7.3同底数幂的除法 -2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版2024新教材）

7.3同底数幂的除法 1.同底数幂的除法法则 同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（≠0，都是正整数，并且） 注：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算. （2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式. （3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质. （4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式. 2.零指数幂 任何不等于0的数的0次幂都等于1.即（≠0） 注：底数不能为0，无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式. 3.负整数指数幂 任何不等于零的数的（为正整数）次幂，等于这个数的次幂的倒数，即（≠0，是正整数）. 引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的幂的运算性质仍然成立. （、为整数，）； （为整数，，） （、为整数，）. 注：是的倒数，可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数式.例如（），（）. 4.科学记数法的一般形式 （1）把一个绝对值大于10的数表示成的形式，其中是正整数， （2）利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即的形式，其中是正整数，. 用以上两种形式表示数的方法，叫做科学记数法。 巩固课内例1:同底数幂的除法 1．若，则■表示的运算符号为（   ） A．+ B．－ C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的除法运算，掌握其运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的除法运算法则即可求解． 【详解】解：∵， ∴■表示的运算符号为， 故选：D ． 2．计算：若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查同底数幂的除法，掌握同底数幂的除法运算法则是解题的关键．根据同底数幂相除，底数不变指数相减求值即可． 【详解】已知， 则， 故答案为：． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用同底数幂的除法进行运算； （2）先将底数均化为，再利用同底数幂的除法运算． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 【点睛】本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握相关运算规则是解题的关键． 巩固课内例2:负次幂化为小数或分数 1．将数化为小数是（    ） A．0.000035 B．0.0000035 C．0.00000035 D．0.000000035 【答案】C 【分析】此题考查了用科学记数法表示的原数．将科学记数法表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把的小数点向左移动位所得到的数．把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法．科学记数法的标准形式为，为整数）．本题把数据中3.5的小数点向左移动7位就可以得到． 【详解】解：把数据中3.5的小数点向左移动7位就可以得到，为0.00000035． 故选：C 2．用分数表示： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了负整数指数幂．根据负整数指数幂，即可求解． 【详解】解：． 故答案为： 3．用小数表示下列各数： （1）；      （2）；       （3）． 【答案】（1）0.0085；（2）0.0000000225；（3）0.0000903 【分析】（1）8.5的小数点向左移动3位，即可得出答案； （2）2.25的小数点向左移动8位，即可得出答案； （3）9.03的小数点向左移动5位，即可得出答案． 【详解】解：（1）8.5×10﹣3＝0.0085； （2）2.25×10﹣8＝0.0000000225； （3）9.03×10﹣5＝0.0000903． 【点睛】本题考查写出用科学记数法表示的原数．将科学记数法a×10﹣n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向左移动n位所得到的数． 巩固课内例3:幂的乘方与积的乘方负次幂 1．计算的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了幂的混合运算，掌握幂的运算性质是解题的关键；先计算积的乘方，再计算同底数幂的乘法，最后把负整数指数幂化为正整数指数幂即可． 【详解】解：； 故选：C． 2．计算： 【答案】 【分析】本题考查了负指数幂的运算规则，即一个数的负指数幂等于这个数的正指数幂的倒数．熟练掌握负指数幂的运算规则是解题的关键． 根据负指数幂的运算规则即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的乘除法运算及负整数指数幂、分式的性质等知识点，熟练掌握其运算法则是解题的关键． （1）先计算积的乘方，再计算单项式乘除法即可解答． （2）先计算积的乘方，再根据同底数幂的乘法和单项式除法、负整数指数幂即可解答． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 巩固课内例4:用科学记数法表示负次幂 1．用科学记数法表示0.0002024下列数正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：． 故选：C． 2．一张新版百元人民币的厚度约为0.00009米，数据“0.00009”用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．由此即可解答． 【详解】解：， 故答案为∶ ． 3．用科学记数法表示： (1)0.00003； (2)； (3)0.0000314． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．据此求解即可． （1）中，将小数点向右移动5位，到3后面，得出结果； （2）中，将小数点向右移动6位，到6后面，得出结果； （3）中，将小数点向右移动5位，到3后面，得出结果； 【详解】（1） （2） （3） 巩固课内例5:科学记数法负次幂中的应用 1．祖国主权，寸土不让．钓鱼岛列岛是我国自古以来的固有领土，共由个主岛组成，其中最小的主岛是飞屿，面积约为平方公里，请用科学记数法表示飞屿的面积约为（   ）平方公里． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是熟记科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数． 【详解】解：将用科学记数法表示为． 故选：C． 2．2018年2月18日，清朝袁枚的一首诗《苔》被乡村老师梁俊和山里的孩子小梁在《经典咏流传》的舞台重新唤醒．“白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为米，用科学记数法表示米，用科学记数法，则n的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，为整数． 【详解】解：，则． 故答案为：． 3．一块正方体铁块的棱长为． (1)这块正方体铁块的体积是多少立方米（用科学记数法表示）？ (2)如果有一种小正方体铁块的棱长为，那么需要多少块这样的小正方体铁块才可以摆成棱长为的大正方体铁块? 【答案】(1)立方米 (2)块 【分析】本题考查了有理数的乘方的应用，科学记数法，积的乘方的应用，同底数幂的除法的应用，准确理解题意，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据正方体的体积公式列式计算即可； （2）先算出小正方体的体积，用大正方体的体积除以小正方体的体积即可． 【详解】（1）解：（立方米）， 答：这块正方体铁块的体积是立方米； （2）解：（立方米）， （个）， 答：需要1000块这样的小正方体铁块． 巩固课内例6:单位换算之间的负次幂 1．纳米技术是一种高新技术，纳米（）是非常小的长度单位，，则将数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据题意计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选： B． 2．芯片是手机、电脑等高科技产品的核心部件，目前我国芯片已可采用14纳米工艺．已知14纳米为米，数据用科学记数法表示为 米． 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数．熟练掌握科学记数法的表示方法：（，n为整数）是解题的关键．根据科学记数法的表示方法，进行表示即可． 【详解】解：； 故答案为：． 3．科学家研究发现，一个水分子的质量大约是，约有多少个水分子？ 【答案】个 【分析】首先把单位化统一，再利用可得水中大约有多少个水分子． 【详解】解：∵， ∴（个）． ∴水中大约有个水分子． 【点睛】本题考查了科学记数法的有关知识，解决本题的关键是熟知用科学记数法表示较小数． 类型一、同底数幂的简单除法运算 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法，积的乘方，幂的乘方，根据同底数幂的乘除法，积的乘方，幂的乘方的计算法则求解即可． 【详解】解：A、，故选项计算错误，不符合题意； B、，故选项计算错误，不符合题意； C、，故选项计算正确，符合题意； D、，故选项计算错误，不符合题意． 故选：C． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的除法运算，直接运算，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 3．已知，求的值． 【答案】 【分析】题中给出了，根据同底数幂相除，底数不变指数相减的性质，整理成已知条件的形式，然后代入计算即可． 【详解】解：由， 得， ∴， 故的值是． 【点睛】本题考查同底数幂的除法，掌握同底数幂的除法的运算法则是解题的关键． 类型二、零指数幂 1．的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了零指数幂，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：． 故选：C． 2．计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查零指数幂．先根据零指数幂的运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：1． 3．计算． 【答案】 【分析】先算平方，负指数幂和0指数幂，再进行加减计算即可. 【详解】解：     【点睛】本题主要考查了平方运算和负指数幂和0指数幂的运算，正确的计算是解题的关键. 类型三、负整数幂 1．计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是整数指数幂的运算，负整数指数幂的含义，先计算积的乘方，再按照同底数幂的乘法运算法则计算即可. 【详解】解：， 故选：C 2． ． 【答案】9 【分析】本题考查实数的运算，利用零指数幂，负整数指数幂及有理数的乘法法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：9． 3．计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，先计算绝对值及小括号内的减法运算，再进行有理数的乘方及负整数指数幂的运算，然后是有理数的乘法运算，最后进行加减运算即可．解题的关键是明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． 【详解】解： ． 类型四、科学记数法 1．已知一粒米的重量约千克，将数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键； 根据科学记数法的表示方法表示即可求解； 【详解】解：； 故选：C 2．五一节后，迎来了第二波新冠病毒感染的高峰期，已知新冠病毒变异毒株奥密克戎直径约为0.00000012米，用科学记数法表示数据0.00000012为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数．用科学记数法表示绝对值小于1的数，将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数． 【详解】解：0.00000012用科学记数法表示为， 故答案为：． 3．一个正方体集装箱的棱长为米． (1)这个集装箱的体积是多少？（用科学记数法表示） (2)若有一个小立方块的棱长为米，则需要多少个这样的小立方块才能将集装箱装满？ 【答案】(1)这个集装箱的体积是； (2)需要个小立方块才能将集装箱装满． 【分析】本题考查的知识点是用科学记数法表示绝对值小于的数、同底数幂的除法运算，解题关键是熟练掌握同底数幂的除法运算． （1）先根据正方体体积的计算方法求出集装箱体积，再根据科学记数法进行转换即可； （2）根据小立方体的个数正方体集装箱体积小立方块体积和同底数幂相除法则即可求解． 【详解】（1）解：正方体集装箱的棱长为米， 该集装箱的体积为． 答：该集装箱的体积为． （2）解：小立方块的棱长为米， 装满集装箱需要个小立方块． 答：需要个小立方块才能将集装箱装满． 类型一、同底数幂除法的逆用 1．若，，则的值为（   ） A． B． C． D．19 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的除法运算公式的逆用，由同底数幂的除法得，即可求解；能逆用（）进行运算是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：A． 2．若，，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了同底数幂的除法，根据同底数幂相除，底数不变，指数相减计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：2． 3．已知． (1)求的值； (2)求的值； 【答案】(1)24 (2) 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘和相除法则的逆用， （1）逆用同底数幂相乘法则计算即可； （2）逆用幂的乘方可得，再逆用同底数幂相除法则计算． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴． 类型二、幂的混合运算 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的混合和运算及合并同类项．根据幂的运算法则，合并同类项法则逐一计算，即可得出答案． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 2．计算：的结果是 ． 【答案】 【分析】根据整式的乘除运算法则即可求出答案． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查整式的乘除运算，解题的关键是熟练运用整式的乘除运算法则，本题属于基础题型． 3．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、合并同类项运算法则求解即可； （2）将看成整体，利用同底数幂的乘除法运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解答的关键． 类型三、整数指数幂的运算 1．下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了幂的乘方运算，同底数幂的乘除法运算，零指数幂等知识， 根据各自的运算法则一一计算并判断即可． 【详解】解：．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算正确，故该选项符合题意； ．，原计算不正确，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．计算： ． 【答案】 【分析】根据整数指数幂的运算法则计算即可． 【详解】解： ； 故答案为： 【点睛】本题考查的负整数指数幂的含义，整数指数幂的运算，熟记运算法则是解本题的关键． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是整数指数幂的运算，掌握运算法则是解本题的关键； （1）先按照积的乘方运算法则进行计算，再化为张整数指数幂的形式即可； （2）先按照积的乘方，同底数幂的运算法则进行计算，再化为张整数指数幂的形式即可； （3）先按照积的乘方，再计算同底数幂的除法，再化为张整数指数幂的形式即可； （4）先按照积的乘方，同底数幂的乘法运算法则进行计算，再化为科学记数法的形式即可； 【详解】（1）解：； （2） ； （3） ； （4） ； 类型四、科学记数法中的应用 1．是指大气中直径小于或等于的颗粒物，含有大量有毒、有害物质，也称可入肺颗粒物，将用科学记数法表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为整数． 【详解】解：． 故选：B． 2．红细胞是血液中数量最多的一种血细胞，主要负责运输氧气和二氧化碳，人的红细胞的直径大约在左右．数据用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键； 根据绝对值小于1的负数科学记数法表示，一般形式为，其中，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，据此解答即可． 【详解】解：； 故答案为：． 3．科学记数法表示数时，不改变数的符号，只是改变数的书写形式，可以方便地表示绝对值较大的数或较小的数.请看下面用科学记数法解决实际问题的实例．科学研究发现，与我们日常生活密不可分的一个水分子的质量大约是0.00000000000000000000000003kg． (1)用科学记数法表示此数； (2)6g水中大约有多少个水分子？ (3)通过进一步研究科学家发现：一个水分子是由两个氢原子和一个氧原子构成的．已知氧原子的质量约为.求一个氢原子的质量． 【答案】(1)； (2)个； (3)kg 【分析】（1）根据科学记数法的表示方法解答即可； （2），再除以（1）题的结果求解即可； （3）用一个水分子的质量减去一个氧原子的质量，再除以2即可求解． 【详解】（1） （2）因为， 所以水中大约有水分子：（个） （3）一个氢原子的质量为：． 【点睛】本题考查了负整数指数幂的运算，涉及科学记数法、负整数指数幂的运算等知识，熟练掌握负整数指数幂的运算法则是关键． 类型五、同底数幂的除法与一元一次方程结合 1．已知，则的值为（    ） A． B．3 C．9 D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂乘法及其逆运算以及幂的乘方等知识点，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．根据同底数幂乘法，同底数幂乘法，幂的乘方运算法则进计算即可． 【详解】， ， ， ， ， 解得， 故选：D． 2．（1）计算： ； （2）若，则的值为 ． 【答案】 / 5 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，同底数幂乘法，幂的乘方，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据含乘方的有理数运算法则，零指数幂运算法则，进行计算即可； （2）根据同底数幂乘法和幂的乘方运算法则进行计算，然后再求值即可． 【详解】解：（1） ； 故答案为：； （2）∵， ∴， 即， ∴， 解得：． 故答案为：5． 3．（1）已知，，求的值． （2）已知，求x的值 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和除法和幂的乘方运算，解题的关键是掌握同底数幂的乘法、除法和幂的乘方运算法则． （1）利用同底数幂的除法逆运算和幂的乘方逆运算计算即可； （2）利用同底数幂的乘法和幂的乘方逆运算计算即可． 【详解】解：（1），， ； （2）∵ ， ， ， ． 类型一、同底数幂除法中比较大小 1．若，，则下列关于的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查有理数的大小比较，负整数指数幂、零指数幂以及乘方，计算出的大小是解题的关键． 先分别计算出，再比较大小即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 2．比较大小： ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，有理数的乘方，零指数幂，首先根据有理数的乘方的运算方法，以及零指数幂的运算方法，分别求出、的值，然后根据有理数大小比较的方法判断即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 3．已知，，，．先计算、、、的值，再比较它们的大小，并用“”连接起来． 【答案】，，，， 【分析】先分别根据负整数指数幂、零指数幂及有理数乘方的法则计算出、、、的值，再比较出其大小即可． 【详解】.解：， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的是负整数指数幂，零指数幂，熟知负整数指数幂、零指数幂及有理数乘方的法则是解答此题的关键． 类型二、新定义运算 1．如果，那么称b为n的“拉格数”，记为，由定义可知：．如，则，给出下列关于“拉格数”的结论：①，②，③，④，⑤．其中，正确的结论有（    ） A．①③④ B．②③④ C．②③⑤ D．②④⑤ 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的乘除法的实际应用，掌握同底数幂的乘除法法则是解题的关键． 结合定义，利用同底数幂的乘除法的逆运算进行计算即可． 【详解】解：由题意，∵ ，故①错误； ∵ ∴，故②正确； ∵，， ∴，故③正确； 设， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴，故④正确； ∴， ∵ ∴ ∴， 那么正确的有②③④． 故选：B． 2．定义：两正数，之间的一种运算，记作；若，则．例如：因为，所以． （1）根据上述规定，填空：＝ ； （2）小明在研究这种运算时发现一个现象：． 小明给出了如下的证明：设，则根据定义，得，即所以，即，所以． 请你尝试运用这种方法解决问题：已知a、m、n均为正数，填空： 【答案】 / 【分析】（1）根据零指数幂即可求解； （2）设，，根据新定义可得，即可求解． 【详解】（1）∵， ∴， 故答案为：． （2）设， ∴ ∴ ∴ 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义运算，零指数幂，同底数幂的乘法，幂的乘方的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 3．对于整数a，b定义新运算；（其中m，n为常数），如． (1)当，时，的值为________； (2)若，，求的值． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，幂的运算的含义，理解新定义运算的含义是解本题的关键； （1）根据新定义运算法则可得，再计算即可； （2）由可得，结合，可得，再计算即可． 【详解】（1）解：根据运算法则，． （2）∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴ ． 类型三、规律问题 1．按一定规律排列的单项式：则第 n 个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数字变化的规律，观察所给单项式的系数和次数，发现规律即可解决问题． 【详解】由题知，第一个可以看成，后面的单项式的系数依次增大倍，且单项式的系数依次， 所以第n个单项式的系数为：； 故选：A． 2．观察等式：；；；….已知按一定规律排列的一组数：，，，…，….若，用含的式子表示这组数的和是 ． 【答案】 【分析】由题意可得＋＋＋…＋＋＝（1＋2＋22＋…＋229＋230）＝（1＋231−2）＝（×2−1），再将＝m代入即可求解． 【详解】∵，， ∴2＋22＋23＋…＋2n＝2n＋1−2 ∵， ∴＋＋＋…＋＋ ＝（1＋2＋22＋…＋229＋230） ＝（1＋231−2） =（×2−1） ＝m（2m−1） =． 故答案为：． 【点睛】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于得出规律：2＋22＋23＋…＋2n＝2n＋1−2． 3．（1）填空：、、… （2）探索（1）中式子的规律，请写出第n个等式：　 　； （3）直接计算：　 　； （4）利用（2）中发现的规律计算：． 【答案】（1）0、1、2；（2）；（3）2；（4）． 【分析】（1）根据有理数的乘方和零次幂的性质计算即可； （2）结合（1）中式子的规律，即可写出第n个等式； （3）根据（2）中式子的规律，即可计算； （4）逆用（2）中发现的规律计算即可． 【详解】解：（1），，， 故答案为：0、1、2； （2）由题意得，第n个等式为：； 故答案为：； （3） ， 故答案为：2； （4） ． 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，有理数的乘方运算，零次幂的性质，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律并能够应用规律． 类型四、幂的结果为1的分类 1．方程的整数解的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】方程的右边是1，有三种可能，需要分类讨论．第1种可能：指数为0，底数不为0；第2种可能：底数为1；第3种可能：底数为，指数为偶数． 【详解】解：由题意可得， 当且， 解得：； 当， 解得：或； 当且是偶数， 解得：； 综上所述：x的值有4个． 故选：C 【点睛】本题考查了：（a是不为0的任意数）以及1的任何次方都等于1．容易遗漏第3种可能情况，需特别注意． 2．若，则满足条件的x值为 ． 【答案】或2 【分析】本题考查了整式的幂运算，任意非零数的零次幂等于1；1的任意次幂均等于1；的偶次幂等于1，据此分情况讨论即可求解． 【详解】解：， 当，则； 当时，则； 当时，则，此时（舍去）， 故答案为：或2． 3．【课内回顾】 (1)若，当满足 时，则； 【阅读材料】 如果一个幂的结果等于，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，例如； ②底数为的整数幂，例如； ③底数为的偶数次幂，例如． 【知识运用】 (2)若，求x的值； (3)若，则x= ． 【答案】（1）；（2）或；（3）或或 【分析】考查的是零指数幂的性质，负整数指数，有理数的乘方、等式的性质； （1）根据等式的性质，即可求解； （2）根据材料分三种情况讨论①当且时，②当且为整数时，③当且为偶数时，根据一个幂的结果等于，分别计算即可求解； （3）根据材料分三种情况讨论①当且时，②当且为整数时，③当且为奇数时，根据一个幂的结果等于，分别计算即可求解． 【详解】解：（1）， 当时，则， 因此若，当满足时，则， 故答案为：． （2）分三种情况讨论如下： ①当且时，， 由，解得：， 此时， 当时，； ②当且为整数时，， 由，解得：， 此时为整数， 当时，； ③当且为偶数时，， 由，解得：， 此时不是偶数，故不合题意，舍去． 综上所述：若，则的值为或． 故答案为：或． （3）分三种情况讨论如下： ①当且时，， 由，解得：， 此时， 当时，， ②当且为整数时，， 由，解得：， 此时为整数， 当时，， ③当且为奇数时，， 由，解得：， 此时为奇数， 当时，， 综上所述：若，则或或． 1．如果 ，那么m 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了零指数幂，直接利用零指数幂：，即可得出答案． 【详解】解：由任何非零数的零次幂为1，得 ，即 ． 故选：D． 2．有下列式子：①；②；③；④．其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的除法、科学记数法，根据运算法则逐项判断即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：①，故原选项计算错误，不符合题意； ②，故原选项计算正确，符合题意； ③，故原选项计算错误，不符合题意； ④，故原选项计算错误，不符合题意； 综上所述，正确的有②，共个， 故选：D． 3．下图是某个学生制作的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0．将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为．如图第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班学生．表示6班学生的识别图案是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用数字表示事件，弄清题中的转换方法是解本题的关键．仿照二维码转换的方法求出所求即可． 【详解】解：根据题意得：， 则表示6班学生的识别图案是B 故答案为：B 4．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据相关运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 5．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的除法的逆用，幂的乘方的逆运算，根据同底数幂的除法的逆用，幂的乘方的逆运算可得出即，然后代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ 故答案为：． 6．如果，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了零指数幂，解一元一次方程，根据零指数幂，列出方程，然后求解即可掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：， ， ∴， ∴， 故答案为：． 7．已知，，求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)18 (2)63 (3) 【分析】本题考查的同底数幂的乘法，除法的逆用，幂的乘方的逆用，熟记运算公式是解本题的关键； （1）由，再把，代入计算即可； （2）由，再把，代入计算即可； （3）由，再把，代入计算即可； 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）∵，， ∴； （3）∵，， ∴； 8．计算： (1)若，求； (2)若，求的结果． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的乘除法，掌握幂的乘方的逆运算，同底数幂的乘法，除法运算法则是解题的关键． （1）根据幂的乘方的逆运算，同底数幂的除法可得，代入求值即可； （2）根据题意可得，根据幂的乘方的逆运算，同底数幂的乘法可得，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴原式． 9．【概念学习】我们规定两数、之间的一种运算，记作：如果，那么；例如，记作． 【初步探究】（1）根据以上规定求出： ； ； 【深入思考】对于相同底数的幂的乘法运算，我们有， 例如． （2）小明发现也成立，并证明如下 设：，则 因为，所以，所以， 根据以上证明，请计算，请写清楚计算过程． （3）猜想，并说明理由． 【答案】（1）3，0；（2）42；（3）2，理由见解析 【分析】本题考查有理数的乘方、同底数幂的乘除法的逆用，理解题中运算方法是解答的关键． （1）根据题中运算方法，结合有理数的乘方求解即可； （2）类比题中例题解法步骤结合同底数幂的乘法运算求解即可； （3）类比题中例题解法步骤结合同底数幂的除法运算求解即可． 【详解】解：（1），， ，， 故答案为：3，0； （2）设：，则， ， ， ， 故答案为：42； （3）猜想，理由如下： 设：，则， ， ， ． 故答案为：2． 10．阅读下列材料： 若（且，是整数），由于两个幂相等，且底数相同，因此它们的指数相等，即有．根据这一结论我们可以解简单的方程： 若，求的值． 解：根据指数运算法则有： ， ∴，∴，∴． 利用上面知识解决下面的问题： (1)已知，求x的值； (2)如果，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了同底数幂的运算、幂的乘方运算、积的乘方的逆用、解一元一次方程等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）将原式整理为，进而可得，求解即可； （2）将原式整理为，进而可得，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 即， 则，解得； （2）∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.3同底数幂的除法 1.同底数幂的除法法则 同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（≠0，都是正整数，并且） 注：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算. （2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式. （3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质. （4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式. 2.零指数幂 任何不等于0的数的0次幂都等于1.即（≠0） 注：底数不能为0，无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式. 3.负整数指数幂 任何不等于零的数的（为正整数）次幂，等于这个数的次幂的倒数，即（≠0，是正整数）. 引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的幂的运算性质仍然成立. （、为整数，）； （为整数，，） （、为整数，）. 注：是的倒数，可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数式.例如（），（）. 4.科学记数法的一般形式 （1）把一个绝对值大于10的数表示成的形式，其中是正整数， （2）利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即的形式，其中是正整数，. 用以上两种形式表示数的方法，叫做科学记数法。 巩固课内例1:同底数幂的除法 1．若，则■表示的运算符号为（   ） A．+ B．－ C． D． 2．计算：若，则 ． 3．计算： (1)； (2)． 巩固课内例2:负次幂化为小数或分数 1．将数化为小数是（    ） A．0.000035 B．0.0000035 C．0.00000035 D．0.000000035 2．用分数表示： ． 3．用小数表示下列各数： （1）；      （2）；       （3）． 巩固课内例3:幂的乘方与积的乘方负次幂 1．计算的正确结果是（   ） A． B． C． D． 2．计算： 3．计算： (1)； (2)． 巩固课内例4:用科学记数法表示负次幂 1．用科学记数法表示0.0002024下列数正确的是（   ） A． B． C． D． 2．一张新版百元人民币的厚度约为0.00009米，数据“0.00009”用科学记数法表示为 ． 3．用科学记数法表示： (1)0.00003； (2)； (3)0.0000314． 巩固课内例5:科学记数法负次幂中的应用 1．祖国主权，寸土不让．钓鱼岛列岛是我国自古以来的固有领土，共由个主岛组成，其中最小的主岛是飞屿，面积约为平方公里，请用科学记数法表示飞屿的面积约为（   ）平方公里． A． B． C． D． 2．2018年2月18日，清朝袁枚的一首诗《苔》被乡村老师梁俊和山里的孩子小梁在《经典咏流传》的舞台重新唤醒．“白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为米，用科学记数法表示米，用科学记数法，则n的值为 ． 3．一块正方体铁块的棱长为． (1)这块正方体铁块的体积是多少立方米（用科学记数法表示）？ (2)如果有一种小正方体铁块的棱长为，那么需要多少块这样的小正方体铁块才可以摆成棱长为的大正方体铁块? 巩固课内例6:单位换算之间的负次幂 1．纳米技术是一种高新技术，纳米（）是非常小的长度单位，，则将数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 2．芯片是手机、电脑等高科技产品的核心部件，目前我国芯片已可采用14纳米工艺．已知14纳米为米，数据用科学记数法表示为 米． 3．科学家研究发现，一个水分子的质量大约是，约有多少个水分子？ 类型一、同底数幂的简单除法运算 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．已知，求的值． 类型二、零指数幂 1．的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 2．计算： ． 3．计算． 类型三、负整数幂 1．计算：（   ） A． B． C． D． 2． ． 3．计算：． 类型四、科学记数法 1．已知一粒米的重量约千克，将数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 2．五一节后，迎来了第二波新冠病毒感染的高峰期，已知新冠病毒变异毒株奥密克戎直径约为0.00000012米，用科学记数法表示数据0.00000012为 ． 3．一个正方体集装箱的棱长为米． (1)这个集装箱的体积是多少？（用科学记数法表示） (2)若有一个小立方块的棱长为米，则需要多少个这样的小立方块才能将集装箱装满？ 类型一、同底数幂除法的逆用 1．若，，则的值为（   ） A． B． C． D．19 2．若，，则 ． 3．已知． (1)求的值； (2)求的值； 类型二、幂的混合运算 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．计算：的结果是 ． 3．计算 (1) (2) 类型三、整数指数幂的运算 1．下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 类型四、科学记数法中的应用 1．是指大气中直径小于或等于的颗粒物，含有大量有毒、有害物质，也称可入肺颗粒物，将用科学记数法表示为（  ） A． B． C． D． 2．红细胞是血液中数量最多的一种血细胞，主要负责运输氧气和二氧化碳，人的红细胞的直径大约在左右．数据用科学记数法表示为 ． 3．科学记数法表示数时，不改变数的符号，只是改变数的书写形式，可以方便地表示绝对值较大的数或较小的数.请看下面用科学记数法解决实际问题的实例．科学研究发现，与我们日常生活密不可分的一个水分子的质量大约是0.00000000000000000000000003kg． (1)用科学记数法表示此数； (2)6g水中大约有多少个水分子？ (3)通过进一步研究科学家发现：一个水分子是由两个氢原子和一个氧原子构成的．已知氧原子的质量约为.求一个氢原子的质量． 类型五、同底数幂的除法与一元一次方程结合 1．已知，则的值为（    ） A． B．3 C．9 D． 2．（1）计算： ； （2）若，则的值为 ． 3．（1）已知，，求的值． （2）已知，求x的值 类型一、同底数幂除法中比较大小 1．若，，则下列关于的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 2．比较大小： ．（填“”、“”或“”） 3．已知，，，．先计算、、、的值，再比较它们的大小，并用“”连接起来． 类型二、新定义运算 1．如果，那么称b为n的“拉格数”，记为，由定义可知：．如，则，给出下列关于“拉格数”的结论：①，②，③，④，⑤．其中，正确的结论有（    ） A．①③④ B．②③④ C．②③⑤ D．②④⑤ 2．定义：两正数，之间的一种运算，记作；若，则．例如：因为，所以． （1）根据上述规定，填空：＝ ； （2）小明在研究这种运算时发现一个现象：． 小明给出了如下的证明：设，则根据定义，得，即所以，即，所以． 请你尝试运用这种方法解决问题：已知a、m、n均为正数，填空： 3．对于整数a，b定义新运算；（其中m，n为常数），如． (1)当，时，的值为________； (2)若，，求的值． 类型三、规律问题 1．按一定规律排列的单项式：则第 n 个单项式是（    ） A． B． C． D． 2．观察等式：；；；….已知按一定规律排列的一组数：，，，…，….若，用含的式子表示这组数的和是 ． 3．（1）填空：、、… （2）探索（1）中式子的规律，请写出第n个等式：　 　； （3）直接计算：　 　； （4）利用（2）中发现的规律计算：． 类型四、幂的结果为1的分类 1．方程的整数解的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．若，则满足条件的x值为 ． 3．【课内回顾】 (1)若，当满足 时，则； 【阅读材料】 如果一个幂的结果等于，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，例如； ②底数为的整数幂，例如； ③底数为的偶数次幂，例如． 【知识运用】 (2)若，求x的值； (3)若，则x= ． 1．如果 ，那么m 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．有下列式子：①；②；③；④．其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．下图是某个学生制作的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0．将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为．如图第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班学生．表示6班学生的识别图案是（    ） A． B． C． D． 4．计算： ． 5．若，，则 ． 6．如果，那么的值为 ． 7．已知，，求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 8．计算： (1)若，求； (2)若，求的结果． 9．【概念学习】我们规定两数、之间的一种运算，记作：如果，那么；例如，记作． 【初步探究】（1）根据以上规定求出： ； ； 【深入思考】对于相同底数的幂的乘法运算，我们有， 例如． （2）小明发现也成立，并证明如下 设：，则 因为，所以，所以， 根据以上证明，请计算，请写清楚计算过程． （3）猜想，并说明理由． 10．阅读下列材料： 若（且，是整数），由于两个幂相等，且底数相同，因此它们的指数相等，即有．根据这一结论我们可以解简单的方程： 若，求的值． 解：根据指数运算法则有： ， ∴，∴，∴． 利用上面知识解决下面的问题： (1)已知，求x的值； (2)如果，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$