吉林省通化市梅河口市第五中学2024-2025学年高三上学期1月期末考试数学试题

高三数学期末试题 一、选择题（每题5分，共计40分） 1、已知集合，集合，则( ) A. B. C. D. 2、中国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行数里,请公仔细算相还”.其意思为:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地”,则走的路程少于30里开始于( ) A.第三天 B.第四天 C.第五天 D.第六天 3、已知关于x的不等式的解集为，则的最大值是( ) A. B. C. D. 4、已知三棱锥的外接球半径为R，且外接圆的面积为，若三棱锥体积的最大值为，则该球的体积为( ) A. B. C. D. 5、已知函数若方程恰有三个不同的实数解a，b，c()，则的取值范围是( ). A. B. C. D. 6．已知数列为等差数列，，为函数的两个极值点，则 A． B． C． D． 7．若直线与曲线恰有两个交点，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．定义在上的函数满足，（若，则，c为常数），则下列说法错误的是（    ） A． B．在取得极小值，极小值为 C．只有一个零点 D．若在上恒成立，则 二、选择题：本题共 3 小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，为实数，则下列不等式正确的是 A． B． C． D． 10．设函数的最小正零点为，则（    ） A．的图象过定点 B．的最小正周期为 C．是等比数列 D．的前10项和为 11．在年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转、、后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），、为与其中两条曲线的交点，若，则（    ） A．开口向上的抛物线的方程为 B． C．直线截第一象限花瓣的弦长最大值为 D．阴影区域的面积不大于 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．已知命题：“，”为真命题，则的取值为 . 13．已知是定义在上的可导函数，若，则 . 14．二项式的展开式中，x的系数为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知，其中． (1)若函数在处的切线与轴平行，求的值； (2)求的极值点； 16．（15分）已知向量，，函数. (1)求的单调递减区间； (2)将的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若函数，的图象与的图象有三个交点且交点的横坐标成等比数列，求的值. 17.（15分）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵（qiandu）；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑（bienao）指四个面均为直角三角形的四面体.如图，三棱柱，平面，四棱锥为阳马，且，分别是，的中点. （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18.（17分）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，. 19．在平面直角坐标系中，已知直线与椭圆交于点A，B（A在x轴上方），且．设点A在x轴上的射影为N，三角形ABN的面积为2（如图1）． （1）求椭圆的方程； （2）设平行于AB的直线与椭圆相交，其弦的中点为Q． ①求证：直线OQ的斜率为定值； ②设直线OQ与椭圆相交于两点C，D（D在x轴的上方），点P为椭圆上异于A，B，C，D一点，直线PA交CD于点E，PC交AB于点F，如图2，求证：为定值． DBDDA BBB 9AC 10ACD 11BCD 12． 13．1 14．20 15．【详解】（1）函数的定义域为，， 因为函数在处的切线与x轴平行，所以，解得． （2）函数的定义域为， ． 令得或， 所以当，即时， 的解集为，的解集为， 所以函数在区间和上严格减，在区间上严格增， 是函数的极大值点，是函数的极小值点； 当，即时，在区间上恒成立，此时函数在区间上严格减，无极值点； 当，即时，的解集为，的解集为，所以函数在区间和上严格减，在区间上严格增，是函数的极小值点，是函数的极大值点； 综上，当时，是函数的极大值点，是函数的极小值点； 当时，函数在区间上严格减，无极值点； 当时，是函数的极小值点，是函数的极大值点． 16.【详解】（1）， ， 令，，则，， 所以的单调递减区间为，； （2）将的图象向左平移个单位后，得到， 再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）后，得到， 函数，的图象与的图象有三个交点坐标分别为，，且，则由已知结合图象的对称性，有，解得，∴. 17【详解】（1）取中点，连接，，在中，因为，分别是，中点，所以，且，在平行四边形中，因为是的中点， 所以，且，所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面. （2）在线段上存在点，使得平面，取的中点，连，连， 因为平面，平面，平面，所以，，在中，因为，分别是，中点，所以， 又由（1）知，所以，，由得平面， 故当点是线段的中点时，平面.此时，. 18【详解】（1），定义域为， 则， ①当时，在上单调递增； ②当时， 当时，，在上单调递增； 当时，在上单调递减. 综上，①当时，在上单调递增， ②当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）当时，要证，只需证， 由（1）得，， 即证恒成立. 令，则 当时，单调递增， 当时，单调递减， 的最大值为，即. 恒成立，原命题得证. 19．（1）由题意知，可设，可得， 即，所以，故，即， 又椭圆经过，即，解得， 所以椭圆的方程为. （2）设平行于AB的直线方程为，且， ①联立，设，，得到， 所以，，故直线OQ的斜率为（定值）. ②由题意可知，，， 联立，得，， 设，直线斜率存在时，直线， 联立，得， 直线，联立， 得，则， ， 所以因为，所以，代入上式得： . 当斜率不存在时结果仍然成立，故​为定值． 学科网（北京）股份有限公司 $$