类型八、幂的运算中比较大小 【解惑】已知，，，，则 a、b、c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．若，，，则a，b，c的大小关系是（　　） A． B． C． D． 2．若，，，则a、b、c的大小关系是 （用“＜”连接）． 3．阅读下列材料，回答问题． 下面是底数大于1的数比较大小的两种方法． ①比较和的大小． 当时，，即当底数相同时，指数越大值越大． ②比较和的大小． 解：，，，，． 即指数相同时，底数越大值越大． (1)比较和的大小； (2)已知，，则a___________b．（选填“>”“=”或“<”） 类型九、幂的混合运算 【解惑】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)（为正整数）． 【融会贯通】 1．计算： (1) (2) 2．计算： (1)； (2) (3)； (4)． 3．（1）已知，求的值． （2）已知，求的值． 类型十、化简求值 【解惑】先化简，再求值：其中． 【融会贯通】 1．先化简，再求值：，其中． 2．先化简，再求值：，其中． 3．先化简，再求值：，其中． 【一览众山小】 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则（    ） A．10 B．7 C．3 D．25 3．神舟十七号载人飞船航天员在空间站进行了一系列科学实验，其中包括“空间蛋白质分子组装与应用研究”．在此研究中，观测到某一蛋白质分子的直径仅为米，这个数用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 4．若，，则 ． 5．计算： ． 6．若，，，则a、b、c的大小关系是 ．（用“”连接） 7．计算： (1)． (2)． (3)． 8．已知 (1)求的值． (2)若用含x的代数式表示y值． (3)求 9．我们知道，同底数幂的乘法法则为：（其中为正整数），类似地，我们规定关于任意正整数的一种新运算：，请根据这种新运算解决下列问题： (1)若，求的值． (2)若，求的值．（用含和的代数式表示，其中为正整数） 10．解决下面问题． (1)计算下列各组数后再比较大小： ①______， ②______， ③______，； (2)通过上述计算，猜一猜：______，归纳得出公式：______； (3)请逆用上述公式计算：． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$